【解析版】2015年中考数学走出题海之黄金30题系列4(第01期)
2015年上海市中考数学试卷答案与解析
2015年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）（2015•上海）下列实数中，是有理数的为(）A．B．C．πD．0考点：实数．分析：根据有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数进行判断即可．解答：解：是无理数，A不正确；是无理数，B不正确;π是无理数，C不正确；0是有理数，D正确；故选：D．点评:此题主要考查了无理数和有理数的区别，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数,而无理数只能写成无限不循环小数．2．（4分）（2015•上海)当a＞0时，下列关于幂的运算正确的是（)A．a0=1 B．a﹣1=﹣a C．（﹣a)2=﹣a2D．a=考点：负整数指数幂；有理数的乘方；分数指数幂；零指数幂．分析：分别利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质分别分析求出即可．解答：解：A、a0=1（a＞0），正确；B、a﹣1=,故此选项错误;C、（﹣a）2=a2，故此选项错误；D、a=(a＞0)，故此选项错误．故选：A．点评：此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质等知识，正确把握相关性质是解题关键．3．（4分）(2015•上海）下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（）A．y=x2B．y=C．y=D．y=考点：正比例函数的定义．分析：根据正比例函数的定义来判断即可得出答案．解答：解：A、y是x的二次函数，故A选项错误;B、y是x的反比例函数，故B选项错误；C、y是x的正比例函数,故C选项正确;D、y是x的一次函数，故D选项错误；故选C．点评：本题考查了正比例函数的定义：一般地,两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数,且k≠0)的函数，那么y就叫做x的正比例函数．4．（4分)(2015•上海）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．7考点: 多边形内角与外角．分析：根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等,列式计算即可．解答：解：这个多边形的边数是360÷72=5，故选：B．点评：本题考查的是正多边形的中心角的有关计算,掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．5．（4分）（2015•上海)下列各统计量中,表示一组数据波动程度的量是（）A．平均数B．众数C．方差D．频率考点：统计量的选择．分析：根据平均数、众数、中位数反映一组数据的集中趋势，而方差、标准差反映一组数据的离散程度或波动大小进行选择．解答：解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差,故选C．点评：本题考查了标准差的意义,波动越大，标准差越大，数据越不稳定，反之也成立．6．（4分）（2015•上海）如图，已知在⊙O中,AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（)A．A D=BD B．O D=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB考点: 菱形的判定；垂径定理．分析：利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．解答：解：∵在⊙O中,AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD=DB，当DO=CD，则AD=BD,DO=CD，AB⊥CO，故四边形OACB为菱形．故选：B．点评：此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理,熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．二、填空题7．(4分)（2015•上海）计算：｜﹣2｜+2=4．考点：有理数的加法；绝对值．分析:先计算|﹣2｜，再加上2即可．解答：解:原式=2+2=4．故答案为4．点评：本题考查了有理数的加法，以及绝对值的求法，负数的绝对值等于它的相反数．8．（4分）（2015•上海）方程=2的解是x=2．考点：无理方程．分析：首先根据乘方法消去方程中的根号,然后根据一元一次方程的求解方法，求出x的值是多少,最后验根，求出方程=2的解是多少即可．解答：解：∵=2，∴3x﹣2=4，∴x=2，当x=2时，左边=,右边=2，∵左边=右边，∴方程=2的解是:x=2．故答案为：x=2．点评：此题主要考查了无理方程的求解，要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：（1）解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法,配方法,因式分解法,设辅助元素法，利用比例性质法等．（2）注意：用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根,应注意验根．9．（4分）（2015•上海)如果分式有意义，那么x的取值范围是x≠﹣3．考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件是分母不为0,列出算式，计算得到答案．解答：解:由题意得，x+3≠0，即x≠﹣3，故答案为:x≠﹣3．点评：本题考查的是分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念:(1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．10．(4分）（2015•上海）如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根,那么m的取值范围是m＜﹣4．考点：根的判别式．分析：根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，得出△=16﹣4（﹣m)＜0，从而求出m的取值范围．解答：解：∵一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，∴△=16﹣4(﹣m)＜0,∴m＜﹣4,故答案为m＜﹣4．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0,方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0,方程没有实数根．11．（4分）（2015•上海）同一温度的华氏度数y（℉)与摄氏度数x(℃）之间的函数关系是y=x+32,如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是77℉．考点：函数值．分析：把x的值代入函数关系式计算求出y值即可．解答：解：当x=25°时，y=×25+32=77，故答案为：77．点评:本题考查的是求函数值，理解函数值的概念并正确代入准确计算是解题的关键．12．（4分）（2015•上海)如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0,3），那么所得新抛物线的表达式是y=x2+2x+3．考点：二次函数图象与几何变换．分析：设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x﹣1+b，把点A的坐标代入进行求值即可得到b 的值．解答：解：设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x﹣1+b，把A(0,3）代入，得3=﹣1+b，解得b=4，则该函数解析式为y=x2+2x+3．故答案是：y=x2+2x+3．点评：主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．13．（4分）（2015•上海）某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是．考点：概率公式．分析：由某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动,首次活动需要7位同学参加,现有包括小杰在内的50位同学报名,直接利用概率公式求解即可求得答案．解答:解：∵学生会将从这50位同学中随机抽取7位，∴小杰被抽到参加首次活动的概率是：．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（4分）（2015•上海）已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：年龄（岁）11 12 13 14 15人数 5 5 16 15 12那么“科技创新社团"成员年龄的中位数是14岁．考点: 中位数．分析：一共有53个数据，根据中位数的定义，把它们按从小到大的顺序排列,第27名成员的年龄就是这个小组成员年龄的中位数．解答：解:从小到大排列此数据,第27名成员的年龄是14岁，所以这个小组成员年龄的中位数是14．故答案为14．点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数．15．（4分）（2015•上海)如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，=,=，那么向量用向量，表示为﹣．考点：*平面向量．分析：由=，=，利用三角形法则求解即可求得，又由在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案．解答：解:∵=，=，∴=﹣=﹣，∵在△ABC中,D、E分别是边AB、边AC的中点，∴==（﹣）=﹣．故答案为:﹣．点评:此题考查了平面向量的知识以及三角形中位线的性质．注意掌握三角形法则的应用．16．（4分）（2015•上海）已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线,交边CD于点F，那么∠FAD=22.5度．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：根据正方形的性质可得∠DAC=45°,再由AD=AE易证△ADF≌△AEF，求出∠FAD．解答：解：如图，在Rt△AEF和Rt△ADF中，∴Rt△AEF≌Rt△ADF,∴∠DAF=∠EAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD=45°,∴∠FAD=22.5°．故答案为:22.5．点评：本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质，求证Rt△AEF≌Rt△ADF是解本题的关键．17．（4分）（2015•上海）在矩形ABCD中，AB=5,BC=12,点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B 相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于14（答案不唯一）．(只需写出一个符合要求的数）考点: 圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系．专题：开放型．分析:首先求得矩形的对角线的长,然后根据点A在⊙B上得到⊙B的半径为5，再根据⊙D 与⊙B相交，得到⊙D的半径R满足8＜R＜18，在此范围内找到一个值即可．解答：解：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在⊙B上,∴⊙B的半径为5,∵如果⊙D与⊙B相交，∴⊙D的半径R满足8＜R＜18，∵点B在⊙D内,∴R＞13，∴13＜R＜18，∴14符合要求,故答案为：14（答案不唯一）．点评：本题考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系,解题的关键是首先确定⊙B的半径，然后确定⊙D的半径的取值范围，难度不大．18．（4分）（2015•上海）已知在△ABC中，AB=AC=8,∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处,延长线段AD，交原△ABC的边BC 的延长线于点E,那么线段DE的长等于4﹣4．考点: 解直角三角形；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：作CH⊥AE于H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ACB=（180°﹣∠BAC）=75°，再根据旋转的性质得AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，则利用三角形外角性质可计算出∠E=45°，接着在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系得CH=AC=4，AH=CH=4，所以DH=AD﹣AH=8﹣4，然后在Rt△CEH中利用∠E=45°得到EH=CH=4，于是可得DE=EH﹣DH=4﹣4．解答：解：作CH⊥AE于H，如图，∵AB=AC=8，∴∠B=∠ACB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣30°）=75°，∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，∴AD=AB=8,∠CAD=∠BAC=30°，∵∠ACB=∠CAD+∠E,∴∠E=75°﹣30°=45°，在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，∴CH=AC=4，AH=CH=4，∴DH=AD﹣AH=8﹣4，在Rt△CEH中，∵∠E=45°，∴EH=CH=4，∴DE=EH﹣DH=4﹣(8﹣4)=4﹣4．故答案为4﹣4．点评:本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质．三、解答题19．（10分）（2015•上海）先化简，再求值：÷﹣，其中x=﹣1．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=•﹣=﹣=，当x=﹣1时，原式==﹣1．点评:本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．(10分）(2015•上海)解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析:先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．解答:解：∵解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，在数轴上表示不等式组的解集为:．点评：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用,解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．21．(10分)(2015•上海）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象经过点A,点A的纵坐标为4，反比例函数y=的图象也经过点A,第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC=AB．求：（1)这个反比例函数的解析式;（2）直线AB的表达式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）根据正比例函数y=x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，求出点A的坐标，根据反比例函数y=的图象经过点A，求出m的值;（2）根据点A的坐标和等腰三角形的性质求出点B的坐标,运用待定系数法求出直线AB的表达式．解答:解:∵正比例函数y=x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，∴点A的坐标为（3，4），∵反比例函数y=的图象经过点A，∴m=12，∴反比例函数的解析式为：y=；（2)如图，连接AC、AB，作AD⊥BC于D，∵AC=AB，AD⊥BC，∴BC=2CD=6，∴点B的坐标为：（6，2)，设直线AB的表达式为：y=kx+b，由题意得，，解得，，∴直线AB的表达式为：y=﹣x+6．点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和一次函数与反比例函数的解得的求法,注意数形结合的思想在解题中的应用．22．（10分）（2015•上海）如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°,假设汽车在高速道路上行驶时,周围39米以内会受到噪音（XRS）的影响．（1)过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶,当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米? （2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼,高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长?（精确到1米)（参考数据：≈1。
高考数学专题01经典母题30题(理)-高考数学走出题海之黄金30题系列(解析板).docx
一、选择题1．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则( )． A ．¬p ：∃x0∈R ，sin x0≥1 B ．¬p ：∀x ∈R ，sin x ≥1 C ．¬p ：∃x0∈R ，sin x0>1 D ．¬p ：∀x ∈R ，sin x>1 【答案】C【解析】命题p 是全称命题，全称命题的否定是特称命题． 【考点定位】全称命题与全称命题.2．已知集合A={y|y=lg(x-3)},B={a|a 2-a+3>0},则“x>4”是“A B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知复数21i z i=+(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限4．已知3log 4.12a =，3log 2.72b =，3log 0.112c ⎛⎫= ⎪⎝⎭则( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．c>a>b【答案】D【考点定位】指对数比较大小5．函数()323922y x x x x =---<<有( )A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值 【答案】C6．函数sin ln sin x x y x x -⎛⎫=⎪+⎝⎭的图象大致是( )【答案】A【解析】因为()()sin()sin sin ln ln ln sin()sin sin x x x x x x f x f x x x x x x x ⎛⎫----+-⎛⎫⎛⎫-====⎪ ⎪ ⎪-+---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,7．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内零点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】由题意，知函数()f x 的定义域为0+∞（，）．由函数零点的定义， ()f x 在0+∞（，）内的零点即是方程2ln 0x x --=的根．令12y x =-，2ln 0y x x =>（），在一个坐标系中画出两个函数的图象，如图所示．由图知两个函数图象有两个学科网交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点，故选C ． 【考点定位】1、函数的零点；2、函数的图象．zxxk 学 科 网8．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如右，此函数的解析式为（ ）A ．)32sin(2π+=x y B ．)322sin(2π+=x yC)32sin(2π-=x y D ．)32sin(2π-=x y 【答案】B9．在ABC ∆中，3,1,cos cos c a a B b A ===，则AC CB ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．21 B ．23 C ．21- D ．23- 【答案】A【考点定位】正余弦定理，向量的数量积运算．10．已知等差数列{a n }，且3（a 3+a 5）+2(a 7+a 10+a 13)=48,则数列{a n }的前13项之和为（ ） A.24 B.39 C.104 D.52 【答案】D【考点】等差数列的性质和前n 项和.11．若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b> 【答案】B【考点定位】不等式的基本性质.12．已知直线⊥l 平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题,其中正确的是 ( ) ①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m l A ．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C【考点定位】直线与平面的位置关系. zxxk 学 科 网13．一个正三棱柱的三视图如图所示，这个三棱柱的侧(左)视图的面积为36则这个三棱柱的体积为 ( )A．12 B．16 C．8 3 D．12 3 【答案】D【考点定位】1三视图；2柱体的体积。
2015年中考数学 走出题海之黄金30题系列(第01期)专题01 经典母题30题(含解析)
专题01 经典母题30题一、选择题1．的相反数是（）A. B.﹣ C.2 D.﹣2【答案】B【解析】的相反数是﹣，添加一个负号即可．故选B．2．下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A.AB∥CD，AD∥BCB.OA=OC，OB=ODC.AD=BC，AB∥CDD.AB=CD，AD=BC【答案】C【解析】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；故选C．4．一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9．这5个数据的中位数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C．【解析】将这组数据重新排序为6，7，8，9，9，∴中位数是按从小到大排列后第3个数为：8．故选C．5．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D．6．由几个大小不同的正方形组成的几何图形如图，则它的俯视图是（）A． B． C． D．【答案】A．【解析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得：从上面看有两排，前排右边一个，后排三个正方形，故选A．7．不等式3x+2＞﹣1的解集是（）A．1x3-＞ B．1x3-＜ C．x1-＞ D．x1-＜【答案】C．【解析】移项得，3x ＞﹣1﹣2，合并同类项得，3x ＞﹣3，把x 的系数化为1得，x ＞﹣1．故选C ．8．将抛物线y=x 2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向上平移2个单位D ．向下平移2个单位【答案】A ．【解析】根据图象左移加可得，将抛物线y=x 2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是向左平移了2个单位，故选A ．9．在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是13，则黄球的个数为（ ）A ．18B ．20C ．24D ．28【答案】C ．【解析】设黄球的个数为x 个，根据题意得：311212=+x ，解得：x=24， 经检验：x=24是原分式方程的解；∴黄球的个数为24．故选C ．10． 20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，列方程组正确的是（ ）A.x y 523x 2y 20+=⎧⎨+=⎩B.x y 522x 3y 20+=⎧⎨+=⎩C.x y 202x 3y 52+=⎧⎨+=⎩D.x y 203x 2y 52+=⎧⎨+=⎩【答案】D ．【解析】本题等量关系为：①男女生共20人；②男女生共植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵.据此列出方程组：x y 203x 2y 52+=⎧⎨+=⎩. 故选D ．11．如图，三棱柱的体积为10，其侧棱AB 上有一个点P 从点A 开始运动到点B 停止，过P 点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分，它们的体积分别为x 、y ，则下列能表示y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ． 【解析】∵过P 点作与底面平行的平面将体积为10的三棱柱截成两个部分的体积分别为x 、y ，∴x+y=10，即y=﹣x+10（0≤x ≤10）．∴函数图象是经过点（10，0）和（0，10）的线段．故选A ．12．如图，正方形ABCD 中，AB=6，点E 在边CD 上，且CD=3D E ．将△ADE 沿A E 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．则下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG=CG ；③AG ∥CF ；④S △EGC =S △AFE ；⑤∠AGB+∠AED=145°．其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】①正确．理由：∵AB=AD=AF ，AG=AG ，∠B=∠AFG=90°，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ）；②正确．理由： EF=DE=31CD=2，设BG=FG=x ，则CG=6﹣x ．在直角△ECG 中，根据勾股定理，得（6﹣x ）2+42=（x+2）2，解得x=3．∴BG=3=6﹣3=GC ；③正确．理由：∵CG=BG ，BG=GF ，∴CG=GF ，∴△FGC 是等腰三角形，∠GFC=∠GCF ．又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ；∴∠AGB=∠AGF ，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF ，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF ，∴AG ∥CF ；④正确．理由：∵S △GCE =21GC •CE=21×3×4=6，∵S △AFE =21AF •EF=21×6×2=6，∴S △EGC =S △AFE ； ⑤错误．∵∠BAG=∠FAG ，∠DAE=∠FAE ，又∵∠BAD=90°，∴∠GAF=45°，∴∠AGB+∠AED=180°﹣∠GAF=135°． 故选C ．二、填空题13．分解因式：2a a - = ．【答案】()a a 1-.【解析】()2a a a a 1-=-.14．计算：50°﹣15°30′= ．【答案】34°30′．【解析】50°﹣15°30′=49°60′﹣15°30′=34°30′.15．在函数y=中，自变量x 的取值范围是 ．【答案】x ≠﹣2【解析】由题意得，2x+4≠0，解得x ≠﹣2．16．如图，将边长为6的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在点Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是 cm ．【答案】12【解析】由翻折的性质得，DF=EF ，设EF=x ，则AF=6﹣x ，∵点E 是AB 的中点，∴AE=BE=×6=3，在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，即32+（6﹣x）2=x2，解得x=，∴AF=6﹣=，∵∠FEG=∠D=90°，∴∠AEF+∠BEG=90°，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠AFE=∠BEG，又∵∠A=∠B=90°，∴△AEF∽△BGE ，∴==，即==，解得BG=4，EG=5，∴△EBG的周长=3+4+5=12．故答案为12．17．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数kyx=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为．【答案】y=2x．【解析】设OC=a，∵点D在kyx=上，∴CD=ka.∵△OCD∽△ACO，∴23OC AC OC aACCD OC CD k=⇒==. ∴点A的坐标为（a，3a k ）.∵点B是OA的中点，∴点B的坐标为3a a,22k⎛⎫⎪⎝⎭.∵点B在反比例函数图象上，∴kaak223=，∴a2=2k. ∴点B的坐标为（a2，a）.设直线OA的解析式为y=mx，则m·2a=a，∴m=2.∴直线OA的解析式为y=2x．18．某种商品每件的标价为240元，按标价的八折销售时，每件仍能获利20%，则这种商品每件的进价为元．【答案】160【解析】设这种商品每件的进价为x元，由题意得，240×0.8﹣x=20%x，解得：x=160，即每件商品的进价为160元．19．⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为．【答案】1或3【解析】如图所示：∵⊙O 的半径为2，弦BC=23，点A 是⊙O 上一点，且AB=AC ，∴AD ⊥BC ，∴BD=BC=3，在Rt △OBD 中，∵BD 2+OD 2=OB 2，即（3）2+OD 2=22，解得OD=1， ∴当如图1所示时，AD=OA ﹣OD=2﹣1=1；当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．故答案为：1或3．20．如图，在△ABC 中，AC=BC=8，∠C=90°，点D 为BC 中点，将△ABC 绕点D 逆时针旋转45°，得到△A ′B ′C ′，B ′C ′与AB 交于点E ，则S 四边形ACDE = ．【答案】28【解析】由题意可得：∠B=∠BDE=45°，BD=4，则∠DEB=90°，∴BE=DE=22，∴S △BDE =21×22×22=4，∵S △ACB =21×AC ×BC=32，∴S 四边形ACDE =S △ACB ﹣S △BDE =28． 21．分式方程x x 1x 2x -=+的解为x= ． 【答案】2．【解析】去分母得：x 2=x 2﹣x+2x ﹣2，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 0的坐标为（1，0），将线段OM 0绕原点O 逆时针方向旋转45°，再将其延长到M 1，使得M 1M 0⊥OM 0，得到线段OM 1；又将线段OM 1绕原点O 逆时针方向旋转45°，再将其延长到M 2，使得M 2M 1⊥OM 1，得到线段OM 2；如此下去，得到线段OM 3，OM 4，OM 5，…根据以上规律，请直接写出OM 2014的长度为 ．【答案】21007．【解析】∵点M 0的坐标为（1，0），∴OM 0=1．∵线段OM 0绕原点O 逆时针方向旋转45°，M 1M 0⊥OM 0，∴△OM 0M 1是等腰直角三角形．∴OM 1OM 0同理，OM 21=2，OM 3OM 2=3，…，OM 2014OM 2013=2014=21007．三、解答题23．（1）计算：(1014sin4512-⎛⎫-︒-+ ⎪⎝⎭ （2）先化简，再求值：()()()2a a 3b a b a a b -++--，其中1a 1b 2==-，．【答案】（1）10；（2）54.【解析】（1）(1014sin45124112-⎛⎫-︒-+=--+ ⎪⎝⎭. （2）()()()2222222a a 3b a b a a b a 3ab a 2ab b a ab a b -++--=-+++-+=+. 当1a 1b 2==-，时，原式=2211511244⎛⎫+-=+= ⎪⎝⎭. 24．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt △ABC 的三个顶点A （﹣2，2），B （0，5），C （0，2）．（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，得到△A 1B 1C ，请画出△A 1B 1C 的图形．（2）平移△ABC ，使点A 的对应点A 2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A 2B 2C 2的图形．（3）若将△A 1B 1C 绕某一点旋转可得到△A 2B 2C 2，请直接写出旋转中心的坐标．【答案】（1）图形见解析；(2)图形见解析；(3)旋转中心坐标（0，﹣2）．【解析】（1）如图所示：△A1B1C即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；（3）旋转中心坐标（0，﹣2）．25．海南有丰富的旅游产品．某校九年级（1）班的同学就部分旅游产品的喜爱情况对游客随机调查，要求游客在列举的旅游产品中选出喜爱的产品，且只能选一项，以下是同学们整理的不完整的统计图：根据以上信息完成下列问题：（1）请将条形统计图补充完整；（2）随机调查的游客有人；在扇形统计图中，A部分所占的圆心角是度；（3）请根据调查结果估计在1500名游客中喜爱黎锦的约有人．【答案】（1）补图见解析；（2）400， 72°；（3）420.【解析】（1）∵喜爱B产品的人数为60÷15%-80-72-60-76=112（人），∴将条形统计图补充完整如下：（2）400， 72°.（3）420.26．已知某市2013年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图．（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；（2）若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量；（3）为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2013年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收x20元，若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．【答案】（1）y=6x ﹣100；（2）120吨；（3）100吨．【解析】（1）设y 关于x 的函数关系式y=kx+b ，∵直线y=kx+b 经过点（50，200），（60，260），∴50k b 20060k b 260+=⎧⎨+=⎩，解得k 6b 100=⎧⎨=-⎩.∴y 关于x 的函数关系式是y=6x ﹣100. （2）由图可知，当y=620时，x ＞50，∴6x ﹣100=620，解得x=120．答：该企业2013年10月份的用水量为120吨．（3）由题意得，()x 6x 100x 8060020-+-=，化简得x 2+40x ﹣14000=0 解得：x 1=100，x 2=﹣140（不合题意，舍去）．答：这个企业2014年3月份的用水量是100吨．27．如图，在平面直角坐标系中，⊙M 过原点O ，与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，3），点C 为劣弧AO 的中点，连接AC 并延长到D ，使DC=4CA ，连接BD ．（1）求⊙M 的半径；（2）证明：BD 为⊙M 的切线；（3）在直线MC 上找一点P ，使|DP ﹣AP|最大．【答案】（1）52；（2）证明见解析；（3）取点A 关于直线MC 的对称点O ，连接DO 并延长交直线MC 于P ，此P 点为所求，且线段DO 的长为|DP ﹣AP|．【解析】（1）∵由题意可得出：OA 2+OB 2=AB 2，AO=4，BO=3，∴AB=5．∴圆的半径为52． （2）由题意可得出：M （2，32）．∵C 为劣弧AO 的中点，由垂径定理且 MC=52，故 C （2，﹣1）．如答图1，过 D 作 DH ⊥x 轴于 H ，设 MC 与 x 轴交于 N ，则△ACN ∽△ADH ，又∵DC=4AC ，∴ DH=5NC=5，HA=5NA=10．∴D （﹣6，﹣5）．设直线BD 表达式为：y=ax+b ，则6k b 5b 3-+=-⎧⎨=⎩，解得：4k 3b 3⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴直线BD 表达式为：y=43x+3． 设 BD 与 x 轴交于Q ，则Q （9,04- ）．∴OQ=94．∴2515AQ ,BQ 44== ． ∵222225625BQ ,AB 25,AQ 1616=== ，∴222BQ AB AQ +=．∴△ABQ 是直角三角形，即∠ABQ=90°． ∴BD ⊥AB ，BD 为⊙M 的切线．（3）如答图2，取点A 关于直线MC 的对称点O ，连接DO 并延长交直线MC 于P ，此P 点为所求，且线段DO 的长为|DP ﹣AP|的最大值．设直线DO 表达式为 y=kx ，∴﹣5=﹣6k ，解得：k=56．∴直线DO 表达式为 y=56x 又∵在直线DO 上的点P 的横坐标为2，∴y=53．∴P （2，53）．此时|DP ﹣28．如图，在平面直角坐标系中，A 是抛物线21y x 2=上的一个动点，且点A 在第一象限内．AE ⊥y 轴于点E ，点B 坐标为（0，2），直线AB 交x 轴于点C ，点D 与点C 关于y 轴对称，直线DE 与AB 相交于点F ，连结BD ．设线段AE 的长为m ，△BED 的面积为S ．（1）当m =S 的值．（2）求S 关于()m m 2≠的函数解析式．（3）①若S AF BF 的值； ②当m ＞2时，设AF k BF=，猜想k 与m 的数量关系并证明．【答案】（1；（2）()S m m >0,m 2=≠ ；（3）①34；②21k m 4=，证明见解析． 【解析】（1）∵点A 是抛物线21y x 2=上的一个动点，AE ⊥y 轴于点E ，且AE m =，∴点A 的坐标为21m,m 2⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴当m =A 的坐标为)1． ∵点B 的坐标为()0,2 ，∴BE=OE=1．∵AE ⊥y 轴，∴AE ∥x 轴． ∴△ABE ∽△CBO ．∴AE BE CO BO=12=，解得CO =∵点D 与点C 关于y 轴对称，∴DO CO ==∴11S BE DO 122=⋅=⋅⋅．（2）①当0<m <2时，如图，∵点D 与点C 关于y 轴对称，∴△DBO ≌△CBO ．∵△ABE ∽△CBO ，∴△ABE ∽△DBO ．∴BE BOAE DO =．∴BE DO AE BO 2m ⋅=⋅= ∴11S BE DO 2m m 22=⋅=⋅=．②当m >2时，如图，同①可得11S BE DO AE OB m 22=⋅=⋅=综上所述，S 关于m 的函数解析式()S m m >0,m 2=≠ ．（3）①如图，连接AD ，∵△BEDS m == A的坐标为32⎫⎪⎭ ． 设ADFAEF BDF BEF S S AF k S S BF∆∆∆∆===，∴ADF BDF AEF BEF S kS ,S kS ∆∆∆∆== ． ∴()BDF BEF ADE ADF AEF BDE BDF BEF BDF BEFk S S S S S k S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆--===--．∴ADEBDE 13S AF 3k BF S 4∆∆===．②k 与m 的数量关系为21k m 4=，证明如下： 连接AD ，则 ∵ADF AEF BDF BEF S S AF k S S BF∆∆∆∆===，∴ADF BDF AEF BEF S kS ,S kS ∆∆∆∆== ． ∴()BDF BEF ADE ADF AEF BDE BDF BEF BDF BEF k S S S S S k S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆++===++． ∵点A 的坐标为21m,m 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，∴()22ADEBDE 11m m S 122k m m >2S m 4∆∆⋅===．29．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC ，它的边BC=120mm ，高AD=80mm ．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm ？小颖解得此题的答案为48mm ，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm ？请你计算．（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．【答案】（1）2407mm ，4807mm ；（2）PN=60mm ，PQ 40=mm ． 【解析】（1）设矩形的边长PN=2ymm ，则PQ=ymm ，由条件可得△APN ∽△ABC ， ∴PN AE BC AD =，即2y 80y 12080-=，解得240y 7=，∴PN=2407×2=4807（mm ）. 答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm ，4807mm. （2）设PN=xmm ，由条件可得△APN ∽△ABC ， ∴PN AE BC AD =，即x 80PQ 12080-=，即2PQ 80x 3=-. ∴()()22S PN PQ x 80x x 80x x 602400=⋅=-=-+=--+.∴S 的最大值为2400mm 2，此时PN=60mm ，2PQ 8060403=-⨯=mm ．30．荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半．（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？（2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？【答案】（1）购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元；（2）荣庆公司最多可购买21个该品牌的台灯．【解析】（1）设购买该品牌一个手电筒需要x 元，则购买一个台灯需要（x+20）元．根据题意 得2116020400⨯=+x x 解得 x=5经检验，x=5是原方程的解．所以 x+20=25．答：购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元；（2）设公司购买台灯的个数为a ，则还需要购买手电筒的个数是（2a+8）由题意得 25a+5（2a+8）≤670解得 a ≤21所以 荣庆公司最多可购买21个该品牌的台灯．31．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发．不久，第二列快车也从甲地发往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分后，第二列快车与慢车相遇．设慢车行驶的时间为x （单位：时），慢车与第一、第二列快车之间的距离y （单位：千米）与x （单位：时）之间的函数关系如图1、图2，根据图象信息解答下列问题：（1）甲、乙两地之间的距离为 千米．（2）求图1中线段CD 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（3）请直接在图2中的（ ）内填上正确的数．【答案】（1）900；（2）y=75x （6≤x ≤12）；（3）0.75，6.75．【解析】（1）由函数图象得：甲、乙两地之间的距离为900千米， 故答案为：900；（2）由题意，得：慢车速度为900÷12=75千米/时，快车速度+慢车速度=900÷4=225千米/时，快车速度=225﹣75=150千米/时，快车走完全程时间为900÷150=6小时快车到达时慢车与快车相距 6×75=450千米，∴C （6，450）．设y CD =kx+b （k ≠0，k 、b 为常数）把（6，450）（12，900）代入y CD =kx+b 中，有⎩⎨⎧=+=+450690012b k b k ，解得：⎩⎨⎧==075b k ．∴y=75x （6≤x ≤12）； （3）由题意，得4.5﹣（900﹣4.5×75）÷150=0.75，4.5+6﹣（900﹣4.5×75）÷150=6.75．故答案为：0.75，6.75．32．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点B 在x 轴正半轴上，OA 、OB 的长分别是一元二次方程x 2﹣7x+12=0的两个根（OA ＞OB ）．（1）求点D 的坐标．（2）求直线BC 的解析式．（3）在直线BC 上是否存在点P ，使△PCD 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】【解析】（1）x 2﹣7x+12=0，解得x 1=3，x 2=4，∵OA ＞OB ，∴OA=4，OB=3，过D 作DE ⊥y 于点E ，∵正方形ABCD ，∴AD=AB ，∠DAB=90°，∠DAE+∠OAB=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠ABO=∠DAE ，∵DE ⊥AE ，∴∠AED=90°=∠AOB ，∵DE ⊥AE ∴∠AED=90°=∠AOB ，∴△DAE ≌△ABO （AAS ），∴DE=OA=4，AE=O B=3，∴OE=7，∴D （4，7）；（2）过点C 作CM ⊥x 轴于点M ，同上可证得△BCM ≌△ABO ，∴CM=OB=3，BM=OA=4，∴OM=7，∴C （7，3），设直线BC 的解析式为y=kx+b （k ≠0，k 、b 为常数），代入B （3，0），C （7，3）得，⎩⎨⎧=+=+0337b k b k ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==4943b k ，∴y=43x ﹣49； （3）存在．点P与点B重合时，P1（3，0），点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．。
2015年中考数学 走出题海之黄金30题系列(第02期)专题05 考前必做基础30题(含解析)
专题05 考前必做基础30题一、选择题1．下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】B2．一款手机连续两次降价，由原来的1299元降到688元，设平均每次降价的百分率为x,则列方程为（）A．688（1+x）2=1299 B．1299（1+x）2=688C．688（1-x）2=1299 D．1299（1-x）2=688【答案】D【解析】设平均每次降价的百分率为x,则降一次后的价格是1299（1-x）元，降两次后的价格是1299（1-x）2元，因为手机连续两次降价，由原来的1299元降到688元，所以可得1299（1-x）2=688，故选D．3．三角形在正方形方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（）A．34B．43C．35D．45【答案】D【解析】根据余弦的定义可得4 cos=5αα=的邻边斜边，故选D．4．不等式组532521x x +⎧⎨-≥⎩＞的解在数轴上表示为（ ）【答案】C【解析】解不等式1得，x ＞1，解不等式2得：2x ≤，所以不等式组的解集是12x ≤＜，在数轴上表示为C ． 故选C.5．如图，∠1与∠2是（ ）A ．对顶角B ．同位角C ．内错角D ．同旁内角 【答案】B6．如图是由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则它的主视图是（ ）【答案】B【解析】主视图即正面所见的图形，上面一个，下面三个， 故选B7．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件使△ABE ≌△CDF ，则添加的条件不能是（ ）（A ）AE=CF （B ）BE=FD （C ）BF=DE （D ）∠1=∠2 【答案】A ．【解析】A 、当AE=CF 无法得出△ABE ≌△CDF ，故此选项符合题意； B 、当BE=FD ，∵平行四边形ABCD 中，∴AB=CD ，∠ABE=∠CDF ，在△ABE 和△CDF 中AB CD ABE CDF BE DF =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABE ≌△CDF （SAS ），故此选项错误； C 、当BF=ED ，∴BE=DF ，∵平行四边形ABCD 中，∴AB=CD ，∠ABE=∠CDF ，在△ABE 和△CDF 中AB CDABE CDF BE DF =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABE≌△CDF （SAS ），故此选项错误； D 、当∠1=∠2，∵平行四边形ABCD 中，∴AB=CD ，∠ABE=∠CDF ，在△ABE 和△CDF 中12AB CD ABE CDF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABE ≌△CDF （ASA ），故此选项错误； 故选A ．8．二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+236y x y x 的解是（ ）（A ）⎩⎨⎧==15y x （B ） ⎩⎨⎧-=-=15y x （C ）⎩⎨⎧==24y x （D ）⎩⎨⎧-=-=24y x【答案】C ．【解析】在方程组632x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②中，①-②得：4y=8，∴y=2．代入①，得x=4．所以原方程组的解为⎩⎨⎧==24y x故选C ．9．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9．2环，方差分别为2222s s 0.60,0.56,s 0.50,s 0.45==== 甲乙丁丙，则成绩最稳定的是（ ）（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁 【答案】D ．【解析】因为S 甲2=0．56，S 乙2=0．60，S 丙2=0．50，S 丁2=0．45，所以S 乙2＞S 甲2＞S 丙2＞S 丁2，所以丁的成绩最稳定， 故选D ．10．如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（ ）A ．180B ．90C ．120D ．60 【答案】A【解析】设底面圆的半径为r ，母线为R ，圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n ，因为圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，所以21222r R r ππ⨯⋅=，所以R=2r ，又圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，所以2180n R r ππ=,所以n=0360r R ⨯=180,故选：A ．11．已知反比例函数y ＝2k x-的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是A ．k ＞2B ．k ≥2C ．k ≤2D ．k ＜2 【答案】A【解析】因为反比例函数y ＝2k x-的图象位于第一、第三象限，所以k-2＞0，所以k ＞2 ， 故选A ．12．将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心O ，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 （ ）A ．．32【答案】A【解析】过O 点作OC ⊥AB ，垂足为D ，交⊙O 于点C ，由折叠可得，OD=CD=21OC=21OA ，所以在Rt △AOD 中，∠A=30°，又OA=OB,所以∠B=30°，所以∠AOB=180°﹣∠A ﹣∠B=120°, 所以弧AB 的长为1803120⨯π=2π，设围成的圆锥的底面半径为r ，则2πr=2π，所以r=1cm ．所以圆锥的高=2213-=22，故选A ． 二、填空题13．中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下：1个帅，5个兵，“士、象、马、车、炮”各两个，将所有棋子反面朝上放在棋盘中，任取一个不是．．士、象、帅的概率是__________． 【答案】1116【解析】一共有16个棋子，士、象、帅共5个，所以任取一个不是．．士、象、帅的概率是=165111616-=． 14．函数12-+=x x y 中自变量x 的取值范围是 ． 【答案】x ≥-2 且x ≠1 【解析】当2010x x +≥⎧⎨-≠⎩时，函数12-+=x x y 有意义，解得x ≥-2 且x ≠1 ，即自变量x 的取值范围是x ≥-2 且x ≠1．15．计算：1112+-+a a a = ． 【答案】a-1【解析】原式=()()111111-2-=+-+=+a a a a a a 16．某种生物孢子的直径为0．00058米,把0．00058用科学记数法表示为______________． 【答案】5.8×10-4. 【解析】0.00058=5.8×10-4. 17．分式方程3121x =-的解是 ． 【答案】x=2．【解析】去分母得：3=2x-1，解得x=2．检验：将x=2代入x+1=3≠0．所以可得x=2是原方程的解． 18．某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%．若该书的进价为21元，则标价为 元． 【答案】28【解析】设标价为x 元，由题意可得：20%21(1)90%x ⨯+=，解得x=28元．19．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是_______________．（只需写出一个）【答案】∠ABC=90°．【解析】根据对角线互相平分可得四边形为平行四边形，再根据有一个角为直角的四边形为矩形得出答案． 20．二次函数622+-=x x y 的最小值是 ． 【答案】5【解析】∵二次函数y=x 2-2x+6可化为y=（x-1）2+5的形式， ∴二次函数y=x 2-2x+6的最小值是5．21．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD= ．【答案】38°．【解析】根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB=90°，根据∠ABD=58°可得∠A=32°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BCD=∠A=32°．22．如图，是用火柴棒拼成的图形，第1个图形需3根火柴棒，第2个图形需5根火柴棒，第3个图形需7根火柴棒，第4个图形需 根火柴棒，……，则第n 个图形需 根火柴棒。
2015年海南省中考数学试卷(解析版)
海南省2015年初中毕业生学业考试数学科试题（考试时间:100分钟满分：120分）一、选择题（每小题3分，共42分）1．（2015•海南）﹣2015的倒数是（）A．﹣B．C．﹣2015 D．20152．（2015•海南）下列运算中，正确的是（）A．a2+a4=a6 B．a6÷a3=a2 C．（﹣a4）2=a6 D．a2•a4=a63．（2015•海南）已知x=1，y=2，则代数式x﹣y的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣34．（2015•海南）有一组数据：1，4，﹣3，3，4，这组数据的中位数为（）A．﹣3 B．1 C．3 D．45．（2015•海南）如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体．则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．6．（2015•海南）据报道，2015年全国普通高考报考人数约为9 420 000人，数据9 420 000用科学记数法表示为9.42×10n，则n的值是（）A．4 B．5 C． 6 D．77．（2015•海南）如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB=DC，AC=DB B．AB=DC，∠ABC=∠DCBC．BO=CO，∠A=∠D D．AB=DC，∠A=∠D8．（2015•海南）方程=的解为（）A．x=2 B．x=6 C．x=﹣6 D．无解9．（2015•海南）某企业今年1月份产值为x万元，2月份比1月份减少了10%，3月份比2月份增加了15%，则3月份的产值是（）A．（1﹣10%）（1+15%）x万元B．（1﹣10%+15%）x万元C．（x﹣10%）（x+15%）万元D．（1+10%﹣15%）x万元10．（2015•海南）点A（﹣1，1）是反比例函数y=的图象上一点，则m的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．111．（2015•海南）某校幵展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督导，恰好选中两名男学生的概率是（）A．B．C．D．12．（2015•海南）甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）A．甲、乙两人进行1000米赛跑B．甲先慢后快，乙先快后慢C．比赛到2分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等D．甲先到达终点13．（2015•海南）如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对14．（2015•海南）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45° B．30° C．75° D．60°二、填空题（每小题4分，共16分）15．（2015•海南）分解因式：x2﹣9=．16．（2015•海南）点（﹣1，y1）、（2，y2〕是直线y=2x+1上的两点，则y1y2（填“＞”或“=”或“＜”）17．（2015•海南）如图，在平面直角坐标系中，将点P（﹣4，2）绕原点顺时针旋转90°，则其对应点Q的坐标为．18．（2015•海南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为．三、解答题（本题共6小题，共62分）19．（2015•海南）（1）计算：（﹣1）3﹣﹣12×2﹣2；（2）解不等式组：．20．（2015•海南）小明想从“天猫”某网店购买计算器，经査询，某品牌A号计算器的单价比B型号计算器的单价多10元，5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同，问A、B两种型号计算器的单价分别是多少？21．（2015•海南）为了治理大气污染，我国中部某市抽取了该市2014年中120天的空气质量指数，绘制了如下不完整的统计图表：空气质量指数统计表级别指数天数百分比优0﹣50 24 m良51﹣100 a 40%轻度污染101﹣150 18 15%中度污染151﹣200 15 12.5%重度污染201﹣300 9 7.5%严重污染大于300 6 5%合计120 100%请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：（1）空气质量指数统计表中的a=，m=；（2）请把空气质量指数条形统计图补充完整：（3）若绘制“空气质量指数扇形统计图”，级别为“优”所对应扇形的圆心角是度；（4）估计该市2014年（365天）中空气质量指数大于100的天数约有天．22．（2015•海南）如图，某渔船在小岛O南偏东75°方向的B处遇险，在小岛O南偏西45°方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援，此时，中国渔政船与小岛O相距8海里，渔船在中国渔政船的正东方向上．（1）求∠BAO与∠ABO的度数（直接写出答案）；（2）若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能否在1小时内赶到？请说明理由．（参考數据：tan75°≈3.73，tan15°≈0.27，≈1.41，≈2.45）23．（2015•海南）如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC 的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．（1）求证：△ADP≌△ECP；（2）若BP=n•PK，试求出n的值；（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明△MON 是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．24．（2015•海南）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD 平行GC交y轴于点D．（1）求该二次函数的表达式；（2）求证：四边形ACHD是正方形；（3）如图2，点M（t，p）是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M 的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N．①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；②若△CMN的面积等于，请求出此时①中S的值．2015年海南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共42分）1．（2015•海南）﹣2015的倒数是（）A．﹣B．C．﹣2015 D．2015考点：倒数．分析：根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．解答：解：∵﹣2015×（﹣）=1，∴﹣2015的倒数是﹣，故选：A．点评：本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为倒数．2．（2015•海南）下列运算中，正确的是（）A．a2+a4=a6 B．a6÷a3=a2 C．（﹣a4）2=a6 D．a2•a4=a6考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．解答：解：A、a2•a4=a6，故错误；B、a6÷a3=a3，故错误；C、（﹣a4）2=a8，故错误；D、正确；故选：D．点评：本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．3．（2015•海南）已知x=1，y=2，则代数式x﹣y的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3考点：代数式求值．分析：根据代数式的求值方法，把x=1，y=2代入x﹣y，求出代数式x﹣y的值为多少即可．解答：解：当x=1，y=2时，x﹣y=1﹣2=﹣1，即代数式x﹣y的值为﹣1．故选：B．点评：此题主要考查了代数式的求法，采用代入法即可，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．4．（2015•海南）有一组数据：1，4，﹣3，3，4，这组数据的中位数为（）A．﹣3 B．1 C．3 D．4考点：中位数．分析：根据中位数的定义，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数求解即可．解答：解：将这组数据从小到大排列为：﹣3，1，3，4，4，中间一个数为3，则中位数为3．故选C．点评：本题为统计题，考查中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．5．（2015•海南）如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体．则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．解答：解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形，故选：B．点评：本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．6．（2015•海南）据报道，2015年全国普通高考报考人数约为9 420 000人，数据9 420 000用科学记数法表示为9.42×10n，则n的值是（）A．4 B． 5 C． 6 D．7考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值，由于有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．解答：解：∵9420000=9.42×106，∴n=6．故选C．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7．（2015•海南）如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB=DC，AC=DB B．AB=DC，∠ABC=∠DCBC．BO=CO，∠A=∠D D．AB=DC，∠A=∠D考点：全等三角形的判定．分析：本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．解答：解：根据题意知，BC边为公共边．A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、由BO=CO可以推知∠ACB=∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．故选：D．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．（2015•海南）方程=的解为（）A．x=2 B．x=6 C．x=﹣6 D．无解考点：解分式方程．专题：计算题．分析：本题考查解分式方程的能力，观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解．解答：解：方程两边同乘以x（x﹣2），得3（x﹣2）=2x，解得x=6，将x=6代入x（x﹣2）=24≠0，所以原方程的解为：x=6，故选B．点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．9．（2015•海南）某企业今年1月份产值为x万元，2月份比1月份减少了10%，3月份比2月份增加了15%，则3月份的产值是（）A．（1﹣10%）（1+15%）x万元B．（1﹣10%+15%）x万元C．（x﹣10%）（x+15%）万元D．（1+10%﹣15%）x万元考点：列代数式．分析：根据3月份、1月份与2月份的产值的百分比的关系列式计算即可得解．解答：解：3月份的产值为：（1﹣10%）（1+15%）x万元．故选A点评：本题考查了列代数式，理解各月之间的百分比的关系是解题的关键．10．（2015•海南）点A（﹣1，1）是反比例函数y=的图象上一点，则m的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：把点A（﹣1，1）代入函数解析式，即可求得m的值．解答：解：把点A（﹣1，1）代入函数解析式得：1=，解得：m+1=﹣1，解得m=﹣2．故选B．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．11．（2015•海南）某校幵展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督导，恰好选中两名男学生的概率是（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中两名男学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，恰好选中两名男学生的有2种情况，∴恰好选中两名男学生的概率是：=．故选A．点评：此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．（2015•海南）甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）A．甲、乙两人进行1000米赛跑B．甲先慢后快，乙先快后慢C．比赛到2分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等D．甲先到达终点考点：函数的图象．分析：根据给出的函数图象对每个选项进行分析即可．解答：解：从图象可以看出，甲、乙两人进行1000米赛跑，A说法正确；甲先慢后快，乙先快后慢，B说法正确；比赛到2分钟时，甲跑了500米，乙跑了600米，甲、乙两人跑过的路程不相等，C说法不正确；甲先到达终点，D说法正确，故选：C．点评：本题考查的是函数的图象，从函数图象获取正确的信息是解题的关键．13．（2015•海南）如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质．分析：利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．故选：D．点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．14．（2015•海南）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45° B．30° C．75° D．60°考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=OA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．解答：解：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，∴OD=CD，∴OD=OC=OA，∴∠OAD=30°，而OA=OB，∴∠CBA=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=∠AOB=60°．故选D．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质．二、填空题（每小题4分，共16分）15．（4分）（2015•海南）分解因式：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．考点：因式分解-运用公式法．分析：本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．解答：解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．故答案为：（x+3）（x﹣3）．点评：主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．16．（4分）（2015•海南）点（﹣1，y1）、（2，y2〕是直线y=2x+1上的两点，则y1＜y2（填“＞”或“=”或“＜”）考点：一次函数图象上点的坐标特征．分析：根据k=2＞0，y将随x的增大而增大，得出y1与y2的大小关系．解答：解：∵k=2＞0，y将随x的增大而增大，2＞﹣1，∴y1＜y2．故y1与y2的大小关系是：y1＜y2．故答案为：＜点评：本题考查一次函数的图象性质，关键是根据当k＞0，y随x增大而增大；当k＜0时，y将随x的增大而减小．17．（4分）（2015•海南）如图，在平面直角坐标系中，将点P（﹣4，2）绕原点顺时针旋转90°，则其对应点Q的坐标为（2，4）．考点：坐标与图形变化-旋转．分析：首先求出∠MPO=∠QON，利用AAS证明△PMO≌△ONQ，即可得到PM=ON，OM=QN，进而求出Q点坐标．解答：解：作图如右，∵∠MPO+∠POM=90°，∠QON+∠POM=90°，∴∠MPO=∠QON，在△PMO和△ONQ中，∵，∴△PMO≌△ONQ，∴PM=ON，OM=QN，∵P点坐标为（4，2），∴Q点坐标为（2，4），故答案为（2，4）．点评：此题主要考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握旋转后对应线段相等．18．（4分）（2015•海南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为14．考点：矩形的性质．分析：运用平移个观点，五个小矩形的上边之和等于AD，下边之和等于BC，同理，它们的左边之和等于AB，右边之和等于DC，可知五个小矩形的周长之和为矩形ABCD的周长．解答：解：将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，则五个小矩形的周长之和=2（AB+BC）=2×（3+4）=14．故答案为：14．点评：本题考查了平移的性质，矩形性质，勾股定理的运用．关键是运用平移的观点，将小矩形的四边平移，与大矩形的周长进行比较．三、解答题（本题共6小题，共62分）19．（10分）（2015•海南）（1）计算：（﹣1）3﹣﹣12×2﹣2；（2）解不等式组：．考点：实数的运算；负整数指数幂；解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．解答：解：（1）原式=﹣1﹣3﹣12×=﹣1﹣3﹣3=﹣7；（2），由①得：x≤2，由②得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（8分）（2015•海南）小明想从“天猫”某网店购买计算器，经査询，某品牌A号计算器的单价比B型号计算器的单价多10元，5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同，问A、B两种型号计算器的单价分别是多少？考点：一元一次方程的应用．分析：设A号计算器的单价为x元，则B型号计算器的单价是（x﹣10）元，依据“5台A 型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同”列出方程并解答．解答：解：设A号计算器的单价为x元，则B型号计算器的单价是（x﹣10）元，依题意得：5x=7（x﹣10），解得x=35．所以35﹣10=25（元）．答：A号计算器的单价为35元，则B型号计算器的单价是25元．点评：本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．21．（8分）（2015•海南）为了治理大气污染，我国中部某市抽取了该市2014年中120天的空气质量指数，绘制了如下不完整的统计图表：空气质量指数统计表级别指数天数百分比优0﹣50 24 m良51﹣100 a 40%轻度污染101﹣150 18 15%中度污染151﹣200 15 12.5%重度污染201﹣300 9 7.5%严重污染大于300 6 5%合计120 100%请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：（1）空气质量指数统计表中的a=48，m=20%；（2）请把空气质量指数条形统计图补充完整：（3）若绘制“空气质量指数扇形统计图”，级别为“优”所对应扇形的圆心角是72度；（4）估计该市2014年（365天）中空气质量指数大于100的天数约有146天．考点：条形统计图；用样本估计总体；统计表；扇形统计图．分析：（1）用24÷120，即可得到m；120×40%即可得到a；（2）根据a的值，即可补全条形统计图；（3）用级别为“优”的百分比×360°，即可得到所对应的圆心角的度数；（4）根据样本估计总体，即可解答．解答：解：（1）a=120×40%=48，m=24÷120=20%．故答案为：48，20%；（2）如图所示：（3）360°×20%=72°．故答案为：72；（4）365×=146（天）．故答案为：146．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（9分）（2015•海南）如图，某渔船在小岛O南偏东75°方向的B处遇险，在小岛O南偏西45°方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援，此时，中国渔政船与小岛O相距8海里，渔船在中国渔政船的正东方向上．（1）求∠BAO与∠ABO的度数（直接写出答案）；（2）若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能否在1小时内赶到？请说明理由．（参考數据：tan75°≈3.73，tan15°≈0.27，≈1.41，≈2.45）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：（1）作OC⊥AB于C，根据方向角的定义得到∠AOC=45°，∠BOC=75°，由直角三角形两锐角互余得出∠BAO=90°﹣∠AOC=45°，∠ABO=90°﹣∠BOC=15°；（2）先解Rt△OAC，得出AC=OC=OA≈5.64海里，解Rt△OBC，求出BC=OC•tan∠BOC≈21.0372海里，那么AB=AC+BC≈26.6772海里，再根据时间=路程÷速度求出中国渔政船赶往B处救援所需的时间，与1小时比较即可求解．解答：解：（1）如图，作OC⊥AB于C，由题意得，∠AOC=45°，∠BOC=75°，∵∠ACO=∠BCO=90°，∴∠BAO=90°﹣∠AOC=90°﹣45°=45°，∠ABO=90°﹣∠BOC=90°﹣75°=15°；（2）若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能在1小时内赶到．理由如下：∵在Rt△OAC中，∠ACO=90°，∠AOC=45°，OA=8海里，∴AC=OC=OA≈4×1.41=5.64海里．∵在Rt△OBC中，∠BCO=90°，∠BOC=75°，OC=4海里，∴BC=OC•tan∠BOC≈5.64×3.73=21.0372海里，∴AB=AC+BC≈5.64+21.0372=26.6772海里，∵中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，∴中国渔政船所需时间：26.6772÷28≈0.953小时＜1小时，故若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能在1小时内赶到．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，直角三角形的性质，锐角三角函数定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．（13分）（2015•海南）如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．（1）求证：△ADP≌△ECP；（2）若BP=n•PK，试求出n的值；（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明△MON 是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．考点：四边形综合题．分析：（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理证明结论；（2）作PI∥CE交DE于I，根据点P是CD的中点证明CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质证明结论；（3）作OG⊥AE于G，根据平行线等分线段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，证明△MON 是等腰三角形，根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠MON的度数．解答：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，在△ADP和△ECP中，，∴△ADP≌△ECP；（2）如图1，作PI∥CE交DE于I，则=，又点P是CD的中点，∴=，∵△ADP≌△ECP，∴AD=CE，∴==，∴BP=3PK，∴n=3；（3）如图2，作OG⊥AE于G，∵BM丄AE于，KN丄AE，∴BM∥OG∥KN，∵点O是线段BK的中点，∴MG=NG，又OG⊥MN，∴OM=ON，即△MON是等腰三角形，由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP=，则AP=，根据三角形面积公式，BM=，由（2）得，PB=3PO，∴OG=BM=，MG=MP=，tan∠MOG==，∴∠MOG=60°，∴∠MON的度数为120°．点评：本题考查的是菱形的性质和相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用判定定理和性质定理是解题的关键，注意锐角三角函数在解题中的运用．24．（14分）（2015•海南）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD平行GC交y轴于点D．（1）求该二次函数的表达式；（2）求证：四边形ACHD是正方形；（3）如图2，点M（t，p）是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M 的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N．①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；②若△CMN的面积等于，请求出此时①中S的值．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），应用待定系数法，求出a、b的值，即可求出二次函数的表达式．（2）首先分别求出点C、G、H、D的坐标；然后判断出AO=CO=DO=HO=3，AH⊥CD，判断出四边形ACHD是正方形即可．（3）①作ME⊥x轴于点E，作MF⊥y轴于点F，根据四边形ADCM的面积为S，可得S=S+S△AOD，再分别求出S四边形AOCM、S△AOD即可．四边形AOCM②首先设点N的坐标是（t1，p1），则NI=|t1|，所以S△CMN=S△COM+S△CON=（|t|+|t1|），再根据t＜0，t1＞0，可得S△CMN=（|t|+|t1|）==，据此求出t1﹣t=；然后求出k1、k2的值是多少，进而求出t1、t2的值是多少，再把它们代入S关于t的函数表达式，求出S的值是多少即可．解答：解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），∴解得∴二次函数的表达式为y=﹣x2﹣2x+3．（2）如图1，，∵二次函数的表达式为y=﹣x2﹣2x+3，∴点C的坐标为（0，3），∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴点G的坐标是（﹣1，4），∵点C的坐标为（0，3），∴设CG所在的直线的解析式是y=mx+3，则﹣m+3=4，∴m=﹣1，∴CG所在的直线的解析式是y=﹣x+3，∴点H的坐标是（3，0），设点D的坐标是（0，p），则，∴p=﹣3，∵AO=CO=DO=HO=3，AH⊥CD，∴四边形ACHD是正方形．（3）①如图2，作ME⊥x轴于点E，作MF⊥y轴于点F，，∵四边形ADCM的面积为S，∴S=S四边形AOCM+S△AOD，∵AO=OD=3，∴S△AOD=3×3÷2=4.5，∵点M（t，p）是y=kx与y=﹣x2﹣2x+3在第二象限内的交点，∴点M的坐标是（t，﹣t2﹣2t+3），∵ME=﹣t2﹣2t+3，MF=﹣t，∴S四边形AOCM=×3×（﹣t2﹣2t+3）=﹣t2﹣t+，∴S=﹣t2﹣t++4.5=﹣t2﹣t+9，﹣3＜t＜0．②如图3，作NI⊥x轴于点I，，设点N的坐标是（t1，p1），则NI=|t1|，∴S△CMN=S△COM+S△CON=（|t|+|t1|），∵t＜0，t1＞0，∴S△CMN=（|t|+|t1|）==，，联立可得x2﹣（k+2）x﹣3=0，∵t1、t是方程的两个根，∴∴=﹣4t1t=（k+2）2﹣4×（﹣3）==，解得，，a、k=﹣时，由x2+（2﹣）x﹣3=0，解得x1=﹣2，或（舍去）．b、k=﹣时，由x2+（2﹣）x﹣3=0，解得x3=﹣，或x4=2（舍去），∴t=﹣2，或t=﹣，t=﹣2时，S=﹣t2﹣t+9=﹣×4﹣×（﹣2）+9=12t=﹣时，S=﹣×﹣×+9=，∴S的值是12或．点评：（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合方法的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．（2）此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法，以及方程的根与系数的关系，要熟练掌握．（3）此题还考查了三角形的面积的求法，以及正方形的判定和性质的应用，要熟练掌握．。
2015年高考数学走出题海之黄金30题系列(第01期)专题03最有可能考30题理(含解析)
2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题三 最有可能考的30题1.设全集U R =，集合{}02x x A =<≤，{}1x x B =<，则集合()U C AB =（ ）A ．(],2-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：∵集合{}02x x A =<≤，{}1x x B =<，∴(,2]A B =-∞，∴ ()(2,)U C A B =+∞.2.命题“12sin ,>∈∀x R x ”的否定是( ) A. 12sin ,≤∈∀x R x B. 12sin ,>∉∀x R x C. 12sin ,0≤∈∃x R x D. 12sin ,0>∉∃x R x 【答案】C【解析】先改写量词，再对结论进行否定，故“12sin ,>∈∀x R x ”的否定是“12sin ,0≤∈∃x R x ”3.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x =+，则(1)f -=（A ）2- （B ）0 （C ）1（D ）2【答案】A 【解析】试题分析：由已知2)1()1(-=-=-f f4.函数()f x =的定义域是（ ）A ．()0,2B ．[]0,2C ．()()0,11,2D ．[)(]0,11,2【答案】D 【解析】试题分析：由22010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得021x x ≤≤⎧⎨≠⎩，故01x ≤<，或12x <≤，∴函数()f x 的定义域为[)(]0,11,2.5.设0.14a =，3log 0.1b =，0.10.5c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >> 【答案】B 【解析】试题分析：设函数4x y =，3log y x =，0.5x y =， 由指数函数、对数函数的性质可知1a >，0b <，01c <<．6.曲线323y x x =-+在点1x =处的切线方程为 ． 【答案】310x y --= 【解析】试题分析：∵2'36y x x =-+，∴1'|363x y ==-+=，切点（1，2），∴所求切线方程为23(1)y x -=-，即310x y --=．7.下列图象中，可能是函数x xx xe e y e e ---=+图象的是【答案】A【解析】0)0(=f ，所以排除选项C,D ；12111222+-=+-=x x x e e e y 在定义域上为增函数，所以选A.8.在△ABC 中,已知3C π=,4b =,△ABC 的面积为则c =（ ☆ ）【答案】C【解析】 试题分析：232232sin 21=⇒=⨯==a a C ab S ，由余弦定理得12cos 2222=-+=C ab b ac ， 故32=c9.已知函数()sin(2))f x x ϕϕπ=+<（的图象向左平移6π个单位后得到()cos(2)6g x x π=+的图象，则ϕ的值为（ ）A.23π-B.3π- C.3π D.23π【答案】C. 【解析】试题分析：由题意得()=sin[2()]6g x x πϕ++，又∵2()cos(2)=sin(2)63g x x x ππ=++， ∴2+=233k ππϕπ+，即=23k πϕπ+，k Z ∈，∵ϕπ<，∴=3πϕ，故选C. 10.已知(1,3)a =-，(1,)b t =，若(2)a b a -⊥，则||b = .【解析】试题分析：∵(1,3)a =-，(1,)b t =，∴2(3,32)a b t -=--，∵(2)a b a -⊥， ∴(2)0a b a -∙=，即(1)(3)3(32)0t -⨯-+-=，即2t =，∴(1,2)b =，∴2||12b =+=11.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点， AE 与BD 交于点M ，AB 1AD =，且16MA MB ⋅=-，则AB AD ⋅= ．【答案】34【解析】试题分析：2121122()()()()()()3333333MA MB MD DA DB BD DA DB AD AB DA AB AD ⋅=+⋅=+⋅=-+⋅-22212242221()()333399996AD AB AB AD AD AB AB AD AB AD =--⋅-=--⋅=-⋅=-,AB AD ⋅=3412.设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知38S =，67S =，则789a a a ++= （A ）578 （B ）558 （C ）18（D ）18- 【答案】C 【解析】试题分析：因{}n a 为等比数列，故69363,,S S S S S --也成等比数列，所以()⇒-=-)(693236S S S S S8169=-S S 13.已知x ，y 满足22y x x y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩，且的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A.34B.14C.211D.4【答案】B14.若过点()2P --的直线与圆224x y +=有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A. 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B. 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 0,3π⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】试题分析：设直线l过点()2P --，直线l 的倾斜角为α，当2πα≠时，直线l 的斜率tan k α=，则直线l 的方程可写成：(2y k x +=+即：20kx y -+-=，由直线l 与圆224x y +=有公共2≤，(80k k ⇔≤，解得00tan 0,k ααπ≤≤≤≤<，03πα∴≤≤，故选B ．15.已知0a ≠,直线(2)40ax b y +++=与直线(2)30ax b y +--=互相垂直，则ab 的最大值为 A ．0 BC ．4D ．2【答案】D 【解析】试题分析：由直线垂直可得()()2220a b b ++-=，变形可得224a b +=，由基本不等式可得2242a b ab =+≥，∴2ab ≤，当且仅当a b ==时取等号，∴ab 的最大值为：2.16.圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a = ▲ ． 【答案】-4； 【解析】试题分析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r 2＝2－a ，则圆心(－1，1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离由22＋2＝2－a ，得a ＝－4.17.已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△1PFQ 的周长为（ ）A B ． D ．【答案】A 【解析】试题分析：因为2c ==，所以()2F 2,0，因为点P 的横坐标为2，所以Q x P ⊥轴，由22213y -=，解得y =，所以Q P =P 、Q 在双曲线C 上，所以12F F P -P =12QF QF -=1122F QF F QF Q P +=P +=P ==，所以△1PFQ 的周长为11FQF Q P ++P ==，故选A ． 18.设斜率为22的直线l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 交于不同的两点,P Q ，若点,P Q 在x 轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是【解析】试题分析：根据题意可知：22,,,b b P c Q c a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2PQ k =即：22b ac =再结合：222c a b =+，解得ca=19.已知n m ,是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是A.若,,//αγαβγβ⊥⊥则B.若//,,,//m n m n αβαβ⊂⊂则C.若//,//,//m n m n αα则D.若//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥则 【答案】D. 【解析】试题分析：用反例来说明：对于选项A ，在正方体1111D C B A ABCD -中，设=α平面11A ADD ，=β平面11A ABB ，=γ平面ABCD ，而AB =⋂βγ，并不满足γ∥β，所以选项A 不正确；对于选项A ，在正方体1111D C B A ABCD -中，设=α平面11A ADD ，=β平面11A ABB ，1AA m =，1BB n =，此时也不满足α∥β，所以选项B 不正确；对于选项C ，1BB m =，1AA n =，=α平面11A ADD ，此时α⊂n ，所以选项C 不正确；对于选项D ，因为m ∥n ，α⊥m ，所以α⊥n ，又因为β⊥n ，所以α∥β，所以选项D 正确.20.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为 A. 37πB. 35πC. 33πD. 31π【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是由一个倒立的圆锥和一个半球组合而成，其中半球和圆锥的底面半径都为3，圆锥的母线长为5，则几何体的表面积为πππππ33151822=+=+=Rl R S . 21.有5名同学站成一排照相，则甲与乙且甲与丙都相邻的不同排法种数是 (A)8 (B)12 (C)36(D)48【答案】B 【解析】试题分析：5名同学站成一排照相，则甲与乙且甲与丙都相邻，只需乙、丙分别在甲的两边相邻位置，可采用“捆绑法”解决，但乙、丙可以换位置，12233=A . 22.10)1)(1(x x -+ 展开式中3x 的系数为_________．【答案】-75. 【解析】试题分析：因为10)1(x -的展开式的通项为：r r r x C T )(101-=+，当第一项取1时，此时10)1)(1(x x -+展开式中3x 的系数为10)1(x -的展开式的3x 的系数即3103310)1(C C -=-；当第二项取x 时，此时10)1)(1(x x -+展开式中3x 的系数为10)1(x -的展开式的2x 的系数即2102210)1(C C =-；所以所求式子中展开式中3x 的系数为-75.故应填-75.23.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是 A. 2016B. 2C.12D. 1-【答案】A 【解析】试题分析：第一次循环0,2==k s ，第一次循环0,2==k s ，第一次循环0,2==k s ，第一次循环0,2==k s ，故应选A.24.若复数z 与23i +互为共轭复数，则复数z 的模||z ＝( ).A ．5 C ．7 D ． 13 【答案】A 【解析】试题分析：复数bi a +与bi a -互为共轭复数，则复数i z 32-=，进而复数z 的模||z ＝.133-222=+）（25.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 ．【答案】4π⎫⎪⎭26.已知()f x =⋅a b ，其中(2cos ,2)x x =a ，(cos ,1)x =b ，R x ∈． （Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()1f A =-，a =且向量(3,sin )B =m 与(2,sin )C =n 共线，求边长b 和c 的值．【答案】（Ⅰ）(),63Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）3,2b c ==【解析】试题分析：（Ⅰ）由向量数量积定义及三角变换公式可得2()2cos 21cos23sin 212cos(2f x x x x x x ==-=++)32cos(2π++x ，令2223k x k ππππ++≤≤可得63k x k ππππ-+≤≤，故()f x 的单调递减区间为(),63Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）∵()12cos 213f A A π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭⇒3A π=，利用余弦定理可得()22222cos 37a b c bc A b c bc =+-=+-=，又(3,s i n )B =m 与(2,sin )C =n 共线⇒2sin 3sin B C=⇒23b c =，从而解得3,2b c ==试题解析：（Ⅰ）由题意知2()2cos 21cos2212cos(2)3f x x x x x x π==+=++，∵cos y x =在区间[2,2]k k πππ+(k ∈Z )上单调递减， ∴令2223k x k ππππ++≤≤，得63k x k ππππ-+≤≤， ∴()f x 的单调递减区间(),63Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅱ）∵()12cos 213f A A π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，∴cos 213A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又72333A πππ<+<，∴23A ππ+=，即3A π=，∵a =()22222cos 37a b c bc A b c bc =+-=+-=． 因为向量(3,sin )B =m 与(2,sin )C =n 共线，所以2sin 3sin B C =， 由正弦定理得23b c =，∴3,2b c ==．27.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时 间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ． 下面临界值表仅供参考：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）18；（3）X 的分布列为：0k，1512110+1+22828282EX =⨯⨯⨯=. 【解析】 试题解析：（1）由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，……2分 ∴根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；……3分（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x ，y 分钟，则基本事件满足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩(如图所示)，……4分 设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为x y >，……5分 ∴由几何概型11112()228P A ⨯⨯==⨯，即乙比甲先解答完的概率为18；……7分（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种，恰有一人被抽到有1126=12C C ⋅种；两人都被抽到有221C =种，……8分∴X 可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==，123(1)287P X ===，1(2)28P X == X 的分布列为：，……11分 ∴1512110+1+22828282EX =⨯⨯⨯=. .……12分28.已知{}n a 是一个单调递增的等差数列，且满足2421a a =,1510a a +=，数列{}n c 的前n 项和为1n n S a =+()N n *∈，数列{}n b 满足2n n n b c =.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和.【答案】(Ⅰ) 21(*)N n a n n =-∈；(Ⅱ) 24(12)2412n n n T +⨯-==-- 【解析】试题解析：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,则依题知0d >.由315210a a a =+=,又可得35a =.由2421a a =,得(5)(5)21d d -+=,可得2d =.所以1321a a d =-=.可得21(*)N n a n n =-∈ ……………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得12n n S a n =+=当2n ≥时,122(1)2n n n c S S n n -=-=--=当1n =时,112c S ==满足上式，所以2(*)N n c n =∈所以12222n n n n n b c +==⨯=，即12n n b +=, 因为211222n n n n b b +++==，14b = 所以数列{}n b 是首项为4,公比为2的等比数列. 所以前n 项和24(12)2412n n n T +⨯-==-- ………………………12分 29.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBBC 都是菱形，011160ACC CC B ∠=∠=，2AC =.（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；（Ⅱ）若1AB 11C AB A --的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】试题解析：（Ⅰ）证明：连AC 1，CB 1，则△ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形．取CC 1中点O ，连OA ，OB 1，则CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1，则CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1． …4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1AB 1所以OA ⊥OB 1．如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA 为正方向建立空间直角坐标系，则C (0，－1，0)，B 1(0，0)，A (0，0， …6分设平面CAB 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 因为1(3,0,AB =，(0,1,AC =-，所以11111100010x y z x y z +⨯=⨯-⨯=⎪⎩，取m ＝(11)． …8分设平面A 1AB 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 因为1(3,0,AB =，1(0,2,0)AA =，所以222111000200x y z x y z +⨯=⨯+⨯+⨯=⎪⎩，取n ＝(1，0，1)． …10分则cos ,5||||5m n m n m n ∙<>===⨯，因为二面角C -AB 1-A 1为钝角，所以二面角C -AB 1-A 1的余弦值为． …12分 30.已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x(Ⅰ)求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；(Ⅱ)求函数)(x f 单调递增区间；(Ⅲ)若存在]1,1[,21-∈x x ,使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数),求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1y =;（Ⅱ）(0,)∞+；（Ⅲ）1(0,][e,)ea ∈∞+.【解析】试题解析：解：（Ⅰ）因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+,所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+,(0)0f '=,又因为(0)1f =,所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y = ……3分(Ⅱ)由⑴,()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.令a a x x h x ln )1(2)(-+=，则0ln 2)('2≥+=a a x h x所以当0,1a a >≠时, ()f x '在R 上是增函数…………………5分又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+…………………8分（Ⅲ）因为存在12,[1,1]x x ∈-,使得12()()e 1f x f x --≥成立,而当[1,1]x ∈-时,12max min ()()()()f x f x f x f x --≤,所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可. …………………9分又因为x ,()f x ',()f x 的变化情况如下表所示:所以()f x 在[1,0]-上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当[1,1]x ∈-时,()f x 的最小值 ()()min 01f x f ==,()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值 因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a a--=--=--+++, 令1()2ln (0)g a a a a a =-->,因为22121()1(1)0g a a a a'=-=->+, 所以1()2ln g a a a a =--在()0,a ∈+∞上是增函数. 而(1)0g =,故当1a >时,()0g a >,即(1)(1)f f >-;当01a <<时,()0g a <,即(1)(1)f f <-.所以,当1a >时,(1)(0)e 1f f --≥,即ln e 1a a --≥,函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数,解得e a ≥………………11分当01a <<时,(1)(0)e 1f f ---≥,即1ln e 1a a +-≥,函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数,解得10ea <≤.………………12分 综上可知,所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+………………13分.。
【2015海南中考数学真题及答案】海南中考数学真题及答案
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(全国通用)2015年高考数学走出题海之黄金30题系列(第01期)专题03 最有可能考30题 文(含解析)
2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题三 最有可能考的30题1.已知集合[1,1]A =-，{|(3)(21)0}B x x x =+-≤，则=B A ( ) A ．]21,3[- B ．]21,1[- C ．)21,1[- D ． )21,3(- 【答案】B试题分析：11[1,1],[3,].[1,]22A B A B =--∴=- ，选B. 2.命题“12sin ,>∈∀x R x ”的否定是( ) A. 12sin ,≤∈∀x R x B. 12sin ,>∉∀x R x C. 12sin ,0≤∈∃x R x D. 12sin ,0>∉∃x R x 【答案】C【解析】先改写量词，再对结论进行否定，故“12sin ,>∈∀x R x ”的否定是“12sin ,0≤∈∃x R x ” 3. 已知函数2log 1(0)()(2)(0)x x f x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则(0)f =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．3【答案】B 【解析】试题分析：2(0)(20)(2)log 21110f f f =-==-=-=，选B .4.函数()f x =的定义域是（ ）A ．()0,2B ．[]0,2C ．()()0,11,2D ．[)(]0,11,2 【答案】D 【解析】试题分析：由22010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得021x x ≤≤⎧⎨≠⎩，故01x ≤<，或12x <≤，∴函数()f x 的定义域为[)(]0,11,2 .5. 设111()()1222b a <<<，那么 （ ） A ．abab a a << B ．baaa b a << C ．a a b b a a << D ．aa b a b a <<【答案】C 【解析】试题分析：由于指数函数1()2xy =是减函数，由已知111()()1222b a <<<得01a b <<<，当01a <<时，x y a =为减函数，所以b a a a <，排除A 、B ；又因为幂函数a y x =在第一象限内为增函数，所以aa ab <，选C6.曲线323y x x =-+在点1x =处的切线方程为 ． 【答案】310x y --= 【解析】试题分析：∵2'36y x x =-+，∴1'|363x y ==-+=，切点（1，2），∴所求切线方程为23(1)y x -=-，即310x y --=．7. 函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是(A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】试题分析：x x y sin =是偶函数，故排除D ，0)(=πy ，2)2(ππ=y 排除B ，C.8. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin b A =B =A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】试题分析：由正弦定理得B a A b cos 3sin ⋅=⋅，B A A B cos sin 3sin sin ⋅=⋅，由于0sin ≠A ，3tan cos sin ==B BB ，3π=∴B ，故答案为C.9. 为了得到函数y x =的图象，可以将函数x x y 3cos 3sin +=的图象( )A ．向右平移12π个单位长 B ．向右平移4π个单位长C ．向左平移12π个单位长D ．向左平移4π个单位长【答案】A 【解析】试题分析：由sin3cos3y x x =+得，)3()412y x x ππ=+=+，将3()12y x π=+向右平移12π个单位长，便可得3()31212y x x ππ=-+=的图象.故选A.10. 向量a,b 满足1,)(2),==+⊥-a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为（ ） Ａ．45︒ Ｂ． 60︒ Ｃ． 90︒ Ｄ． 120︒ 【答案】C 【解析】试题分析：由于()(2)()(2)0a b a b a b a b +⊥-⇒+⋅-=，即：2220a a b b +⋅-= ,则0a b ⋅=，所以向量a 与b 的夹角为90011.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点， AE 与BD 交于点M ，AB 1AD =，且 16MA MB ⋅=- ，则AB AD ⋅= ．【答案】34【解析】试题分析：2121122()()()()()()3333333MA MB MD DA DB BD DA DB AD AB DA AB AD ⋅=+⋅=+⋅=-+⋅-22212242221()()333399996AD AB AB AD AD AB AB AD AB AD =--⋅-=--⋅=-⋅=- ,AB AD ⋅= 3412. 设等比数列{}n a 各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310l o g l o g l o g a a a +++= ( ).A 12 .B 10 .C 8 .D 32log 5+ 【答案】B13. 已知,x y 满足2y xx y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且目标函数2z x y =+的最小值为1，则实数a 的值是（ ）A ．1B ．13C ．14D ．18【答案】B 【解析】试题分析：考察2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域，平移直线20x y +=，为使2z x y =+取得最小值1，须其经过直线,y x x a ==的交点(,)a a ，所以121,,3a a a +==选B . 14.若过点()2P --的直线与圆224x y +=有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A. 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B. 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 0,3π⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】试题分析：设直线l过点()2P --，直线l 的倾斜角为α，当2πα≠时，直线l 的斜率tan k α=，则直线l 的方程可写成：(2y k x +=+即：20kx y -+-=，由直线l 与圆224x y +=有公共2≤，(80k k ⇔≤，解得00tan 0,k ααπ≤≤≤≤<，03πα∴≤≤，故选B ．15. 已知直线1:260l ax y ++=，()22:110l x a y a +-+-=，若12l l ⊥，则a =＿＿。
专题01 经典母题30题-数学(理)走出题海之黄金30题系列
母题1【集合运算】（2016甲卷理2）已知集合{123}A =，,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则AB =（ ）.A.{}1B.{12}，C.{}0123，，，D.{10123}-，，，， 【答案】C【解析】 因为()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，，所以{}01B =，，所以{}0123A B =，，，.故选C.母题2【充分条件和必要条件】（2016四川理7）设p ：实数，y 满足22(1)+(1)2x y --；：实数，y 满足111yx yx y -⎧⎪-⎨⎪⎩，则p 是的（ ）. A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A母题3【函数的性质】（2016甲卷理12）已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1miii x y =+=∑( ).A. B.m C. 2m D. 4m 【答案】B【解析】 由()()2f x f x -=-得，()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，所以对于每一组对称点有0i i x x '+=，=2i i y y '+，所以()111m m mi i i ii i i x y x y ===+=+=∑∑∑022mm +⋅=.故选B. 母题4【函数的图象】（2016乙卷理7）函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）.-221Oxy-221Oxy -221Oxy -221OxyA. B. C.D.【答案】D 分析 对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项.母题5【三角形函数的图象和性质】（2016全国乙理12）已知函数π()sin()0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，π4x =-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π1836⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ）. A.11 B. C. D. 【答案】B【解析】 依题意，可得()π2124T k =⋅+，k ∈N ，且5ππ36182T-，即π6T . 故2112k +，k ∈N ，即112k，k ∈N .当5k =时，2π11T =.又ππ2π3π5π184114436<-=<，因此()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上不单调.当4k =时，2π9T =，且π2πππ5π,49361836⎛⎫-=∉ ⎪⎝⎭.又ππ5ππ5π,49361836⎛⎫-=∉ ⎪⎝⎭，因此()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为9.故选B. 母题6【平面向量数量积】（2016天津理7）已知ABC △是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）.A. 58-B.18C.14D.118【答案】B【解析】 由题意作图，如图所示.则()AF BC AE EF BC ⋅=+⋅=111cos60448AC BC ⋅==.故选B.FEDCBA母题7【内切球】（2016全国丙理10）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）. A.4π B.9π2C.6πD.32π3【答案】B【解析】 如图所示，假设在直三棱柱111ABC A B C -中，有一个球与平面11ABB A ，平面11BCC B ，平11AAC C 面相切，其俯视图如图所示.设其球的半径为，则16822,11(6810)22ABC ABCS r C ⨯⨯===⨯++△△且123r AA =，得32r.因此，直三棱柱内球的半径最大值为32，则33max 4439πππ3322V r ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故选B.母题8【平面与平面平行的判定】(2016全国乙理11)平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，α平面=ABCD m ，α平面11=ABB A n ，则m ，所成角的正弦值为（ ）. A.32 B.22 C. 33 D.13【答案】AABCDA 1B 1C 1D 1EFD 1C 1B 1A 1DCBAB ACC 1B 1A 1CBA母题9【直线和双曲线位置关系】2016天津理6）已知双曲线()2224=10y b bx ->，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）.A.22443=1y x - B.22344=1y x - C.2244=1y x - D.2224=11x y - 【答案】D【解析】 根据对称性，不妨设A 在第一象限，(),A A A x y ，联立2242x y b y x⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得2244,244b A b b ⎛⎫⋅ ⎪++⎝⎭.所以216422A A b b x y b =⋅=+，得212b =. 故双曲线的方程为2224=11x y -.故选D. 母题10【直线和抛物线位置关系】（2016四川理8）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为( ). A.33 B.23C.22D. 母题11【程序框图】（2016全国丙理7）执行右图的程序框图，如果输入的4,6a b ==，那么输出的n =（ ）.A. B. C. D.停止s=s +a ,n =n +1b =b-an =0,s =0否a =b-a输入a ，b开始s >16输出n是a =b+a【答案】B母题12【排列和组合】（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的E 处出发，先到处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）.A.24B.18C.12D.9【答案】B【解析】 从→E F 的最短路径有种走法，从→F →G 的最短路径有种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法.故选B ．母题13【几何概型】（2016全国乙理4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）. A. B.12 C.23 D. 34【答案】B母题14【复数的运算及概念】（2016全国乙理2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）.23【答案】B【解析】 由()1i 1i x y +=+，得1x y ==，所以i 1i 2x y +=+=故选B.母题15【导数的几何意义】（2016甲卷理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则b = . 【答案】1ln2-【解析】 ln 2y x =+的切点为()11ln +2x x ，，则它的切线为111ln 1y x x x =⋅++.()ln 1y x =+的切点为()22ln +2x x ，，则它的切线为：()22221ln 111xy x x x x =++-++， 所以()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，212x =-，所以1ln 11ln 2b x =+=-.母题16【二项式定理】（2016全国乙理14）()52x x+的展开式中，3x 的系数是 （用数字填写答案）. 【解析】()52x x+的展开式的通项公式为()()55555221555C 2C 2C 20,1,,5k k k kkkk kk kk T x x xxk -+----+====.令532k -=，得4k =.故3x 的系数是4545C 210-=. 母题17【直线和圆】（2016全国丙理16）已知直线:330l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别做的垂线与轴交于C ，D 两点，若23AB =，则CD =__________________.【解析】 解法一：根据直线与圆相交弦长公式有22223AB r d =-=，得223r d -=，又212r =，得3d =.因此圆心()0,0O 到直线：330mx y m ++-=的距离23331m d m -==+，解得3.3m =-因此直线的方程为3233y x =+.所以直线的倾斜角为30.如图所示，过点C 作CE BD ⊥于点E ，A DCxOy E B则234cos30cos3032CE AB CD ====.母题18【线性规划】（2016全国乙卷理16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用个工时；生产一件产品需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用个工时.生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元，该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A ，产品B 的利润之和的最大值为 元.【答案】216000母题19【平面向量坐标运算】（2016全国乙理13）设向量(,1)m =a ，(1,2)=b ，且222+=+a b a b ，则m = .【答案】2-【解析】 因为()2222222222==++=++=+a +b a +b a b ab a b ab a b ，故20=ab ，即0=ab .所以()(),11,220m m =⋅=+=ab ，得2m =-.母题20【等比数列通项公式和性质】（2016全国乙理15）设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 .【答案】64解法一：由1n a ，得4112n -⎛⎫⎪⎝⎭，得4n，且41a =.故当3n =或时，12n a a a 取得最大值， 即()321121231234max11164222n a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解法二：()()211720121221211822n n n n n n nn a a a a q--+++++-⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故当3n =或时，12n a a a 取得最大值6264=.母题21【立体几何与空间向量】【2014高考北京理第17题】如图，正方体MADE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF与棱FD ，PC 分别交于G ，H . （1）求证：FG AB //；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.△的内角A，B，C的对边分别为a，，，已母题22【解三角形】（2016全国乙理17）ABC知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （1）求C ； （2）若7c =，ABC △的面积为332，求ABC △的周长． 【解析】（1）由已知及正弦定理得，2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，即2cos sin()sin C A B C +=，故2sin cos sin C C C =，可得1cos 2C =，所以3C π=.母题23【等差数列通项公式和数列求和】（2016全国甲理17）n S 为等差数列{}n a 的前项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过的最大整数，如[]0.90=，[]lg 991=．（1）求1b ，11b ，101b ；（2）求数列{}n b 的前1000项和．【解析】 （1）设{}n a 的公差为，74728S a ==，所以44a =，所以4113a a d -==，所以1(1)n a a n d n =+-=．所以[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101lg lg1012b a ===．（2）当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，； 当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，；当lg 3n a =时，1000n =． 所以1000121000=T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg =a a a ++⋅⋅⋅+091902900311893⨯+⨯+⨯+⨯=．母题24【数列递推公式和数列求和】（2016山东理18）已知数列{}n a 的前项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+求数列n C 的前项和n T .【解析】 （1）由题意知当2n 时，165n n n a S S n -=-=+，当1n =时，1111a S ==，所以()*65n a n n =+∈N .设数列{}n b 的公差为d，由112223a b b a b b ⎧⎨⎩=+=+，即111121723b db d=+⎧⎨=+⎩，解得14b =，3d =，所以()*31n b n n =+∈N .（2）由（1）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+， 得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式作差，得：234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=224(21)3[4(1)2]3221n n n n n ++-⨯+-+⨯=-⋅-，所以232n n T n +=⋅.母题25【空间向量与立体几何】（2016全国乙理18）如图所示，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，2AF FD =，90AFD ∠=，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60．FEDC BA（1）求证：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （2）求二面角E BC A --的余弦值．由（1）知DFE ∠为二面角D AF E --的平面角，故60DFE ∠=︒，则2DF =，3DG =，可得(140)A ，，，(340)B -，，，(300)E -，，，(003)D ，，.由已知，AB EF ，所以AB 平面EFDC . 又平面ABCD 平面EFDC CD =，故ABCD ，CD EF .由BEAF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以CEF ∠为二面角C BE F --的平面角，母题26【离散型随机变量的分布列和期望】（2016全国乙理19）某公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买台机器的同时购买的易损零件数. （1）求X 的分布列； （2）若要求()0.5P Xn ，确定n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？【解析】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为，，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2. 从而：(16)0.20.20.04P X ==⨯=；(17)20.20.40.16P X ==⨯⨯=；(18)20.20.20.40.40.24P X ==⨯⨯+⨯=；(19)20.20.220.40.20.24P X ==⨯⨯+⨯⨯=； (20)20.20.40.20.20.2P X ==⨯⨯+⨯=；(21)20.20.20.08P X ==⨯⨯=；(22)0.20.20.04P X ==⨯=.所以X 的分布列为：X 16 17 18 19 20 21 22P0.040.160.240.240.20.08 0.04（2）由（1）知，(18)0.44P X =≤，(19)0.68P X =≤，故的最小值为19. （3）记Y 表示台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当19n =时，192000.68(19200500)0.2EY =⨯⨯+⨯+⨯+(192002500)0.08(192003500)0.04⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯4040=.当20n =时，202000.88(20200500)0.08EY =⨯⨯+⨯+⨯+(202002500)0.044080⨯+⨯⨯=. 可知当19n =时所需费用的期望值小于20n =时所需费用的期望值，故应选19n =.母题27【直线和椭圆位置关系】（2016全国甲理20）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在轴上，A是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥. （1）当4t =，AM AN =时，求AMN △的面积； （2）当2AM AN =时，求k 的取值范围.解法二：设点()00M x y ，，且MN 交轴于点D . 因为AM AN =，且AM AN ⊥，所以MD AD ⊥，MD AD = .由2200+143x y =，得2001232x y -=.又0022AD x x =--=+，所以20012322x x -=+，解之得02x =-或27-. 所以127AD = ，所以211214422749AMN S ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭△.因为2AM AN =，所以()222322222332616112113332122m m ma ma m a m m a m a m m --+=+⇒=>⇒<<++-所以)312k m=∈，.解法二：设直线AM 的方程为()y k x t=+，联立()2213x y t y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222223230tk xt tk x t k t +++-=，解得x t=-或2233t tk t x tk -=-+，所以22222361133t tk t t AM k t k tk tk -=+-+=+⋅++，所以2613t AN k t k k=+⋅+.因为2AM AN =，所以2226621133t tk k t tk k k⋅+⋅=+⋅++，整理得，23632k k t k -=-． 因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-，解得322k <<． 母题28【导数的综合运用】（2016乙卷理21）21.已知函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-有两个零点.（1）求a 的取值范围；（2）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，求证：122x x +<.（ⅱ）当()ln 21a -=，即e2a =-时， 当1x 时，10x -，1e 2e e 0x a +-=，所以()0f x '.同理1x >时，()0f x '>. 故()f x 的单调增区间为(),-∞+∞； （ⅲ）当()ln 21a -<，即e02a -<<时.令()0f x '>，则()ln 2x a <-或1x >， 所以()f x 的单调增区间为()(),ln 2a -∞-和()1,+∞，同理()f x 的单调减区间为()()ln 2,1a -.综上所述，当e2a <-时，()f x 的单调增区间为(),1-∞和()()ln 2,a -+∞，单调减区间为()()1,ln 2a -；当e2a =-时，()f x 的单调增区间为(),-∞+∞； 当e02a -<<时，()f x 的单调增区间为()(),ln 2a -∞-和()1,+∞，单调减区间为()()ln 2,1a -；当0a 时，()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为(),1-∞.（2）若()f x 有两个零点，则0a >，且()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 要证明122x x +<，不妨设12x x <，且121x x <<.只需证明：122x x <-，因为()f x 在(),1-∞上单调递减， 所以()()122f x f x >-，又()()12f x f x =，则()()222f x f x >-，即令()()()()21g x f x f x x =-->，()()()()()()22222e 122e 212e e x x x x g x x a x x a x x x --=-+-------=-+，因为()10g =，()()()()()()22221e e e 1e 1e 1e e x x x x x x x g x x x x x x ----'=-+-=-+-=--， 当1x >时，10x ->且2e e x x ->，所以()0g x '>，所以函数()g x 在()1,+∞上单调递增，因此()()10g x g >=，故()()()21f x f x x >->，即有()()222f x f x >-，则()()122f x f x >-， 又()y f x =在(),1-∞上单调递减，则122x x <-.故122x x +<.证毕.母题29【坐标系与参数方程】（2016全国乙理23）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=.（1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .又12,C C 公共点都在3C 上，故3C 的方程即为公共弦24210x y a -+-=. 又3C 为0θα=，0tan 2α=，即为2y x =，从而可知1a =． 母题30【不等式选讲】（2016全国甲理24）已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集.（1）求M ；（2）证明：当a b M ∈，时，1a b ab +<+.【解析】 （1）当12x <-时，()112222f x x x x =---=-<，所以112x -<<-；。
中考数学 走出题海之黄金30题系列(第02期)专题02 新题精选30题(含解析)
专题02 新题精选30题一、选择题1．我国经济飞速发展，2014年的GDP 为63．6万亿元，用科学记数法表示63．6万亿元为（ ）A ．0．636×106亿元B ．6．36×105亿元C ．6．36×104亿元D ．63．6×105亿元【答案】B ．【解析】63．6万=636000=6．36×105．故选B ．2．如果773x y a b +和2427y x a b --是同类项，则x 、y 的值是（ ） A ．3x =-，2y = B ．2x =，3y =-C ．2x =-，3y =D ．3x =，2y =-【答案】B ．3．如图是一个可以自由转动的转盘，当转盘转动停止后，下面有3个表述：①指针指向3个区域的可能性相同；②指针指向红色区域的概率为13；③指针指向红色区域的概率为21．其中正确的表述是（ ）A ．①②B ．①③C ．②D ．③【答案】D ． 【解析】根据题意可得：红色区域占总面积的21，白色区域占总面积的14，黑色区域占总面积的14； 由几何概率可知：指针指向红色区域的概率为21，指向白色区域的概率为14，指向黑色区域的概率为14，故只有③是正确的．故选D ．4．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y （千米）与行进时间t （小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C ．5．在关于x 的方程20ax bx c ++=（0a ≠）中，若a 与c 异号，则方程（ ）A ．有两个不等实根B ．有两个相等实根C ．没有实根D ．无法确定【答案】A ．【解析】∵若a 与c 异号，∴△=241640b ac ac -=->，∴原方程有两个不相等的实数根．故选A ．6．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是图 （ ）．【答案】B ．【解析】根据勾股定理，=所以，12=，观各选项，只有B 选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．故选B.7．若实数x 、y 满足x 2=2121-y +y 33-+4，则x+y 的值是（ ） A ．3或-3 B ．3或-1 C ．-3或-1 D ．3或1【答案】B 【解析】根据题意可得：12y －12≥0，3－3y ≥0，解得：y=1，则x=±2，则x+y=3或－1． 故选B.8．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）A ．a 2- b 2=（a-b ）2B ．（a+b ）2= a 2+2ab+b 2C ．（a-b ）2= a 2-2ab+b 2D ．a 2- b 2=（a+b ）（a-b ）【答案】C【解析】根据图示可得图乙所表示的数学公式为：222()2a b a ab b -=-+．故选C.9．不等式组521325x x -⎩≥+⎧⎨＞的解在数轴上表示为（ ）【答案】C ．【解析】321255x x -⎧⎨≥+⎩＞①②∵解不等式①得：x ＞1，解不等式②得：x ≤2，∴不等式组的解集是1＜x ≤2，在数轴上表示不等式组的解集为故选C ．10．对于实数m ，n ，定义一种运算“※”：m ※n=m 2﹣mn ﹣3．下列说法错误的是（ ）A ．0※1=﹣3B ．方程x ※2=0的根为x 1=﹣1，x 2=3C ．不等式组 无解D ．函数y=x ※（﹣2）的顶点坐标是（1，﹣4）【答案】D【解析】把每一个选项中的数值分别代入新定义的运算中，再分别计算就可进行判断．0※1=02-0×1﹣3=-3,正确，此项不符合题意；方程x ※2=0即x 2-2x-3=0，根为x 1=﹣1，x 2=3，正确，此项不符合题意； 不等式组 ，即⎩⎨⎧-+--0339031＞＜t t ，无解，正确，此项不符合题意；D ． 函数y=x ※（﹣2）即y=x2+2x-3=（x+1）2-4的顶点坐标是（-1， 4），错误，此项符合题意．故选D ．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OA 1C 1，Rt △OA 2C 2，Rt △OA 3C 3，Rt △OA 4C 4…的斜边都在坐标轴上，∠A 1OC 1=∠A 2OC 2=∠A 3OC 3=∠A 4OC 4=…=30°．若点A 1的坐标为（3，0），OA 1=OC 2，OA 2=OC 3，OA 3=OC 4…，则依此规律，点A 2015的纵坐标为（ ）A ．0B ．﹣3×（）2013 C ．（2）2014 D ．3×（）2013【答案】A【解析】2015=4×503+3，则2015A 在x 的负半轴上，则纵坐标为0．故选A.12．如图，AB 是⊙O 的直径，M 是⊙O 上一点，MN ⊥AB ，垂足为N ，P 、Q 分别是弧AM 、弧BM 上一点（不与端点重合）．若∠MNP=∠MNQ ，下面结论：①∠PNA=∠QNB ；②∠P+∠Q=180°；③∠Q=∠PMN ；④PM=QM ；⑤MN2=PN •QN ．正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B ．【解析】延长QN 交圆O 于C ，延长MN 交圆O 于D ，如图：∵MN ⊥AB ，∴∠MNA=∠MNB=90°，∵∠MNP=∠MNQ ，∴∠PNA=∠QNB ，故①对；∵∠P+∠PMN ＜180°，∴∠P+∠Q ＜180°，故②错；因为AB 是⊙O 的直径，MN ⊥AB ，∴AM DA =，∵∠PNA=∠QNB ，∠ANC=∠QNB ，∴∠PNA=∠ANC ，∴P ，C 关于AB 对称，∴AP AC =，∴PD MC =，∴∠Q=∠PMN ，故③对；∵∠MNP=∠MNQ ，∠Q=∠PMN ，∴△PMN ∽△MQN ，∴MN 2=PN •QN ，PM 不一定等于MQ ，所以④错误，⑤对． 故选B ．二、填空题13．为了解我国14岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m ；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50m ；若北方14岁男孩数与南方14岁男孩数的比为3：2，由此可推断我国14岁男孩的平均身高约为___________ m．【答案】1.56．【解析】我国14岁男孩的平均身高=（1.6×3+1.5×2）÷（3+2）=1.56（m）．14．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__________．【答案】30°．【解析】由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°，180°-100°-50°=30°．15．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°．连接AC，则∠A的度数是°【答案】35°【解析】连接OC，根据切线性质可得∠ABD=∠OCD=90°，∵∠BDC=110°，根据四边形OCDB的内角和定理可得∠BOC=70°，根据OA=OC得出∠A=70°÷2=35°．16．已知关于x的不等式组30x ax->⎧⎨->⎩的整数解共有4个，则a的取值范围是____________．【答案】－2≤a＜－1【解析】解不等式可得a＜x＜3，整数解有4个，则x=2、1、0、－1，则－2≤a＜－1．17．将一副直角三角板ABC和DEF如图放置（其中∠A=60°，∠F=45°），使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为．【答案】15°．【解析】∵∠A =60°，∠F =45°，∴∠1=90°﹣60°=30°，∠DEF =90°﹣45°=45°，∵ED ∥BC ，∴∠2=∠1=30°，∠CEF =∠DEF ﹣∠2=45°﹣30°=15°．18．若关于x 的分式方程93322-=+--x x x m x x 无解，则m= . 【答案】3或1.5.【解析】去分母得：2(3)(3)x x m x x +--=，整理得：(3)3m x m -=-，当3-m=0即m=3时，方程(3)3m x m -=-无解，所以原方程无解，当30m -≠时，33m x m =--，因为原方程无解，所以333m m -=±-，解得m=32，所以m=3或1.5. 19．如图， C 为线段AE 上一动点（不与点,A E 重合），在AE 同侧分别作正ABC ∆和正CDE ∆，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：①AD BE =；②//PQ AE ；③AC BQ =；④DE DP = ；⑤CP CQ =；⑥60AOB ︒∠=．一定成立的结论有 （把你认为正确的序号都填上）【答案】①②⑤⑥【解析】由△ABC 和△CDE 都是等边三角形，可知AC=BC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=60°，所以∠ACD=∠BCE=120°，所以△ACD ≌△BCE ，AD=BE ，①正确；由△ACD ≌△BCE ，得∠ADC=∠BEC ，结合CD=CE ，∠DCP=∠QCE=60°，可得△PCD ≌△QCE ，所以CP=CQ ，⑤正确；CP=CQ ，∠PCQ=60°，所以△PCQ 是等边三角形，∠PQC=∠DCE=60°，所以PQ ∥AE ，②正确；结合△ACD ≌△BCE 和三角形的内角和定理，可得∠AOB=60°，故⑥正确，本题答案为①②⑤⑥．20．如图，点A1、A2、A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3，分别过点A1、A2、A3作y轴的平行线，与反比例函数y=4x（x＞0）的图象分别交于点B1、B2、B3，分别过点B1、B2、B3作x轴的平行线，分别与y轴交于点C1、C2、C3，连结OB1、OB2、OB3，那么图中阴影部分的面积之和为【答案】13218．【解析】根据题意可知S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=12|k|=2，∵OA1=A1A2=A2A3，A1B1∥A2B2∥A3B3∥y轴，设图中阴影部分的面积从左向右依次为s1，s2，s3 ，则s1=12|k|=2，∵OA1=A1A2=A2A3，∴s2：S△OB2C2=1：4，s3：S△OB3C3=1：9，∴图中阴影部分的面积分别是s1=2，s2=12，s3=29，∴图中阴影部分的面积之和=2+12+2132918=．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD称为“基本图形”，且各点的坐标分别为A（4，4），B（1，3），C（3，3），D（3，1）．①画出“基本图形”关于原点O对称的四边形A1B1C1D1，并填出A1，B1，C1，D1的坐标．A1（，） B1（，）C1（，） D1（，）②画出“基本图形”绕B点顺时针旋转900所成的四边形A2B2C2D2 .【答案】①图形见解析；A 1（-4，-4），B 1（-1，-3），C 1（-3，-3），D 1（-3，-1）；②图形见解析；【解析】①根据坐标系中点关于原点对称的坐标特点，即可得出答案：A 1（-4，-4），B 1（-1，-3），C 1（-3，-3），D 1（-3，-1）；②如图所示：22．已知12x y =，求2222222x x y y x xy y x y x y -⋅+-++-的值． 【答案】－6【解析】原式=22()()2()x x y x y y x y x y x y+-+-+-=22x y x y x y +--=22x y x y +- 根据题意得：y=2x ∴原式=22x y x y +-=242x x x x +-=－6． 23．某五金店购进一批数量足够多的p 型节能电灯 进价为35元／只，以50元／只销售，每天销售20只．市场调研发现：若每只每降l 元，则每天销售数量比原来多3只．现商店决定对Q 型节能电灯进行降价促销活动，每只降价x 元（x 为正整数）．在促销期间，商店要想每天获得最大销售利润，每只应降价多少元?每天最大销售毛利润为多少?（注：每只节能灯的销售毛利润指每只节能灯的销售价与进货价的差）【答案】每只应降价4元，每天最大销售毛利润为352元．【解析】由题意得：每天的销售毛利润W=（50-35-x ）（20+3x ）=-3x 2+25x+300，∴图象对称轴为x=256，∵x 为正整数，x=4或5且256-4＜5-256，∴x=4时，W 取得最大值，最大销售毛利润为352元．答：每只应降价4元，每天最大销售毛利润为352元．24．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD.（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC=45°，求α的值.【答案】（1）∠ABD=30°-12α；（2）△ABE 是等边三角形；证明见解析；（3）30°． 【解析】（1）∵AB=AC ，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB=12（180°-∠A ）=90°-12α， ∵∠ABD=∠ABC-∠DBC ，∠DBC=60°，即∠ABD=30°-12α； （2）△ABE 是等边三角形，连接AD ，CD ，ED ，∵线段BC 绕B 逆时针旋转60°得到线段BD ，则BC=BD ，∠DBC=60°，∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC=30°-12α，且△BCD 为等边三角形， 在△ABD 与△ACD 中AB AC AD AD BD CD ===⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12α，∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°-（30°-12α）-150°=12α=∠BAD ，在△ABD 和△EBC 中BEC BAD EBC ABD BC BD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABD ≌△EBC （AAS ），∴AB=BE ，∴△ABE 是等边三角形；（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°-60°=90°，∵∠DEC=45°，∴△DEC 为等腰直角三角形，∴DC=CE=BC ，∵∠BCE=150°，∴∠EBC=12（180°-150°）=15°，∵∠EBC=30°-12α=15°，∴α=30°． 25．某公交公司的公共汽车和出租车每天从沂源出发往返于沂源和济南两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距沂源的路程y （单位：千米）与所用时间x （单位：小时）的函数图象．已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达济南后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回沂源早1小时．（1）请在图中画出公共汽车距沂源的路程y （千米）与所用时间x （小时）的函数图象； （2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）； （3）求两车最后一次相遇时，距沂源的路程．【答案】（1）作图见试题解析；（2）2；（3）112.5千米． 【解析】（1）如图：（2）2次；（3）如图，设直线AB 的解析式为11y k x b =+；∵图象过A （4，0），B （6，150），∴1111406150k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴1175300k b =⎧⎨=-⎩，75300y x =-① 设直线CD 的解析式为22y k x b =+，∵图象过C （7，0），D （5，150），∴2222705150k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴2275525k b =-⎧⎨=⎩，∴75525y x =-+② 解由①、②得：7530075525y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得 5.5112.5x y =⎧⎨=⎩．∴最后一次相遇时距离乌鲁木齐市的距离为112.5千米．26．如图所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上．为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平线夹角为θ1，且在水平线上的射影AF 为140 cm ．现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2，并已知tan θ1≈l ．1，tan θ2≈0．4．如果安装工人已确定支架船高为25 cm ，求支架CD 的高（结果精确到1 cm ）?【答案】支架CD 的高为123cm ．【解析】∵矩形ABEF 中，AF=BE=140cm ，AB=EF=25cm ．Rt △DAF 中，∠DAF=θ1，DF=AFtan θ1≈154cm ，Rt △CBE 中，∠CBE=θ2，CE=BEtan θ2≈56cm ，∴DE=DF+EF=154+25=179cm ， DC=DE-CE=179-56=123cm ．答：支架CD 的高为123cm ．27．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 、PC 分别与⊙O 相切于点A 、C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO 的延长线于点E.（1）求证：∠EPD=∠EDO （2）若PC=6，tan ∠PDA=43，求OE 的长.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）PA ，PC 与⊙O 分别相切于点A ，C ，∴∠APO=∠EPD 且PA ⊥AO ，∴∠PAO=90°， ∵∠AOP=∠EOD ，∠PAO=∠E=90°，∴∠APO=∠EDO ，∴∠EPD=∠EDO ； （2）连接OC ，∴PA=PC=6，∵tan ∠PDA=34，∴在Rt △PAD 中，AD=8，PD=10，∴CD=4， ∵tan ∠PDA=34， ∴在Rt △OCD 中，OC=OA=3，OD=5，∵∠EPD=∠ODE ，∴△OED ∽△DEP ，∴2PD PE EDDO DE OE===，∴DE=2OE在Rt △OED 中，OE 2+DE 2=OD 2，即5OE 2=52，∴28．把两个全等的等腰直角三角形ABC 和EFG （其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合．现将三角板EFG 绕O 点逆时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系？四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论；（要有辅助线哟！）（2）连接HK ，在上述旋转过程中，设BH=x ，△GKH 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的165，若存在，求出此时x 值；若不存在，说明理由.【答案】（1）BH=CK ，四边形CHGK 的面积不变；（2）12yx 2-2x+4, 0＜x ＜4；（3）当x=1或x=3时，△GHK 的面积均等于△ABC 的面积的516【解析】（1）在上述旋转过程中，BH=CK ，四边形CHGK 的面积不变 连接CG ，∵△ABC 为等腰直角三角形，O （G ）为其斜边中点，∴CG=BG ，CG ⊥AB ，∴∠ACG=∠B=45°，∵∠BGH 与∠CGK 均为旋转角，∴∠BGH=∠CGK ，在△BGH 与△CGK 中，∠B=∠KCG,BG=CG, ∠BCG=∠CGK ∴△BGH ≌△CGK （ASA ），∴BH=CK ，S △BGH =S △CGK ．∴S四边形CHGK=S △CHG +S △CGK =S △CHG +S △BGH =21S △ABC =21×21×4×4=4即：S 四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化；（2）∵AC=BC=4，Bk=x ，∴CH=4-x ，CK=x ，连接HK ． 由S △GHK =S 四边形CHGK -S △CHK ，得y=4-21x （4-x ）=21x 2-2x+4 由0°＜α＜90°， 得到BH 最大=BC=4，∴0＜x ＜4； （3）存在．根据题意，得21x 2-2x+4=165×8 解这个方程，得x 1=1，x 2=3，即：当x=1或x=3时，△GHK 的面积均等于△ABC 的面积的165. 29．九年级数学兴趣小组组织了以“等积变形”为主题的课题研究．第一学习小组发现：如图（1），点A 、点B 在直线l 1上，点C 、点D 在直线l 2上，若l 1∥l 2，则S △ABC =S △ABD ；反之亦成立．第二学习小组发现：如图（2），点P 是反比例函数上任意一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，则矩形OMPN 的面积为定值|k|． 请利用上述结论解决下列问题：（1）如图（3），四边形ABCD 、与四边形CEFG 都是正方形点E 在CD 上，正方形ABCD 边长为2，则BDF S △= _________．（2）如图（4），点P 、Q 在反比例函数图象上，PQ 过点O ，过P 作y 轴的平行线交x 轴于点H ，过Q 作x 轴的平行线交PH 于点G ，若PQG S △=8，则POH S △=_________，k=_________． （3）如图（5）点P 、Q 是第一象限的点，且在反比例函数图象上，过点P 作x 轴垂线，过点Q 作y 轴垂线，垂足分别是M 、N ，试判断直线PQ 与直线MN 的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2、－4；（3）PQ ∥MN【解析】（1）根据组合图形的面积求法得出三角的面积；（2）根据反比例的性质以及三角形的面积的求法进行求法；（3）作PA ⊥y 轴，QB ⊥x 轴，垂足为A ，B ，连接PN ，MQ ，根据双曲线的性质进行计算. （1）2 （2）2， k=﹣4 （3）PQ ∥MN ．理由：作PA ⊥y 轴，QB ⊥x 轴，垂足为A ，B ，连接PN ，MQ ，根据双曲线的性质可知，S 矩形AOMP =S 矩形BONQ =k ，∴S 矩形ANCP =S 矩形BMCQ ，可知S △NCP =S △MCQ ， ∴S △NPQ =S △MPQ ， ∴PQ ∥MN ．30．如图（1），抛物线25y ax bx =++（0a ≠）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线AC 的解析式为5y x =+，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，点D （－2，－3）在对称轴上．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图（1），若点M 是线段OE 上一点（点M 不与点O 、E 重合），过点M 作MN ⊥x 轴，交抛物线于点N ，记点N 关于抛物线对称轴的对称点为点F ，点P 是线段MN 上一点，且满足MN=4MP ，连接FN 、FP ，作QP ⊥PF 交x 轴于点Q ，且满足PF=PQ ，求点Q 的坐标；（3）如图（2），过点B 作BK ⊥x 轴交直线AC 于点K ，连接DK 、AD ，点H 是DK 的中点，点G 是线段AK 上任意一点，将△DGH 沿GH 边翻折得△DGH ，求当KG 为何值时，△DGH 与△KGH 重叠部分的面积是△DGK 面积的14． 【答案】（1）245y x x =--+；（2）Q （－7，0）；（3【解析】（1）在5y x =+中，令y=0，得5x =-，∴A （－5，0），∵D(－2，－3)在对称轴上，∴抛物线的对称轴为直线2x =-，∴2555022a b b a-+=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得：14a b =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：245y x x =--+；（2）∵MN ⊥QM ，MN ⊥FN ，QP ⊥PF ，∴∠2=∠6=90°，∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，又∵PF=PQ ，∴△QMP ≌△PNF ，∴MQ=NP ，MP=NF ，设M(m ，0)（20m -<<），则N （m ，245m m --+），MN=245m m --+，∴F(4m --，245m m --+)，FN=(4)24m m m ---=+，∴2454(24)m m m --+=+，解得：1m =-或11m =-（舍），∴MN=8，M(－1，0)，∴MQ=NP=34MN=6，∴Q （－7，0）；（3）令2450x x --+=，得5x =-或1x =，∴B(1，0)，∴K （1，6），∵①若翻折后，点D ′在直线GK 上方，记D ′H 与GK 交于点L ，连接D ′K ，∴'111422GHL DGK GHK GHD S S S S ∆∆∆∆===，即GHL DGL KHL S S S ∆∆∆==，∴GL=LK ，HL=D ′L ，∴四边形D ′GHK是平行四边形，∴DG=D ′G=KH=12，又∵BK=BA=6，DE=AE=3，∴△ABK 和△AED 都是等腰直角三角形，AD=DAG=45°+45°=90°，由勾股定理得：=KG=KA －AG== ②若翻折后，点D ′在直线DK 下方，记D ′G 与KH 交于点L ，连接D ′K ，∴'111422GHL DGK GHK GHD S S S S ∆∆∆∆===，即GHL DHL KGL S S S ∆∆∆==，∴HL=KL ，GL=D ′L ，∴四边形D ′KGH是平行四边形，∴KG=D ′H=DH=12 ③若翻折后，点D ′与点K 重合，则重叠部分的面积等于1S 2KGH DGK S ∆∆=，不合题意．综上所述：．。
2015年中考真题精品解析 数学(上海卷)精编word版(解析版)
掌门1对1教育 初中数学一、选择题：(每题4分，共24分)1、下列实数中，是有理数的为………………………………………………………（ ）. A 、2； B 、34； C 、π； D 、0． 【答案】D考点：有理数和无理数的概念.2、当0a >时，下列关于幂的运算正确的是………………………………………（ ）. A 、01a =； B 、1a a -=-； C 、22()a a -=-； D 、1221a a=． 【答案】A 【解析】试题分析：选项B 应为：11a a-=；选项C 应为：22()a a -=；选项D 应为：12a a =.考点：幂的基本运算.3、下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的为……………………………………（ ）. A 、2y x =； B 、2y x =； C 、2x y =； D 、12x y +=． 【答案】C考点：基本初等函数的定义与判断.4、如果一个正多边形的中心角为72，那么这个正多边形的边数是……………（ ）. A 、4； B 、5； C 、6； D 、7． 【答案】B 【解析】试题分析：根据正多边形的中心角与边数的关系，其边数为360725÷=.考点：正多边形的中心角定义及求法.5、下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是………………………………（ ）. A 、平均数； B 、众数； C 、方差； D 、频率． 【答案】C 【解析】试题分析：平均数表示一组数据的平均程度，众数表示一组数据中出现次数最多的数，反映数据的聚散程度，而方差和标准差反映是一组数据的波动程度. 考点：基本统计量的意义.[来源:学.科.网Z.X.X.K]6、如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC AB ⊥，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是…………………………………………（ ）.A 、AD BD =；B 、OD CD =；C 、CAD CBD ∠=∠； D 、OCA OCB ∠=∠．D CBAO【答案】B考点：1.垂径定理；2.菱形的判定.二、填空题：(每题4分，共48分)7、计算：22-+=_______． 【答案】4 【解析】试题分析：22224-+=+=.考点：1.绝对值的定义；2.有理数的基本运算. 8、方程322x -=的解是_______________． 【答案】2x =考点：解无理方程. 9、如果分式23xx +有意义，那么x 的取值范围是____________． 【答案】3x ≠- 【解析】试题分析：分式有意义的条件是分母不为零，故30x +≠，解得3x ≠-. 考点：分式有意义的条件.10、如果关于x 的一元二次方程240x x m +-=没有实数根，那么m 的取值范围是________．【答案】4m <-考点：根的判别式.11、同一温度的华氏度数y (℉)与摄氏度数x (℃)之间的函数关系是9325y x =+，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是________℉． 【答案】77 【解析】试题分析：将25x =代入9325y x =+，得92532775y =⋅+=，故华氏度数为77F . 考点：求代数式的值.12、如果将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点(0,3)A ，那么所得新抛物线的表达式是_______________． 【答案】223y x x =++考点：1.抛物线平移的含义；2.求抛物线的函数解析式.13、某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是__________．[来源学科网]【答案】750【解析】试题分析：根据题意中“随机抽取”，可知为等可能事件，将数据代入概率公式：750n P N ==. 考点：等可能事件的概率公式.14、已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是_______岁．[来源:Z+xx+]【答案】14 【解析】试题分析：根据中位数的定义，将一组数据从小到大排列好之后，位于最中间的那个数据即为中位数.题中共有53人，故中位数应该是从小到大排在27位的那个数，为14. 考点：基本统计量中位数的定义.15、如图，已知在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点，AB m = ，AC n =，那么向量DE 用向量m、n 表示为______________．【答案】1122m n -+考点：平面向量的基本运算.16、已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE AD =，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么FAD ∠=________度． 【答案】22.5 【解析】年龄(岁) 11 12[om]13 14 15 人数5516 15 12试题分析：作出简图，B CAD EF 由题意知，ADF ∆≌AEF ∆（HL ），故12FAD FAE DAE ∠=∠=∠，因为AC 是正方形的对角线，故45DAE ∠=，故22.5FAD ∠=. 考点：1.正方形的性质；2.全等直角三角形的判定；3.全等三角形的性质.17、在矩形ABCD 中，5AB =，12BC =，点A 在B 上．如果D 与B 相交，且点B 在D 内，那么D 的半径长可以等于___________．(只需写出一个符合要求的数) 【答案】14（答案不唯一，只要大于13，小于18即可）考点：1.矩形的性质；2.勾股定理；3.圆相交的性质.18、已知在ABC ∆中，8AB AC ==，30BAC ∠=．将ABC ∆绕点A 旋转，使点B 落在原ABC ∆的点C处，此时点C 落在点D 处．延长线段AD ，交原ABC ∆的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于___________． 【答案】434- 【解析】试题分析：？30°30°888F E ABCD如图，由旋转的性质知，8AD AC ==，30CAD ∠=，过C 作CF AE⊥交AE 于F ，而142CF AC ==，43AF =，故843DF =-.在ABC ∆中，易求得75B ∠= ，故45E ∠= ，CEF ∆为等腰直角三角形，4EF CF ==，所以4(843)434DE EF DF =-=--=-.考点：1.旋转的性质；2.含30的直角三角形的性质；3.三角形的内角和.三、解答题19、(本题满分10分)先化简，再求值：2124422+--+÷++x x x x x x x ，其中12-=x ．【答案】化简得12x +，代入求值得21-考点：1.分式的化简；2.代数式求值. 20、(本题满分10分)解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+≤-->9131624x x x x ，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解集为32x -<≤，在数轴上的表示如下：【解析】试题分析：根据不等式的性质，分别解出两个不等式，再在数轴上表示出解集，取其公共部分，即为不等式组的解集.端点取不到时用空心点表示，端点能取到时用实心点表示.试卷解析：由第一个不等式得3x >-，由第二个不等式得3(1)1x x -≤+，2x ≤，[来源:学科网ZXXK]∴原不等式组的解集为32x -<≤，在数轴上的表示如下：考点：1.解一元一次不等式组；2.不等式组的解集在数轴上的表示. 21、(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分) 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数43y x =的图像经过点A ，点A 的纵坐标为4，反比例函数my x=的图像也经过点A ，第一象限内的点B 在这个反比例函数的图像上，过点B 作//BC x 轴，交y 轴于点C ，且AC AB =．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB 的表达式．【答案】（1）12y x =；（2）263y x =-+ 【解析】试题分析：（1）先根据A 在正比例函数图像上求出点A 的坐标，再根据A 在反比例函数图像上，代入求得反比例函数解析式；（2）根据B 在反比例函数图像上，假设出点B 坐标，再根据//BC x 轴，得到点C 坐标.结合AC AB =，代入两点间距离公式，得到方程，解出即得点B 坐标.再利用待定系数法，将A 、B 坐标代入，求出直线AB 的解析式.[来源:学科网ZXXK]试卷解析：（1）设(,4)A x ，∵43y x =经过点A ，∴443x =，∴3x =，∴(3,4)A ， ∵m y x =经过点A ，∴43m =，∴12m =，∴反比例函数的解析式为12y x =；考点：1.点在函数图像上的意义；2.勾股定理；3.待定系数法求函数解析式. 22、(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分)如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且30BDN ∠= ，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米) (参考数据：3 1.7≈)NQ H P M D CBA【答案】（1）36米；（2）89米 【解析】试题分析：（1）联结AP ，直接在Rt APH ∆中利用勾股定理解出PH 即可；（2）从题中可得到的信息是39PA CQ m ==，因此需要安装的隔音板至少要包含PQ 这一段.第（1）小题中已解得PH ，故需要求出HQ ，在Rt DHA ∆和Rt DQC ∆中用两次30 的三角函数，即可解得DH 和DQ ，代入PQ PH DQ DH =+-计算即可.[来源:学科网]试卷解析：（1）联结AP ，由题意得39AP m =，15AH m =，故在Rt APH ∆中，2222391536PH AP AH m =-=-=；考点：1.勾股定理；2.解直角三角形；3.对实际应用题的分析解决能力. 23、(本题满分12分，每小题满分各6分)已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE OB =，联结DE ． (1)求证：DE BE ⊥； (2)如果OE CD ⊥，求证：BD CE CD DE ⋅=⋅．OEDC BA【答案】（1）根据等腰三角形性质及三角形内角和，证明过程略；（2）证明CED ∆∽DEB ∆，证明过程略 【解析】试题分析：（1）由平行四边形性质知，OB OD OE ==，在两个等腰三角形OBD ∆和ODE ∆中，得到两组角相等，再在BDE ∆中利用三角形内角和定理，即可求得90BDE ∠=，得证；（2）根据要证明的结论，易想到证明三角形相似，即CED ∆∽DEB ∆，图中已有一组公共角，故只需证明另一组对角相等.结合条件OE CD ⊥，可通过同角的余角相等，证明EDC OEB ∠=∠，从而有EDC OBE ∠=∠，得证. 试卷解析：（1）∵OB OE =，∴OEB OBE ∠=∠，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB OD =，∴OD OE =，∴OED ODE ∠=∠.∵在BED ∆中，180OEB OBE OED ODE ∠+∠+∠+∠= ，∴22180OED OEB ∠+∠= ，∴90OEB OED ∠+∠= ，即90BED ∠=，∴DE BE ⊥.考点：1.平行四边形性质；2.相似三角形的判定及性质. 24、(本题满分12分，每小题满分各4分)已知在平面直角坐标系xOy 中（如图），抛物线24y ax =-与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，25AB =．点P 在抛物线上，线段AP 与y 轴的正半轴交于点C ，线段BP 与x 轴相交于点D ．设点P 的横坐标为m ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m 的代数式表示线段CO 的长； （3）当3tan 2ODC ∠=时，求PAD ∠的正弦值．【答案】（1）24y x =-；（2）24OC m =-；（3）2sin 2PAD ∠=【解析】试题分析：（1）先根据勾股定理求得OA 的长度，从而确定A 的坐标，代入抛物线解析式即可；（2）可借助三角形相似，BOD ∆∽PHD ∆，利用对应边成比例得到OC 的表达式；（3）再一次利用三角形相似，BOD ∆∽PHD ∆，先求出OD 的表达式，结合3tan 2ODC ∠=，求出m 的值，进而得到P 坐标以及相关的线段长度，再将PAD ∠的正弦值放到Rt PAH ∆中求解即可.试卷解析：作图如下：（1）∵25AB =，4OB =，∴2OA =，即(2,0)A -，∵A 在抛物线上，∴440a -=，∴1a =，∴抛物线的解析式为24y x =-；（2）由（1）得2(,4)P m m -（2m >），∴24PH m =-，OH m =，∵//OC PH ，∴A O C ∆∽AHP ∆，∴CO AO PH AH =，即2242CO m m=-+，∴2(2)24CO m m =-=-；考点：1.待定系数法求函数解析式；2.三角形相似的判定与性质；3.锐角三角函数.[来源:学|科|网]25、(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分)已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ． （1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．【答案】（1）通过证明AOP ∆≌ODQ ∆，过程略；（2）236030050(10)13x x y x x -+=<<；（3）8OP =（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去. 试卷解析：（1）联结OD ，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠，∵//CD AB ，∴OCD COA ∠=∠，∴POA QDO ∠=∠.在AOP ∆和ODQ ∆中，OP DQ POA QDO OA DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOP ∆≌ODQ ∆，∴AP OQ =；(2)作PH OA ⊥，交OA 于H ，∵4cos 5AOC ∠=，∴4455OH OP x ==，35PH x =， ∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=.∵//CD AB ，∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOP yCP x S OP x∆-==，∴2360300x x y x -+=，当F 与点D 重合时， ∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⋅⋅=，∴101016x x =-，解得5013x =， ∴2360300x x y x -+=50(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠= 时，90OPA ∠= ，∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⋅=；②当90POE ∠= 时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠， ∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-= ，∵501013OP <<，∴72OP =（舍）； ③当90PEO ∠= 时，∵//CD AB ，∴AOQ DQO ∠=∠，∵AOP ∆≌ODQ ∆，∴DQO APO ∠=∠，∴AOQ APO ∠=∠，∴90AEO AOP ∠=∠= ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍；综上，线段OP 的长为8.考点：1.三角形全等的判定及性质；2.锐角三角函数的综合应用；3.圆的综合应用.。
高考数学走出题海之黄金30题系列：专题04 名校模拟精华30题(江苏版)(含答案解析)
2016年高考数学走出题海之黄金30题系列专题04 名校模拟精华30题1．【南京市、盐城市2016二模】已知函数f(x)＝ax 2＋x －b(a ，b 均为正数)，不等式f(x)＞0的解集记为P ，集合Q ＝{x|－2－t ＜x ＜－2＋t}．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠，则11a b-的最大值是▲________． 【答案】1.2【解析】由题意得b a f ≥-⇒≥-240)2(，241111--≤-a a b a ，令111,()422y a a a =->-，则221401(42)y a a a '=-+=⇒=-，当1a >时，0y '<；当112a <<时，0y '>；因此当1a =时，y取最大值12；即11a b -的最大值是1.2【考点】一元二次不等式解集，利用导数求函数最值2．【泰州2016届一模】已知函数π()sin()cos cos()262x x f x A x θ=+--（其中A 为常数，(π,0)θ∈-），若实数123,,x x x 满足：①123x x x <<，②31x x -<2π，③123()()()f x f x f x ==，则θ的值为 ▲ ．【答案】23π- 【解析】 试题分析：因为π1()sin()cos cos()sin()sin()26223x x f x A x A x x πθθ=+--=+-+-，所以当1sin()sin()023A x x πθ+-+≠时，()y f x =周期为2π，由123x x x <<及123()()()f x f x f x ==得312x x π-≥，与②31x x -<2π矛盾，因此1sin()sin()023A x x πθ+-+=，由于(π,0)θ∈-，所以23πθ=- 考点：三角函数图像与性质3．【苏锡常镇2016调研】在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C:22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为.联立组成方程组，解得54a k ==，，15(,8D ，CD = 【命题立意】本题旨在考查直线与圆的位置关系，点到直线距离．考查学生的计算能力，灵活运用有关知识解决问题的能力．难度中等.4．【2015届江苏省南通市通州区高三重点热点专项检测】已知集合{0}A x x =>，{1012}B =-，，，，则AB 等于 ．【答案】{}1,2 【解析】{0}{1012}{12}AB x x =>-=，，，，5．【2015届江苏省南京市、盐城市高三第二次模拟考试】已知复数(2)(13)z i i =-+，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于第 象限．【答案】一【解析】(2)(13)55z i i i =-+=+，则复数z 在复平面上对应的点为(5,5)，该点在第一象限； 6．【2015届江苏省南通市高三第二次调研测试】命题“x ∃∈R ，20x >”的否定是“ ”． 【答案】x ∀∈R ，20x ≤【解析】写存在性命题的否定时，注意将存在性量词变为全称量词，所以该命题的否定是“x ∀∈R ，20x ≤”；7．【镇江市2016届一模】如图：四棱锥PABCD 中，PD ＝PC ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥BC ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，点M 是CD 的中点．(1) 求证：AM ∥平面PBC ； (2) 求证：CD ⊥PA.(第15题图)【答案】（1）略；（2）略．【命题立意】本题旨在考查空间线面平行的判定、线线垂直的判定；考查空间想象能力和识图能力，规范化书写表达能力，难度较小.【解析】证明：(1) 在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，点M 是CD 的中点， 由AB ∥CM ，且AB ＝CM ，所以四边形ABCM 是平行四边形，且是矩形(3分)⎭⎪⎬⎪⎫所以AM ∥BC ，（4分）又因为BC ⊆平面PBC ，（5分）AM 是平面PBC 外一条直线，（6分）⇒故AM ∥平面PBC ， (2) 连接PM ，因为PD ＝PC ，点M 是CD 的中点，所以CD ⊥PM ，(8分) 又因为四边形ABCM 是矩形，CD ⊥AM ，(9分)⎭⎪⎬⎪⎫CD ⊥AM ，CD ⊥PM ，PM ⊆平面PAM ，AM ⊆平面PAM ，（10分）PM∩MA ＝M ，（11分）⇒CD ⊥平面PAM.(12分)又因为AP ⊆平面PAM ，(13分)所以CD ⊥PA.(14分)8．【苏州市2016届调研】（本小题满分16分）如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ． （1）当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积； （2）①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值； ②求PB PM ⋅的取值范围．【答案】（1（2）①详见解析，②(9,)+∞ 【解析】试题解析：（1）由题意(0,1),(0,1)B C -，焦点F ，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM11y=-，即1y =-，联立，221,41,x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得1,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,1x y =⎧⎨=-⎩（舍），即1)7M ． ………………2分连BF ，则直线BF11y=，即0x =， 而2BF a ==，172d -===． ………………………4分故11222MBFSBF d =⋅⋅=⋅=………………………5分 （2）解法一：①设(,2)P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为1(2)10k m m---==--，则直线PM 的方程为11y x m=--， 联立2211,1,4y x m x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2248(1)0x x m m ++=，解得22284(,)44m m M m m --++， ………8分所以8874794PB PM t t ⋅=-+>-+=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞．………16分 解法二：①设点()000(,)0M x y x ≠，则直线PM 的方程为0011y y x x +=-， 令2y =-，得00(,2)1x P y --+. …………………7分 所以0101y k x -=，()020*******y k x x y +--==-+， 所以()()()()2200001222000031313113441y y y y k k x x x y --+-=⋅===--（定值）. …………………10分 ②由①知，00(,3)1x PB y =+，0000(,2)1xPM x y y =+++， 所以()()()()20000000200023212311x y x x PB PM x y y y y y +⎛⎫⋅=+++=++ ⎪+++⎝⎭ =()()()()()()200000200412723211y y y y y y y -+-+++=++． …………………13分令()010,2t y =+∈，则()()8187t t PB PM t tt-+⋅==-++，因为87y t t=-++在(0,2)t ∈上单调递减， 所以8872792PB PM t t ⋅=-++>-++=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞． ……16分考点：直线与椭圆位置关系9．【淮宿连徐2016届二调】已知函数]42)4(231[)(23--++-=a x a x x e x f x ，其中R a ∈，e 为自然对数的底数（1）若函数)(x f 的图像在0=x 处的切线与直线0=+y x 垂直，求a 的值．（2）关于x 的不等式xe xf 34)(-<在)2,(-∞上恒成立，求a 的取值范围．（3）讨论)(x f 极值点的个数．【答案】（1）1a =-（2）[0)+∞，（3）当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点，当0a <时，()f x 有三个极值点．【解析】试题分析：（1）利用导数几何意义得(0)=1f '，而321()e 3x f x x x ax a ⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭，因此1a =-（2）不等式恒成立问题，一般利用变量分离，转化为对应函数最值：()()()3222max max 612811()[2203233x x x a x x x -++>=----<--]，，因此0a ≥（3）先求函数导数：321()e 3x f x x x ax a ⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭，这是一个三次函数与指数函数的乘积，因此导函数的零点为一个或三个，即()f x 只有一个极值点或有三个极值点.再分类讨论：当321()3g x x x ax a =-+-与x 轴有且仅有一个交点时，分两种情形，一是()g x 为单调递增函数（无极值），二是()g x 极值同号．当321()3g x x x ax a =-+-与x 轴有且仅有三个交点时，()g x 极值异号．试题解析：(1) 由题意，321()e 3x f x x x ax a ⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭， …………………………………………2分因为()f x 的图象在0x =处的切线与直线0x y +=垂直，所以0a ≥，即a 的取值范围是[0)+∞，． ………………………………………10分 法二：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦，即326(312)680x x a x a -++--<在(2)-∞，上恒成立，……………………………6分 因为326(312)680x x a x a -++--<等价于2(2)(434)0x x x a --++<，①当0a ≥时，22434(2)30x x a x a -++=-+≥恒成立，所以原不等式的解集为(2)-∞，，满足题意． …………………………………………8分 ②当0a <时，记2()434g x x x a =-++，有(2)30g a =<， 所以方程24340x x a -++=必有两个根12,x x ，且122x x <<， 原不等式等价于12(2)()()0x x x x x ---<，解集为12()(2)x x -∞，，，与题设矛盾，所以0a <不符合题意．综合①②可知，所求a 的取值范围是[0)+∞，．…………………………………………10分 (3) 因为由题意，可得321()e 3x f'x x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，所以()f x 只有一个极值点或有三个极值点. ………………………………………11分 令321()3g x x x ax a =-+-，①若()f x 有且只有一个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且只穿过一次，即()g x 为单调递增函数或者()g x 极值同号．ⅰ）当()g x 为单调递增函数时，2()20g'x x x a =-+≥在R 上恒成立，得1a ≥…12分 ⅱ）当()g x 极值同号时，设12,x x 为极值点，则12()()0g x g x ⋅≥，由2()20g'x x x a =-+=有解，得1a <，且21120,x x a -+=22220x x a -+=， 所以12122,x x x x a +==，所以3211111()3g x x x ax a =-+-211111(2)3x x a x ax a =--+-11111(2)33x a ax ax a =---+-[]12(1)3a x a =--，同理，[]222()(1)3g x a x a =--，所以()()[][]121222(1)(1)033g x g x a x a a x a =--⋅--≥，化简得221212(1)(1)()0a x x a a x x a ---++≥，所以22(1)2(1)0a a a a a ---+≥，即0a ≥，所以01a <≤．所以，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点； …………………14分 ②若()f x 有三个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且穿过三次，同理可得0a <； 综上，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点，当0a <时，()f x 有三个极值点． …………………16分 考点：利用导数求函数最值，利用导数研究函数极值10. 【2015届北京市石景山区高三3月统一测试（一模）理科】设数列{}n a 满足： ①11a =；②所有项*N a n ∈；③1211......n n a a a a +=<<<<<．设集合{},*m n A n|a m m N =≤∈，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数{}n a 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（Ⅰ）若数列{}n a 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{}n a ； （Ⅱ）设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前30项之和；（Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b 的前m 项和m T ． 【答案】（Ⅰ）1,4,7； （Ⅱ）84；（Ⅲ）*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈,2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩.当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=- ∴ *21()n a n n N =-∈ ， 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当*21()m t t N =-∈时： 221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+， 当*2()m t t N =∈时： 2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+， 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩.11．【镇江市2016届一模】一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为 3 cm ，则圆锥的体积是________cm 3.【答案】3π．【命题立意】本题旨在考查圆锥的几何性质，考查概念的理解和运算能力，难度较小．【解析】设圆锥的母线长为R ，高为h 。
2015年高考数学走出题海之黄金30题系列含泪分享.
A．
1 1 2 3 B． C． D． 6 3 3 4
7．如图，在执行程序框图所示的算法时，若输入 a3 ， a2 ， a1 ， a0 的值依次是 1 ， − 3 ， 3 ，
−1 ，
则输出 v 的值为
A． − 2 B． 2 C． − 8 D． 8
2015 年高考数学走出题海之黄金 30 题系列含泪分享 8．若 l , m, n 是不相同的空间直线， α , β 是不重合的平面，则下列命题正确的是() A. α / / β , l ⊂ α , n ⊂ β ⇒ l / / n B. l ⊥ n , m ⊥ n ⇒ l / / m C. l ⊥ α , l / / β ⇒ α ⊥ β D. α ⊥ β , l ⊂ α ⇒ l ⊥ β
17.三棱锥 P − ABC 中， PA ⊥ 平面 ABC , AC ⊥ BC ， D 为侧棱 PC 上一点，它的正视图 和侧视图 (如下图所示)，则 AD 与平面 PBC 所成角的大小为__ 体积为 __ _． _；三棱锥 D − ABC 的
2015 年高考数学走出题海之黄金 30 题系列含泪分享
18.在 ∆ABC 中， 若 AB = 1, AC =
BAi BC 3, AB + AC = BC ， 则其形状为__ _， = __. BC
(①锐角三角形 ②钝角三角形 ③直角三角形，在横线上填上序号)；
19.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮训练，每人投 10 次，投中的次数统计如下表： 学生 甲班 乙班 1号 6 4 2号 5 8 3号 7 9 4号 9 7 5号 8 7
2．甲、乙、丙 3 位教师安排在周一至周五中的 3 天值班，要求每人值班 1 天且每天至多安 排 1 人，则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是 A．
专题01 经典母题-2017年中考数学走出题海之黄金30题系列(解析版)
2020年中考数学走出题海之黄金30题系列(解析版)母题1【有理数的乘法】（﹣2）×3的结果是（）A．﹣5 B．1C．﹣6D．6【答案】C【解析】根据两数相乘同号得正，异号得负，再把绝对值相乘，可得答案．原式=﹣2×3=﹣6．故选：C．母题2【数轴的特征】实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（）A.aB.bC.cD.d【答案】A母题3【同底数幂的除法】下列运算正确的是（）A．a3+a3=a6B．2（a+1）=2a+1C．（ab）2=a2b2D．a6÷a3=a2【答案】C【解析】根据二次根式的运算法则，乘法分配律，幂的乘方及同底数幂的除法法则判断．解：A、a3+a3=2a3，故选项错误；B、2（a+1）=2a+2≠2a+1，故选项错误；C、（ab）2=a2b2，故选项正确；D、a6÷a3=a3≠a2，故选项错误．故选：C．母题4【由实际问题抽象出二元一次方程组】20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设男生有x人，女生有y人，根据男女生人数为20，共种了52棵树苗，列出方程组成方程组即可．解：设男生有x人，女生有y人，根据题意得，．故选：D．母题5 【分式有意义、无意义、值为0的条件】要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x=﹣2 B．x≠2 C．x＞﹣2D．x≠﹣2【答案】D．【解析】根据分式有意义的条件是分母不等于零，可得x+2≠0，据此求出x的取值范围即可．解：∵分式有意义，∵x+2≠0，∵x≠﹣2，即x的取值应满足：x≠﹣2．故选：D．母题5【角平分线】（2015•青岛）如图，在∵ABC中，∵C=90°，∵B=30°，AD是∵ABC的角平分线，DE∵AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A．B．2C．3D．+2【答案】C．母题6【三角形的外角和、内角和定理】如图，在∵ABC中，∵B、∵C的平分线BE，CD 相交于点F，∵ABC=42°，∵A=60°，则∵BFC=（）A．118°B．119°C．120°D．121°【答案】C．【解析】由三角形内角和定理得∵ABC+∵ACB=120°，由角平分线的性质得∵CBE+∵BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得结果．解：∵∵A=60°，∵∵ABC+∵ACB=120°，∵BE，CD是∵B、∵C的平分线，∵∵CBE=∵ABC，∵BCD=，∵∵CBE+∵BCD=（∵ABC+∵BCA）=60°，∵∵BFC=180°﹣60°=120°，故选：C．母题7 【全等三角形的判定和性质】如图，下列条件中，不能证明∵ABC∵∵DCB的是（）A．AB=DC，AC=DB B．AB=DC，∵ABC=∵DCB C．BO=CO，∵A=∵DD．AB=DC，∵A=∵D【答案】D．母题8【翻折变换（折叠问题】如图，Rt∵ABC中，AB=9，BC=6，∵B=90°，将∵ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．B．C．4D．5【答案】C【解析】设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt∵ABC中，根据勾股解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∵BD=3，在Rt∵ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．母题9【三线八角】如图，能判定EB∵AC的条件是（）A．∵C=∵ABE B．∵A=∵EBD C．∵C=∵ABC D．∵A=∵ABE【答案】D母题10【命题与定理】以下四个命题正确的是（）A.任意三点可以确定一个圆B.菱形对角线相等C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D．平行四边形的四条边相等【答案】C【解析】利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个选项判断后即可确定答案．解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误；C、正确；D、平行四边形的四条边不一定相等．故选C．母题11【多边形内角与外角】一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．7【答案】D【解析】根据多边形的外角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°=900°，解得n=7．故选D．母题12【一次函数图形】关于一次函数y=2x﹣l的图象，下列说法正确的是（）A．图象经过第一、二、三象限B．图象经过第一、三、四象限C．图象经过第一、二、四象限D．图象经过第二、三、四象限【答案】B．母题13【二次函数图形与系数的关系】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：∵b2﹣4ac＞0；∵abc＜0；∵m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，进而判断∵；先根据抛物线的开口向下可知a＜0，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系，然后根据有理数乘法法则判断∵；一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则可转化为ax2+bx+c=m，即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断∵即可．解：∵∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∵b2﹣4ac＞0，故∵正确；母题14【加权平均数】某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如表：候选人甲乙丙丁测试成绩（百分制）面试86929083笔试90838392如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权．根据四人各自的平均成绩，公司将录取（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解析】根据题意先算出甲、乙、丙、丁四位候选人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．解：甲的平均成绩为：（86×6+90×4）÷10=87.6（分），乙的平均成绩为：（92×6+83×4）÷10=88.4（分），丙的平均成绩为：（90×6+83×4）÷10=87.2（分），丁的平均成绩为：（83×6+92×4）÷10=86.6（分），因为乙的平均分数最高，所以乙将被录取．故选B．母题15【一次函数解析式】已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=﹣2时，y=﹣4，求这个一次函数的解析式．【答案】y=x﹣2．母题16【正方形】如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．【答案】∵BAD=90°．【解析】根据有一个直角的菱形为正方形添加条件．解：∵四边形ABCD为菱形，∵当∵BAD=90°时，四边形ABCD为正方形．故答案为∵BAD=90°．母题17【二次根式有意义的条件】在函数中，自变量x的取值范围是．【答案】x≤1且x≠﹣2．【解析】根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+2≠0，解得：x≤1且x≠﹣2．母题18（2014•邵阳）如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：．【答案】△ABP∽△AED．【解析】可利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似判断△ABP∽△AED．解：∵BP∥DF，∴△ABP∽△AED．故答案为△ABP∽△AED．学科*网母题19【锐角三角函数的定义】如图，在∵ABC中，∵C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是．1【答案】2母题20【旋转的性质】（2014•广东）如图，∵ABC绕点A顺时针旋转45°得到∵A′B′C′，若∵BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于．【答案】﹣1【解析】根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1，AF=FC′= AC′=1，进而求出阴影部分的面积．解：∵∵ABC绕点A顺时针旋转45°得到∵A′B′C′，∵BAC=90°，AB=AC=，∵BC=2，∵C=∵B=∵CAC′=∵C′=45°，∵AD∵BC，B′C′∵AB，∵AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，∵图中阴影部分的面积等于：S∵AFC′﹣S∵DEC′=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1．故答案为：﹣1．母题21【菱形】在Rt∵ABC中，∵BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A 作AF∵BC交BE的延长线于点F．（1）求证：∵AEF∵∵DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．【解析】（2）证明：由（1）知，∵AFE∵∵DBE，则AF=DB．∵DB=DC，∵AF=CD．∵AF∵BC，∵四边形ADCF是平行四边形，∵∵BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∵AD=DC= BC，∵四边形ADCF是菱形；（3）解：设菱形DC边上的高为h，∵RT∵ABC斜边BC边上的高也为h，∵BC==，∵DC=BC=，∵h==，菱形ADCF的面积为：DC•h=×=10．母题22如图，点D在∵ABC的AB边上，且∵ACD=∵A．（1）作∵BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．【答案】见解析【解析】母题23【二次函数的应用】某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元．（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件．∵求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？∵求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？【答案】见解析【解析】母题24【分式方程】某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？分析：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；（2）设至少应安排甲队工作x天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．【答案】见解析【解析】试题分析：关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．试题解析：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：﹣=4，解得：x=50经检验x=50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）设至少应安排甲队工作x天，根据题意得：0.4x+×0.25≤8，解得：x≥10，答：至少应安排甲队工作10天．学科*网母题25【分式的化简求值】先化简，再求值：（﹣）÷，其中a 2+a ﹣2=0． 【答案】43- 【解析】母题26【切线的性质】如图，AB 是∵O 的直径，点F ，C 是∵O 上两点，且==，连接AC ，AF ，过点C 作CD∵AF 交AF 延长线于点D ，垂足为D ． （1）求证：CD 是∵O 的切线； （2）若CD=2，求∵O 的半径．【答案】见解析 【解析】试题分析：（1）连结OC ，由=，根据圆周角定理得∵FAC=∵BAC ，而∵OAC=∵OCA ，则∵FAC=∵OCA ，可判断OC∵AF ，由于CD∵AF ，所以OC∵CD ，然后根据切线的判定定理得到CD 是∵O 的切线；（2）连结BC ，由AB 为直径得∵ACB=90°，由==得∵BOC=60°，则∵BAC=30°，所以∵DAC=30°，在Rt∵ADC 中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在Rt∵ACB 中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BC=AC=4，AB=2BC=4，所以∵O 的半径为4．试题解析：（1）证明：连结OC ，如图， ∵=，∵∵FAC=∵BAC ，∵OA=OC ，∵∵OAC=∵OCA ，∵∵FAC=∵OCA ，∵OC∵AF ，∵CD∵AF ，∵OC∵CD ， ∵CD 是∵O 的切线；母题27【频数（率）分布直方图；扇形统计图；列表法与树状图法】我市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修易门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；（2）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人选2人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．【答案】见解析【解析】（2）画树状图如下：，或列表如下：共有12种等可能的情况，恰好1人选修篮球，1人选修足球的有4种，则概率是：=．母题28【一次函数与不等式的联系】某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．2月份用水20吨，交水费32元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式；（3）小黄家3月份用水26吨，他家应交水费多少元？【答案】见解析母题29【圆的性质、两圆的位置关系、解直角三角形】如图，在Rt∵ABC中，∵ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，∵O为∵ABC的内切圆．（1）求∵O的半径；（2）点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动，以P为圆心，PB长为半径作圆，设点P运动的时间为t s，若∵P与∵O相切，求t的值．【答案】见解析【解析】试题解析：（1）如图1，设∵O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，则AD=AF，BD=BE，CE=CF．∵∵O为∵ABC的内切圆，∵OF∵AC，OE∵BC，即∵OFC=∵OEC=90°．∵∵C=90°，∵四边形CEOF是矩形，∵OE=OF，∵四边形CEOF是正方形．设∵O的半径为rcm，则FC=EC=OE=rcm，在Rt∵ABC中，∵ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，∵AB==5cm．∵AD=AF=AC﹣FC=4﹣r，BD=BE=BC﹣EC=3﹣r，∵4﹣r+3﹣r=5，解得r=1，即∵O的半径为1cm．在Rt∵OPH中，由勾股定理，解得t=．母题30 【综合题】如图，在直角坐标系中，Rt∵OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）设∵OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使∵OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【解析】∵若∵ONM=90°，则∵ONM=∵OAB，证出∵OMN∵∵OBA，得出比例式，求出x的值即可．试题解析：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，在Rt∵OAB中，由勾股定理得：OB= ==5，作NP∵OA于P，如图1所示：则NP∵AB，∵∵OPN∵∵OAB，∵，即，解得：OP=x，PN=，∵点N的坐标是（x，）；（2）在∵OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=，∵S=OM•PN=（4﹣x）•=﹣x2+x，∵S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+x（0＜x＜4），配方得：S=﹣（x﹣2）2+，∵﹣＜0，∵S有最大值，当x=2时，S有最大值，最大值是；（3）存在某一时刻，使∵OMN是直角三角形，理由如下：分两种情况：∵若∵OMN=90°，如图2所示：则MN∵AB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵MN∵AB，∵∵OMN∵∵OAB，∵，即，解得：x=2；∵若∵ONM=90°，如图3所示：则∵ONM=∵OAB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵∵ONM=∵OAB，∵MON=∵BOA，∵∵OMN∵∵OBA，∵，即，解得：x=；综上所述：x的值是2秒或秒．。
2015年海南省中考数学试卷答案与解析
2015年省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共42分）1．（3分）（2015•）﹣2015的倒数是（）A．B．C．﹣2015 D．2015 ﹣考点：倒数．分析：根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．解答：解：∵﹣2015×（﹣）=1，∴﹣2015的倒数是﹣，应选：A．点评：此题主要考查倒数的意义，解决此题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为倒数．2．（3分）（2015•）以下运算中，正确的是（）A．a2+a4=a6B．a6÷a3=a2C．（﹣a4）2=a6D．a2•a4=a6考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．解答：解：A、a2•a4=a6，故错误；B、a6÷a3=a3，故错误；C、（﹣a4）2=a8，故错误；D、正确；应选：D．点评：此题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．3．（3分）（2015•）已知x=1，y=2，则代数式x﹣y的值为（）A．1B．﹣1 C．2D．﹣3考点：代数式求值．分析：根据代数式的求值方法，把x=1，y=2代入x﹣y，求出代数式x﹣y的值为多少即可．解答：解：当x=1，y=2时，x﹣y=1﹣2=﹣1，即代数式x﹣y的值为﹣1．应选：B．点评：此题主要考查了代数式的求法，采用代入法即可，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．4．（3分）（2015•）有一组数据：1，4，﹣3，3，4，这组数据的中位数为（）A．﹣3 B．1C．3D．4考点：中位数．分析：根据中位数的定义，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数求解即可．解答：解：将这组数据从小到大排列为：﹣3，1，3，4，4，中间一个数为3，则中位数为3．应选C．点评：此题为统计题，考查中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．5．（3分）（2015•）如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体．则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．解答：解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形，应选：B．点评：此题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．6．（3分）（2015•）据报道，2015年全国普通高考报考人数约为9 420 000人，数据9 420 000用科学记数法表示为9.42×10n，则n的值是（）A．4B．5C．6D．7考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．确定a×10n （1≤|a|＜10，n为整数）中n的值，由于9420000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．解答：解：∵9420000=9.42×106，∴n=6．应选C．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以与n的值．7．（3分）（2015•）如图，以下条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．A B=DC，AC=DB B．A B=DC，∠ABC=∠DCBC．B O=CO，∠A=∠D D．A B=DC，∠A=∠D考点：全等三角形的判定．分析：此题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．解答：解：根据题意知，BC边为公共边．A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、由BO=CO可以推知∠ACB=∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．应选：D．点评：此题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．（3分）（2015•）方程=的解为（）A．x=2 B．x=6 C．x=﹣6 D．无解考点：解分式方程．专题：计算题．分析：此题考查解分式方程的能力，观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解．解答：解：方程两边同乘以x（x﹣2），得3（x﹣2）=2x，解得x=6，将x=6代入x（x﹣2）=24≠0，所以原方程的解为：x=6，应选B．点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．9．（3分）（2015•）某企业今年1月份产值为x万元，2月份比1月份减少了10%，3月份比2月份增加了15%，则3月份的产值是（）A．（1﹣10%）（1+15%）x万元B．（1﹣10%+15%）x万元C．（x﹣10%）（x+15%）万元D．（1+10%﹣15%）x万元考点：列代数式．分析：根据3月份、1月份与2月份的产值的百分比的关系列式计算即可得解．解答：解：3月份的产值为：（1﹣10%）（1+15%）x万元．应选A点评：此题考查了列代数式，理解各月之间的百分比的关系是解题的关键．10．（3分）（2015•）点A（﹣1，1）是反比例函数y=的图象上一点，则m的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．0D．1考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：把点A（﹣1，1）代入函数解析式，即可求得m的值．解答：解：把点A（﹣1，1）代入函数解析式得：1=，解得：m+1=﹣1，解得m=﹣2．应选B．点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．11．（3分）（2015•）某校幵展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督导，恰好选中两名男学生的概率是（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中两名男学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，恰好选中两名男学生的有2种情况，∴恰好选中两名男学生的概率是：=．应选A．点评：此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．（3分）（2015•）甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如下图，则以下说法错误的是（）A．甲、乙两人进行1000米赛跑B．甲先慢后快，乙先快后慢C．比赛到2分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等D．甲先到达终点考点：函数的图象．分析：根据给出的函数图象对每个选项进行分析即可．解答：解：从图象可以看出，甲、乙两人进行1000米赛跑，A说确；甲先慢后快，乙先快后慢，B说确；比赛到2分钟时，甲跑了500米，乙跑了600米，甲、乙两人跑过的路程不相等，C 说法不正确；甲先到达终点，D说确，应选：C．点评：此题考查的是函数的图象，从函数图象获取正确的信息是解题的关键．13．（3分）（2015•）如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质．分析：利用相似三角形的判定方法以与平行四边形的性质得出即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．应选：D．点评：此题主要考查了相似三角形的判定以与平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．14．（3分）（2015•）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．30°C．75°D．60°考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=OA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．解答：解：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，∴OD=CD，∴OD=OC=OA，∴∠OAD=30°，而OA=OB，∴∠CBA=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=∠AOB=60°．应选D．点评：此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质．二、填空题（每小题4分，共16分）15．（4分）（2015•）分解因式：x2﹣9= （x+3）（x﹣3）．考点：因式分解-运用公式法．分析：此题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．解答：解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．故答案为：（x+3）（x﹣3）．点评：主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．16．（4分）（2015•）点（﹣1，y1）、（2，y2〕是直线y=2x+1上的两点，则y1＜y2（填“＞”或“=”或“＜”）考点：一次函数图象上点的坐标特征．分析：根据k=2＞0，y将随x的增大而增大，得出y与y2的大小关系．1解答：解：∵k=2＞0，y将随x的增大而增大，2＞﹣1，∴y1＜y2．故y1与y2的大小关系是：y1＜y2．故答案为：＜点评：此题考查一次函数的图象性质，关键是根据当k＞0，y随x增大而增大；当k＜0时，y将随x的增大而减小．17．（4分）（2015•）如图，在平面直角坐标系中，将点P（﹣4，2）绕原点顺时针旋转90°，则其对应点Q的坐标为（2，4）．考点：坐标与图形变化-旋转．分析：首先求出∠MPO=∠QON，利用AAS证明△PMO≌△ONQ，即可得到PM=ON，OM=QN，进而求出Q点坐标．解答：解：作图如右，∵∠MPO+∠POM=90°，∠QON+∠POM=90°，∴∠MPO=∠QON，在△PMO和△ONQ中，∵，∴△PMO≌△ONQ，∴PM=ON，OM=QN，∵P点坐标为（4，2），∴Q点坐标为（2，4），故答案为（2，4）．点评：此题主要考查了旋转的性质，以与全等三角形的判定和性质，关键是掌握旋转后对应线段相等．18．（4分）（2015•）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为14 ．考点：矩形的性质．分析：运用平移个观点，五个小矩形的上边之和等于AD，下边之和等于BC，同理，它们的左边之和等于AB，右边之和等于DC，可知五个小矩形的周长之和为矩形ABCD的周长．解答：解：将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，则五个小矩形的周长之和=2（AB+BC）=2×（3+4）=14．故答案为：14．点评：此题考查了平移的性质，矩形性质，勾股定理的运用．关键是运用平移的观点，将小矩形的四边平移，与大矩形的周长进行比较．三、解答题（此题共6小题，共62分）19．（10分）（2015•）（1）计算：（﹣1）3﹣﹣12×2﹣2；（2）解不等式组：．考点：实数的运算；负整数指数幂；解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．解答：解：（1）原式=﹣1﹣3﹣12×=﹣1﹣3﹣3=﹣7；（2），由①得：x≤2，由②得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．20．（8分）（2015•）小明想从“天猫”某网店购买计算器，经査询，某品牌A号计算器的单价比B型号计算器的单价多10元，5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同，问A、B两种型号计算器的单价分别是多少？考点：一元一次方程的应用．分析：设A号计算器的单价为x元，则B型号计算器的单价是（x﹣10）元，依据“5台A 型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同”列出方程并解答．解答：解：设A号计算器的单价为x元，则B型号计算器的单价是（x﹣10）元，依题意得：5x=7（x﹣10），解得x=35．所以35﹣10=25（元）．答：A号计算器的单价为35元，则B型号计算器的单价是25元．点评：此题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出适宜的等量关系列出方程，再求解．21．（8分）（2015•）为了治理大气污染，我国中部某市抽取了该市2014年中120天的空气质量指数，绘制了如下不完整的统计图表：空气质量指数统计表级别指数天数百分比优0﹣50 24 m良51﹣100 a 40%轻度污染101﹣150 18 15%中度污染151﹣200 15 12.5%重度污染201﹣300 9 7.5%严重污染大于300 6 5%合计120 100%请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：（1）空气质量指数统计表中的a= 48 ，m= 20% ；（2）请把空气质量指数条形统计图补充完整：（3）若绘制“空气质量指数扇形统计图”，级别为“优”所对应扇形的圆心角是72 度；（4）估计该市2014年（365天）中空气质量指数大于100的天数约有146 天．考点：条形统计图；用样本估计总体；统计表；扇形统计图．分析：（1）用24÷120，即可得到m；120×40%即可得到a；（2）根据a的值，即可补全条形统计图；（3）用级别为“优”的百分比×360°，即可得到所对应的圆心角的度数；（4）根据样本估计总体，即可解答．解答：解：（1）a=120×40%=48，m=24÷120=20%．故答案为：48，20%；（2）如下图：（3）360°×20%=72°．故答案为：72；（4）365×=146（天）．故答案为：146．点评：此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（9分）（2015•）如图，某渔船在小岛O南偏东75°方向的B处遇险，在小岛O南偏西45°方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援，此时，中国渔政船与小岛O 相距8海里，渔船在中国渔政船的正向上．（1）求∠BAO与∠ABO的度数（直接写出答案）；（2）若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能否在1小时赶到？请说明理由．（参考數据：tan75°≈3.73，tan15°≈0.27，≈1.41，≈2.45）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：（1）作OC⊥AB于C，根据方向角的定义得到∠AOC=45°，∠BOC=75°，由直角三角形两锐角互余得出∠BAO=90°﹣∠AOC=45°，∠ABO=90°﹣∠BOC=15°；（2）先解Rt△OAC，得出AC=OC=OA≈5.64海里，解Rt△OBC，求出BC=OC•tan∠BOC≈21.0372海里，那么A B=AC+BC≈26.6772海里，再根据时间=路程÷速度求出中国渔政船赶往B处救援所需的时间，与1小时比较即可求解．解答：解：（1）如图，作OC⊥AB于C，由题意得，∠AOC=45°，∠BOC=75°，∵∠ACO=∠BCO=90°，∴∠BAO=90°﹣∠AOC=90°﹣45°=45°，∠ABO=90°﹣∠BOC=90°﹣75°=15°；（2）若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能在1小时赶到．理由如下：∵在Rt△OAC中，∠ACO=90°，∠AOC=45°，OA=8海里，∴AC=OC=OA≈4×1.41=5.64海里．∵在Rt△OBC中，∠BCO=90°，∠BOC=75°，OC=4海里，∴BC=OC•tan∠BOC≈5.64×3.73=21.0372海里，∴AB=AC+BC≈5.64+21.0372=26.6772海里，∵中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，∴中国渔政船所需时间：26.6772÷28≈0.953小时＜1小时，故若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能在1小时赶到．点评：此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，直角三角形的性质，锐角三角函数定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．（13分）（2015•）如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC 的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．（1）求证：△ADP≌△ECP；（2）若BP=n•PK，试求出n的值；（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．考点：四边形综合题．分析：（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理证明结论；（2）作PI∥CE交DE于I，根据点P是CD的中点证明CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质证明结论；（3）作OG⊥AE于G，根据平行线等分线段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，证明△MON 是等腰三角形，根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠MON的度数．解答：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，在△ADP和△ECP中，，∴△ADP≌△ECP；（2）如图1，作PI∥CE交DE于I，则=，又点P是CD的中点，∴=，∵△ADP≌△ECP，∴AD=CE，∴==，∴BP=3PK，∴n=3；（3）如图2，作OG⊥AE于G，∵BM丄AE于，KN丄AE，∴BM∥OG∥KN，∵点O是线段BK的中点，∴MG=NG，又OG⊥MN，∴OM=ON，即△MON是等腰三角形，由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP=，则AP=，根据三角形面积公式，BM=，由（2）得，PB=3PO，∴OG=BM=，MG=MP=，tan∠MOG==，∴∠MOG=60°，∴∠MON的度数为120°．点评：此题考查的是菱形的性质和相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用判定定理和性质定理是解题的关键，注意锐角三角函数在解题中的运用．24．（14分）（2015•）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B （1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD平行GC交y轴于点D．（1）求该二次函数的表达式；（2）求证：四边形ACHD是正方形；（3）如图2，点M（t，p）是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限，过点M的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N．①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值围；②若△CMN的面积等于，请求出此时①中S的值．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），应用待定系数法，求出a、b的值，即可求出二次函数的表达式．（2）首先分别求出点C、G、H、D的坐标；然后判断出AO=CO=DO=HO=3，AH⊥CD，判断出四边形ACHD是正方形即可．（3）①作ME⊥x轴于点E，作MF⊥y轴于点F，根据四边形ADCM的面积为S，可得S=S四边形AOCM+S△AOD，再分别求出S四边形AOCM、S△AOD即可．②首先设点N的坐标是（t1，p1），则NI=|t1|，所以S△CMN=S△COM+S△CON=（|t|+|t1|），再根据t＜0，t1＞0，可得S△CMN=（|t|+|t1|）==，据此求出t1﹣t=；然后求出k1、k2的值是多少，进而求出t1、t2的值是多少，再把它们代入S关于t的函数表达式，求出S的值是多少即可．解答：解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），∴解得∴二次函数的表达式为y=﹣x2﹣2x+3．（2）如图1，，∵二次函数的表达式为y=﹣x2﹣2x+3，∴点C的坐标为（0，3），∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴点G的坐标是（﹣1，4），∵点C的坐标为（0，3），∴设CG所在的直线的解析式是y=mx+3，则﹣m+3=4，∴m=﹣1，∴CG所在的直线的解析式是y=﹣x+3，∴点H的坐标是（3，0），设点D的坐标是（0，p），则，∴p=﹣3，∵AO=CO=DO=HO=3，AH⊥CD，∴四边形ACHD是正方形．（3）①如图2，作ME⊥x轴于点E，作MF⊥y轴于点F，，∵四边形ADCM的面积为S，∴S=S四边形AOCM+S△AOD，∵AO=OD=3，∴S△AOD=3×3÷2=4.5，∵点M（t，p）是y=kx与y=﹣x2﹣2x+3在第二象限的交点，∴点M的坐标是（t，﹣t2﹣2t+3），∵ME=﹣t2﹣2t+3，MF=﹣t，∴S四边形AOCM=×3×（﹣t2﹣2t+3）=﹣t2﹣t+，∴S=﹣t2﹣t++4.5=﹣t2﹣t+9，﹣3＜t＜0．②如图3，作NI⊥x轴于点I，，设点N的坐标是（t1，p1），则NI=|t1|，∴S△CMN=S△COM+S△CON=（|t|+|t1|），∵t＜0，t1＞0，∴S△CMN=（|t|+|t1|）==，，联立可得x2﹣（k+2）x﹣3=0，∵t1、t是方程的两个根，∴∴=﹣4t1t=（k+2）2﹣4×（﹣3）==，解得，，a、k=﹣时，由x2+（2﹣）x﹣3=0，解得x1=﹣2，或（舍去）．b、k=﹣时，由x2+（2﹣）x﹣3=0，解得x3=﹣，或x4=2（舍去），∴t=﹣2，或t=﹣，t=﹣2时，S=﹣t2﹣t+9=﹣×4﹣×（﹣2）+9=12t=﹣时，S=﹣×﹣×+9=，∴S的值是12或．点评：（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合方法的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．（2）此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法，以与方程的根与系数的关系，要熟练掌握．（3）此题还考查了三角形的面积的求法，以与正方形的判定和性质的应用，要熟练掌握．。
中考数学 走出题海之黄金30题系列(第01期)专题06 考前
专题06 考前必做难题30题一、选择题1．已知a ，b 是方程2201310x x ++=的两个根，则22(12015)(12015)a a b b ++++的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D ．【解析】∵a ，b 是方程2201310x x ++=，∴2201310a a ++=，2201310b b ++=，2013a b +=-，1ab =，则22(12015)(12015)a a b b ++++=22(120132)(120132)a a a b b b ++++++=4ab =4．故选D ．2．如图，矩形BCDE 的各边分别平行于x 轴或y 轴，物体甲和物体乙由点A （2，0）同时出发，沿矩形BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以l 个单位，秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位，秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（-1，1）C ．（-2，1）D ．（-1，-l ） 【答案】B ．3．已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x=上，点N 在直线3y x =+上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数2()y abx a b x =-++( )A ．有最大值－4．5B ．有最大值4．5C ．有最小值4．5D ．有最小值－4． 【答案】B ．【解析】∵M ，N 两点关于y 轴对称，点M 的坐标为（a ，b ）， ∴N 点的坐标为（-a ，b ），又∵点M 在反比例函数12y x=的图象上，点N 在一次函数y=x+3的图象上，∴123b a b a ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得123ab a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，故二次函数y=-abx 2+（a+b ）x 为y=-12x 2+3x ， ∴二次项系数为-12＜0，故函数有最大值，最大值为y=239 4.5124()2-==⨯- 故选B ．4．如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图6中三角形的个数是（ ）A ．18B ．19C ．20D ．21 【答案】C ．【解析】由图可知：第一个图案有三角形1个．第二图案有三角形1+3=4个． 第三个图案有三角形1+3+4=8个， 第四个图案有三角形1+3+4+4=12个， 第五个图案有三角形1+3+4+4+4=16个， 第六个图案有三角形1+3+4+4+4+4=20个， 故选C ．5.如图1，在平面直角坐标系中，将□ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴．直线y=－x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示，那么ABCD 面积为（ ）A ．4B ．45C ．8D ．85 【答案】C 【解析】试题分析：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A ，当移动距离是7时，直线经过D ，在移动距离是8时经过B ，则AB=8-4=4，当直线经过D 点，则直线被截的距离为22，根据等腰直角三角形的性质可得高为2，则S=4×2=8. 故选C.6．如图，正方形ABCD 的对角线相交于O ，点F 在AD 上，AD=3AF ， △AOF 的外接圆交AB 于E ，则AFAE的值为：（ ）FCBAOE DA ．23 B ．3 C ．35D ．2 【答案】D ．【解析】连接EO 、FO ，如图，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD=90°，∠BOA=90°，∠AOD=90°，∴∠FOE=90°（圆内接四边形的对角互补），∵∠AOD=90°，∴∠DOF=∠AOE ，又∵∠FDO=∠OAE=45°，∴△DOF ≌△AOE ，∴DF=AE ，∵AD=3AF ，∴FD=2AF ，∴AE=2AF ，∴2AEAF． 故选D.7．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ，设AP=x ，△APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为（ ）【答案】B ．【解析】当点Q 在AC 上时，∵∠A=30°，AP=x ，∴PQ=xtan30°=33x ∴y=12×AP ×PQ=12×x ×33x =236x ； 当点Q 在BC 上时，如下图所示：∵AP=x ，AB=16，∠A=30°，∴BP=16-x ，∠B=60°，∴PQ=BP •tan60°=3（16-x ）．∴S △APQ =12AP •PQ=12x •3（16-x ）=-32x 2+83x ． ∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下． 故选B ．8.如图，E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值为（ ）A ．22 B ．21 C ．23 D ．32【答案】A【解析】连接BP ，过C 作CM ⊥BD ，∴BPC BPE BCE S S S ∆∆∆+=，即111222BE CM BC PQ BE PR ⋅=⋅+⋅，又∵BE BC = ∴()1122BE CM BE PQ PR ⋅=+，∴PR PQ CM +=， ∵BE=BC=1且正方形对角线22==BC BD ，又BC=CD ，CM ⊥BD ，∴M 为BD 中点，又△BDC 为直角三角形，∴2221==BD CM ，即PQ+PR 值是22．故选A.9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点()6,0A 、()0,6B ，⊙O 的半径为2(O 为坐标原点)，点P 是直线AB 上的一动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为（ ）．A ．7B ．3C ．32D ．14 【答案】D【解析】联结OP 、OQ ，由切线的定义可知OQ PQ ⊥，故2224PQ OP OQ OP =-=-.要求PQ 的最小值，只需求OP 的最小值，而根据A 、B 坐标，可知OP 取最小值时有OP AB ⊥，此时1322OP AB ==，代入即可求得. 故选D.10．如图，矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ，设△BPQ, △DKM, △CNH 的面积依次为S 1，S 2，S 3.若S 1+S 3=20，则S 2的值为( )．A ．6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B ．【解析】∵矩形AEH C是由三个全等矩形拼成的，∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH，∴四边形BEFD，四边形DFGC是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN，∴BE∥DF∥CG∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH，∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，∴12AB BQAD MD==，13BQ ABCH AC==，∴△BPQ ∽△DKM∽△CNH ，∴12BQMD=，13BQCH=，∴11231149S SS S==，∴S2=4S1，S3=9S1，∵S1+S3=20，∴S1=2，∴S2=8．故选B．二、填空题11．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=【答案】33【解析】∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，∴AM=AN=2，BM=DN=4，连接MN，连接AC，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°在Rt△ABC与Rt△ADC中AB ADAC AC==⎧⎨⎩，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠BAC=∠DAC=12∠BAD=30°，MC=NC，∴BC=12AC，∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，∴3，在Rt△BMC中，22224(23)27BM BC=+=+∵AN=AM ，∠MAN=60°，∴△MAN 是等边三角形，∴MN=AM=AN=2，过M 点作ME ⊥CN 于E ，设NE=x ，则CE=27-x ，∴MN 2-NE 2=MC 2-EC 2，即4-x 2=（27）2-（27-x ）2，解得：x=77，∴EC=27-77=1377，∴ME=223217MN NE =-，∴tan ∠MCN=3313ME EC = 12．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的O e 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于_______________．【答案】12【解析】根据圆的基本性质可得∠AED=∠ABC ，则tan ∠AED=tan ∠ABC=12． 13．如图在矩形ABCD 中，AD=4,M 是AD 的中点，点E 是线段AB 上的一动点，连接EM 并延长交CD 的延长线于点F ，G 是线段BC 上的一点，连接GE 、GF 、GM ．若△EGF 是等腰直角三角形，EGF ∠=90°，则AB=【答案】2【解析】由M 是AD 的中点，可得AM=MD ，根据矩形的性质得∠A=∠MDF=90°，再利用“ASA ”证明△AME 和△DMF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DF ，根据等腰直角三角形的性质可得EG=FG ，再求出∠BGE=∠CFG ，然后利用“AAS ”证明△BEG 和△CGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=CF ，BE=CG ，设BE=x ，然后根据BG 、CF 的长度得到：4-x=AB+AB-x ，解得AB=2．14．如图，已知二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y kx m =+ 的图像相交于点A （-3,5），B （7，2），则能使12y y ≤ 成立的x 的取值范围是【答案】-3≤x ≤7.【解析】已知函数图象的两个交点坐标分别为A （-3,5），B （7，2），∴当有y 1≤y 2时，有-3≤x ≤7． 15．如图，在平面直角坐标系中，A(1,0)，B(0,3)，以AB 为边在第一象限作正方形ABCD,点D 在双曲线y=k x (k ≠0)上，将正方形沿x 轴负方向平移 m 个单位长度后，点C 恰好落在双曲线上，则m 的值是【答案】2【解析】作CE ⊥y 轴于点E ，交双曲线于点G ．作DF ⊥x 轴于点F ．根据图示可得△OAB 和△FDA 和△BEC 全等，从而得出点D 的坐标为(4,1)，点C 的坐标为(3,4)。
2015年高考数学走出题海之黄金30题系列(第01期)专题01经典母题30题理(含解析)
2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题一经典母题30题(第一期)1．设复数11z i=-，则z 的共轭复数是( )A ．11i +B ．1i +C ．11i-D ．1i -【答案】D【解析】由题可知，i i ii z +=-=-=11112，故z ＝1＋i 的共轭复数为z ＝1－i ；2．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为()A ．1【答案】B【解析】因为f (x 0)≥0，所以－x 02＋2x 0＋3≥0，解得：－1≤x 0≤3，所以使f (x 0)≥0成立的概率是B ．317个项中，整式的个数是()A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】B，(,016)k Z k ∈≤≤，要k ＝6，8，10，故有三项，选B .4．在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =，CA CE λ=，若1AD BE ⋅=-，则λ的值为()(A B )2(C D )3【答案】C【解析】由题意可得：()()()1AD BE AB BD BC CE AB BC BC CA λ⎛⎫⋅=++=++ ⎪211AB BC BC AB CA BC CA λλ⋅++⋅+⋅=5.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，1c =，2A B =.则a 的值为()(A B C D 【答案】D【解析】由题意可知：B b a B B A B A cos 2cos sin 2sin 2sin sin =⇒=⇒=，所以，由余弦定理可得：B ac c a b cos 2222-+=即，所以122=a ，所以6.(0ω>)的图象分别向左.向右各平移重合，则ω的最小值为()A .1C .2D .4 【答案】Cω＞0)y ＝2ω＞0)的图象向右平移②，解①得=0ω不合题意，解②得：ω＝2k ，k ∈Z ，则ω的最小值为2，故选C7.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数()A ．1+=x y 的图像上B ．x y 2=的图像上C ．x y 2=的图像上D ．12-=x y 的图像上【答案】D【解析】由题可知，输入x ＝1，y ＝1，由于1≤4，输出点(1，1)，进入循环，x ＝1＋1＝2，y ＝2×1＝2，由于2≤4，输出点(2，2)，进入循环， x ＝2＋1＝3，y ＝2×2＝4，由于3≤4，输出点(3，4)，进入循环， x ＝3＋1＝4，y ＝2×4＝8，由于4≤4，输出点(4，8)，进入循环，x ＝4＋1＝5＞4，循环结束；故点(2，2)，点(3，4)点(4，8)满足均在函数12-=x y 的图像上；8.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f '(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ''(x )是f '(x )的导数，若方程f ''(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。
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专题04 名校模拟精华30题一、选择题1．(2015届江苏东台第一教研片九下第一次月考)一只因损坏而倾斜的椅子，从背后看到的形状如图，其中两组对边的平行关系没有发生变化，若175∠=º，则2∠的大小是（ ）．A ．75ºB ．115ºC ．65ºD ．105º【答案】D ．2．(2015届浙江象山丹城实验初级中学九下学期始考)将两个长方体如图放置，则所构成的几何体的左视图可能是（ ）【答案】C【解析】几何体的左视图即从几何体左边看到的视图，而且看得见的轮廓线用实线表示，故选C .3．(2015届山东滕州木石中学九下学业水平模拟1)如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）A ．点MB ．格点NC ．格点PD ．格点Q【答案】B【解析】由旋转的性质我们知道对应点到旋转中心的距离相等，则旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，所以只需要找到对应点连线的垂直平分线的交点即可，容易得到格点N就是所求的旋转中心．故选B.4．(2015届湖北广水马坪镇中心中学九下第一次月考)下列运算正确的是（）．A．x2•x3=x6B．x6÷x5=x C．（﹣x2）4=x6D．x2+x3=x5【答案】B．5．(2015届重庆一中九下开学考)函数13yx=-中自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x＝3 C．x＜2且x≠3 D．x≤2且x≠3【答案】A【解析】当2030xx-≥⎧⎨-≠⎩时，函数有意义，所以x的取值范围是x≤2 ，故选A.6．(2015届山东滕州木石中学九下学业水平模拟)如图，ΔABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF的度数是（）A．75°B．70°C．65°D．60°【答案】C【解析】因为AB=AC，∠A=50°，所以∠B=∠C=65°，又因为BD=CE，BE=CF，所以ΔBDE≌ΔCEF,所以∠BED=∠CFE，因为∠CFE+∠CEF=180°－65°=115°，所以∠BED+∠CEF=115°，所以∠DEF=180°－（∠BED+∠CEF）=180°－115°=65°，故选C.7．(2015届湖北广水马坪镇中心中学九下第一次月考)已知：在△ABC中，BC=10，BC边上的高h =5，点E 在边AB 上，过点E 作EF ∥BC ，交AC 边于点F ．点D 为BC 上一点，连接DE 、DF ．设点E 到BC 的距离为x ，则△DEF 的面积S 关于x 的函数图象大致为（ ）．【答案】D ．【解析】判断出△AEF 和△ABC 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF =10－2x ，，再根据三角形的面积列式表示出S 与x 的关系式为2525)01024S x x =--+（（＜＜），然后得到大致图象为D ．故选D ． 8．(2015届湖北武汉部分学校九年3月联考)如图，△ABO 缩小后变为O B A ''△，其中A 、B 的对应点分别为''B A 、，''B A 、均在图中格点上，若线段AB 上有一点),(n m P ，则点P 在''B A 上的对应点'P 的坐标为（ ）．A 、),2(n mB 、),(n mC 、)2,(n mD 、)2,2(n m 【答案】D ．【解析】根据A ，B 两点坐标以及对应点'A ，'B 点的坐标得出坐标变化规律，进而得出'P 坐标为22m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 故选D ．9．(2015届河北沙河二十冶三中九上二模)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥A B．若AD=2BD，则CFBF的值为（）A．12B．13C．14D．23【答案】A．【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD AE ADAB AC AD BD==+，∵AD=2DB，∴23AD AEAB AC==．则13CEAC=，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴13CF CEBC AC==，则12CFBF=．故选A．10．(2015届湖北武汉黄陂区部分学校九年3月联考)如图，AB是⊙O的直径且AB=点C是OA的中点，过点C[，作CD⊥AB交⊙O于D点，点E是⊙O上一点，连接DE，AE交DC的延长线于点F，则AE·AF的值为（）．A．B．12C．D．【答案】B．【解析】连接BE，由AB是直径得∠AEB=90°，由CD⊥AB得∠ACF=90°，进一步可以证得△ACF∽△AEB，所以AC AFAE AB=，所以AE×AF=AC×AB，即AE×AF=12．故选B．11．(2015届湖北武汉黄陂区部分学校九年3月联考)如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，如果铺设成如图②的图案，其中完整的圆一共有5个，如果铺设成如图③的图案，其中完整的圆一共有13个，如果铺设成如图④的图案，其中完整的圆一共有25个，以此规律下去，第10个图中，完整的圆一共有（）．A．100个B．101个C．181个D．221个【答案】C．【解析】如果将图①看作是铺成的一个1×1的正方形图案，图②看作是铺成的一个2×2的正方形图案，图③看作是铺成的一个3×3的正方形图案，图④看作是铺成的一个4×4的正方形图案，那么根据给出的四个图形的规律可以知道，组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方；又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形的边长减1的平方，从而可得第10个图中完整的圆共有()22+-=个．10101181故选C．12．(2015届河北沙河二十冶第三中学九上第二次模拟)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连结BE交AC于F，连结FD，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD②△FED与△DEB③△CFD与△ABG④△ADF与△CFB中相似的为（）A ．①④B ．①②C ．②③④D ．①②③【答案】D ．【解析】根据题意得：∠BAE =∠ADC =∠AFE =90°，∴∠AEF +∠EAF =90°，∠DAC +∠ACD =90°，∴∠AEF =∠ACD ，∴①中两三角形相似； 容易判断△AFE ∽△BAE ，得AE EB EF AE=， 又∵AE =ED ，∴ED EB EF ED =而∠BED =∠BED ，∴△FED ∽△DE B ．故②正确； ∵AB ∥CD ，∴∠BAC =∠GCD ，∵∠ABE =∠DAF ，∠EBD =∠EDF ，且∠ABG =∠ABE +∠EBD ， ∴∠ABG =∠DAF +∠EDF =∠DFC ；∵∠ABG =∠DFC ，∠BAG =∠DCF ，∴△CFD ∽△ABG ，故③正确；所以相似的有①②③．故选D ．二、填空题13．(2015届湖北武汉部分学校九年3月联考)计算；分解因式：a a -3= ；【答案】)1)(1(-+a a a ．【解析】有公因式的先提取公因式，然后进行分解因式，()()()32111a a a a a a a -=-=+-．14．(2015届江苏东台第一教研片九下第一次月考)三角形的三边长分别为3、m 、5，化简_______．【答案】2m －10．【解析】根据三角形的三边关系可知，2<m <8，根据m 的取值范围对代数式进行化简，原式=m －2－8+m =2m －10．15．(2015届重庆市一中九下开学考)如图，在矩形ABCD 中，24AB AD ==，以点A 为圆心，AB 为半径的圆弧交CD 于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）【答案】83π-【解析】因为在矩形ABCD 中，AB =2DA =4，所以AB =AE =4，所以DE =32242222=-=-AD AE ，sin ∠DAE =23432==AE DE ，所以∠DAE =60°，所以图中阴影部分的面积为：.16．(2015届湖北武汉部分学校九年3月联考)甲、乙两车从A 地驶向B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h ，并且甲车途中休息了0．5h （休息前后的速度一致），如图是甲乙两车行驶的距离y （km ）与时间x （h ）的函数图象．则当乙车行驶 小时后，两车恰好相距50km ．【答案】14或 ．【解析】根据“路程÷时间=速度”由函数图像就可以求出甲的速度，进而求出a =40，m =1；由待定系数法求出甲车在1．5＜x ≤7范围对应的解析式为y =40x －20，再求出乙车行驶的路程y 与时间x 之间的解析式为y =80x －160，由解析式之间的关系建立方程40x －20－50=80x －160或40x －20=80x －160－50，用求得的x 值分别减去2，即可得到答案．17．(2015届湖北武汉部分学校九年3月联考)如图，点A （m ，6），B （n ，1）在反比例函数图象上，AD ⊥x 轴于点D ，BC ⊥x 轴于点C ，DC =5．线段DC 上有一点E ，当△ABE 的面积等于5时，点E的坐标为．【答案】（5，0）．【解析】由题意得：，解得：，∴A（1，6），B（6，1），设反比例函数解析式为y=，将A（1，6）代入得：k=6，则反比例解析式为y=；设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ADE=∠BCE=90°，连接AE，BE，则S△ABE=S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE=（BC+AD）•DC﹣DE•AD﹣CE•BC=×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1=﹣x=5，解得：x=5，则E（5，0）．18．(2015届河南新安城关二中九下模拟)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点（DE BC），当或或时，△ADE与△ABC相似。
【答案】∠ADE=∠C，∠ADE=∠B，AD AE AC AB=.【解析】两个对应角相等即为相似三角形，∠A为公共角，只需一角对应相等即可．由题意，∠ADE=∠C即可．∵∠ADE=∠C，∠A为公共角，∴△ADE∽△AC B．同理：∠ADE=∠B，或AD AEAC AB=时，△ADE∽△AC B．19．(2015届江苏东台第一教研片九下一次月考)已知实数x、y满足12x2＋2x＋y－1＝0，则x＋2y的最大值为．【答案】174．【解析】因为12x²+2x+y－1=0，所以y=－12x²－2x+1，所以x+2y=x－x²－4x+2=－x²－3x+2=－（x+32）²+174，当x=－32时，x+2y有最大值，（x+2y）的最大值=174．20．(2015届安徽铜陵三中九下开学考)如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△'''A B C，若∠BAC=90°，AB=AC=2，则图中阴影部分的面积等于。