采用不同小波母函数的阈值去噪方法性能分析(精)

第24卷,第7期光谱学与光谱分析2004年7月SpectroscopyandSpectralAnalysisVol124,No17,pp8262829
July,2004
采用不同小波母函数的阈值去噪方法性能分析
吕瑞兰,吴铁军,于玲
浙江大学智能系统与决策研究所,杭州310027
摘要以用于测定汽油辛烷值的红外吸收光谱分析为背景,评估采用小波去噪方法时各种小波和阈值组
合的去噪能力。

文章构造了一个理想的原始光谱信号,考虑到小波去噪后信噪比以及原始光谱信号保留率这两者之间的协调关系,基于信噪比(SNR)定义了一个评价去噪优劣的评估系数η,在此基础上采用三种小波族系
(Symlets,Daubechies,Coiflet)、四种阈值选取方法(Rigrsure,Sqtwolog,Heursure和Manimaxi)和三种阈值重调方法(One,Sln,Mln)对理想原始光谱信号进行了基于小波变换的信号去噪处理实验,以评价各种小波函数和阈值选取及重调方法的优劣。

通过一系列的试验表明,对于该类型的信号,在实验所考察的小波族系和阈值选取及重调方法的范围内,采用Daubechies9或Symlet7,11,14,15小波,Rigrsure阈值选取规则和Sln阈值重调方法,可以得到最优的去噪性能。

主题词红外光谱分析;辛烷值;小波分析中图分类号:TN91117文献标识码:A 文章编号:100020593(2004)0720826204
值选取方法的优劣。

实验结果表明,对于这种类型的信号,
采用Daubechies9和Symlet7,11,14,15小波,Rigrsure阈值选取规则和‘Sln’阈值重调方法,可以得到最优的去噪性能。

引言
在各种数据分析技术中,一个不可避免的问题是,数据
中存在着各种不易消除的噪声。

噪声不仅影响了系统的分辨率和稳定性,而且噪声严重时,会淹没正常的信号,导致无法正常工作。

因此,首先要解决的一个问题就是如何消除信号中夹杂着的噪声。

小波分析由于能同时在时频域中对信号进行分析,所以它能有效地区分信号中的突变部分和噪声,从而实现对信号的去噪。

这是小波分析的一个重要的应用领域。

有关这方面的论述,参见文献[123]。

但是,由于可用于去噪的小波母函数是一个集合,在小波去噪的实际应用中采用哪一种小波函数才有最好的去噪效果,是一个有待解决的、同时很有实际价值的研究课题。

文献[4,5]分别对理想心音图和流量分馏信号的小波选取给出了一些建议,但是不同的信号小波去噪的结果也不尽相同。

在实际应用中,由于通常无法区分真实的信号和污染它的噪声,因此难以评估各种小波函数的去噪效果。

本文通过在构造给定信号并附加已知噪声的基础上进行实验测试,来评估各种小波和阈值的组合的去噪能力。

文中以用于测定汽油辛烷值的红外光谱分析为背景,以理想原始光谱信号为基准,以去噪后的信噪比为指标,采用三种小波族系、四种阈值选取方法和三种阈值重调方法对其进行了基于小波变换的信号去噪处理实验,以评价各种小波函数和阈
收稿日期:2002206228,修订日期:2002211228
1基于阈值选取的小波去噪原理
对于给定信号f∈L2(R),其积分小波变换的定义如下
(L2为可积实数空间)
(WΨf)(b,a)=
(t)dtf(t)Ψ
∫
(t)Ψ=(a)
a∫
R
b,a
2
R
dt
实际应用的计算中,一般采用离散小波变换。

即对尺度参数a和位移参数b进行离散化处理。

因此上述信号f(t)可以表示成级数的形式,即
∞
f(t)=
j,k=-∞
∑c
j,k
Ψj,k(t)
其中Ψj,k(t)为离散小波函数,cj,k是离散小波系数[3]。

基于阈值选取的小波去噪原理[3]是选用一个小波母函数Ψj,k(t)将待处理的信号进行离散小波变换,并选择一个阈值将变换得到的小波系数{cj,
k}j∞,k=1进行阈值选取,阈值选取方法包括两类:硬阈值方法和软阈值方法。

这两种阈值方法的定义如下:
硬阈值方法:
作者简介:吕瑞兰,女,1976年生,浙江大学智能系统与决策研究所硕士研究生
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
第7期光谱学与光谱分析
x,
xx
827
s=
>x0
0,≤x0
,
x
用5层分解去噪后可以得到相当令人满意的信噪比,因此在
实验中采用的小波分解层次为5级。

>x0
软阈值方法:
s=
sign(x)x-x0
对于去噪结果的评定,一般采用信噪比作为标准。

信噪
比(SNR)是测量信号中的噪声量的传统方法。

在本文的实验中信噪比定义为
SNR=10×log10(powersignalΠpowe rnoise)
0,x≤x0
其中x0是阈值,x是小波变换后的小波系数,s是阈值选取后的小波系数。

换句话说,硬阈值是把绝对值小于阈值的小
波系数置0。

软阈值是把绝对值小于阈值的小波系数置0,剩下的非0的系数向0
压缩。

然后根据阈值选取后的系数进行信号重构,得到去噪后的信号。

由于小波分解是分层次逐级进行的,阈值选定后,每一层系数采用的阈值是否需要重新调整,就是阈值重调问题。

);2)只调整一般有三种情况:1)不需要重新调整(记为“One”
);3)在每一层都重新调小波分解的第一层的阈值(记为“Sln”
)。

整阈值(记为“Mln”有关这方面的论述,参见文献[3]。

因此,小波去噪的效果受到两方面因素的影响:1)采用哪一种小波母函数进行小波变换和信号重构;2)采用哪一种阈值选取和重调方法来处理小波系数。

其中powersignal为真实信号的功率,powernoise为噪声的功率。

按上式计算的信噪比单位是分贝。

a)不同小波去噪性能的比较
在去噪过程中,通常既希望尽可能多地去除噪声,同时又希望原始信号信息丢失得尽可能的少。

为了考察它们之间的关系进行了两个试验:
实验一:对于加入标准白噪声的理想原始信号,在其他条件相同的情况下分别采用Symlets小波系、Daubechies小波系、Coiflet小波系进行去噪处理。

然后计算去噪后的信号和理想原始信号的信噪比。

信噪比越高,噪声越少。

去噪结果如表1所示。

Table11Effectofdenoisingontheidealspectrumsignalpolluted
2基于光谱分析数据的小波去噪实验
211实验数据集bystandardGausswhitenoiseviadifferentkindsofmotherwavelets SymletsDaubechiesCoiflet分析采样到的光谱数据可以发现,信号中包含许多尖峰
或突变部分,在这里噪声也是未知的。

由于原始信号模型和噪声模型均不知道,
因此我们无法判断到底哪种小波去噪方法的效果比较好。

为此,我们先将光谱数据用Sym8小波、Rigrsure阈值选取方法和One阈值重调方法进行小波去噪,得到光滑曲线,把该曲线作为理想原始光谱曲线。

然后以这个原始曲线为基准,加入标准高斯白噪声(参见图1),用以分析各种小波去噪方法的优劣。

采用的小波信噪比
-Sym2小波Sym3小波Sym4小波Sym5小波Sym6小波Sym7小波Sym8小波Sym9小波
-22165302311176231275422155982219426231391723122622211930
Sym10小波2215936Sym11小波2216391Sym12小波2213275Sym13小波2211042Sym14小波2214847Sym15小波2312021
采用的小波db1小波db2小波db3小波db4小波db5小波db6小波db7小波db8小波db9小波db10小波db11小波db12小波db13小波db14小波db15小波信噪比2311458221653023111762312974221568922135002216609211958521199062213126 22153412212940211903622104142118600
采用的小波coif1小波coif2小波coif3小波coif4小波coif5小波
----------
信噪比23150192311270231112322147442215489
----------
实验二:将小波去噪技术应用于理想原始光谱信号,然后计算生成信号和理想原始信号的信噪比。

这个测试考察在去噪过程中原始信号信息的丢失情况。

小波变换后越多原始光谱信号保留越好。

结果如表2所示。

Fig11Signalsusedintheinvestigation
(a),SampledIRspectrum;(b),Idealspectrumprototypeafterdenoising;(c),StandardGausswh itenoise;(d),SpectrumsignalpollutedbystandardGausswhitenoise
信号去噪的基本目标是:既希望尽可能多地去除噪声,同时又希望原始信号信息丢失得尽可能的少。

然而这两者并不统一,有时候甚至是矛盾的。

因此本文构造了一个去噪结果的评估系数η,定义为
3
η=(SNR×SNR)/100
212小波去噪实验
式中,SNR是小波去噪技术应用于含噪信号得到的去噪后的
3
信号的信噪比。

SNR是小波去噪技术应用于理想原始光谱信号得到的生成信号的信噪比。

显然,使η最大的去噪方法
对以上加入标准高斯白噪声后的光谱分析数据采用小波
分析的方法进行数据的去噪处理。

由于在大多数情况下,采
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光谱学与光谱分析第24
卷828
具有最好的去噪效果。

Table21Effectofdenoisingontheidealspectrumsignal viadifferentkindsofmotherwavelets
Symlets小波系
Daubechies小波系
Coiflet小波系
由上述表1和表2的实验结果,可以计算对应的η值,
如表3所示。

从表中可以看出:Coiflet3和5,Daubechies9,10,15以及
Symlet7,11,14,15这几种小波得到的η值较大,说明在噪声去除方面比大多数其他的小波好。

而Daubechies1,Coiflet1和Symlet1得到的结果较差一些。

从总的趋势来说低阶小波不如高阶小波好。

为了排除个别性将几种评估系数较高的小波用于几组不同的理想原始光谱数据,得到如表4的结果。

可以看出,它们均能得到较高的评估系数η,而且η的大小规律一致。

比如Sym7总是可以得到最高的评价系数η。

这就验证了上面结论的一般性。

Table41Effectofdenoisingondifferentkindsofspectrum
对应的η值06组08组1717685171763016157151614515171469317117661618845161841816126451611533 16169641617093
采用的小波信噪比
Sym1小波Sym2小波Sym3小波Sym4小波Sym5小波Sym6小波Sym7小波Sym8小波Sym9小波381489543179664017328561894359179746612617701402267108226813907
采用的小波信噪比
db1小波db2小波db3小波db4小波db5小波db6小波db7小波db8小波db9小波db10小波db11小波db12小波db13小波db14小波db15小波3814895431796640173284319697521316564178216718628691684374176747112047 68161776813234681326969145337113406
采用的小波
coif1小波coif2小波coif3小波coif4小波coif5小波
----------
信噪比
48176006513615671138867121076716868----------
Sym10小波6715070Sym11小波7310642Sym12小波7213311Sym13小波6917166Sym14小波7113654Sym15小波7118733
05组09组171769116155751619589161894416139931615514
Table31Comparisonoftheηvaluewithdifferent
kindsofwaveletdenoising
Symlets小波系
Daubechies小波系
Coiflet小波系
去噪前
Daubechies9小波Symlet7小波Symlet11小波Symlet14小波Symlet15小波171832216136721619242161718716107831615096
采用的小波Sym1小波Sym2小波Sym3小波Sym4小波Sym5小波Sym6小波Sym7小波Sym8小波Sym9小波Sym10小波Sym11小波Sym12小波Sym13小波Sym14小波Sym15小波
η值8190879192139141641312423131490215120221614683151580615117791512523161 54111611497151410316104631616761采用的小波db1小波db2小波db3小波db4
小波db5小波db6小波db7小波db8小波db9小波db10小波db11小波db12小波db13小波db14小波db15小波
η值8190879192139141641012438111807314147881513783151301716144181518877151 46241512320141966115130851515951
采用的小波coif1小波coif2小波coif3小波coif4小波coif5小波
----------
η值
11145951511162151517315110521512626----------
b)不同阈值选取与重调方法对去噪性能影响的比较
在小波分析去噪处理中,另一个关键就是如何选取阈值和如何进行阈值的量化,从某种程度上说,它直接关系到信号去噪的质量。

目前常用的四种阈值选取规则有四种:
[3]
Rigrsure,Sqtwolog,Heursure和Manimaxi。

‘Rigrsure’是一种软件阈值估计器,它是基于stein的无偏似然估计(SURE)。

‘Sqt2wolog’采用的是固定的阈值形式,它产生的阈值大小是sqrt(2×log(length(X)))。

‘Heursure’是前两种阈值的综合,是最优预测变量阈值选择。

‘Minimaxi’采用的也是一种固定的阈值,它产生一个最小均方误差的极值[3]。

同一种小波采用不同的阈值选取规则得到的结果是不一样的。

为了考察各种阈值选取规则和阈值重调方法的优劣,本文进行了另一个实验。

对五种评估系数η值最高的小波,采用各种阈值选取规则和阈值重调方法进行了去噪处理,去噪结果如表5所示。

Table51Effectofdenoisingontheidealspectrumsignalsviadifferent kindsofthresholdselectionrulesandthresholdrescalingmethods
对应的η值
采用的小波
One
Daubechies9小波Symlet7小波Symlet11小波Symlet14小波Symlet15小波613358615849617142613581615642
采用Rigrsure
Sln16144181614683161541116104631616761
Mln619642716044816602710386719884
Rigrsure16144181614683161541116104631616761
采用Sln
Sqtwolog14195421512007141335514130601319523
Heursure16144181614683161541016104631616760
Minimaxi15184671610482151373115121411419464
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第7期
光谱学与光谱分析
从上表可以看出,Rigrsure和Heursure的结果非常相似,
明显优于其它两种阈值选取方法。

这是因为Rigrsure规则比
较保守(它只将部分系数置0),可以将弱信号提取出来。

经
过多次试验可以得到一个结论:Rigrsure规则几乎总是得到
比其他规则更好的结果,Heuristic其次。

另外,从上表也可以
看出,‘Sln’方法也显得比其他两种阈值重调方法好得多。

829同小波分析方法进行信号去噪处理的性能问题。

对于信号和噪声未知的光谱数据,我们用去噪后得到的光滑曲线作为理想的原始光谱数据,在其中加入标准高斯白噪声,并定义了一个评估系数η,在此基础上进行小波去噪方法的最优化。

通过一系列的试验可得出结论,对于这种类型的信号,在实验所考察的小波族系和阈值选取及重调方法的范围内,采用
Daubechies9和Symlet7,11,14,15小波,Rigrsure阈值选取规
则和‘Sln’阈值重调方法,可以得到最优的去噪性能。

3结论
本文以红外光谱分析中的光谱数据为背景,研究了用不
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LΒRui2lan,WUTie2jun,YULing
InstituteofIntelligentSystemsandDecision2making,ZhejiangUniversity,Hangzhou 310027,China
Abstract Anidealspectrumsignalprototypeisconstructedinthispaperbasedontheinfraredrayspectru mofoctanelevelmeasurementtoevaluatetheperformancesofwaveletbasedthresholddenoisi ngapproachesviadifferentcombinationsofmotherwaveletfunctionsandthresholds.Aperfor manceindexηisdefinedtoassessthesignal2to2noiseratios(SNR)ofdenoisingresults,inconsi derationofthetrade2offbetweentheSNRandthedistortionoftheoriginalsignalafterwaveletd enoising.Threefamiliesofmotherwavelets(Symlets,DaubechiesandCoiflet),fourthreshold selectionrules(Rigrsure,Sqtwolog,HeursureandManimaxi),andthreethresholdrescalingm ethods(One,SlnandMln)aretestedinaseriesofexperimentstoestimatethefunctioningofthose waveletsandthresholdingparameters.Experimentalresultsshowthatinthecasesinvestigated inthispaper,thebestdenoisingperformanceisreachedviathecombinationsofDaubechies9or Symlet7,11,14,15wavelets,“Rigrsure”thresholdselectionrule,and“Sln”thresholdrescaling method.
Keywords IRspectrumanalysis;Octanelevelmeasure;Wavelettransform (ReceivedJune28,2002;acceptedNov.28,2002)
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