阶段滚动检测(四)

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阶段滚动检测（四）
（第一～七章） （120分钟 160分）
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上) 1.(2012·扬州模拟)已知l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若从 “①l ⊥α;②l ∥β;③α⊥β”中选取两个作为条件，另一个作为结论，试写出一个你认为正确的命题____________.(请用代号表示) 2.(滚动单独考查)复数
2i
i
-(i 为虚数单位)等于_________. 3.已知E 、F 、G 、H 是空间内四个点，条件甲：E 、F 、G 、H 四点不共面，条件乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的_________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)
4.(滚动单独考查)已知函数f(x)=22
x 4x (x 0)4x x (x 0)
⎧+≥⎪⎨-<⎪⎩.若f(2-a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是_________.
5.(滚动单独考查)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上且满足
AP 2PM = ，则PA
·(PB PC + )= _________.
6.如图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1容器内装进一些水，将容器底面一边BC 固定于底面上，再将容器电热管倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的形状始终是棱柱形状；
②水面形成的四边形EFGH 的埋刮板输送机面积不改变；③当E ∈AA 1时，AE+BF
是定值.其中正确说法是_________.(写出正确说法的序号)
7.(2012·合肥模拟)三棱锥A —BCD 的各个面都是正三角形，棱长为2，点P 在棱AB 上移动，点Q 在棱CD 上移动，则沿三棱锥外表面从P 到Q 的最短距离等于_________.
8.(滚动单独考查)设等差数列{a n }的公差d ≠0,a 1=4d,若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 的值为_________.
9.对函数f(x)=xsinx ，现有下列命题： ①函数f(x)是偶函数；
②函数f(x)的最小正周期是2π；
③点(π,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心；
④函数f(x)在区间［0,2π
］上单调递增，在区间［-2
π,0］上单调递减. 其中是真命题的是_________.
10.(滚动单独考查)若函数y=f(x)的值域是［12
，3］，则函数F(x)=f(x)+()
1
f x 的最小值是_________.
11.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于43
π，则该圆锥的体积为_________．
12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为棱DC 的中点，则D 1P 与BC 1所在直线
所成角的余弦值等于_________.
13.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_________.
14.(滚动交汇考查)(2012·盐城模拟)现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，
.类比到空间，有两个棱长均为a的正方则这两个正方形重叠部分的面积恒为2a
4
体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为_________.
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(14分)(2012·南通模拟)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1
中，点D在边BC上，AD⊥C1D．
(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；
(2)设E 是B 1C 1上的一点，当
11
B E
EC 的值为多少时，A 1E ∥平面ADC 1？请给出证明． 16.(14分)(2012·无锡模拟)如图，四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 、F 分别为PC 、BD 的中点.
证明：(1)EF ∥平面PAD ； (2)平面PDC ⊥平面
PAD.
17.(14分)(滚动单独考查)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n,S n )在函数f(x)=3x 2-2x 的图象上， (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设n n n 1
3
b a a +=，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使|T n -12|<1100成立的最小正整数
n 的值.
18.(16分)(2011·安徽高考)如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，OA=1，OD=2，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形.
(1)证明直线BC ∥EF ； (2)求棱锥F-OBED 的体积.
19. (16分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD，点F是棱PD的中点，点E在棱CD上移动.
(1)当点E为CD的中点时，试判断直线EF与平面PAC的关系，并说明理由；
(2)求证：PE⊥AF.
20.(16分)(2012·南京模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，菱形ABCD的对角线交于点O，E、F分别是PC、DC的中点，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD.
求证：(1)平面EFO∥平面PDA；
(2)PD⊥平面ABCD；
(3)平面PAC⊥平面PDB.
答案解析
1.【解析】∵l ∥β,∴过l 作平面γ，使γ∩β=m ，则l ∥m ，又l ⊥α, ∴m ⊥α，而m ⊂β，∴α⊥β，故①②⇒③. 答案：①②⇒③
2.【解析】()()2
i 2i 2i 2i 1i i --==-+=-1-2i. 答案：-1-2i
3.【解析】点E 、F 、G 、H 四点不共面可以推出直线EF 和GH 不相交；但由直线EF 和GH 不相交不一定能推出E 、F 、G 、H 四点不共面，例如：EF 和GH 平行，这也是直线EF 和GH 不相交的一种情况，但E 、F 、G 、H 四点共面．故甲是乙成立的充分不必要条件． 答案：充分不必要
4.【解析】f(x)=()()2222
x 4x x 2404x x x 240
⎧+=+-≥⎪
⎨-=--+<⎪⎩, 由f(x)的解析式可知，f(x)在(-∞，+∞)上是单调递增函数， 所以再由f(2-a 2)>f(a)得2-a 2>a, 即a 2+a-2<0,解得-2<a<1. 答案：-2<a<1
5.【解题指南】根据数量积的定义确定向量的长度和夹角即可.
【解析】PA ·(PB PC + )=PA ·2PM =2×2133
⨯×cos180°=4
9-.
答案：4
9
-
6.【解析】由于底面一边BC 固定于底面上，故倾斜过程中与BC 边垂直的两个面始终平行，且其他面均为平行四边形，满足棱柱的结构特征，故①正确.
水面形成的四边形EFGH会发生改变，故②错误；
E∈AA1时，AE+BF=AE+A1E=AA1，故③正确.
答案：①③
7.【解题指南】将三棱锥的侧面展开，转化为平面图形处理.
【解析】如图所示，将三棱锥A—BCD沿侧棱AB剪开，
将各个侧面展开成为一个平面，由于三棱锥A—BCD的
各个面都是正三角形，所以展开的平面图中ABDC1是一
个菱形，边长为2，当点P在棱AB上移动，点Q在棱
CD上移动时，沿三棱锥外表面从P到Q的最短距离应
该是菱形ABDC1的对边AB和DC12=
8.【解析】由已知得a k=a1+(k-1)·d
=4d+(k-1)d=(k+3)d.
a2k=a1+(2k-1)d
=4d+(2k-1)d=(2k+3)d.
又∵a k是a1与a2k的等比中项，
∴2
a=a1·a2k，
k
∴［(k+3)d］2=4d·(2k+3)d，
又d≠0，∴(k+3)2=4(2k+3)，
即k2-2k-3=0,
解得k=3或k=-1(舍).
答案：3
9.【解析】由f(-x)=(-x)·sin(-x)=xsinx=f(x)知①正确；函数不满足f(x+2π)=f(x)，故②不正确；由于f(2
π)=2
π×sin 2
π=2
π,f(32π)=32π×sin 32π=-32
π
， 故f(2
π)≠-f(32
π
)，从而点(π,0)不是函数f(x)的图象的一个对称中心，故③不正确. 答案：①④
10.【解析】令t=f(x),则t ∈［12
,3］,
则1t t +≥，
当且仅当t=1t
即t=1时取“=”,所以F(x)的最小值为2. 答案：2
11.【解析】圆锥的侧面展开图中扇形的弧长，即底面圆的周长为43
π·1＝43
π，于是设底面圆的半径为r ，则有2πr ＝4
3
π，所以r ＝23
，于是圆锥的高为h
＝
，故圆锥的体积为V
.
答案：
81
12.【解析】过C 1作D 1P 的平行线交DC 的延长线于点F ，连结BF ，则∠BC 1F 或其补角等于异面直线D 1P 与BC 1所成的角．设正方体的棱长为1，由P 为棱DC 的中点，则易得BC 1
C 1
=
=， 在△BC 1F 中，
cos ∠BC 1
222
+-=
.
13.【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.
如图，设O 、O 1分别为下、上底面中心，且球心O 2为O 1O 的中点，又AD ，
AO ＝
3
，OO 2＝a 2，设球的半径为R ，则R 2＝22222
117AO a a a 3412＝＋＝. ∴S 球＝4πR 2＝4π×22
77a a 123
π＝. 答案：27a 3
π
14.【解题指南】类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的“相似”，“相似”是类比的基础.
【解析】平面内(a 2)2类比到空间(a 2)3=3
a 8
.
答案： 3
a 8
15.【解析】(1)在正三棱柱中， ∵CC 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ， ∴ AD ⊥CC 1．
又AD ⊥C 1D ，CC 1交C 1D 于C 1，且CC 1和C 1D 都在平面BCC 1B 1内， ∴ AD ⊥平面BCC 1B 1．
(2)当
11
B E
EC =1，即E 为B 1C 1的中点时，A 1E ∥平面ADC 1． 证明：由(1)得AD ⊥BC ．∴在正三角形ABC 中，D 是BC 的中点，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BCC 1B 1是矩形，且D 、E 分别是BC 、B 1C 1的中点，所以B 1B ∥DE ，B 1B=DE ．又B 1B ∥AA 1，且B 1B=AA 1， ∴DE ∥AA 1，且DE=AA 1． 所以四边形ADEA 1为平行四边形， 所以EA 1∥AD ．
而EA 1⊄平面ADC 1，AD ⊂平面ADC 1， 故A 1E ∥平面ADC 1． 16.【证明】(1)连结AC. ∵四边形ABCD 为矩形， AC 、BD 为对角线， ∴AC 、BD 互相平分. 又F 为BD 中点， ∴易知F 为AC 中点.
在△ACP 中，∵F 、E 分别为AC 、PC 的中点， ∴EF ∥AP.又EF ⊄平面PAD ，AP ⊂平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD.
(2)取AD 中点M ，连结PM.
∵△APD 为等腰直角三角形，∠APD=90°,M 为AD 中点， ∴PM ⊥AD.
又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，
PM⊂平面PAD，
∴PM⊥平面ABCD.又CD⊂平面ABCD，∴PM⊥CD.
∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC=90°，
即CD⊥AD.
又PM⊥CD，AD∩PM=M,AD、PM⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
又∵CD⊂平面PCD，
∴平面PDC⊥平面PAD.
【变式备选】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA=AD=2，E，F分别为棱AD，PC的中点.
(1)求异面直线EF和PB所成角的大小；
(2)求证：平面PCE⊥平面PBC.
【解析】(1)如图，取PB的中点G，连结FG，AG，
∵E，F分别为AD，PC的中点，
∴FG1
2BC，AE1
2
BC，
∴FG AE.
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴AG ∥EF.∵PA=AD=AB,
∴AG ⊥PB,即EF ⊥PB.
∴EF 与PB 所成的角为90°.
(2)由(1)知，AG ⊥PB.
∵PA ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥PA.
∵BC ⊥AB ，又PA ∩AB=A ，
∴BC ⊥平面PAB ，
∴BC ⊥AG.∴AG ⊥平面PBC.
∴EF ⊥平面PBC ，平面PCE ⊥平面PBC.
17.【解析】(1)由题意知S n =3n 2-2n.
当n ≥2时，a n =S n -S n-1=6n-5；
当n=1时，a 1=S 1=1，满足上式.故a n =6n-5.
(2)由(1)知b n =
()()3111()6n 56n 126n 56n 1=--+-+， 所以T n =1
1111111(1)()1277136n 56n 126n 1-+-
+⋯+-=--++［（）］（）， 由()n 1
11|T |226n 1100
-=<+，解得n>496. 又n ∈N *，∴n 的最小值为9.
【方法技巧】求数列通项的方法
(1)公式法：当已知数列类型时，可利用公式求数列的通项；
(2)已知S n 或已知S n 和a n 的关系时，可利用
a n =1n n 1S n 1S S (n 2)
-=⎧⎨-≥⎩（）求通项；
(3)已知a n+1=pa n +q(p ≠1,q ≠0)时，可根据构造法，通过构造等比数列求通项；
(4)已知a n+1=a n +f(n)时，可通过累加的方法求通项；
(5)已知a n+1=a n ·f(n)时，可利用累乘的方法求通项.
18.【解析】(1)设G 是线段DA 延长线与线段EB 延长线的交点，
由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，且OA=1，OD=2，
所以OB 12
DE ，OG=OD=2. 同理，设G ′是线段DA 延长线与线段FC 延长线的交点，
有OC 12
DF ，OG ′=OD=2. 又由于G 和G ′都在线段DA 的延长线上，所以G 与G ′重合.
在△GED 和△GFD 中，
由OB 12DE 和OC 12
DF ， 可知B ，C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF.
(2)由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，
知S△EOB
而△OED是边长为2的正三角形，
故S△OED S四边形OBED=S△EOB+S△OED.
过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F-OBED
的高，且V F-OBED=1
3FQ·S四边形OBED=3
2
.
19.【解析】(1)当点E为CD的中点时，EF∥平面PAC. 理由如下：
∵点E，F分别为CD，PD的中点，
∴EF∥PC.
又∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，
∴EF∥平面PAC.
(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA.
又四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD.
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD.
∵PA=AD,点F是PD的中点,
∴AF⊥PD.
又CD∩PD=D,∴AF⊥平面PDC.
∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF.
【方法技巧】高考中立体几何解答题的常见题型
立体几何的解答题一般设置两问：
(1)线面平行、垂直的证明.解题时主要利用相关的判定定理进行解题即可，但
要注意表达的规范性，即要把相关定理的内容完全表示为符号语言.
(2)求空间几何体的体积.解题时要根据几何体的特点，或直接利用公式，或转化为易求体积的几何体来解.
20.【证明】(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴O是AC的中点.
∵E、F分别是PC、DC的中点，
∴EF∥PD.
又EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EF∥平面PAD，
同理：FO∥平面PAD，
而EF∩FO=F，EF、FO⊂平面EFO，
∴平面EFO∥平面PDA.
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PD⊂平面PAD，
∴PD⊥平面ABCD.
(3)∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥PD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又PD∩DB=D,PD，DB⊂平面PBD，
∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PDB.。