选修2-2《导数及其应用》测试题

人教B 版选修2-2《导数及其应用》测试题 姓名 得分 一．选择题：（只有一个结论正确，每小题4分,共60分） 1．曲线12
3
-+=x x y 在点P （－1，－1）处的切线方程是 （ ）
A ．1-=x y
B ．2-=x y
C ．x y =
D ．1+=x y
2. 曲线f (x )= x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y = 4x －1，则P 0点的坐标为 （ ） A ．（1，0） B ．（2，8） C ．（1，0）和（－1，－4） D ．（2，8）和（－1，－4）
3．已知函数x x y 33
-=，则它的单调递减区间是 ( ) A.)0,(-∞ B.)1,1(- C. ),0(+∞ D.)1,(--∞及),1(+∞
4．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝ ( ) A ．e 2
B ．e C.ln 22
D ．ln 2
5. .设曲线11x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = ( )
A ．2
B ． 2-
C ． 12
-
D.
12
6已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2
，则f ′(1)＝ ( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．2
7. 下列求导运算正确的是 （ ）
x
x x D e C x x B x x x A x x sin 2)cos (.log 3)3(.2ln 1)(log .11)1(.
2
322-='='=
'+='+ 8. 函数)2ln()(2--=x x x f 的单调递增区间是 （ ）
）
，和（∞+-+∞---∞2)2
1
,1(.)
,2(.)
2
1
,1(.)
1,(.
D C B A 9. 设)()(),()(),()(,sin )(112010x f x f x f x f x f x f x x f n n '='='==+， ，)(N n ∈则=')(2005
x f （ ） x D x C x B x A cos .cos .sin .sin .--
10．已知函数y = f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则000
()()
lim
h f x h f x h h
→+--= ( )
A ．f ′(x 0)
B ．2f ′(x 0)
C ．－2f ′(x 0)
D ．0
11. 设,)(,02
c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))((0,0x f x P 处切线的倾角的取值范围为]4
,
0[π
，则P 点到曲
线)(x f y =对称轴距离的取值范围为 （ ）
a
b D a
b C a
B a
A
21
,
0[.]2,
0[.]21,
0[.]1,0[- 12．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝ ( ) A ．26
B ．29
C ．212
D ．215
二.填空题：（每小4分,共20分）
13.若过原点作曲线y ＝e x
的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________． 14.设函数f (x )＝x (e x
＋1)＋12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．
15.函数f (x )＝x 3
－3x 2
＋1在x ＝________处取得极小值． 16.如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示， 给出下列判断：
(1) 函数y=f(x)在区间（3，5）内单调递增； (2) 函数y=f(x)在区间（-1/2，3）内单调递减；
(3) 函数y=f(x)在区间（-2，2）内单调递增；
(4) 当x= -1/2时，函数y=f(x)有极大值; (5) 当x=2时，函数y=f(x)有极大值;
则上述判断中正确的是 .
三.解答题：
17.求下列函数的导数．
(1)y ＝x 2
sin x ； (2)y ＝log 2(2x 2
＋3x ＋1)．
18.设x x a x f ln 6)5()(2
+-=，其中R a ∈，曲线)(x f 在点（1，f(1)）处切线与y 轴交于点（0,6）. (1)确定a 的值；
（2）求函数)(x f 的单调区间.
19.若函数x
e x
f x
=)(在c x =处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值.
20.已知二次函数f (x )满足：①在x =1时有极值；②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x +y =0平行． ⑴求f (x )的解析式；
⑵求函数g (x )=f (x 2)的单调递增区间.
21.已知函数x bx ax x f 3)(2
3
-+=在1±=x 处取得极值。

⑴讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值； ⑵过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程。

22.函数0,13)(3
≠--=a ax x x f （1）求)(x f 的单调区间；
（2）若)(x f 在1-=x 处取得极值，直线m y =与)(x f 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围.
参考解答：
一. CCBCD ，BCBBB
二.11.-37；12.)3,(--∞∈k ；13.③⑤；14.)2,2(-
三.15．解：⑴323)(2
-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即
⎩
⎨
⎧=--=-+.0323,
0323b a b a
解得0,1==b a 。

∴)1)(1(333)(,3)(2
3
-+=-='-=x x x x f x x x f 。

令0)(='x f ，得1,1=-=x x 。

若),1()1,(∞+--∞∈ x ，则0)(>'x f ，故
)(x f 在)1,(--∞上是增函数， )(x f 在),1(∞+上是增函数。

若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故
)(x f 在)1,1(-上是减函数。

所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值。

⑵曲线方程为x x y 33
-=，点)16,0(A 不在曲线上。

设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足03
003x x y -=。

因)1(3)(2
00-='x x f ，故切线的方程为))(1(30200x x x y y --=- 注意到点A （0，16）在切线上，有
)0)(1(3)3(1602
0030x x x x --=--
化简得83
0-=x ，解得20-=x 。

所以，切点为)2,2(--M ，切线方程为0169=+-y x 。

16. 解：⑴设f (x )=ax 2+bx +c ，则f '(x )=2ax +b ．
由题设可得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-='=',3)0(,2)0(,0)1(f f f 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-==+.3,2,02c b b a 解得⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-==.3,2,1c b a
所以f (x )=x 2-2x -3．
⑵g (x )=f (x 2)=x 4－2x 2－3，g '(x )=4x 3－4x =4x (x －1)(x +1)．列表：
由表可得：函数g (x )的单调
递增区间为(-1,0)，(1,+∞)． 17.解：（I ）'
()f x ＝ax 2＋bx －a 2，
x 1，x 2是f (x )的两个极值点，
x 1，x 2是方程'
()f x ＝0的两个实数根． a ＞0， x 1x 2＝－a ＜0，x 1＋x 2＝－b
a ． | x 1|＋|x 2|＝| x 1－x 2|＝
b 2
a 2
＋4a ． | x 1|＋|x 2|＝2， b 2
a
2＋4a ＝4， 即 b 2＝4a 2－4a 3． b 2≥0， ∴ 0＜a ≤1．
（II ）设g (a )＝4a 2－4a 3，
则 g '(a )＝8a －12a 2＝4a (2－3a )．由g '(a )＞0⇔0＜a ＜23，g '(a )＜0⇔23＜a ≤1，得 g (a )在区间（0，2
3）上
是增函数，在区间（2
3
，1]上是减函数，
g (a )max ＝g (23)＝1627． |b |≤43
9
．。