第34讲 平面向量的应用PPT课件

第34讲 平面向量的应用
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1．会用向量方法解决简单的力、速度的分解与合成问题． 2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 3．会用向量方法解决某些简单与平面解析几何有关的问 题．
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1．用向量法处理垂直问题 (1)对非零向量 a 与 b，a⊥b⇔___a_·_b_＝__0__. (2)若非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔___x_1_x_2＋__y_1_y_2_＝__0_. 2．用向量法处理平行问题 (1)向量 a 与非零向量 b 共线，当且仅当存在唯一一个实数 λ，
则 F3 的大小为( )
A．6
B．2
C．2 5
D．2 7
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解：结合向量的平行四边形法则(如图)，
易知 F3 的大小，即平行四边形对角线 OD 的长度， 根据余弦定理，可得 OD2＝22＋42－2×2×4cos 120°＝28，故 OD＝2 7. 答案：D
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A．F1、F3 成 90°角 C．F2、F3 成 90°角
B．F1、F3 成 150°角 D．F2、F3 成 60°角
答案：A
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3．平面上有三个点 A(－2，y)，B(0，2y)，C(x，y)，若 AB ⊥ BC ， 则动点 C 的轨迹方程为______________.
(2)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)是平面向量，则 cos α＝_____________. 4．用向量法处理距离(长度)问题
(1)设 a＝(x，y)，则 a2＝|a|2＝____x2_＋__y_2__，即|a|＝__________.
(2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 a＝ AB ，则|AB|＝| AB |＝
解：由条件得 3sin θ－cos θ＝0，所以 tan θ＝13， 2
tan 2θ＝1－2tatnanθ2θ＝1－3 19＝43.
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5．已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2， CD＝BC＝1，P 是腰 DC 上的动点，则| PA ＋3 PB |的最小值为 _______ .
_________________________ 5．向量在物理中的应用 (1)向量在力的分解与合成中的应用． (2)向量在速度的分解与合成中的应用．
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1．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(3,4)，B(5,2)，C(－1，
－4)，则这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解：因为 AC ＝(－4，－8)， AB ＝(2，－2)，BC ＝(－6，－6)， 而 AB ·BC ＝2×(－6)＋(－2)×(－6)＝0， 所以 AB⊥BC，故△ABC 为直角三角形．
答案：B
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2．一质点受到平面上的三个力 F1、F2、F3(单位：牛顿)的 作用而处于平衡状态．已知 F1、F2 成 120°角，且 F1、F2 的大小 分别为 1 和 2，则有( )
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点评：用向量法解决物理问题的步骤： ①将相关物理量用几何图形表示出来； ②将物理问题抽象成数学模型，转化为数学问题； ③最后将数学问题还原为物理问题．
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【变式探究】
1．一条河宽为 400 m，一船从 A 出发航行垂直到达河正对岸 的 B 处，船速为 20 km/h，水速为 12 km/h，则船到达 B 处所需时 间为________min.
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向量在物理中的应用 向量在平面几何中的应用 向量在解析几何中的应用
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考点一·向量在物理中的应用
【例 1】 一质点受到平面上的三个力 F1 、F2、F3(单位：牛顿)的作
用而处于平衡状态．已知 F1、F2 成 60°角，且 F1、F2 的大小分别为 2 和 4，
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解：船速度与水流速度的合速度是船的实际航行速度．如图，
|v1|＝20，|v2|＝12.根据勾股定理 |v|＝16(km/h)＝8030(m/min)， 故 t＝400÷8030＝1.5(min)．
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考点二·向量在平面几何中的应用
解：因为 AB ＝(2，－2y)， BC ＝(x，2y)， 又 AB ⊥ BC ，所以 AB ·BC ＝0， 所以(2，－2y)·(x，2y)＝0，即 2x－y42＝0， 所以 y2＝8x(x≠0)．
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4．已知平面向量 a＝(1，cos θ)，b＝(1,3sin θ)，若 a 与 b 共线， 则 tan 2θ 的值为_______.
【例 2】在等腰直角三角形 ABC 中，AC＝BC，D 是 BC 的中点， E 是线段 AB 上的点，且 AE＝2BE，求证：AD⊥CE.
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证明：(方法一：基向量法) 设 CA ＝a， CB ＝b，则|a|＝|b|，且 a·b＝0， 则 CE ＝ CB ＋ BE ＝ CB ＋13 BA ＝ CB ＋13( CA － CB ) ＝13a＋23b.
使得__a_＝__λ_b___.
(2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)是平面向量，则向量 a 与非零向 量 b 共线的充要条件是_x_2_y_1－__x_1_y_2_＝__0_.
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3．用向量法求角
(1)设 a、b 是两个非零向量，夹角记为 α，则 cos α＝________.
解：以 D 为原点，DA，DC 所在直线分别为 x、y 轴，建立平面 直角坐标系，
则 A(2,0)，B(1,1)．设点 P(0，y)，0≤y≤1， 则 PA ＋3 PB ＝(5,3－4y)， 所以| PA ＋3 PB |＝ 25＋3－4y2， 即当 y＝34时，所求模长取得最小值 5.
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