同济大学高等数学课件讲义D124一阶线性

LE K
解: 列方程 . 由回路电压定律:
∼
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0
已知经过电阻 R 的电压降为R i
经过 L的电压降为 L d i
d 因此有 ELdi Ri0,
t
即
di RiEmsint
dt
dt L
L
初始条件: i t0 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
diRiEmsint
dt L
思考与练习
判别下列方程类型:
提示:
(1) xdyyxydy
dx
dx
y 1dy dx
y
x
可分离 变量方程
(2) xdyy(lnylnx)
dy y ln y
齐次方程
dx
dx x x
(3 )(y x 3 )d x 2 xd y 0 dy 1 y x2 线性方程
dx 2x 2
(4 )2 yd x (y 3 x )d y 0 dx 1 xy2 线性方程 dy 2y 2
使其满足下列方程:
令 uxt
提示:
x
f(x)sixn0f(u)du
f(x)f(x)co xs 则有
f(0)0
利用公式可求出
f(x)1(cxo ssixn ex) 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 设有微分方程 yyf(x),其中
2, 0x1 f (x) 0, x1
试求此方程满足初始条件
的连续解.
2 将 z y1代入, 得原方程通解:
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
y e P (x )d x Q (x )e P (x )d xd x C
2. 伯努利方程
令uy1n, 化为线性方程求解.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
故原方程的通解 y e P (x )d x Q (x )e P (x )d xd x C
即
y CeP(x)dx e P (x)dxQ (x)eP (x)dxd x
齐次方程通解
非齐次方程特解
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 解方程
解:
先解
dy 2y 0, 即 dx x1
d y 2dx y x1
积分得
即 yC(x1)2
用常数变易法求特解. 令 yu(x)(x1)2,则
y u (x 1 )2 2 u (x 1 )
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
u2(x1)32C 3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求方程
dxxy2y
x y3
dy0的通解
.
解: 注意 x, y 同号, 当x0时 , dx2d x,故方程可 x
变形为
这是以 x 为因变量, y为
自变量的一阶线性方程
由一阶线性方程通解公式 , 得
P(y) 1
xe
1e y
2y Q(y) 1
1 y
dylnC
y
x
所求通解为 ye y C(C0)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 有一电路如图所示, 其中电源
R
电阻 R 和电
感 L 都是常量, 求电流
故通解为
yCeP(x)dx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 解非齐次方程 dyP(x)yQ(x) dx
用常数变易法: 作变换 y(x)u(x)eP (x)dx,则
ueP(x)dxP(x)ueP(x)dxP(x) ueP(x)dxQ(x)
即
两端积分得对应齐u次方Q 程(x通)e解P (x)yd xd C xe C P(x)dx
精品
同济大学高等数学课件 D124一阶线性
一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式: dyP(x)yQ(x) dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ; 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 dyP(x)y 0
dx
分离变量
两边积分得 ln y P (x )d x ln C
此齐次线性方程的通解为 yC 2ex(x1)
利用衔接条件得 C 22(e1)
因此有
y2 (e 1 )e x(x 1 )
3) 原问题的解为
y
2(1 ex),0x1 2(e1)ex, x1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
THANKS
解: 1) 先解定解问题 利用通解公式, 得
y y 2 , 0 x 1 y x0 0
y edx 2edxdxC1
ex(2exC 1)2C1ex
利用 y x0 0 得 C12
故有
y 2 2 e x(0 x 1 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
yy0,x 1 2) 再解定解问题 yx1y(1 )22e 1
dx
dx
dz(1n)P (x)z(1n)Q (x)(线性方程) dx
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
伯努利 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 求方程
的通解.
解: 令 z y1, 则方程变形为
dz z a lnx dx x
其通解为
1 x
ze
d
x
(alnx)e
1 x
dx
dxC
xCa(lnx)2
( 5 )( y lx n 2 ) y d x x d y
dy2ysinxy2 dx x x
伯努利 方程
机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业
P281 1 (3) , (6) , (9) ; 7 (3) , (5)
2 (5) ; 6 ;
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 求一连续可导函数
L
i t0 0
解方程:
利用一阶线性方程解的公式可得
Rபைடு நூலகம்
LE K
∼
C
由初始y 条 件e : P ( ix )td x 0 Q 0(x 得)e P (x )d xd x C
机动 目录 上页 下页 返回 结束
因此所求电流函数为
R
i(t)R 2LEm 2L2eR Lt
LE K
R 2 E m 2L 2(R s itn L c ot)s∼
解的意义: 令arctaLn,则
R
i(t)R2LEm 2L2eR Lt
Em si nt() R22L2
暂态电流
稳态电流
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、伯努利 ( Bernoulli )方程
伯努利方程的标准形式:
解法:
除方程两边 , 得
yndyP(x)y1nQ(x) dx
令 z y1n, 则dz(1n)yndy