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习题

1.1

22

22222222222222

22.

,,.3,3.3,

,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.

,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b

====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,

.,..,:

(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.

0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解

(1)222(1,3/2).

(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.

,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.

60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).

1

1,01,.

1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:

6.1200001)(1)1).

(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},

10

{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m

A A m A a b A

B

C B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合

= 若则中有最小数-=证

7.(,),(,).1/10.|}.10n n n

n a b a b m

n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2

642

6

6426426

666

13.(1,)

1).

13.(,).

1

3

||13,||1,3,

11

||3,(,).

y

y x

x x x

y

x

x x x x x x x

x x

x x x

y y x

=+∞

===<>

++

=-∞+∞

+

++++

≤≤>≤=

++

=≤∈-∞+∞

证明函数内是有界函数.

研究函数在内是否有界

时,时

证

解

习题1.4

22

1.-

(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.

1)0,|,

,||.,||,|,

(2)0

x a

x a x a x a x a

x a

a x a e e x a

x a x a

εδ

εε

εδδεε

→→→→

→=>===

∀>=<<

<-<=-<<=∀>

直接用说法证明下列各极限等式:

要使

取则当时故

证(

22

2222

,|| 1.||||||,

|||||2|1|2|,

1|2|)||,||.min{,1},||,

1|2|1|2|

||,lim

(3)0,.||(1),01),1

x a

x a a x a x a

a

x a x a x a x a

x a x a a a

a x a x a x a

a a

x a x a

x a e e e e e

e

ε

εε

εδδε

ε

εε

→

--

-<-=+-<

+≤-+<+

+-<-<=-<

++

-<=

∀>>-=-<<-<<

不妨设要使由于

只需(取则当时故

设要使即(

.

1,

0ln1,min{,1},0,||,

1|2|

lim lim lim

0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,

2222

,|,|cos cos

x a

a

x a

a

x a x a x a

x a x a x a

e

e

x a x a e e

e a

e e e e e e

x a x a x a x a

x a x a x a x a

ε

εε

δδε

ε

δεδ

-→+→-→

<+

⎛⎫

<-<+=<-<-<

⎪+

⎝⎭

===

+-+-∀>-==≤-

=-<-

取则当时

故类似证故

要使

取则当|时

...

(4)

2

|,lim cos cos.

2.lim(),(,)(,),()

.

1,0,0|-|,|()|1,

|()||()||()|||1||.

(1)1

(1)lim lim

2

x a

x a

x x

x a

f x l a a a a a u f x

x a f x l

f x f x l l f x l l l M

x

x

ε

δδ

εδδ

→

→

→→

<=

=-⋃+=

=><<-<

=-+≤-+<+=

+-

=

故

设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数

对于存在使得当 时从而

求下列极限

证

3.

:

2

00

2

2

2

22

000

00

2

2

1

2

2

2

lim(1) 1.

22

2sin sin

1cos111

22

(2)lim lim lim1.

222

2

(3)0).

22

(4)lim.

2233

2

(5)lim

22

x

x x x

x x

x

x

x x x

x

x x

x

x

x x

a

x x

x x

x x

x x

→

→→→

→→

→

→

+

=+=

⎛⎫

⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

⎪

-⎝⎭⎝⎭

⎪

====

⎪

⎪

⎝⎭

==>

---

=

---

--

--

2

.

33

-

=

-