考研高数讲义 新高等数学下册辅导讲义——第十二章上课资料

第十二章无穷级数

第一节常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的收敛与发散

给定一个数列 ,,,,,321n u u u u 将各项依次相加, 简记为∑∞

=1n n u ，

即 +++++=∑∞

=n n n u u u u u 3211，称该式为无穷级数，其中第n 项n u 叫做级数的一般项. 级数的前n 项和n n

k k n u u u u u S ++++=∑== 3211称

为级数的部分和。

若S S n n =∞

→lim 存在，则称无穷级数收敛，并称S 为级数的和,记作∑=∞=1n n u S ；若n n S ∞

→lim 不存在，则

称无穷级数发散。

结论：等比（几何）级数

0n

n aq

∞

=

∑：当||1

q<时收敛

当||1

q≥时发散

二、收敛级数的和

若

1n

n u

∞

=

∑收敛，则其和定义为

n n n

k k n n n S u u S ∞

→=∞→∞==∑=∑=lim lim 11。

三、无穷级数的基本性质

（1）若级数∑∞=1n n u

收敛于S ，即∑=∞=1n n u

S ，则各项

乘以常数c 所得级数∑∞

=1

n n u c 也收敛，其和为cS 。

注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变

（2）设有两个收敛级数∑=∞=1n n u S ，∑=

∞

=1n n

v σ，则级数)(1

n n n v u ±∑∞=也收敛, 其和为σ±S 。

注：该性质表明收敛级数可逐项相加或相减

【例】取n n u 2)1(-=，12)1(+-=n n v ，而0=+n n v u 。

（3）在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数的敛散性。

（4）收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和。

推论：若加括弧后的级数发散，则原级数必发散。

注：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛。

【例】0)11()11(=+-+- ，但 +-+-1111发散。

【例2】判断级数的敛散性：

++--++--131131121121

四、级数收敛的必要条件

必要条件：若1n n u ∞

=∑收敛，则lim 0n

n u →∞

=。

逆否命题：若级数的一般项不趋于0，则级数必发散。

【例】 ++-++-+--1

)1(544332211n n n

注：lim 0n n u →∞

=并非级数收敛的充分条件

【例】调和级数 +++++=∑∞

=n n

n 1

3121111

【例3】判断下列级数的敛散性，若收敛求其和：

（1）∑⎪⎭⎫

⎝⎛+∞

=111ln n n （2）∑-∞=1

cos 1n n n π

【答案】（1）发散；（2）发散

五、两个重要级数：几何级数与p 级数的敛散性

（1）几何级数：1

n n r ∞

=∑，当||1r <时收敛；当1

||≥r 时发散.

（2）p 级数(或对数p 级数)：11p n n ∞

=∑21ln p n n n ∞

=⎛

⎫ ⎪

⎝⎭

∑，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散。

第二节 常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

正项级数：若0≥n u ，则称∑∞

=1n n u 为正项级数。

收敛定理1：正项级数∑∞

=1

n n u 收敛等价．．

于部分和序列n

S ),2,1( =n 有界。

收敛定理2 ：(比较审敛法)设∑∞=1

n n u ，∑∞

=1

n n v 是两个

正项级数, 且存在+

∈Z N ，对一切N n >，有

n n v k u ≤（常数 0>k ),则有

（1）若强级数∑∞=1

n n v 收敛，则弱级数∑∞

=1n n u 也收敛； （2）若弱级数∑∞=1

n n u 发散，则强级数∑∞

=1

n n v 也发散。

【例1】 判断下列级数的敛散性

（1）∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∞

=1531n n

n （2）)1,0(11

1≠>∑+∞=a a a

n n

【答案】（1）收敛；（2）当10<a 时，收敛；

（3）∑-∞

=15

76

n n n n

（4）∑++∞=12

11n n n 【答案】（3）收敛； （4）发散；

（5）∑⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+∞

=1211ln n n

【答案】（5）收敛

【例2】（97一）

设12a =，111

()(1,2,)2n n n

a a n a +=+=，

证明:(Ⅰ)lim n n a →∞

存在；（Ⅱ）级数11

(

1)n

n n a a ∞

=+-∑收敛. 【解析】（1）用单调有界必收敛证明；（2）用比较审敛法证明