一阶电路和二阶电路的时域分析

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第10－16 次课授课学时14 教案完成时间：
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
一、教学基本要求
1．掌握动态电路的特点、换路的概念。

2．熟练掌握换路定律及初始值的计算。

3．掌握零输入响应的求取，时间常数的意义和求取。

4．掌握零状态响应，了解零状态的RL电路的正弦响应的特点。

5．掌握全响应的两种分解，熟练掌握求解一阶电路全响应的三要素法。

6．了解零状态响应、全响应微分方程的特点，求解的方法。

7．掌握二阶电路零输入响应的微分方程的特点，掌握零输入响应解的三种情况，了解在过渡过程中各元件能量的变化规律。

8．掌握阶跃函数的表示和应用，掌握一阶、二阶电路阶跃响应的求解。

9．掌握冲激函数表示及与阶跃函数的关系，掌握用阶跃响应求冲激响应的方法。

10．了解求解一阶、二阶电路的冲激响应的方法。

二、教学重点与难点
1. 教学重点：(1)动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；
(2)时间常数的概念与求取；(3)一阶电路零输入和零状态响应；
(4)求解一阶电路的三要素方法及全响应的两种分解；
(5)二阶电路微分方程编写，零输入响应微分方程解的三种情况；
(6)一阶、二阶电路的阶跃响应，冲激响应；
2．教学难点：(1)应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路方程;
(2)电路初始条件的概念和确定方法;
(3)零状态的RL电路的正弦响应的特点；(4)冲激响应的计算；
(5)二阶电路的零状态响应、全响应求解的方法和区别。

三、本章与其它章节的联系：
本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。

第9章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。

四、学时安排总学时：14
教学内容学时课外作业
§7-1动态电路及其初始条件换路 2 7-1、7-2、7-4
§7-2 一阶电路的零输入响应
2 7－4、7-5、7-10 §7-3一阶电路的零状态响应
§7-4 一阶电路的全响应 2 7-11、7-12
§7-5 二阶电路的零输入响应 2 7-22、7-23
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应 2 7-24、7-25
§7-7一阶电路和二阶电路的阶跃响应
2 7-28、7-31
§7-8一阶电路和二阶电路的冲激响应
习题课 2 思考题
五、教学内容
§7.1 动态电路的方程及其初始条件
教学目的：掌握过渡过程的概念、产生的原因；掌握换路定律和初值的计算。

教学重点：换路定律公式、求初值的方法。

教学难点：初值的计算。

教学方法：课堂讲授。

教学内容：
一、动态电路
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。

由于动态元件是储能元件，其 VCR 是对时间变量 t 的微分和积分关系，因此动态电路的特点是：当电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。

这个变化过程称为电路的过渡过程。

下面看一下电阻电路、电容电路和电感电路在换路时的表现。

1）电阻电路
图 7.1 （a）（b）
图7.1（a）：t =0 时合上开关，电流i 随时间的变化情况如图7.1（b），显然电流从t＜0时的稳定状态直接进入t＞0 后的稳定状态。

说明纯电阻电路在换路时没有过渡期。

2）电容电路
图 7.2 （a）（b）
图 7.2 （c）
图7.2(a):开关未动作前，i=0，u C=0，原稳态。

图7.2(b):t=0 时合上开关，电容充电（初始i=U S/R）
t=∞时，电容充电完毕，i=0，u C=U S，电路达到新的稳态。

图7.2(c):电流i 和电容电压u C 随时间的变化情况；显然从t＜0 时的稳态不是直接进入t＞0后新稳态。

说明含电容的电路在换路时需要一个过渡期。

3）电感电路
图 7.3 （a）（b）
图 7.3 （c）
图7.3(a): 开关未动作前，i=0，u L=0，原稳态。

图7.3(b): t=0 时合上开关，（u L=U S）。

t=∞时，i= U S/R，u L=0，电路达到新的稳态。

图7.3(c): 电流i 和电感电压u L 随时间的变化情况，显然从t＜0时稳态不是直接进入t＞0后新稳态。

说明含电感的电路在换路时需要一个过渡期。

从以上分析可见：
1）换路是指电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电路参数变化；
2）含有动态元件的电路换路时存在过渡过程，过渡过程产生的原因是储能元件L、C ，在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放需要一定的时间来完成；
3）动态电路就是研究换路后电路中电压、电流随时间的变化过程。

二、动态电路的方程
动态电路方程的建立：一、应用基尔霍夫定律；
二、应用电感和电容的微分或积分的基本特性关系式。

图 7.4 RC电路图 7.5 RL电路图 7.4 RC 电路：根据 KVL：
电容的 VCR 为：
从以上两式中消去电流得以电容电压为变量的电路方程：
图 7.5 RL 电路：根据 KVL：
电感的 VCR 为：
以上两式中消去电感电压得以电流为变量的电路方程：
图 7.6
图 7.6:RLC 电路，根据 KVL 和电容、电感的 VCR 可得方程为：
整理以上各式得以电容电压为变量的二阶微分方程：
考察上述方程可得以下结论：
（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；
（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数，一般而言，若电路中含有n 个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程是n 阶的，称为n 阶电路；
三、电路初始条件的确定
求解微分方程时，解答中的常数需要根据初始条件来确定。

动态电路的独立初始条件为电容电压或电感电流的初始值。

若把电路发生换路的时刻记为t =0 时刻，换路前一瞬间记为0，换路后一瞬间记为0＋，则初始条件为t=0＋时u ，i 及其各阶导数的值。

1、独立初始条件的确定－－电容电压和电感电流的初始值
由于电容电压和电感电流是时间的连续函数（参见第五版第六章P127、P130），所以上两式中的积分项为零，从而有：
对应于
以上式子称为换路定律，它表明：
1）换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）在换路前后保持不变，这是电荷守恒定律的体现。

2）换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）在换路前后保持不变。

这是磁链守恒的体现。

需要明确的是：
1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。

2）换路定律反映了能量不能跃变的事实。

2、非独立初始条件的确定－－电路中其他初始值
根据换路定律可以由电路的u C(0－) 和i L(0－) 确定独立初始条件u C（0+）和i L(0+) ，电路中其他电流和电压在t=0+时刻的值（非独立初始条件）可以通过0+等效电路求得。

求初始值的具体步骤是：
1）由换路前t=0－时刻的电路（一般为稳定状态）求u C (0－) 或i L (0－) ；
2）由换路定律得u C (0+) 和i L (0+) ；
3）画t=0+时刻的等效电路：电容用电压源替代，电感用电流源替代（U s=u c(0+)，I s=i L(0+)，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）；
另：若激励源为交流电源，则用u s(0+)与i s(0+)的直流电源替代；
4）由0+电路求其他非独立初始值。

例7-1图示电路在t＜0 时电路处于稳态，求开关打开瞬间电容电流i C (0+)
例7-1 图（a）(b)
解：(1) 由图(a) t=0－电路求得：u C (0－)=8V
(2) 由换路定律得：u C (0＋)=u C (0－)=8V
(3) 0＋等效电路如图 (b) 所示，电容用 8V 电压源替代，解得：
i C(0+)=(10-8)/10=0.2mA
注意：电容电流在换路瞬间发生了跃变，即：i C(0-)=0≠i C(0+)
例7-2 图示电路在 t＜0 时电路处于稳态，t = 0 时闭合开关,求电感电压u L (0+) 。

例 7-2 图（a）图（b）图（c）
解：(1) 由图(a)t=0－电路求电感电流，此时电感处于短路状态如图（b）所示，则：
i L(0-)=10/(1+4)=2A
(2) 由换路定律得： i L (0+) = i L (0－)= 2A
(3) 0+ 等效电路如图(c) 所示，电感用 2A 电流源替代，解得：
注意：电感电压在换路瞬间发生了跃变，即：
例7-3图示电路在t＜0时处于稳态，t=0时闭合开关,求电感电压u L(0+)和电容电流i C(0+)
例 7-3 图（a）图(b) 图（c）
解：(1) 把图(a) t=0－电路中的电感短路，电容开路，如图（b）所示，则：
(2) 画出0+等效电路如图(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得：
注意：直流稳态时电感相当于短路，电容相当于断路。

例7-4求图示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。

例 7-4 图（a）图(b) 图（c）
解：(1) 把图 (a) t=0－电路中的电感短路，电容开路，如图（b）所示，则：
(2) 画出0+等效电路如图(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得：
例7-5 参见原笔记6－1 例1
例7-6 参见原笔记6－1 例2
§7.2 一阶电路的零输入响应
教学目的：掌握一阶电路零输入响应的物理概念和过渡过程。

教学重点：零输入响应一般公式。

教学难点：零输入响应的求解。

教学方法：课堂讲授。

教学内容：
零输入响应: 换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。

1. RC 电路的零输入响应
图 7.7
图7.7所示的 RC 电路在开关闭合前已充电，电容电压u C (0－)= U0，开关闭合后，根据KCVL可得：，由于，代入上式得微分方程：
特征方程为RCp+1=0 ，特征根为：
则方程的通解为：
代入初始值得： A = u C(0+)= U0 ，
放电电流为：
或根据电容的 VCR 计算：
从以上各式可以得出：
1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数，如图 7.8 所示；
图 7.8 图 7.9
2)响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 RC 有关。

令τ= RC ，τ的量纲为s：
称τ为一阶电路的时间常数。

τ的大小反映了电路过渡过程时间的长短，即：
τ大→ 过渡过程时间长，τ小→ 过渡过程时间短，如图 7.9 所示。

表 7.1 给出了电容电压在t=τ，t=2τ，t=3τ，……时刻的值。

表 7.1
表中的数据表明经过一个时间常数τ，电容电压衰减到原来电压的 36.8% ，因此，工程上认为 , 经过3τ－5τ, 过渡过程结束。

3）在放电过程中，电容释放的能量全部被电阻所消耗，即：
2. RL 电路的零输入响应
图7.10（a）所示的电路为 RL 电路，在开关动作前电压和电流已恒定不变，因此电感电流的初值为：
图 7.10 （a）图7.10（b）
开关闭合后的电路如图7.10（b）所示，根据 KVL 可得：，把
代入上式得微分方程：
特征方程为：Lp + R= 0，特征根
则方程的通解为：代入初始值得： A = i(0+)= I0
电感电压为：
从以上各式可以得出：
(1) 电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数，如图 7.11 所示；
图 7.11
（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L / R 有关。

令τ= L / R , 称为一阶RL 电路时间常数
（3）在过渡过程中，电感释放的能量被电阻全部消耗，即：
小结：
1）一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应 , 都是由初始值衰减为零
的指数衰减函数，其一般表达式可以写为：
2）零输入响应的衰减快慢取决于时间常数τ，其中RC 电路τ=RC , RL 电路τ=L/R R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。

3）同一电路中所有响应具有相同的时间常数。

4）一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。

经典法求解一阶电路零输入响应的步骤：
1) 根据基尔霍夫定律和元件特性列出换路后的电路微分方程，该方程为一阶线性齐次常微分方程；
2) 由特征方程求出特征根；
3) 根据初始值确定积分常数从而得方程的解。

例7-5图示电路中的电容原本充有 24V 电压，求开关闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。

例 7-5 图（a）例 7-5 图（b）
解：这是一个求一阶RC零输入响应问题，t＞0 后的等效电路如图（b）所示，有：
代入得：
分流得：
注意：通常为了分析方便，将电路中纯电阻部分从电路中分离出来并简化其等效电路。

例7-6图示电路原本处于稳态，t=0 时 , 打开开关，求 t＞0 后电压表的电压随时间变化的规律，已知电压表内阻为10kΩ，电压表量程为50V 。

例7—6 图
解：电感电流的初值为：i L(0+) = i L (0－) = 1A
开关打开后为一阶 RL 电路的零输入响应问题，因此有：
代入初值和时间常数：
得电压表电压：
t =0+时，电压达最大值：，会造成电压表的损坏。

注意：本题说明 RL 电路在换路时会出现过电压现象，不注意会造成设备的损坏。

例7-7 图示电路原本处于稳态，t =0 时 , 开关 K 由1→2 ，求 t＞0 后的电感电压和电流及开关两端电压u12。

例 7—7 图（a）图（ b ）
解：电感电流的初值为：
开关打开后为一阶RL电路的零输入响应问题，其等效电路如图（b）所示，等效电阻为：
时间常数：
因此电感电流和电压为：
开关两端的电压：
§7.3 一阶电路的零状态响应
教学目的：掌握一阶电路零状态响应的物理概念和过渡过程。

教学重点：零状态响应一般公式。

教学难点：零状态响应的求解。

教学方法：课堂讲授。

教学内容：
一阶电路的零状态响应是指动态元件初始能量为零，t＞0 后由电路中外加输入激励作
用所产生的响应。

用经典法求零状态响应的步骤与求零输入响应的步骤相似，所不同的是零状态响应的方程是非齐次的。

一、直流激励下的零状态响应
1. RC 电路的零状态响应
图 7.12
图7.12所示RC充电电路:开关闭合前处于零初始状态，即电容电压u C(0－)=0，开关闭合后，根据KVL可得：
把代入上式得微分方程：
其解答形式为：
：特解，也称强制分量或稳态分量，是与输入激励的变化规律有关的量。

通过设微分方程中的导数项等于0，可以得到任何微分方程的直流稳态分量，上述方程满足。

另一个计算直流稳态分量的方法是在直流稳态条件下，把电感看成短路，电容视为开路再加以求解。

：为齐次方程的通解，也称自由分量或暂态分量。

方程的通解为：
因此
由初始条件 u C(0+)=0 得积分常数 A=－Us
则
从上式可以得出电流：
从以上各式可以得出：
（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数，电容电压由两部分构成：
稳态分量（强制分量） + 暂态分量（自由分量）
各分量的波形及叠加结果如图 7.13 所示。

电流波形如图 7.14 所示。

图 7.13 图 7.14
（2）响应变化的快慢，由时间常数τ＝ RC 决定；τ大，充电慢，τ小充电就快。

（3）响应与外加激励成线性关系；
（4）充电过程的能量关系为：
电容最终储存能量：
电源提供的能量为：
电阻消耗的能量为：
图 7.15
以上各式说明不论电路中电容 C 和电阻 R 的数值为多少，电源提供的能量总是一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中，即充电效率为 50% 。

电路中能量的分配如图 7.15 所示。

2.RL 电路的零状态响应
用类似方法分析图 7.16 所示的RL电路。

电路在开关闭合前处于零初始状态，即电感电流 i L(0－)=0 ，开关闭合后，根据 KCVL 可得：
图 7.16 图 7.17 图 7.18
把代入上式得微分方程：
其解答形式为：
令导数为零得稳态分量：
因此
由初始条件，得积分常数
则
例7-8 图示电路在t =0 时 , 闭合开关 K ，已知u C（0－）=0 ，求（1）电容电压和电流；（2）电容充电至u C＝80V 时所花费的时间 t 。

例 7 — 8 图
解：(1) 这是一个 RC 电路零状态响应问题，时间常数为：
t＞0 后，电容电压为：
充电电流为：
（2）设经过t1秒，u C＝ 80V ，即：
解得：
例7-9 图示电路原本处于稳定状态，在t=0时打开开关K，求t＞0后i L和u L的变化规律。

例 7 — 9 图（ a ）（ b ）
解：这是一个RL电路零状态响应问题，t＞0 后的等效电路如图（b）所示，
其中：
因此时间常数为：
把电感短路得电感电流的稳态解：
则
例7-10 图示电路原本处于稳定状态，在t=0时 , 打开开关K，求t＞0 后的电感电流i L 和电压u L及电流源的端电压。

例 7-10 图（a）图（b）
解：这是一个RL电路零状态响应问题，应用戴维宁定理得t＞0后的等效电路如图（b）所示，有：
把电感短路得电感电流的稳态解：
则
由图（a）知电流源的电压为：
二、正弦激励下的零状态响应
1．RC串联电路 *
2．RL串联电路（详见原备课笔记 6－3）
§7.4 一阶电路的全响应
教学目的：掌握一阶电路全响应的物理概念和过渡过程。

教学重点：全响应一般公式。

教学难点：全响应的求解。

教学方法：课堂讲授。

教学内容：
一阶电路的全响应是指换路后电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。

1.全响应
以图 7.19 所示的 RC 串联电路为例：
图 7.19 图 7.20
电路微分方程为：
方程的解为：u C(t)=u C＇+ u C＂
令微分方程的导数为零得稳态解：u C＂=U S
暂态解，其中τ= RC
因此
由初始值定常数A，设电容原本充有电压：u C(0－)= u C(0+)=U0
代入上述方程得：u C(0+)= A + U S = U0
解得：A = U0 - U S
所以电路的全响应为：
2. 全响应的两种分解方式
（1）上式的第一项是电路的稳态解，第二项是电路的暂态解，因此一阶电路的全响应可以看成是稳态解加暂态解，即：全响应 = 强制分量 ( 稳态解 )+ 自由分量 ( 暂态解 ) （2）把上式改写成：
显然第一项是电路的零状态解，第二项是电路的零输入解，因此一阶电路的全响应也可以看成是零状态解加零输入解，即：全响应 = 零状态响应 + 零输入响应此种分解方式便于叠加计算，如图 7.21 所示。

图 7.21
3. 三要素法分析一阶电路
一阶电路的数学模型是一阶微分方程：
其解答为稳态分量加暂态分量，即解的一般形式为：
t= 0+时有：
则积分常数：
代入方程得：
注意直流激励时：
以上式子表明分析一阶电路问题可以转为求解电路的初值f（0+），稳态值f（∞）及时间常数τ的三个要素的问题。

求解方法为：
f（0+）：用 0+等效电路求解；
f（∞）：用t →∞的稳态电路求解；
时间常数τ：求出等效电阻，则电容电路有τ=RC ，电感电路有:τ= L/R。

例7-11 图示电路原本处于稳定状态，t=0时打开开关K，求t＞0后的电感电流i L和电压u L
例 7-11 图
解：这是一个一阶RL 电路全响应问题，电感电流的初始值为：
时间常数为：
因此零输入响应为：
零状态响应为：
全响应为：
也可以求出稳态分量：
则全响应为：
代入初值有： 6 ＝ 2 ＋ A ，得： A=4
例7-12 图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关K闭合，求t＞0后的电容电流i C和电压u C及电流源两端的电压。

已知：
例 7-12 图
解：这是一个一阶RC 电路全响应问题，其稳态解：
时间常数为：
则全响应为：
代入初值有： 1 ＝ 11 ＋ A ，得： A= － 10
所以：
电流源电压为：
例7-13 图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关闭合，求t＞0后的电容电压u C并画出波形图。

例 7-13 图（a）
解：这是一个一阶RC 电路全响应问题，应用三要素法，
电容电压的初始值为：
稳态值为：
时间常数为：
代入三要素公式：
所以：
图（ b ）
电容电压随时间变化的波形如图（b）所示。

例7-14 图示电路原本处于稳定状态，t=0 时开关闭合，求t＞0 后各支路的电流。

例 7-14 图
解：这是一个一阶RL 电路全响应问题，应用三要素法，
三要素为：
代入三要素公式：
所以：
支路电流为：
例7-15 图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关由1扳到2，求换路后的电容电压u C(t)。

例 7-15 图（a）图（ b ）
解：这是一个一阶RC 电路全响应问题，应用三要素法，
三要素为：
由于含有受控源所以应用图（b）电路求等效电阻：
则时间常数为：
代入三要素公式得：
例7-16 图示电路原本处于稳定状态，t=0 时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。

例 7-16 图
解：开关闭合后电路分为两个一阶电路，应用三要素法，
电容电路的三要素为：
电感电路的三要素为：
代入三要素公式得：
因此：
例7-17 已知：电感无初始储能，t=0时闭合开关k1, t=0.2s时闭合开关k2，求两次换路后的电感电流i(t) 。

例 7-17 图
解：分两个阶段求解，
（1）当 0＜t＜0.2s 时有：
所以：
（2）当t＞0.2s 时
根据：
有：
因为：
所以：
§7.5 二阶电路的零输入响应
教学目的：掌握二阶电路过渡过程的三种状态及判断条件。

教学重点：二阶电路的动态过程。

教学难点：用经典法分析二阶电路的过渡过程。

教学方法：自学为主，课堂讲授为辅。

教学内容：
二阶电路是指用二阶微分方程来描述的电路。

下面主要通过分析RLC 串联电路来说明求二阶电路响应的方法。

1.方程和初始条件
图 7.1
图7.1所示的RLC串联电路在t=0时刻闭合开关，设电容原本充有电压U0，此电路的放电过程是二阶电路的零输入响应问题。

电路的KVL方程及元件的VCR为：
若以电容电压为变量，从以上方程中消去其他变量得二阶齐次微分方程：
初始条件为：u C(0+)= U0，i (0+)=0 ，或
*(若以电感电流为变量，则方程为：
初始条件为：i (0+)=0 ，
根据)
2．二阶微分方程的解及其物理意义
从中得特征方程：
特征根为：
上式表明特征根仅与电路参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。

当R、L、C的参数不同，特征根为不同的形式。

下面分三种情况讨论。

（1）当时，非振荡放电过程
特征根为两个不相等的负实根，电路处于过阻尼状态。

此时方程的解为：
由初始条件：，
得：即：
因此电容电压为：
电流为：
电感电压为：
图7.2给出了电容电压、电流和电感电压随时间变化的波形，从中可以看出，电容电压和电流始终不改变方向，且最终衰减至零，说明电容始终在释放能量，称非振荡放电，又称过阻尼放电。

能量的转换过程如图7.3所示。

t=0+时，i(0+)=0,当t=∞时放电结束，i(∞)=0,电流必然经历从小到大再趋于零的变化。

t=t m时，i C取得最大值，通过对电流求导，可计算时间t m。

即
图 7.2 图 7.3
→→
t＜t m时，电感吸收能量，建立磁场；当t＞t m时，电感释放能量，磁场逐渐衰减，趋向消失。

t=t m时，正是电感电压过零点。

t=2t m时，u L为极小值。

（2）当时，特征根为一对共轭复根，电路处于振荡放电状态。

令：
则特征根为：
电容电压的u C的通解形式为：
经常把上式写成三角函数形式：
故把ω 称为振荡频率。

通解中待定常数A ， b 根据初始条件确定，即：
联立求解以上方程得：
由于ω、ω０、δ、b 满足图7.4所示的三角关系:
所以
则
图 7.4 图 7.5
图 7.5 给出了电容电压和电流随时间变化的波形，从中可以看出，波形呈衰减振荡的状态，在整个过渡过程中电容电压和电流周期性的改变方向，表明储能元件在周期性的交换能量，处于振荡放电。

在半个周期里能量的转换过程如图 7.6 所示。

图 7.6
若RLC 振荡回路中的电阻 R=0 ，则产生等幅振荡放电。

此时有：
（3）当时，特征根为两相等的负实根，电路处于临界阻尼状态。

特征根为：
方程的通解为：
根据初始条件得：
解得：
从以上诸式可以看出，电压和电流具有非振荡的性质，其波形类似于图7.2，波形呈衰减状态，然而，这种过程是振荡与非振荡过程的分界线，所以称为临界阻尼状态，这时的电阻称为临界电阻。

总结以上分析过程得用经典法求解二阶电路零输入响应的步骤：
1)根据基尔霍夫定律和元件特性列出换路后的电路微分方程，该方程为二阶线性齐次常微分方程；
2)由特征方程求出特征根，并判断电路是处于衰减放电还是振荡放电还是临界放电状态，三种情况下微分方程解的形式分别为：
特征根为两个不相等的负实根，电路处于过阻尼状态：
特征根为两个相等的负实根，电路处于临界阻尼状态：
特征根为共轭复根，电路处于衰减振荡状态：
3）根据初始值确定积分常数从而得方程的解。

以上步骤可应用于一般二阶电路。

例7-1图示电路在t＜0时处于稳态，t=0时打开开关, 求电容电压u C并画出其变化曲线。

例 7 — 1 图（ a ）（ b ）
解：求解分三步：
（1）首先确定电路的初始值。

由 t＜0 的时稳态电路，即把电感短路，电容断路，
得初值为：uＣ(0－)=25V ，i L(0－)=5A
（2）开关打开，电路为RLC串联零输入响应问题，以电容电压为变量的微分方程为：
带入参数得特征方程为： 50P 2+2500 P +106=0
解得特征根：
由于特征根为一对共轭复根，所以电路处于振荡放电过程，解的形式为：
（3）确定常数，根据初始条件得：
有：即：
电压随时间的变化波形如图（b）所示。

例7-2图示电路为RC振荡电路，试讨论k取不同值时输出电压u2的零输入响应情况。

图例7-2
解：对节点 A 列写 KCL 方程：
列写 KVL 方程：
对方程两边微分，整理得：
特征方程为：
特征根为：
令：则：
下面进行讨论：
（1）若，特征根为一对共轭复根，电路为振荡情况，此时有：
，|3 - k|＜2 ， 1＜k＜5
当1＜k＜3时有 d＞0 ，为衰减振荡；
当 k=3 时有 d = 0 ，为等幅振荡；
当 3＜k＜5 时有 d＜0 ，为增幅振荡。

（2）若，特征根为两个负实根，电路为阻尼情况，此时有：
，, k＜1 , k＞5
§7.6 二阶电路的零状态响应和全响应
一、零状态响应和阶跃响应
1．RLC串联电路
二阶电路的初始储能为零，仅由外施激励引起的响应称为二阶电路的零状态响应。

二阶电路在阶跃激励下的零状态响应成为二阶电路的阶跃响应。

零状态响应和阶跃响应的求解方法相同。

现以图7.6所示RLC 串联电路为例说明求解方法。

图中激励为阶跃电压，因此电路的初始储能为:
u C(0－)=u C(0+)=0，i L(0－)=i L(0+)=0。

图 7.6
t＞0 后，根据 KVL 和元件的 VCR 得以电容电压为变量的电路微分方程：
特征方程为；
方程的通解求法与求零输入响应相同。

令方程中对时间的导数为零，得方程的特解 :
则u C的解答形式为：
由初值确定常数
电路在阻尼状态和振荡状态时电容电压随时间的变化波形如图7.7所示，表。