格林公式及其应用
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-
平面单连通区域的概念：
设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都
属D则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域 。通
俗的说，平面单连通区域就是不含“洞”（包括点“洞”） 的
区域，复连通区域是含有“洞”（包含“洞”的区域）。
例如，平面上的圆形区域{（x,y） |1< x2 y2 <4 } 或
2 xy Q d (x ,x y )d y 2 xy Q d (x ,x y )dy
(0 ,
解： 由题意知曲线积分与路径无关，因而有 Q (2xy)
x y
-
即 Q 2x. 于是 Q(x,y)x2(y)其中 ( y)
x
为任意可导函数。 如图所示，取点 A (t,0) , B (t,1) , C (1,0) , D (1,t) . 对所给等式
-
定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成， 函数P(x,y)及Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数，则有
DQ xP ydxdyPdxQdy (1)
其中L是D的取正向的边界曲线。 公式（1）叫做格林公式。
注意哦
对于复连通区域D,格林公式（1）右端应包括沿区 域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来 说都是正向。
(3) 若函数 P (x,y), Q(x,y) 满足定理2条件
(x,y)
u(x,y)
PdxQd满y 足
x y ( , ) 00
-
duPdxQdy
例 4 设函数 Q(x,y) 在xoy面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
L2xydQ y(x,y)dy
与路径无关，且对任意实数 t ，恒有
(t,1 )
(1 ,t)
{（x,y）| 0< x2 y2 <2}都是复连通区域。
-
对平面区域D的边界曲线L，我们规定L的正方向如下： 当观察者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部 分总在他的左边.例如：D是边界曲线L及l 所围成的复连通 区域，作为D的正向边界，L的正向是逆时针方向，而l 的 正向是顺时针方向。
lD L
0
0
两段对 t 求导数 ， 得
2t1(t) 或 (t)2t1
x 故 Q(x,y) 22x1
-
三、二元函数的全微分求积
给定 u(x,y)， du(x,y)udxudy. x y
给定 Pdx Qdy ,
---求二元函数全微分问题
求u(x, y) 使d得 (u x,y)Pd Q x dy
讨论以下两个问题：
左端沿折线 OAB ,右端沿折线 OCD直线进行曲线积分，得
y t 1
o
1t
x
-
t
1
1
t
00 d x 0Q (t,y )d y 00 d x 0Q (1 ,y )d.y
将前面得到的 Q (x,y) 代入上式，得
0 1[t2(y)d ] y0 t[1(y)d ] y
即
t 21(y)dy tt(y)
无关，否则就称该曲线积分与路径有关，此时，从 A 到
B 的曲线积分可记为
B
PdxQdy 或 A
(x2,y2) PdxQdy
(x1,y1)
-
定理2 设二元函数P (x,y),Q(x,y)在单连通区域G
具有一阶连续偏导数，则在单连通区域 G 内下列条 件等价：
（1） Q P x y
（2）沿任意分段光滑的有向
设 G 是一个开区域，且 P (x,y) , Q(x,y) 在G 内具有一阶连续偏导数。如果对于 G 内任意指定的
两个点 ： A (x1,y1)B ,(x2,y2)
-
以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两段曲线 L1，L2等式：
PdQ x d yPdQ x dy
L1
L2
恒成立，则称 曲线积分 LPdxQdy在 G 内与路径
闭曲线 L ，有 PdxQdy0
L
（3）曲线积分 LPdxQdy
与路径无关。 -
注意：
(1) 定理中的等价关系是建立在单连通区域 内的，并且要求 P (x,y) ,Q(x,y) 在G 上具有有一阶连续偏导数，当这两个 条件之一不满足时，等价关系都可能不成立。
(2) 定理中命题(2)和(3)的等价区域可以 不是单连通的。
20
例 2 设 L 是任意一条分段光滑的闭曲线，证明
2xydxx2dy0
L
-
x 证明: 令 P2xy,Q 2,
则
Qp2x2x0
x y
因此，有格林公式得 2xy dxx2dy 0 dx d0y
L
D
例 3 计算
xdy ydx
L
x2 y2 ,
其中 L 为一条无重
点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L 的方向为 逆时针方向。
y
D1
0
x
lL
对复连通区域 D1 应用格林公式，得
-
Lxxd2 yyy2dxl xxd2 yyy2dx0
其中 l 的方向取逆时针方向，于是：
xdyydx xdyydx
L
x2y2
l
x2y2
2
r r r 0
2co2s
2
2sin2d
2
-
二 平面曲线积分与路径无关
一般来说，曲线积分的值除了与被积函数有外， 还与积分的路径有关，但在自然界中许多问题的曲线 积分是与路径无关的。如重力场、静电场中研究力问 题时遇到的曲线积分，通常属于这种情况。
-
解：令
y
x
Px2y2,Qx2y2,则当
x2 y2 0 时，
有
Q x
y2 x2 (x2y2)2
P. y
记 L 所围成的闭区域为 D .当 (0,0)D时由格林公
式得：
L
xdy
x2
yd
y2
x
0
-
当 (0,0)D时，选取适当的 r>0 ，作为于D内的
圆周 l : x2y2r2 记 L 和 l 所围得闭区域为 D1 (如图)。
-
在公式（1）中取 P=-y，Q=x, 即得
格林公式的一 个简单应用：
2dxdyxdyyd.x
D
D
上式的左端是闭区域 D 的两倍，因此有：
1 2
L
x
d
y
y
d
x
例 1 求椭圆 xaco ,y sbsin所围成的图形面积A
-
解： 根据公式（1）有：
A1 2Lxdyydx1 202(ab co2sasb i2n )d 1ab2dab
-
一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积
-
一、格林公式 在一元积分学中，牛顿-莱布尼茨公式 ：
a bF'xdxF(b)F(a)
表示: F'x在区间[a,b]上的积分可以通过它的原函数
F (x) 在这个区间端点上的值来表达。
下面介绍的格林公式告诉我们，在平面闭区域D上 的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线 L 上的曲 线积分来表达。
平面单连通区域的概念：
设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都
属D则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域 。通
俗的说，平面单连通区域就是不含“洞”（包括点“洞”） 的
区域，复连通区域是含有“洞”（包含“洞”的区域）。
例如，平面上的圆形区域{（x,y） |1< x2 y2 <4 } 或
2 xy Q d (x ,x y )d y 2 xy Q d (x ,x y )dy
(0 ,
解： 由题意知曲线积分与路径无关，因而有 Q (2xy)
x y
-
即 Q 2x. 于是 Q(x,y)x2(y)其中 ( y)
x
为任意可导函数。 如图所示，取点 A (t,0) , B (t,1) , C (1,0) , D (1,t) . 对所给等式
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定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成， 函数P(x,y)及Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数，则有
DQ xP ydxdyPdxQdy (1)
其中L是D的取正向的边界曲线。 公式（1）叫做格林公式。
注意哦
对于复连通区域D,格林公式（1）右端应包括沿区 域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来 说都是正向。
(3) 若函数 P (x,y), Q(x,y) 满足定理2条件
(x,y)
u(x,y)
PdxQd满y 足
x y ( , ) 00
-
duPdxQdy
例 4 设函数 Q(x,y) 在xoy面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
L2xydQ y(x,y)dy
与路径无关，且对任意实数 t ，恒有
(t,1 )
(1 ,t)
{（x,y）| 0< x2 y2 <2}都是复连通区域。
-
对平面区域D的边界曲线L，我们规定L的正方向如下： 当观察者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部 分总在他的左边.例如：D是边界曲线L及l 所围成的复连通 区域，作为D的正向边界，L的正向是逆时针方向，而l 的 正向是顺时针方向。
lD L
0
0
两段对 t 求导数 ， 得
2t1(t) 或 (t)2t1
x 故 Q(x,y) 22x1
-
三、二元函数的全微分求积
给定 u(x,y)， du(x,y)udxudy. x y
给定 Pdx Qdy ,
---求二元函数全微分问题
求u(x, y) 使d得 (u x,y)Pd Q x dy
讨论以下两个问题：
左端沿折线 OAB ,右端沿折线 OCD直线进行曲线积分，得
y t 1
o
1t
x
-
t
1
1
t
00 d x 0Q (t,y )d y 00 d x 0Q (1 ,y )d.y
将前面得到的 Q (x,y) 代入上式，得
0 1[t2(y)d ] y0 t[1(y)d ] y
即
t 21(y)dy tt(y)
无关，否则就称该曲线积分与路径有关，此时，从 A 到
B 的曲线积分可记为
B
PdxQdy 或 A
(x2,y2) PdxQdy
(x1,y1)
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定理2 设二元函数P (x,y),Q(x,y)在单连通区域G
具有一阶连续偏导数，则在单连通区域 G 内下列条 件等价：
（1） Q P x y
（2）沿任意分段光滑的有向
设 G 是一个开区域，且 P (x,y) , Q(x,y) 在G 内具有一阶连续偏导数。如果对于 G 内任意指定的
两个点 ： A (x1,y1)B ,(x2,y2)
-
以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两段曲线 L1，L2等式：
PdQ x d yPdQ x dy
L1
L2
恒成立，则称 曲线积分 LPdxQdy在 G 内与路径
闭曲线 L ，有 PdxQdy0
L
（3）曲线积分 LPdxQdy
与路径无关。 -
注意：
(1) 定理中的等价关系是建立在单连通区域 内的，并且要求 P (x,y) ,Q(x,y) 在G 上具有有一阶连续偏导数，当这两个 条件之一不满足时，等价关系都可能不成立。
(2) 定理中命题(2)和(3)的等价区域可以 不是单连通的。
20
例 2 设 L 是任意一条分段光滑的闭曲线，证明
2xydxx2dy0
L
-
x 证明: 令 P2xy,Q 2,
则
Qp2x2x0
x y
因此，有格林公式得 2xy dxx2dy 0 dx d0y
L
D
例 3 计算
xdy ydx
L
x2 y2 ,
其中 L 为一条无重
点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L 的方向为 逆时针方向。
y
D1
0
x
lL
对复连通区域 D1 应用格林公式，得
-
Lxxd2 yyy2dxl xxd2 yyy2dx0
其中 l 的方向取逆时针方向，于是：
xdyydx xdyydx
L
x2y2
l
x2y2
2
r r r 0
2co2s
2
2sin2d
2
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二 平面曲线积分与路径无关
一般来说，曲线积分的值除了与被积函数有外， 还与积分的路径有关，但在自然界中许多问题的曲线 积分是与路径无关的。如重力场、静电场中研究力问 题时遇到的曲线积分，通常属于这种情况。
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解：令
y
x
Px2y2,Qx2y2,则当
x2 y2 0 时，
有
Q x
y2 x2 (x2y2)2
P. y
记 L 所围成的闭区域为 D .当 (0,0)D时由格林公
式得：
L
xdy
x2
yd
y2
x
0
-
当 (0,0)D时，选取适当的 r>0 ，作为于D内的
圆周 l : x2y2r2 记 L 和 l 所围得闭区域为 D1 (如图)。
-
在公式（1）中取 P=-y，Q=x, 即得
格林公式的一 个简单应用：
2dxdyxdyyd.x
D
D
上式的左端是闭区域 D 的两倍，因此有：
1 2
L
x
d
y
y
d
x
例 1 求椭圆 xaco ,y sbsin所围成的图形面积A
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解： 根据公式（1）有：
A1 2Lxdyydx1 202(ab co2sasb i2n )d 1ab2dab
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一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积
-
一、格林公式 在一元积分学中，牛顿-莱布尼茨公式 ：
a bF'xdxF(b)F(a)
表示: F'x在区间[a,b]上的积分可以通过它的原函数
F (x) 在这个区间端点上的值来表达。
下面介绍的格林公式告诉我们，在平面闭区域D上 的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线 L 上的曲 线积分来表达。