函数与极限知识点解析

例：自由落体Ｓ=gt2/2中的S与t都是变量.
一个量是常量还是变量只是相对而言的．
２．函数的概念：
函数关系——变量之间的依赖关系 函数定义： 设ｘ与ｙ是两个变量，如果对于ｘ在数集Ｘ中所取的 每一个值，通过ｘ与ｙ之间的某一对应律ｆ, 都有一个 (或多个)确定的 y 值与之对应 , 则称 f 是Ｘ上的函数. 记作：y=f(x)，x X． ｘ称为自变量，ｙ称为因变量．Ｘ称为函数的定义
问：分段函数是否是初等函数？ 不是初等函数，但它是一个函数.
（注：不用一个式子表示的函数就不是初等函数） 例： y
tgx ln cos x，y ，y arcsin x . x 1 x2
2
1 a2 x
都是初等函数。
第二节 函数的极限
极限概念的引入:
例1 . 有一变量其变化趋势为:1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 , . . .,1/n , . . . 则该变量的极限是0.(数列极限)
( u =φ(x) )
定义:设变量 y 是变量 u 的函数 , 变量 u 又是变量 x 的函数即
y = f (u) , u =φ(x) , 如果变量x的某些值通过中间变量u
可以确定变量 y 的值时 , 则称 y 是 x 的复合函数 , 记作
y = f [φ(x)]
( y—因变量 , u—中间变量 ( 既是自变量又是因变量 ) , x—自变量 ) 注:①函数u=Φ(x)的值域不能超过函数y=f(u)的定义域. ②形成复合函数的中间变量可以不止一个,如: y=f｛φ[ω(x)]｝
Y
解 : 当 x →+∞时 , f (x) = arctgx →π/2 ,
当 x →-∞时 , f (x) = arctgx →-π/2 .
π π/2
sin(3 x 2 1)
可分解为：y a u，u sin v，v 3x 2 1.
u 2
例： y 2
sin 2
1 x
1 可分解为：y 2 ，u v ，v sin , . x
3．初等函数
定义：由基本初等函数经过有限次加，减，乘，除四则运算和 有限次复合运算而构成的仅用一个解析式表达的函数， 称为初等函数．
x x0 0
x A
lim f ( x) A
x x0 0
lim f ( x) B
∵A≠B, 即左极限≠右极限 ∴此函数 f (x)在 x0处的极限不存在.
B
o x0 y
2 .
x →∞ 时函数的极限 :
lim f ( x) A
⑴函数在正无限处极限:
x
y
A
⑵函数在负无限处极限:
注: ①仅要求函数在点x0 附近有定义 ,但在 x0 处可以没有定义.
②“自变量 x 以任何方式无限趋近于定值 x0”是指左趋近和
右趋近 (对于一元函数) .
⑵ . 函数的单侧极限 :
左极限 ：x从左侧趋近于x0时产生的极限.
记作 :
x x0 0
lim f ( x) A
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右极限： x从右侧趋近于x0时产生的极限. 记作 :
第一章函数与极限
函数与极限——微积分中的二个重要基本概念 函数——高等数学研究的基本对象． 极限——是否采用极限的运算方法，是高等数学与 初等数学的根本区别．
第一节 函
一．函数概念：
１．常量与变量：
数
常量：某一变化过程中保持数值不变的量.
例：同一地点的ｇ=9.8米/秒2
(初等数学研究的主要对象)
变量：在某一变化过程中取不同数值的量．
而所有对应的ｙ值组成的数集Ｙ则称为函数的值域．
３．函数的表示方法：
解析法 (如 y = f (x)) 列表法 函数的表示法 图象法 其 他
√
解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示.例如:
cosx -π≤x≤0 f (x) =
1 0＜x＜1
(分段函数)
1/x
x ≥1
注：分段函数虽然由多个式子组成的，但它不是多个函数，而是一个函数．
x
lim f ( x) A
o
⑶函数在正负无限处极限:
x
lim f ( x) A
x
▲. 极限 lim f ( x) A存在的充要条件 : (当且仅当)
x
x
lim f ( x) A lim f ( x )
x
例 : 对于函数 f (x) = arctgx , x→∞时极限是否存在?
⑴定义: 设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义 (但在 x0 处可以没有定义) ,
当自变量 x 以任何方式无限趋近于定值 x0 时 , 若函数 f (x)
无限趋近于一个常数 A ,就说当 x 趋近于 x0时 , 函数 f (x)以
lim A 为极限 . 记作 : x x0
f ( x) A
x x0 0
lim f ( x) A
▲. 极限 lim f ( x) A存在的充要条件 : (当且仅当)
x x0
x x0 0
lim f ( x) lim f ( x) A
x x0 0
即左极限和右极限都存在并且相等时,才能说函数的极限存在
例 : 右图中的函数f(x) (分段函数)
二．初等函数：
1．基本初等函数：(中学学过的）
幂函数：ｙ= xa
指数函数：ｙ= ax
对数函数：ｙ=logax
三角函数：ｙ=sinx，y =cosx , y=tgx , y=ctgx. 反三角函数：y =arcsinx , y =arccosx , y =arctgx , y =arcctgx .
2．复合函数：形如：ｙ= f [(φ(x)]
一.函数的极限:
对于函数 y = f (x) , 我们将分别考察以下两种情况的极限: x→x0-0 时,函数的极限 x→x0+0 时,函数的极限
1 . 自变量 x →x0 时函数的极限.
x→-∞ 时,函数的极限
2 . 自变量 x →∞ 时函数的极限. x→+∞时,函数的极限
1 . x →x0 时函数的极限:
将复合函数拆成简单函数：（重点）
例：y = cos (2t+π/3) 可分解为 : y = cosx , x =2t+π/3.
或: y = cos2x , x =t+π/6
那么拆成什么形式好呢?
▲.一般复合函数拆开的结果应使拆成的每一个函数都是基本初等
函数或是它们的和,差,积,商. 例： y a