离散数学第5章 代数系统

代数系统的性质
十.吸收律
设和 都是X上的二元运算，若对任何x,y∈X， 有
x(xy)=x
则与 满足吸收律。
和
x(xy)=x
例如
Hale Waihona Puke 集合的∪与∩满足吸收律。软件学院
a)

b)
c c a b

c)
c c c c

d)
c c c c

a a a b b c c
b b c a
a a a b b c c
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代数系统基础
就专业知识而言，计算机学科中要培养学生三个能力： 理论抽象设计 理论：就是计算机科学中各种理论课。 抽象：要把实际问题抽象成数学模型(数学系统)。 设计：系统设计、程序设计。 确定数学模型，需要了解有哪些代数结构(系统)。
另外，抽象代数可以培养学生的抽象逻辑思维能力。
本章主要讨论：代数结构(系统)的概念，运算的性质、代数 结构(系统)的同构、半群、独异点、群、环、域等。
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同态与同构
设<X,>,<Y, >是两个代数系统，和 都是二元运算，
如果存在映射f:XY,使得对任何x1 ,x2∈X，有
f(x1x2)=f(x1)f(x2) --------此式叫同态关系式 则称 f是从<X,>到<Y, >的同态映射，简称这两个代数
系统同态。
并称<f(X), >为<X,>的同态像。 如果f是满射的，称此同态f是满同态。 如果f是单射的，称此同态f是单同态。 如果f是双射的，称<X,>与<Y,>同构，记作(X,)≌(Y,)。 f是<X,>到 <X,>的同态(同构),称之为自同态(自构)。
例如：对乘法×，零元是0， 对并运算∪，零元是全集E ， 对交运算∩，零元是Φ
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代数系统的性质 六.可结合性 设是X上的二元运算，如果对任何x,y,z∈X,有 (xy)z =x(yz), 则称是可结合的。 可结合的：数值的加法、乘法，集合的交、并、对 称差，关系的复合、函数的复合。 是可结合的运算的，元素x的运算，通常可以写 成乘幂的形式。如下： xx=x2 x2x=xx2=x3 xmxn=xm+n (xm)n=xmn
我们说这种同态为对于同余关系E的自然同态。
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同态的性质
定理9：设f是从代数系统(X, )到(Y,*)的同态映射,
则X上的关系Ef是一个同余关系。 定理10：设f是从代数系统(X, )到(Y,*)的满同态 映射,则此时必有(X/Ef,*)与(Y,*)同构。 这也就是说，从抽象的观点看，一个代数系统仅
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同态与同构
有些代数系统表面上看起来不相同，但是实际上是 ‘相同’的，如下两个代数系统：

0 1
0
0 1
1
1 1
* a b
a
a b
b
b b
仔细观察可发现，两个代数系统中的对应现象类似， 若将第二个代数系统中元素a,b换成第一个代数系统 中元素0、1，运算表的形式是不改变，为了表示代 数系统之间的这种关系，我们提出同态的概念。
如数的加法、乘法、减法和除法运算都是可削去的。
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代数系统的性质
九.分配律
设和 都是X上的二元运算，若对任何x,y,z∈X， 有
x(yz)=(xy)(xz)
或 (xy)z =(xz)(yz) 则称对可分配。 例如 乘法对加法可分配。 集合的∪与∩互相可分配。
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群 论 定理2. 一个循环半群一定是可换半群。 定理3. 一个半群内的任一元素a和它所有的幂组成 一个由a生成的循环子半群。
2
2
2
3
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同构和同态
证明：这两个代数系统间存在一个函数g：S g(a)=a-3 显然它是一一对应的，同时它满足条件： g(ab)=g(a)*g(b)
P，
故这两个代数系统是同构的。 同构不但使两个代数系统具有相同的基数，而且 对运算保持相同的性质。
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注意：代数系统<X,> 和<Y, >同构的必要条件：
与其商代数满同态。
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群论 按照运算性质将代数系统分成几类抽象的代数系统。 含有一个运算的：半群、独异点、群 含有二个运算的：环、域 含有三个运算的：布尔代数 下面我们将逐一介绍，先介绍最简单的代数系统--半群。 一. 半群(Semi-group) 1.定义：S是个非空集合， 是S上的二元运算，如 果在S上满足结合律，则称<S,>是半群。
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例：代数系统（I，max），‘max’为二元运算，并 且满足结合律:
max(max(a,b),c)=max(a,b,c) =max(a,max(b,c)) 所以代数系统（I，max）为一个半群。
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群论
可换半群
半群(S,)，如满足交换律，则称它为可换半群。 定理1.一个半群(S,)，如果它有一个子代数(M,)， 则此子代数也是一个半群。 一个半群(S,)的子代数(M,)叫做(S,)的子半群。 如果一个半群(S,)的每一个元素均为S内某一固定 元素a的某一方幂，则此半群叫由a生成的循环半群， 而此元素a称为生成元。
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同态与同构 例1. <R+ ,×>：是正实数R+上的乘法× ； <R, +> ：是实数R上的加法+。 表面上看这两个代数系统完全不同，实际它们运算的 性质却完全一样，都满足：可交换、可结合、有单 位元、元素可逆。那如何反映它们的相同性呢？ 通过一个映射 f: R+R 任何x∈R+, f(x)=lnx (是双射) 任何x,y∈R+, f(x×y)=ln(x×y)=lnx+lny=f(x)+f(y)
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同构与同态
例2.设S={4,5,6},在S上的二元运算‚‛可用下表1 定义。又有P上的二元运算‛*‛，其运算组合如 表2，这样所构成的两个代数系统(S, )与(P,*) 是同构的。
4 5 6 4 4 4 4 5 5 5 5 6 4 5 6 * 1 2 3 1 1 2 2 3 1
1
1
1.X和Y的基数相同，即K[X]=K[Y]。
2. 运算和 是同类型的。
3.存在双射 f:XY，且满足同构关系式。 f(x1x2)=f(x1)f(x2) 因为并不是所有双射都满足同构关系式。
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同构的性质
由同构的定义我们可以证明同构关系保持下面定 理中的性质。 定理1：如果代数系统(X, )满足结合律，且 (X, )≌(Y,*),
g(x1*x2)=g(x1)◎g(x2) 则称这两个代数系统同构。
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同构的性质
定理6：如果代数系统（X,,*）满足分配律律，且
（X,,*)≌(Y,,◎) 则(Y,,◎)也满足分配律。
定理7：代数系统之间的同构关系是等价关系。
定理8：代数系统(X, )与其上的商代数(X/E, *)
同态。
b b a c
a a a b a c a
b b b b
a a a b b c c
b b b c
c c c b
a) b) c) d)
交换性 幂等元 幂等性 单位元 有零元 有可逆元素 Y a N a N a,b,c Y a,c N a c a,b N a,b,c Y N,左1 N,右零 N Y a,b N a N a
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代数系统基础 代数系统的定义：X是非空集合，X上的m个运算f1, f2,…fm, 构成代数系统U,记作U=<X,f1,f2,…fm> 。 定义：如果两个代数系统有相同个数的运算符，每个 相对应的运算符有相同的元数，则这两个代数系统 具有相同的类型。 例如：代数系统（N，＋）与代数系统（I，×）是相 同类型的，因为它们都有一个二元运算符。 而代数系统（I，＋，×）和代数系统（N，＋） 是不同类型的。
则(Y,*)也满足结合律。 定理2：如果代数系统(X, )满足交换律，且 (X, )≌(Y,*), 则(Y,*)也满足交换律。
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同构的性质
定理3：如果代数系统(X, )有单位元1x，且 (X, )≌(Y,*),
则(Y,*)也存在单位元1y ，且有g(1x)= 1y 。
定理4：如果(X, )对每个x均有逆元素x－1，且 (X, )≌(Y,*), 则(Y,*)也对每个y都存在逆元素y－1，且有若
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代数系统基础
定义：如果两个代数系统（S， ）和（S’, *）若满 足下列条件：

1. S’ S 2. a∈S’ ，b∈S’ 则a*b=a b

则（S’, *）称为（S， ）的子代数或子系统。

例如（N，＋）就是（I，＋）的子系统。
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代数系统的性质 这一节是重要的一节。因为就是根据运算的性 质将代数系统分成半群、群、交换群、环、域、格 等，这些性质多数是大家所熟悉的。 一. 封闭性 设是X上的二元运算，如果对任何x,y∈X,有xy∈X, 则称在X上封闭。
例如：在N上加法+和乘法×都封闭，而减法和除法不 封闭。但（I，－）是封闭的， （Q，÷）封闭。
从运算表可以很容易看出运算是否封闭。
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代数系统的性质 二.交换性 设是X上的二元运算，如果对任何x,y∈X,有 xy=yx,则称是可交换的。
易知:加法、乘法、交、并、对称差是可交换。
例如（N，＋）中’+’是可交换的 （N，×）中’×’可交换的，但减法和除法不可交 换 （E，∪）和（E，∩）的运算是可交换的
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第五章 代数系统基础
以前学过许多代数： 初等代数、高等代数(线性代数)、集合代数、命题代数等等 它们研究的对象分别是整数、有理数、实数、矩阵、集合、 命题等等，以及这些对象上的各种运算。 我们发现不同对象上的运算，可能有共同的性质。例如， 集合代数与命题代数，尽管研究的对象不同，但是它们的 性质完全一样，都有对合律、交换律、结合律、分配律、 吸收律、底-摩根定律、同一律、零律、互补律等。 这些促使我们将代数的研究引导到更高的层次—即抛开具体 对象的代数—抽象代数—研究代数的共性。
（E，－）集合的差运算不可交换
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三.幂等元、幂等性
设是X上的二元运算，如果有a∈X，aa=a, 则称 a是幂等元，如果对任何x∈X,都有xx=x,则称 有幂等性。 例如 （E，∪）的运算有幂等性
但是（E，-）的运算没有幂等性
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代数系统的性质 四.单位元
设是X上的二元运算，如果有1L ∈X，使对任何 x∈X，有1Lx=x，则称1L是相对的左单位元。
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代数系统的性质 七.逆元
设是X上有单位元的二元运算，x∈X，若xL-1∈X， 使得，xL-1x=1，则称xL-1是x相对的左逆元。
如果有xR-1∈X，使得xxR -1 =1，则称xR -1是x对 的右逆元。 若xL-1 = xR-1 =x-1 ，有x-1x=xx-1=1, 称x-1是x相对的逆元。也称x-1与x互为逆元。如x1∈X ,也称x可逆。 例：实数集合R上的+和×，x∈R 对加+: x-1 = -x (1=0)
g(x)=y，则有g(x－1)=y－1。
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同构的性质
定理5：如果代数系统(X, )有零元0x，且 (X, )≌(Y,*),
则(Y,*)也存在零元0y ，且有g(0x)= 0y 。
设（X,,*）,(Y,,◎)是两个代数系统，它们之间 存在一个一一对应映射g:XY,使得对任何 x1 ,x2∈X，有 g(x1x2)=g(x1)g(x2)
如果有1R ∈X，使得对任何x∈X，有x1R =x ，则 称1R是相对的右单位元。 如果对任何x∈X，有1x=x1=x, 称1是相对的单 位元。此时符号‚1”已经不是自然数1的含义。 性质：如果对于一种运算存在左单位元和右单位元， 则1L= 1R 。
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代数系统的性质 五. 零元
设是X上二元运算，如果有0L∈X，使得对任何x∈X， 有0Lx=0L，则称0L是相对的左零元。如果有 0R∈X，使得对任何x∈X，有x0R=0R，则称0R是相 对的右零元。如果对任何x∈X，有0x=x0=0, 称0是相对的零元。
对乘×:
x-1 =1/x (x≠0)
(1=1)
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代数系统的性质 任一代数系统元素的左逆元与右逆元不一定相等。 性质.设是X上有单位元且可结合的二元运算，如果 x∈X，x的左、右逆元都存在，则x的左、右逆元必 相等。且x的逆元是唯一的。 八.可消去性 设是X上的二元运算，a∈X，如果对任何x, y∈X, 有ax=ay或者xa=ya x=y.则称 a相对 是可消去的。