同济大学高等数学第六版第七章第八节常系数非齐次线性微分方程

特别地 y py qy Aex
2
A
p
q
ex ,
不是特征方程的根
y
A xex
2 p
是特征方程的单根 ,
A x 2ex 2
是特征方程的重根
例1. 求方程 y 2 y 3y 3x 1 的一个特解.
解: 本题 0 , 而特征方程为 r 2 2 r 3 0 ,
0 不是特征方程的根 .
第 八节
第七章
常系数非齐次线性微分方程
一、 f (x) e x Pm (x) 型
二、 f (x) e x[Pl (x) cos x P~n (x)sin x] 型
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y py qy f (x) ( p, q 为常数) ①
根据解的结构定理 , 其通解为
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形
f
(x)
e
x
Pl
(x)
ei
x
ei 2
x
P~n (x) ei x
ei x 2i
Pl (x) 2
P~n (x) 2i
e(i) x
Pl
(x) 2
P~n (x) 2i
e( i )
x
令 m maxn, l ,则
f (x) Pm (x) e( i ) x Pm (x) e( i ) x
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e( i ) x Pm (x) e( i ) x
第二步 求出如下两个方程的特解 y p y q y Pm (x) e(i ) x
y p y q y Pm (x) e(i ) x
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
2 p q 0, 2 p 0 ,
则Q(x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 y* x2Qm (x) e x
小结 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设
特解 y* xk Qm (x) e x (k 0, 1, 2) 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
由初始条件得
C1 C2 C3 0
C2
2C3
1 2
C2 4C3 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
解得
CC21
1
3 4
C3
1 4
于是所求解为
y 3 ex 1 e2x 1 x
4
4
2
1 (3 2x 4ex e2 x ) 4
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 f (x) e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x 型
机动 目录 上页 下页 返回 结束
Q(x) ( 2 p )Q(x) (2 p q )Q (x) Pm (x)
(2) 若 是特征方程的单根 , 即
2 p q 0, 2 p 0 ,
则Q(x)为m 次多项式, 故特解形式为 y* x Qm (x) e x
(3) 若 是特征方程的重根 , 即
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
r1 2, r2 3
对应齐次方程的通解为 Y C1e2x C2e3x 设非齐次方程特解为 y* x ( b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
比较系数,
得
2b0 1
2b0
0
解: 本题 0, 特征方程为 r3 3r 2 2 r 0, 其根为
r1 0, r2 1, r3 2
故对应齐次方程通解为 Y C1 C2 ex C3 e2 x
设非齐次方程特解为 y* bx,代入方程得 2b 1,故
y*
1 2
x,
原方程通解为
y
C1
C2ex
C3e2 x
1 2
x
2 是单根，设 y x( Ax B)e2x ,
代入方程, 得 2 Ax B 2 A x
A
1 2
,
于是 y x(1 x 1)e2x
B 1
2
原方程通解为
y C1e x
C2e2x
x(1 x 1)e2x 2
.
例3.
求解定解问题
Baidu Nhomakorabea
y y(0)
3
y 2 y(0)
y
1 y(0)
设所求特解为 y* b0 x b1, 代入方程 :
3b0 x 3b1 2b0 3x 1
比较系数, 得
3b0 2b0
3 3b1
1
b0
1 ,
b1
1 3
于是所求特解为 y* x 1 . 3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求方程 y 5y 6 y x e2 x的通解.
Pm (x) e( i ) x Pm (x) e( i ) x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第二步 求如下两方程的特解
y p y q y Pm (x) e(i ) x
②
y p y q y Pm (x) e(i ) x
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
y* e x[ Q (x) Q(x) ]
y* e x[ 2 Q (x) 2 Q(x) Q(x) ]
代入原方程 , 得
Q(x) ( 2 p )Q(x) (2 p q )Q (x) Pm (x) (1) 若 不是特征方程的根, 即2 p q 0, 则取
Q (xe)为x[mQ次(x待) 定 (系2 数多p项)式Q (Qxm) (x(), 2从而p得 到 q特)解Q (x) ] 形式e为x Pym*(x)e xQm (x) .
b1
0
b0
1 2
,
b1
1
因此特解为
y*
x
(
1 2
x 1)e2 x
.
所求通解为
y
C1e2x
C2e3x
(
1 2
x2
x
)
e2 x
.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解.
解 特征方程 r 2 3r 2 0,
特征根 r1 1，r2 2，
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e2x ,
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 — 待定系数法 根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解 y *的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、 f (x) e x Pm (x) 型
为实数 , Pm (x) 为 m 次多项式 . 设特解为 y* e xQ (x) , 其中 Q (x) 为待定多项式 ,