同济大学高等数学第六版第七章第八节常系数非齐次线性微分方程
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常系数非齐次线性微分方程
03
在经济学中，常系数非齐次线性微分方程可以用于 描述经济系统的变化趋势和规律。
02 常系数非齐次线性微分方 程的解法
特解的求解方法
待定系数法
通过设定特解的形式，代入原方程求解待定系数。
微分算子法
利用微分算子的性质，构造特解的形式。
复数法
通过复数域的方法，求解特解。
变参数法
通过改变参数的值，寻找满足原方程的特解。
通解的求解方法
分离变量法
通过将方程转化为分离变量的形式，求解得到通解。
变量代换法
通过引入新的变量代换简化原方程，求解得到通解。
积分法
通过对方程两边积分，求解得到通解。
通解的求解实例
实例1
求解方程$y'' + 2y' + y = e^{-x}$，通过分 离变量法得到通解$y = (C_1 + C_2x)e^{-x}$。
求解方程 $y'' - 4y = 3x$ 的特解。
求解方程 $y'' + 2y' + y = e^{-x}$ 的特解。
例1
例2
例3
03 常系数非齐次线性微分方 程的通解
通解的定义与性质
定义
常系数非齐次线性微分方程的通解是指满足该方程的任意函数，它由一个特解和对应齐次方程的通解组成。
性质
通解具有唯一性，即对于给定的非齐次线性微分方程，其通解是唯一的。
判断方法
通过解方程来判断，如果方程有唯一解，则说 明解是唯一的。
应用
在数学、物理等领域中，解的唯一性是基础且重要的概念。
解的存在性
定义
解的存在性是指对于给定的初始条件，方程是否 有解。
在经济学中，常系数非齐次线性微分方程可以用于 描述经济系统的变化趋势和规律。
02 常系数非齐次线性微分方 程的解法
特解的求解方法
待定系数法
通过设定特解的形式，代入原方程求解待定系数。
微分算子法
利用微分算子的性质，构造特解的形式。
复数法
通过复数域的方法，求解特解。
变参数法
通过改变参数的值，寻找满足原方程的特解。
通解的求解方法
分离变量法
通过将方程转化为分离变量的形式，求解得到通解。
变量代换法
通过引入新的变量代换简化原方程，求解得到通解。
积分法
通过对方程两边积分，求解得到通解。
通解的求解实例
实例1
求解方程$y'' + 2y' + y = e^{-x}$，通过分 离变量法得到通解$y = (C_1 + C_2x)e^{-x}$。
求解方程 $y'' - 4y = 3x$ 的特解。
求解方程 $y'' + 2y' + y = e^{-x}$ 的特解。
例1
例2
例3
03 常系数非齐次线性微分方 程的通解
通解的定义与性质
定义
常系数非齐次线性微分方程的通解是指满足该方程的任意函数，它由一个特解和对应齐次方程的通解组成。
性质
通解具有唯一性，即对于给定的非齐次线性微分方程，其通解是唯一的。
判断方法
通过解方程来判断，如果方程有唯一解，则说 明解是唯一的。
应用
在数学、物理等领域中，解的唯一性是基础且重要的概念。
解的存在性
定义
解的存在性是指对于给定的初始条件，方程是否 有解。
高数下册 第七章 第八节 常系数线性齐次微分方程
2 1. 当 p 4 q 0 时, ②有两个相异实根
则微分
方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为
y C1 e
r1 x
C 2e
r2 x
2
2. 当 p 2 4 q 0 时, 特征方程有两个相等实根
则微分方程有一个特解 设另一特解 代入方程得: ( u (x) 待定)
e r x [ ( u 2 r1u r12 u ) p( u r1u ) q u 0
这时需分如下三种情况进行讨论:
小阻尼: n < k
解的特征
大阻尼: n > k 临界阻尼: n = k
解的特征 解的特征
10
例4.
的通解.
r 4 2 r 3 5 r 2 0, 特征根: 解: 特征方程 r1 r2 0, r3 , 4 1 2 i
因此原方程通解为 e x ( C 3 cos 2 x C4 sin 2 x ) y C1 C2 x 例5. 解方程 y ( 5 ) y ( 4 ) 0 .
4
小结:
y p y q y 0 ( p, q为常数)
特征方程: r 2 pr q 0 , 特征根 实根 通 解
r1 x
y C1e
C 2e
r2 x r1 x
y ( C1 C2 x ) e
y e x (C1 cos x C 2 sin x )
6
例1. 求方程 y 2 y 3 y 0 的通解. r 2 2 r 3 0, 特征根: r1 1 , r2 3 , 解: 特征方程 因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
ds ds 2 s0 2 dt dt ds s t 0 4 , 2 dt t 0
则微分
方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为
y C1 e
r1 x
C 2e
r2 x
2
2. 当 p 2 4 q 0 时, 特征方程有两个相等实根
则微分方程有一个特解 设另一特解 代入方程得: ( u (x) 待定)
e r x [ ( u 2 r1u r12 u ) p( u r1u ) q u 0
这时需分如下三种情况进行讨论:
小阻尼: n < k
解的特征
大阻尼: n > k 临界阻尼: n = k
解的特征 解的特征
10
例4.
的通解.
r 4 2 r 3 5 r 2 0, 特征根: 解: 特征方程 r1 r2 0, r3 , 4 1 2 i
因此原方程通解为 e x ( C 3 cos 2 x C4 sin 2 x ) y C1 C2 x 例5. 解方程 y ( 5 ) y ( 4 ) 0 .
4
小结:
y p y q y 0 ( p, q为常数)
特征方程: r 2 pr q 0 , 特征根 实根 通 解
r1 x
y C1e
C 2e
r2 x r1 x
y ( C1 C2 x ) e
y e x (C1 cos x C 2 sin x )
6
例1. 求方程 y 2 y 3 y 0 的通解. r 2 2 r 3 0, 特征根: r1 1 , r2 3 , 解: 特征方程 因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
ds ds 2 s0 2 dt dt ds s t 0 4 , 2 dt t 0
常系数非齐次线性微分方程
常系数非齐次线性微分方程
常系数非齐次线性微分方程是一类常见的微分方程，在数学和物理
学等领域有着广泛的应用。
那么，常系数非齐次线性微分方程是什么呢？它的一般形式是什么样的？它的解法有哪些呢？下面我们来一一
探讨。
首先，常系数非齐次线性微分方程是指一类满足以下形式的微分方程：a1(x)y'' + a2(x)y' + a3(x)y = f(x)
其中，a1(x)、a2(x)、a3(x)是常数系数，y是未知函数，f(x)是给定的函数。
这类微分方程的特点是：未知函数的阶数不超过二阶，并且常数
系数都是常数。
其次，常系数非齐次线性微分方程的解法有多种。
对于没有特殊限制
的常系数非齐次线性微分方程，通常采用牛顿迭代法来求解。
牛顿迭
代法是利用牛顿近似定理，通过不断迭代来逼近方程的解的一种求解
方法。
但是，如果该方程具有特殊的性质，则可以使用其它方法来求解。
例如，如果该方程具有对称性，则可以使用对称法求解；如果该
方程具有线性特征，则可以使用线性特征法求解。
最后，常系数非齐次线性微分方程在数学和物理学等领域有着广泛的
应用。
在数学中，它常用于描述各种数学模型；在物理学中，它常用
于描述各种物理现象，如电学、力学、热学等。
因此，掌握常系数非
齐次线性微分方程的求解方法，对于理解和研究这些领域的知识具有
十分重要的意义。
同济大学《高等数学》第六版：D7_8常系数非齐次线性微分方程共15页文档
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
同济大学《高等数学》第六 版：D7_8常系数非齐次线
性微分方程
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
常系数(非)齐次线性微分方程
常系数（非）齐次线性微分方程1 非常系数线性微分方程非常系数线性微分方程是一类有关于时间变化的微分方程，其中系数不为同一个常量。
它可以描述经典力学系统、介质传播过程等一些复杂的现象。
它包括了一阶线性微分方程、高阶线性微分方程和非线性微分方程，它们郹能描述曲线与表达式之间的紧密联系，具有广泛的应用性。
2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程是属于非常系数线性微分方程的一个分支，它的特点是方程中只有一个未知函数及其一阶导数，表达式如下：f'(t) + a(t) f(t) = b(t)其中f(t)为未知函数，a(t)和b(t)为常系数的函数，这种方程的解通常可以得到整数次方程的特解。
3 高阶线性微分方程高阶线性微分方程也是属于非常系数线性微分方程的一个分支，它的特点是未知函数及其以下高阶导数，表达式如下：f^{n}(t) + a_{1}(t) f^{n-1}(t) + a_{2}(t) f^{n-2}(t) + ... + a_{n}(t) f(t) = b(t)其中f(t)为未知函数，a_{1}(t)、a_{2}(t)、... 、a_{n}(t)和b(t)为常系数的函数，此种方程一般只能求解特解，而不能求普通解。
4 非线性微分方程非线性微分方程是非常系数线性微分方程的另外一个分支，它与线性微分方程最大的不同之处在于它它中参数为非常量，表达式如下：f''(t) + f(t)^2 + a(t) f(t) + b(t) = 0其中f(t)为未知函数，a(t)和b(t)为非常量的函数，由于涉及到非线性，因此求解时往往比较困难。
5 应用非常系数线性微分方程在解决实际问题中具有十分重要的意义，它可以描述经典力学、介质传播等复杂的物理现象，也可以用来模拟生物/神经分子的神经元执行的传输机制。
此外，非常系数线性微分方程也广泛用于经济学、植物生理学等领域。
高数同济六版课件D78常系数非齐次线性微分方程
常系数非齐次线性微分方程的解是唯一的，而齐次线性微分方程的解可能是无穷多个。 常系数非齐次线性微分方程的解是连续的，而齐次线性微分方程的解可能是间断的。
直接积分法：通过积分求解微分方程 常数变易法：通过变换常数求解微分方程 幂级数法：通过幂级数展开求解微分方程 拉普拉斯变换法：通过拉普拉斯变换求解微分方程
确定方程的阶数 确定方程的特解形式
确定方程的系数 代入方程求解特解系数
待定系数法的步骤：设定特 解形式，代入原方程，求解 待定系数
待定系数法：通过设定特解 的形式，然后求解待定系数
待定系数法的适用条件：原 方程的系数是常数，且特解
的形式已知
待定系数法的优点：简单易 行，适用于求解线性微分方
程的特解
添加项标题
应用：非线性非齐次线性微分方程广泛应用于物理、化学、生物、 工程等领域，如流体力学、热传导、化学反应等。
添加项标题
求解方法：非线性非齐次线性微分方程的求解方法包括数值积分 法、有限差分法、有限元法等。
偏微分方程：含有多个自变量的 微分方程
偏微分方程的解：通常比常微分 方程的解更复杂
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
常微分方程：只含有一个自变量 的微分方程
偏微分方程的应用：广泛应用于 物理、化学、生物等领域
重要性：常系数非齐次线性微分方程是解决许多实际问题的基础，如物理、 化学、生物等领域
应用领域：常系数非齐次线性微分方程在工程、经济、金融等领域有着广 泛的应用，如控制系统、信号处理、金融模型等
特点：系数随自变量变化
定义：含有变系数的线性微 分方程
求解方法：变系数法、积分 因子法等
应用：工程、物理、化学等 领域
添加项标题
直接积分法：通过积分求解微分方程 常数变易法：通过变换常数求解微分方程 幂级数法：通过幂级数展开求解微分方程 拉普拉斯变换法：通过拉普拉斯变换求解微分方程
确定方程的阶数 确定方程的特解形式
确定方程的系数 代入方程求解特解系数
待定系数法的步骤：设定特 解形式，代入原方程，求解 待定系数
待定系数法：通过设定特解 的形式，然后求解待定系数
待定系数法的适用条件：原 方程的系数是常数，且特解
的形式已知
待定系数法的优点：简单易 行，适用于求解线性微分方
程的特解
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应用：非线性非齐次线性微分方程广泛应用于物理、化学、生物、 工程等领域，如流体力学、热传导、化学反应等。
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求解方法：非线性非齐次线性微分方程的求解方法包括数值积分 法、有限差分法、有限元法等。
偏微分方程：含有多个自变量的 微分方程
偏微分方程的解：通常比常微分 方程的解更复杂
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常微分方程：只含有一个自变量 的微分方程
偏微分方程的应用：广泛应用于 物理、化学、生物等领域
重要性：常系数非齐次线性微分方程是解决许多实际问题的基础，如物理、 化学、生物等领域
应用领域：常系数非齐次线性微分方程在工程、经济、金融等领域有着广 泛的应用，如控制系统、信号处理、金融模型等
特点：系数随自变量变化
定义：含有变系数的线性微 分方程
求解方法：变系数法、积分 因子法等
应用：工程、物理、化学等 领域
添加项标题
常系数非齐次线形微分方程
解的稳定性
要点一
稳定性定义
如果微分方程的解在某个初始条件下，对于任意小的扰动 ，其解的轨迹变化都不显著，则称该解是稳定的。
要点二
判定方法
通过分析微分方程的系数和初值条件，利用线性化方法和 Lyapunov函数等方法进行稳定性判定。
04 微分方程的应用
在物理中的应用
振荡器模型
常系数非齐次线性微分方程可以用来描述物 理中的振荡器模型，如弹簧振荡器、电磁振 荡器等。
解法
通过将高阶方程降阶，转化为多个一阶非齐 次线性微分方程，再利用一阶非齐次线性微
分方程的解法求解。
变系数非齐次线性微分方程
定义
变系数非齐次线性微分方程是指系数随x变化的非齐次线 性微分方程。
解法
通过变量替换或参数方程等方法，将变系数方程转化为 常系数方程，再利用常系数非齐次线性微分方程的解法 求解。
总结词
积分因子法是一种通过引入积分因子来化简常系数非齐次线性微分方程的方法，通过消除方程中的导 数项，将其转化为可求解的一阶线性微分方程。
详细描述
积分因子法的基本步骤是寻找一个函数，使得方程两边同乘以该函数后，导数项被消除。这个函数就 是积分因子。通过积分因子的引入，可以将高阶微分方程转化为低阶微分方程，从而简化求解过程。
非线性微分方程
定义
非线性微分方程是指未知函数及其导数之间存在非线 性关系的微分方程。
解法
非线性微分方程的解法通常需要使用数值方法或近似 解法，如迭代法、摄动法等。
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波动方程
在物理中，波动方程是一种典型的常系数非齐次线 性微分方程，可以用来描述声波、光波、水波等的 传播规律。
D78常系数非齐次线性微分方程62913-PPT精品文档26页
y p y q y P m ( x ) e ( i ) x ③
设 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
特解: 故
y 1 x k Q m (x )e ( i )x(Qm(x)为m次多项 )
( y 1 ) p ( y 1 ) q y 1 P m ( x ) e ( i) x
第八节
第七章
常系数非齐次线性微分方程
一、 f(x)exP m (x)型
二、 f(x) ex[P l(x)c oxs P ~ n(x)s ix n ]型
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二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y p y q y f(x )( p, q为常数 ) ①
1 a b 0 比较系数得 2ac
1 a b 0
a0 b1 c2
故原方程为
yexxex
对应齐次方程通解: YC1exC2ex
原方程通解为 yC1exC2ex x e x
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作业
P347 1 (1) , (5) , (6) , (10) ; 2 (2) , (4) ; 3; 6
等式两边取共轭 :
y 1 p y 1 q y 1 P m ( x ) e ( i ) x
这说明 y1为方程 ③ 的特解 .
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第三步 求原方程的特解
原方程 ypyqye x P l( x ) co x P ~ n ( s x ) si x n
A
1
(2)2
,
故原方程通解为
2时,
令 yBx2ex,代入原方程得
B
设 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
特解: 故
y 1 x k Q m (x )e ( i )x(Qm(x)为m次多项 )
( y 1 ) p ( y 1 ) q y 1 P m ( x ) e ( i) x
第八节
第七章
常系数非齐次线性微分方程
一、 f(x)exP m (x)型
二、 f(x) ex[P l(x)c oxs P ~ n(x)s ix n ]型
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二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y p y q y f(x )( p, q为常数 ) ①
1 a b 0 比较系数得 2ac
1 a b 0
a0 b1 c2
故原方程为
yexxex
对应齐次方程通解: YC1exC2ex
原方程通解为 yC1exC2ex x e x
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作业
P347 1 (1) , (5) , (6) , (10) ; 2 (2) , (4) ; 3; 6
等式两边取共轭 :
y 1 p y 1 q y 1 P m ( x ) e ( i ) x
这说明 y1为方程 ③ 的特解 .
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第三步 求原方程的特解
原方程 ypyqye x P l( x ) co x P ~ n ( s x ) si x n
A
1
(2)2
,
故原方程通解为
2时,
令 yBx2ex,代入原方程得
B
高数常系数非齐次线性微分方程
边值问题具有唯一性、存在性和稳定性等重 要性质。在适当的条件下，边值问题的解是 存在且唯一的，同时解对边界条件的微小变 化具有稳定性。
边值问题的求解方法
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
分离变量法
对于某些具有特殊形式 的常系数非齐次线性微 分方程，可以通过分离 变量的方法将其转化为 可解的常微分方程或偏 微分方程进行求解。
积分变换法
利用积分变换（如傅里 叶变换、拉普拉斯变换 等）将边值问题转化为 等价的积分方程或常微 分方程进行求解。这种 方法适用于具有特定性
质的边值问题。
有限差分法
将边值问题的定义域离 散化，构造差分方程近 似代替微分方程，从而 将边值问题转化为线性 代数方程组进行求解。 这种方法适用于求解复 杂区域上的边值问题。
02
常系数非齐次线性微分方程的基本解
法
分离变量法
分离变量法的基本思想
将非齐次线性微分方程中的未知函数和自变量进行分离， 使得方程两边分别只含有未知函数和自变量的函数，然后 通过积分求解。
分离变量法的适用条件
适用于一阶常系数非齐次线性微分方程，且方程中的非齐 次项可以表示为自变量的函数与未知函数的乘积。
数值解法的应用举例
要点一
物理学中的应用
在物理学中，常系数非齐次线性微分 方程经常用来描述物体的运动规律， 如振动、波动等现象。通过数值解法 ，可以对这些现象进行模拟和预测。
要点二
工程学中的应用
在工程学中，常系数非齐次线性微分 方程经常用来描述系统的动态特性， 如控制系统的稳定性、电路的响应等 。通过数值解法，可以对这些系统的 性能进行分析和优化。
常数变易法的求解步骤
先设出与原方程对应的齐次方程的通解，然后将通解中的常数替换为新的未知函数，代入原方程求解得 到新未知函数的方程，最后解出新未知函数并代回通解得到原方程的解。
常系数非齐次线形微分方程
波动方程
在物理中，波动方程是一种典型的常系数非齐次线 性微分方程，可以用来描述声波、光波、电磁波等 的传播规律。
热传导方程
在物理中，热传导方程也是一种典型的常系 数非齐次线性微分方程，可以用来描述热量 在物体中的传递规律。
在工程中的应用
1 2
控制工程
常系数非齐次线性微分方程在控制工程中有着广 泛的应用，如控制系统分析、设计等。
通解的求解
通解的定义
通解是指满足齐次线性微分方程的解，它与非齐次项 无关。
通解的求解方法
通解可以通过求解对应的齐次线性微分方程得到，或 者通过待定系数法、常数变易法等求解。
通解的性质
通解具有与非齐次项无关的特性，即通解不受非齐次 项的影响。
举例说明
• 举例：考虑常系数非齐次线性微分方 程$y''+y=x^2$，其中非齐次项为 $x^2$。通过设特解为 $y_1=ax^2+bx$，代入原方程求解 得到特解$y_1=x^2$。通解可以通过 求解对应的齐次线性微分方程得到， 即$y_2=c_1\cos t+c_2\sin t$。因 此，该常系数非齐次线性微分方程的 通解为$y=y_1+y_2=x^2+c_1\cos t+c_2\sin t$。
电路分析
在电路分析中，常系数非齐次线性微分方程可以 用来描述电流、电压等的变化规律。
3
信号处理
在信号处理中，常系数非齐次线性微分方程可以 用来描述信号的滤波、调制等处理过程。
在经济学中的应用
消费模型
常系数非齐次线性微分方程可 以用来描述经济学中的消费模
型，如凯恩斯消费函数等。
投资模型
在经济学中，投资模型也可以 用常系数非齐次线性微分方程 来描述，如资本存量-时间滞
高数第八节 常系数非齐次线性微分方程
y*
2A 1,
xkexQm ( 于是 y*
A 10,,
x) , k 1 x2e3x 2
12, 2,
不是特征根, 是单特征根, 是重特征根.
原方程通解为
y
(C1
C2 x)e3 x
1 2
x 2e 3 x
.
二、f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
y py qy f ( x)
( x) e x
x
t (t)dt x
x
(t)dt
求 (x)
0
0
解
对积分方程两边求导 '( x) e x
x
(t)dt
0
再求导得 ''( x) ( x) e x
初始条件为 (0) 1, '(0) 1
特征方程为 r2 1 0, 特征根为 r i ,
对应齐次方程的通解：( x) C1 cos x C2 sin x
例2 求方程 y y 4sin x 的通解.
解 特征方程为 r2 1 0, 特征根为 r i ,
对应齐次方程的通解 Y C1 cos x C2 sin x, 方法二、作辅助方程 y y 4eix ,
sin x 是 ei x 的虚部, Pm ( x) 4, i
i 是单根, 故 y* Axeix ,
综上讨论，方程的特解总可设为
0 不是根
y* xkexQm ( x) , k 1 是单根,
2 是重根
其中： Qm ( x) b0 xm b1 xm1 bm b0 , b1,, bm 可用待定系数法确定。
一. f ( x) ex Pm ( x) 型 y py qy e x Pm ( x)
常系数非齐次线性微分方程ppt课件
20
思考与练习
1 . (填空) 设 时可设特解为
y* x(ax b) cos x (cx d )sin x
时可设特解为
y* (ax b) cos 2x (cx d)sin 2x k e2 x
提示:
[Rm (x) cos x R~m (x)sin x]
21
2. 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解 (其中
解 对应齐次方程特征方程 r2 1 0 特征根 r i
Q 2i 不是特征方程的根,
设 y* (ax b)cos 2x (cx d )sin 2x, 代入方程得
(3ax 3b 4c)cos 2x (3cx 3d 4a)sin 2x x cos 2x
3a 1
3b 4c 0
可设 Q( x) Qm ( x), y* Qm ( x)ex; (2) 若是特征方程的单根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设 Q( x) xQm ( x), y* xQm ( x)ex; 3
(3) 若是特征方程的重根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设
Q( x)
x
Q 2 m
3c 0
3d 4a 0
a 1 ，b 0, c 0, d 4
3
9
y* 1 x cos 2x 4 sin 2x.
3
9
13
例5 求方程 y 2 y 5 y ex sin 2x 的通解.
解 对应齐次方程通解 Y e xC1 cos 2x e xC2 sin 2x,
Q 1 2i 是单根,
3、 y 4 y 1 ( x cos 2x) , 2
y x0
0,
y
x
0
0.
24
思考与练习
1 . (填空) 设 时可设特解为
y* x(ax b) cos x (cx d )sin x
时可设特解为
y* (ax b) cos 2x (cx d)sin 2x k e2 x
提示:
[Rm (x) cos x R~m (x)sin x]
21
2. 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解 (其中
解 对应齐次方程特征方程 r2 1 0 特征根 r i
Q 2i 不是特征方程的根,
设 y* (ax b)cos 2x (cx d )sin 2x, 代入方程得
(3ax 3b 4c)cos 2x (3cx 3d 4a)sin 2x x cos 2x
3a 1
3b 4c 0
可设 Q( x) Qm ( x), y* Qm ( x)ex; (2) 若是特征方程的单根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设 Q( x) xQm ( x), y* xQm ( x)ex; 3
(3) 若是特征方程的重根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设
Q( x)
x
Q 2 m
3c 0
3d 4a 0
a 1 ，b 0, c 0, d 4
3
9
y* 1 x cos 2x 4 sin 2x.
3
9
13
例5 求方程 y 2 y 5 y ex sin 2x 的通解.
解 对应齐次方程通解 Y e xC1 cos 2x e xC2 sin 2x,
Q 1 2i 是单根,
3、 y 4 y 1 ( x cos 2x) , 2
y x0
0,
y
x
0
0.
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Pm (x) e( i ) x Pm (x) e( i ) x
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第二步 求如下两方程的特解
y p y q y Pm (x) e(i ) x
②
y p y q y Pm (x) e(i ) x
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
设所求特解为 y* b0 x b1, 代入方程 :
3b0 x 3b1 2b0 3x 1
比较系数, 得
3b0 2b0
3 3b1
1
b0
1 ,
b1
1 3
于是所求特解为 y* x 1 . 3
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例2. 求方程 y 5y 6 y x e2 x的通解.
0
解: 本题 0, 特征方程为 r3 3r 2 2 r 0, 其根为
r1 0, r2 1, r3 2
故对应齐次方程通解为 Y C1 C2 ex C3 e2 x
设非齐次方程特解为 y* bx,代入方程得 2b 1,故
y*
1 2
x,
原方程通解为
y
C1
C2ex
C3e2 x
1 2
x
b1
0
b0Biblioteka 1 2,b1
1
因此特解为
y*
x
(
1 2
x 1)e2 x
.
所求通解为
y
C1e2x
C2e3x
(
1 2
x2
x
)
e2 x
.
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例1 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解.
解 特征方程 r 2 3r 2 0,
特征根 r1 1，r2 2，
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e2x ,
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第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形
f
(x)
e
x
Pl
(x)
ei
x
ei 2
x
P~n (x) ei x
ei x 2i
Pl (x) 2
P~n (x) 2i
e(i) x
Pl
(x) 2
P~n (x) 2i
e( i )
x
令 m maxn, l ,则
f (x) Pm (x) e( i ) x Pm (x) e( i ) x
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 — 待定系数法 根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解 y *的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
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一、 f (x) e x Pm (x) 型
为实数 , Pm (x) 为 m 次多项式 . 设特解为 y* e xQ (x) , 其中 Q (x) 为待定多项式 ,
2 p q 0, 2 p 0 ,
则Q(x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 y* x2Qm (x) e x
小结 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设
特解 y* xk Qm (x) e x (k 0, 1, 2) 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
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特别地 y py qy Aex
2
A
p
q
ex ,
不是特征方程的根
y
A xex
2 p
是特征方程的单根 ,
A x 2ex 2
是特征方程的重根
例1. 求方程 y 2 y 3y 3x 1 的一个特解.
解: 本题 0 , 而特征方程为 r 2 2 r 3 0 ,
0 不是特征方程的根 .
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e( i ) x Pm (x) e( i ) x
第二步 求出如下两个方程的特解 y p y q y Pm (x) e(i ) x
y p y q y Pm (x) e(i ) x
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
第 八节
第七章
常系数非齐次线性微分方程
一、 f (x) e x Pm (x) 型
二、 f (x) e x[Pl (x) cos x P~n (x)sin x] 型
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二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y py qy f (x) ( p, q 为常数) ①
根据解的结构定理 , 其通解为
y* e x[ Q (x) Q(x) ]
y* e x[ 2 Q (x) 2 Q(x) Q(x) ]
代入原方程 , 得
Q(x) ( 2 p )Q(x) (2 p q )Q (x) Pm (x) (1) 若 不是特征方程的根, 即2 p q 0, 则取
Q (xe)为x[mQ次(x待) 定 (系2 数多p项)式Q (Qxm) (x(), 2从而p得 到 q特)解Q (x) ] 形式e为x Pym*(x)e xQm (x) .
2 是单根，设 y x( Ax B)e2x ,
代入方程, 得 2 Ax B 2 A x
A
1 2
,
于是 y x(1 x 1)e2x
B 1
2
原方程通解为
y C1e x
C2e2x
x(1 x 1)e2x 2
.
例3.
求解定解问题
y y(0)
3
y 2 y(0)
y
1 y(0)
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
r1 2, r2 3
对应齐次方程的通解为 Y C1e2x C2e3x 设非齐次方程特解为 y* x ( b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
比较系数,
得
2b0 1
2b0
由初始条件得
C1 C2 C3 0
C2
2C3
1 2
C2 4C3 0
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解得
CC21
1
3 4
C3
1 4
于是所求解为
y 3 ex 1 e2x 1 x
4
4
2
1 (3 2x 4ex e2 x ) 4
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二、 f (x) e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x 型
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Q(x) ( 2 p )Q(x) (2 p q )Q (x) Pm (x)
(2) 若 是特征方程的单根 , 即
2 p q 0, 2 p 0 ,
则Q(x)为m 次多项式, 故特解形式为 y* x Qm (x) e x
(3) 若 是特征方程的重根 , 即