一元二次方程解法与应用

一元二次方程解法与应用
【知识要点】
1. 一元二次方程你知道有哪些常用解法？
2. 还记得如何用配方法解方程吗？
3. 因式分解法解方程的理论依据是什么？
4. 如何解决实际应用中的增长率和经营问题 【典型例题】
#例1判断下列方程是不是一元二次方程:
(1)x 2 y 1
(5) a 1 x 2 k 1 ( a 、k 是常数)
#例3.用适当的方法解下列方程:
2
(1) x 1 5 (6) x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 x 1
#例2.当m 为何值时，方程 3mx 2 2mx 5x 2
m 是关于x 的
.次方程?
(3) xy 1
(4)2x x 2
3
2
(2) 81 x 2 16
再用水加满，这时容器里的溶液含纯酒精
32升，求每次倒出溶液的升数.
(3) x 2 4x 5 0 (4) x 2 2ax a 2 0
例4 .用配方法解下列方程
2
(1)
2x 5x 1
(2)
4x 2
8x 1
(3) x 2 px q 0( p 2
4q 0)
(4)
y 2 y 1 y y 1 0
例6.容器盛满纯酒精 50升，第一次倒出一部分纯酒精后用水加满，第二次又倒出同样多的酒精溶液,例5. 用适当的方法解方程
(1) 3x 2 5x 4x(x
3)
(x 2)(x 3)
(3) x 2 3x 2x .6
(4) (2y 1)2 3(1 2y)
例7某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购用100元，按该书定价2.8元现售，很快售完•由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购数量比第一次多4
10本•当这批书售出4时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书，试问该老板第二次售书是赔钱5
了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
3 i
例8.已知a ，求a4 5a3 6a2 5a 4
J3 1
*例9.已知方程x2 bx c 0及x2 ex b 0分别各有两个整数根x1, x2及x1, x2,且
x1x2 0, x1 x20 • (1)求证：x10, x20,x10, x2 0 ； (2)求证：b 1 e b 1 ； (3)求b,e 所有可能的值.
再用水加满，这时容器里的溶液含纯酒精32升，求每次倒出溶液的升数.
*例10.小强有5张人民币，面值合计20元。

（1）_______________________________ 小强的 5 张人民币的面值分另U是___ 元， ______ 元，元，元， _______________________________ 元.
（2）小强到水果店，称了x斤苹果（x是整数），按标价应付y元，正好等于小强那五张人民币中的两张面
值之和。

这时果筐里还剩6斤苹果。

店主便对小强说：“如果你把这剩下的也都买去，那么连同刚才已经称的，一共就付10元钱吧。

”小强一算，这样相当于每斤比原标价减少了0.5元。

本着互利原则，便答应了，试求x和y。

【大展身手】
一、选择题（每小题4分，共20分）
# 1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（）
1 1
A. 3 x 1 2 2 x 1
B.右―20
x x
2 2 2
C. ax bx c 0
D. x 2x x 1
# 2、已知3是关于x的方程-x22a 1 0的一个解，则2a的值是（）
A.11
B.12
C.13
D.14
# 3、用配方法解下列方程时，配方有错误的是(
二、填空题(每空3分，共30分)
# 1、若方程 mx 2 3x 4 3x 2是关于x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是 .
# 2、认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：
(1) 4x 2 16x 5，应选用 ________ 法；
(2) 2(x 2)(x 1) (x 2)(x 4)，应选用 ________ 法；
(3)
2x 2 3x 3
0,选用 __________ 法.
# 3、已知代数式7x(x 5) 10与代数式9x 9的值互为相反数，则 x = .
# 4.方程x 2 2x 3
0的解是 __ __________________ ；
5•如果(2a 2b 1)(2a 2b 1)
63,那么 a b 的值为 ________________ ；
6•已知关于x 的一元二次方程(2m 1)x 2 3mx 5 0有一根是x= — 1，则m = ____________________ 7•设x 2 3x y ，那么方程x 4 6x 3 x 2 24x 20 0可化为关于y 的方程是 _______________________________ &方程(x 2 3)2 12 8(x 2 3)的实数根是 _____________________________ 。

三、解下列方程(每小题6分，共36分) 1 •(配方法)x 2 4x 12
2
.(公式法)3x 2 5(2x 1) 0
3 •(因式分解法)3(x 5)2 2(5 x)
2 2
A. x -2x -99=0 化为(x -1) =100 2 2
B.x +8x +9=0 化为(x +4) =25
C.2 12-7 t -4=0 化为(t 7)2
81
4
16
D.3y 2
_4y _2=0 化为(y
2 2
10 )
3
9
# 4•方程x 3
4x 0的解是( —2, 2 B 、0, — 2 C 、0, 2
0,— 2, 2
# 5.
用配方法将二次三项式 a 2
4a 5变形，结果是(
A. (a 2)2 1
B. (a 2)2 1
C. (a 2)2
1
D. (a
2)2 1
6 .
2X y 1
x 2 3x 2y 10 0
五•应用题（每小题 7分，共14分）
1 •某百货商场服装柜在销售中发现： “宝乐”牌童装平均每天可售出 20件，每件赢利40元，为了迎接六 一国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，减少库存.经市场调查发现：如 果每件童装每降价 4元，那么平均每天就可多售出 8件•要想每天在销售这种童装上赢利
1200元，那么
每件童装应降价多少元？
2 •表示我国农村居民的小康生活水平实现程度：某贫困县地处西部，农村人口约 50万.2002年农村小
康生活的综合实现程度才达到 68%即没有达到小康程度的人口约为（
1-68%）X 50万=16万.
解答下列问题：
x 2
13
2 2
x y 16 x y 2
(1)假设该县计划在2002年的基础上，到2004年底使没有达到小康程度的16万农村人口降至10.24万,那么平均每年降低的百分率是多少？
(2)如果该计划实现, 2004年底该县农村小康进程接近上图哪一年的水平(假设该县人口两年内不变？)
【附加题】
1.解方程
(1) 169x2 39x 2 0
* 3•有一特殊材料制成的质量为30克的泥块，现把它切开为大、小两块，将较大的泥块放在一架不等
臂天平的左盘中，称得质量为27克；又将较小泥块放在该天平的右盘中，称得质量为8克。

若只考虑该天平的臂长不等，其他因素忽略不计，请你根据杠杆平衡原理，求出较大泥块和较小泥块的质量。

2
2.当x为何整数时，代数式9x 23x 2的值恰为两个连续正偶数的乘积?。