应力波基础

第二章 一维杆中的应力波-塑性波 2.4.2 弹塑性杆中波的传播
一维长杆中施加的载荷v达到材料的屈服速度 （对应于材料 中波的应力大于材料的屈服强度Y）时， 即 v v Y (2-36)
Y
0C0
或 Y 材料发生屈服而进入塑性变形状态，杆中将传播塑性波。此时，塑 性波波速 C是应变ε的函数，变化规律与材料的本构关系直接相关。
由于所有负向特征线都终将与X轴相交，在零初始 扰动的初值条件下，Riemann不变量R2恒为零
因此在塑性简单波区处处有
(2-39)
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
由边界条件确定沿正向特征线的Riemann不变量Rl
式中，C在物理意义上代表塑性波的传播速度
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
边条件
v(0, t ) v0 ( ), t 0
分析:(1) 恒值区AOX与简单波区AOt中的弹性波部分与前述弹性波解 完全相同; 恒值区AOX v 0, 0 AOt中的弹性波

v0 ( ) C0 v0 (t C0 X ) C0
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
弹性区：
Ce E
1 d
平行。 a） 上凸形的 ( )
d 2 0 d 2
曲线； ；
二阶导数 b）
随着应力增加,应变增加,
塑性波速减小,塑性波传播过 程中，波剖面是逐渐发散和展宽的（发散波）。
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
（4）线弹性-递增硬化材料 弹性区：C
e

E
0
，塑性区：C
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
例:半无限长杆,处于静止的自然状态,在初始t=0时刻杆端受到一撞 击载荷,若杆端质点速度随时间的变化
v0 ( )
已知. 问题归
结为在初始条件和边条件下,求解杆中弹塑性波的传播问题. 初条件 ( X , 0) v ( X , 0) 0 0 X
(2-43)
Fra Baidu bibliotek
简化过程示例：
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
其中
代入得
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
假定应力只是应变的函数：
记：
则式（2-43）可改写为：
(2-44)
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
用特征线发来求解这一偏微分方程组时，此方程组的线性组 合应能化为只包含特征线的方向导数。以待定系数L和M分别 乘此两式后再相加，有
这些系数应满足：
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
(2-45) (2-46)
与物质坐标中的式（2-23）和式（2-24）相对应。
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
式（2-45）给出了Euler波速c(=dx/dt)和Lagrange波速C(=dX/dt) 间的关系
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
式(2-46)与物质坐标中的式(2-24)完全相同，这是因为沿特征线 的相容条件体现了连续条件、动量守恒条件和材料物性方程，与 坐标系选择无关。 物质坐标中的基本方程式(2-12)(2-16)和空间坐标中的基本方程 式(2-42)(2-44)可以互相通过坐标变换得到。 变换公式为：
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
特征线法解弹塑性问题
特征线式
(2-33)
(2-24)
相容关系式
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
引入 则特征线上的相容关系可表示为
(2-38a) (2-38b) (2-37)
其中，恒值区AOX及简单波区AOt中的弹性波部分与弹性波解相同
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
1 d 0 d
，塑性波速不为常
数。弹性区内特征线分别相互平行，塑性区内波幅不同的特征线彼 此不平行。
(a) 下凹形的 ( ) 曲线;
d 2 0 二阶导数d 2
；
(b) 随着应力增加,塑性波速增加； (c)塑性波传播过程中，高幅值扰动的 传播速度大于低幅值扰动的传播速度， 波剖面会愈来愈陡(会聚波)，最终将 在波阵面上发生质点、速度和应力应变的突跃，形成冲击波。
(2-41)
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
控制体积的质量守恒
即在空间微元dx中质量的增加率等于进入和离开该微元空间的质 量流之差
dx内动量的增加率应等于进入和离开该微元的动量流之差与净 外力之和
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
简化两式得Euler变量表述的杆的连续方程和动力学方程：
(2-42)

不变,但对不同的正向特征线有不同的 C( ) 值.在塑性简单波区 中正向特征线是一系列斜率不同的直线,即有
X C( )(t )
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
(3)塑性波的波速C 取决于材料的密度和材料动态应力应变曲线塑性 部分的斜率，因此根据材料本构关系的应变硬化特性不同，所形成 应力波的塑性波区的特征线之间的发散或会聚趋势也不同，应力波
在传播过程中波剖面的变化趋势也不同。
(4) 根据特征线方法，可以画出一维弹塑性波的波系图（X-t图）、 某一位置的 t , t , v t 图,以及杆中应力波传播的
v, v
当引入 后， v 平面上塑性简单波区相对应一段直线.
图. 在 v 平面上,塑性简单波区对应的一段曲线,
第二章 一维杆中的应力波-塑性波 2.5 空间坐标描述的控制方程
欧拉（Euler）法研究弹塑性波的传播
考虑空间指定区域（控制体积） 研究各物理量在控制体积内的变化及其通过此 控制体积边界（控制表面）的流动。
各物理量是欧拉变量，即空间坐标x和时间t 的函数
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
m(x)v(x) m(x+dx)v(x+dx)
方程的形式在两种坐标中各异，但问题的物理实质不会由于坐标 系的不同而异。
(1) 线弹性材料;(2)线弹性-线性硬化材料;(3)线弹性-递减 硬化材料;(4)线弹性-递增硬化材料 几种常见的材料本构模型
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
（1）线弹性材料
对于特定的材料弹性波波速为常数： 特征线为相互平行的直线。
C0 E
0
，
（2）线弹性-线性硬化材料
弹性区内
Ce
E
0
p(x) dx
p(x+dx)
x
欧拉空间坐标系描述的微元控制体积 对于细长杆中的一维应力平面纵波问题 考虑x及x+dx间的控制体积 假设：杆的横截面保持为平面 各物理量沿截面均匀分布 化为以x和t为自变量的一维空间问题
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
占有空间长度dx的杆的质量为
上式表示杆微元变形前后的质量守恒
，塑性区内
Cp
0
E1
，
塑性波速为常数，且 C p Ce 。弹性区内 和塑性区内的特征线分别相互平行，但是 弹性波特征线与塑性波特征线斜率不相同。
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
（3）线弹性-递减硬化材料
C C C 且有 . p e 0 ，塑性区： 0 d 弹性区内特征线分别相互平行，塑性区内波幅不同的特征线彼此不
(2)
v0 ( ) vY
对应的塑性波部分,由于负向特征线都终将与X轴

相交,在零初始扰动情况下,Riemann不变量R2恒为零.在塑性简 单波区有
v Cd
0 0
d 0C
沿正向的特征线的Riemann不变量R1由边界条件确定 R1 v v0 ( ) 2 沿正向特征线质点速度 v 应变 和应力 均不变,从而