广东海洋大学寸金学院高等数学期末考试模拟试卷

（B）2
（D）
1 4
4. 已知 I1 ( x y ) dxdy , I 2 ( x y ) 2 dxdy ，其中 D 是由 x 轴和 y 轴及 直线 y x 1 围成的区域，则 I1 ， I 2 之间的大小关系是（ （A） I1 I 2 （B） I1 I 2 （C） I1 I 2 （D）无法判断 ） （D）1 阶
一、单项选择题（每小题 2 分，共 20 分） 1. 二元函数 f x, y 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数 f x x 0 , y 0 , f y x 0 , y 0 存在是 f x, y 在该点可微的（ （C）充分必要条件． 2. 若 f ( x) 的一个原函数为 e （A） e 3.
解：令 t x , 则 x t 2 , dx 2tdt ，当 x 0, t 0 ；当 x 1, t 1 ，于是

1
0
e x dx = 2 te t dt 2 tde t
0 0
1
1
……4 分 ……2 分 ……1 分
= 2te t =2
1 0
2 e t dt
0
1
D D
）
5. 微分方程 y x 2 y x 2 y 3 的阶数是（ （A）4 阶 （A） drd （B）3 阶 （C）2 阶 ）
6. 在极坐标下，面积元素 d 是（ （B） dr
（C） drd
（D） rdrd
F F F a, b, c, x y z a c
C (e x e 2 x )
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Bocker
-1-
（C） （
y C1e x C2e 2 x
）
（D） y
C (e x e 2 x )
10. 设函数 f ( x, y ) 在点 x 0 , y 0 处满足 f x ( x 0 , y 0 ) 0 ，且 f y ( x 0 , y 0 ) 0 ，则有 （A） f ( x, y ) 在点 x 0 , y 0 处一定取得最大值 （B） f ( x, y ) 在点 x 0 , y 0 处一定取得最小值 （C） f ( x, y ) 在点 x 0 , y 0 处一定取得极值 （D） f ( x, y ) 在点 x 0 , y 0 处不一定取得极值
Bocker
-4-
z u z v z x f u 2 yf v ……3.5 分 u y v y y
4、求微分方程
dy 2 xy 的通解 dx 1 x 2
（8 分） ……4 分 ……3 分 ……1 分
解：原方程可变量分离为 积分得
dy 2x dx y 1 x2
3、设二阶偏导数连续的函数 z f u , v , u xy , v x 2 y 2 ，求: 分) 解：
z z ， x y
(7
z z u z v y f u 2 xf v ……3.5 分 x u x v x
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7. 设 z f x, y 由 F x, y, z 0 确 定 ， 且 （ （A）
c a
则
z x
） （B）
a b
（C）
b c
（D）
8. 由曲边梯形 D : a x b, 0 y f ( x ) 绕 x 轴旋转一周所产生的旋转体的体积是 （ ）
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Bocker
-3-
一、单项选择题（每小题 2 分，共 20 分） 1—5 BCABC , 6—10 DDACD
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1、 5、 7 1 2、 1 2 x 3 、 0 4、dz 2 y 2 dx (4 xy sin y )dy
（A）

b
a
b b b 2 f 2 ( x)dx 2 xf ( x)dx （D） xf ( x )dx （B） a f ( x)dx （C） a a
9. 微分方程 y 3 y 2 y 0 的通解是（ （A） y
）
C1e x C2e 2 x
（B） y
ln y ln(1 x 2 ) ln c y c(1 x 2 )
故所求通解为
5、计算二重积分 I ( x 2 y 2 )dxdy ，其中区域 D 由曲线 x 2 , y x ，y 0 围
D
成(8 分) 解： ( x 2 y 2 )dxdy dx ( x 2 y 2 )dy ……4 分
-2-
3、设二阶偏导数连续的函数 z f u , v , u xy , v x 2 y 2 ，求: 分)
z z ， x y
(7
4、求微分方程
dy 2 xy 的通解 dx 1 x 2
（8 分）
5、计算二重积分 I ( x 2 y 2 )dxdy ，其中区域 D 由曲线 x 2 , y x ，y 0 围
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Bocker
-6-
0
证明： dy
0

1
Hale Waihona Puke Baidu
y
0
e y f ( x)dx dx 2 e y f ( x)dy
0 x
1
1
……4 分
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-5-
f ( x )e y
0
1
1 x2
dx (e e x ) f ( x)dx
2
1
0
……4 分
2、某公司可通过电台或报纸两种方式做销售某产品的广告，根据统计资料，销 售利润 L 与电台广告费用 x ，及报纸广告费用 y 之间的关系有经验公式：
4、 z 2 xy 2 cos y 的全微分 dz
5、 x 0
lim
x 0
sin 2tdt x2
=
三、计算题（47 分）
2 1、求不定积分 (3 5 x ) dx
(7 分)
x 2、求定积分 e dx 0
1
(7 分)
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Bocker
三、计算题（47 分）
2 1、求不定积分 (3 5 x ) dx 2 解： (3 5 x ) dx
(7 分) ……4 分 ……3 分
1 (3 5 x ) 2 d (3 5 x ) 5

x 2、求定积分 e dx 0 1
(3 5 x) 3 +C 15
(7 分)
L 15 14 x 32 y 8 xy 2 x 2 10 y 2
（万元）
在广告费用限制在 1.5 万元的情况下，求最优广告策略，使利润最大。 （10 分） 解： F ( x, y, ) 15 14 x 32 y 8 xy 2 x 2 10 y 2 x y 1.5
2
1
0
2、某公司可通过电台或报纸两种方式做销售某产品的广告，根据统计资料，销 售利润 L 与电台广告费用 x ，及报纸广告费用 y 之间的关系有经验公式：
L 15 14 x 32 y 8 xy 2 x 2 10 y 2
（万元）
在广告费用限制在 1.5 万元的情况下，求最优广告策略，使利润最大。 （10 分）
Fx 14 8 y 4 x 0 Fy 32 8 x 20 y 0 x y 1 .5
……4 分 ……3 分
解得唯一可能的极值点 x 0, y 1.5 ，由问题本身的意义知，当将全部广告费 用于报纸时，可使利润最大。 ……3 分
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1、已知 f 5 2,
f x dx 3
0
5
则 xf x dx
0
5
2、
d x 1 2t dt = 0 dx
a 3、 a 0, ,积分 sin 2013 x ln x 2 dx a 2
2 x 2 x
） （B）必要条件而非充分条件 （D）既非充分条件又非必要条件 ,则 f ( x) =（ （C）-2 e ） （C）
1 2
2 x
（A）充分条件而非必要条件
） （D）-4 e
2 x
（B）2 e
2 x
x , y 0, 0 1
lim
xy xy 1
（
（A）-2
(10 分)
解：
z 8 x 2 y xe xy y
……4 分
2z 8 x 2 x 2 e xy ……4 分 2 y
……2 分
四、应用题（本题 18 分）
1 y 1
1、求证： dy
0
0
e y f ( x)dx (e e x ) f ( x)dx （8 分）
2
D 0 0 2 x

2
0
8 2 3 x dx = 3 3
……4 分
2z 2z 2z ， 和 xy x 2 y 2
6、已知 z 4 x 2 y 2 e xy 5 ，计算
z 8 xy 2 ye xy ， x 2z 8 y 2 y 2 e xy ， 2 x 2z 16 xy e xy xye xy xy
D
成(8 分)
6、已知 z 4 x 2 y 2 e xy 5 ，计算 四、应用题（本题 18 分） 1、求证： dy
0 1 y
2z 2z 2z ， 和 xy x 2 y 2
(10 分)
0
e y f ( x)dx (e e x ) f ( x)dx （8 分）