中考数学专题一(二次函数面积问题)

专题一：二次函数中的面积问题

（一）利用割补：将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。）

例1：如图抛物线与轴交于两点，与轴交于点,

（1）k=___-3_____,点的坐标为___(-1,0)___，点的坐标为____(3,0)____；

（2）设抛物线的顶点为，求的面积；

（3）在轴下方的抛物线上是否存在一点，使四边形的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

解：（2）M（1，-4）；

(3)设,

,当m=5

2时，四边形ABDC面积最大，为

5

2

。

练习1、如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C ，抛物线的对称

轴交轴于点D ，已知A （﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

解：（1）y=-1

2

x2+

3

2

x+2

(2)对称轴x=-b

2a

=

3

2

,\D(

3

2

,0)，

令-1

2

x2+

3

2

x+2=0,x

1

=-1,x

2

=4,\B(4,0) ,设F(a,-

1

2

a2+

3

2

a+2),

y=x2-2x+k x A,B y C(0,-3)

A B

M D BCM

x D ABDC

S

D BCM =S

D OCM

+S

D BOM

-S

D BOC

=1

2

´3´1+

1

2

´3´4-

1

2

´3´3

=3

D(m,m2-2m-3)

S

四边形ABDC =S

D AOC

+S

D BOD

+S

D COD

=1

2

´1´3+

1

2

´|m2-2m-3|´3+

1

2

´m´3

=-1

2

m2+

5

2

m+3

-b

2a

=-

5

2

2´(-

1

2

)

=

5

2

,0

y=-

1

2

x2+mx+n x y x

x

S

四边形CDBF =S

D COF

+S

D BOF

-S

D COD

=1

2

´2´a+

1

2

´4´(-

1

2

a2+

3

2

a+2)-

1

2

´2´

3

2

=-a2+4a+

5

2

∵-

4

2´(-1)

=2,0

四边形CDBF

最大，为

13

2

此时，直线BC解析式可求得y=-1

2

x+2,\E(2,1)

练习2：已知：抛物线的顶点坐标为C（1，4），抛物线交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）．点P是在第一象限内的抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交AB于点D．是否存在

点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4,将B(0,3)代入得a=-1

\y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3,令y=0得x1=-1,x2=3,\A(3,0)

连结OC，S

D ABC =S

D CBO

+S

D ACO

-S

D ABO

=3,\S

D PAB

=

5

4

×S

D ABC

=

5

4

´3=

15

4

设P(m,-m2+2m+3),连结OP、BP,

S

D PAB =S

D BPO

+S

D APO

-S

D AOB

=

1

2

´3´m+

1

2

´3´(-m2+2m+3)-

1

2

´3´3=-

3

2

m2+

9

2

m

-3

2

m2+

9

2

m=

15

4

,整理得2m2-6m+0,D=(-6)2-4´2´5=-4<0,所以不存在这样的点P。

（二）

例2、【练习2变式】已知：抛物线的顶点坐标为C（1，4），抛物线交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）．点P是在第一象限内的抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交AB于

点D．是否存在点P，使S△PBC=S△CAB？若存在，求出P点的横坐标；若不存在，请说明理

由．

解：同练习2，5

4

S

D CAB

=

15

4

=S

D PBC

，延长BC交直线PD于点E，

设直线BC的解析式为y=kx+b,

将点B(0,3),C(1,4)代入得直线BC解析式为y=x+3,

设P(a,-a2+2a+3),则E(a,a+3),PE=|a+3-(-a2+2a+3)|=a2+3a

S

D PBC =

1

2

×PE×(x

C

-x

B

)=

1

2

(a2+3a)=

15

4

a 1=

-3+39

2

,a

2

=

-3-39

2

(舍去)

\x

P =

-3+39

2

5

4

S=

1

2

´水平宽´铅垂高

5

4