数值分析期末考试题

期末测试卷

填空题（每空2分，共30分）

1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字；

2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是

_______________________________________________；

3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；

4. 已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，

=)(1A Cond ______________________ ；

5. 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+045

11532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________；

二、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。已知

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛------=2100121001210012A ，求L ，U 。 (2)设A 为66⨯矩阵，将A 进行三角分解：LU A =，L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，试写出L 中的元素65l 和U 中的元素56u 的计算公式。

三、给定数据表如下

x

0.20.40.60.81 1.2f(x)212523202124

（1） 用三次插值多项式计算f ( 0.7 ) 的近似值；

（2） 用二次插值多项式计算f ( 0.95 ) 的近似值：

（3） 用分段二次插值计算 f ( x ) )2.12.0(≤≤x 的近似值能保证有几位有效数字（不计算舍入误差）？其中已知600)(max )

2.12.0(≤'''≤≤x f x 。

四、设},1{22x span M =，试在2M 中求x x f =)(在区间 [-1，1] 上的最佳平方逼近元。

五、 设n 阶矩阵Q 对称正定，则Qx x x f T =)(是向量x 的一种范数。

六、 设B 为n 阶实对称矩阵，A 为n 阶对称正定矩阵，考虑迭代格式 d BX X k k +=+)()1(

如果BAB A -正定，求证此格式从任意初始点)0(X 出发都收敛。