高中函数与不等式问题的解题技巧

第三讲 函数与不等式问题的解题技巧

1．通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象． 2．在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现． 3．从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查． 4．一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的． 5．涌现了一些函数新题型．

6．函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导． 【例题解析】

1.函数的定义域及其求法

函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.

例1．（2007年广东卷理）

已知函数()f x =

的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，

则M ∩N=

（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅ 命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.

解：函数

()f x 的定义域M={}1,x x < g(x)=ln(1)x +的定义域N={}1,x x >-∴M ∩N={|11}x x -<<． 故选C

例2. ( 2006

年湖南卷）函数

y ( )

（A ）(3,+∞) （B ）[3, +∞) （C ）(4, +∞) （D ）[4, +∞)

命题意图: 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.

解：由20

4.log 20

x x x >⎧⇒>⎨

->⎩，故选D.

2.求函数的反函数

求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解.

例3．（2006年安徽卷）函数2

2,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是（ ） （A

）,02

0x

x y x ⎧≥⎪=< （B

）

2,00x x y x ≥⎧=<

（C

）,02

0x

x y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩ （D

）

2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨

<⎪⎩ 命题意图: 本题主要考查有关分段函数的反函数的求法

.

(

)121:2,.(),(0);2

2

,0,()0.

,02

0.y

x

y x x f x x y x y f x x x

x y x --=∴=∴=≥=-<∴=<⎧≥⎪

∴=⎨⎪<⎩

解又

故选C.

例4．（2007年湖北卷理）已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；

b = ．

命题意图: 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识.

解：

()()

11112,,.2222y x a x y a y x a x a =-∴=

+∴=+=+与3y bx =+比较得a =6，

1.2b = 故填1

62；

3.复合函数问题

复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域. 例5．（2007年北京卷文）对于函数①()2

f x x =+，②2

()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，

判断如下两个命题的真假： 命题甲：(2)f x +是偶函数；

命题乙：()f x 在()-∞2，

上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③

命题意图: 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力. 解：

22()(2),(2)f x x f x x =-∴+=是偶函数，又函数2()(2)f x x =-开口向上且在()-∞2，上是

减函数，在(2)+∞，

上是增函数．故能使命题甲、乙均为真的函数仅有2

()(2)f x x =-． 故选Ｃ

例6．（2006年安徽卷）函数()f x

对于任意实数x 满足条件

()()

1

2f x f x +=

，若

()15,

f =-则

()()5f f =

__________.

命题意图: 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力.

解：由()()

12f x f x +=

,得

()()

1

4()

2f x f x f x +=

=+，所以(5)(1)f f ==-，则

()()11

5(5)(1)(12)5f f f f f =-=-=

=-

-+.

4.函数的单调性、奇偶性和周期性

函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.

例7．（2006年全国卷） 已知函数

()1

,

1x f x a z =-

+，若()f x 为奇函数，则a =________.

命题意图: 本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用. 常规解法：由f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即

,0121

121=+-++-

-x x

a a

.2112212112112121=++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∴-x

x x x a 应填21.

巧妙解法：因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即

.

21,01

210=∴=+-

a a 应填21

. 点评：巧妙解法巧在利用了f(x)为奇函数,所以f(0)=0,这一重要结论.

例8．（2007年全国卷理I ）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，

()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）

A ．充要条件

B ．充分而不必要的条件

C ．必要而不充分的条件

D ．既不充分也不必要的条件

命题意图: 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识.

解 先证充分性：因为()f x ，()g x 均为偶函数， 所以()(),f x f x -=()()g x g x -=，有

()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=，

所以 ()h x 为偶函数．

反过来，若()h x 为偶函数，()f x ()g x 不一定是偶函数．如2()h x x =，(),f x x =2

()g x x x =-，

故选B.

方法二：可以选取两个特殊函数进行验证． 故选B

点评：对充要条件的论证，一定既要证充分性，又要证必要性，二着缺一不可．同时，对于抽象函数，有时候可以选取特殊函数进行验证． 5.函数的图象与性质