高中函数与不等式问题的解题技巧

第三讲 函数与不等式问题的解题技巧
1．通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象． 2．在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现． 3．从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查． 4．一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的． 5．涌现了一些函数新题型．
6．函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导． 【例题解析】
1.函数的定义域及其求法
函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.
例1．（2007年广东卷理）
已知函数()f x =
的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，
则M ∩N=
（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅ 命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.
解：函数
()f x 的定义域M={}1,x x < g(x)=ln(1)x +的定义域N={}1,x x >-∴M ∩N={|11}x x -<<． 故选C
例2. ( 2006
年湖南卷）函数
y ( )
（A ）(3,+∞) （B ）[3, +∞) （C ）(4, +∞) （D ）[4, +∞)
命题意图: 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.
解：由20
4.log 20
x x x >⎧⇒>⎨
->⎩，故选D.
2.求函数的反函数
求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解.
例3．（2006年安徽卷）函数2
2,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是（ ） （A
）,02
0x
x y x ⎧≥⎪=< （B
）
2,00x x y x ≥⎧=<
（C
）,02
0x
x y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩ （D
）
2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨
<⎪⎩ 命题意图: 本题主要考查有关分段函数的反函数的求法
.
(
)121:2,.(),(0);2
2
,0,()0.
,02
0.y
x
y x x f x x y x y f x x x
x y x --=∴=∴=≥=-<∴=<⎧≥⎪
∴=⎨⎪<⎩
解又
故选C.
例4．（2007年湖北卷理）已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；
b = ．
命题意图: 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识.
解：
()()
11112,,.2222y x a x y a y x a x a =-∴=
+∴=+=+与3y bx =+比较得a =6，
1.2b = 故填1
62；
3.复合函数问题
复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域. 例5．（2007年北京卷文）对于函数①()2
f x x =+，②2
()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，
判断如下两个命题的真假： 命题甲：(2)f x +是偶函数；
命题乙：()f x 在()-∞2，
上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③
命题意图: 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力. 解：
22()(2),(2)f x x f x x =-∴+=是偶函数，又函数2()(2)f x x =-开口向上且在()-∞2，上是
减函数，在(2)+∞，
上是增函数．故能使命题甲、乙均为真的函数仅有2
()(2)f x x =-． 故选Ｃ
例6．（2006年安徽卷）函数()f x
对于任意实数x 满足条件
()()
1
2f x f x +=
，若
()15,
f =-则
()()5f f =
__________.
命题意图: 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力.
解：由()()
12f x f x +=
,得
()()
1
4()
2f x f x f x +=
=+，所以(5)(1)f f ==-，则
()()11
5(5)(1)(12)5f f f f f =-=-=
=-
-+.
4.函数的单调性、奇偶性和周期性
函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.
例7．（2006年全国卷） 已知函数
()1
,
1x f x a z =-
+，若()f x 为奇函数，则a =________.
命题意图: 本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用. 常规解法：由f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即
,0121
121=+-++-
-x x
a a
.2112212112112121=++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∴-x
x x x a 应填21.
巧妙解法：因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即
.
21,01
210=∴=+-
a a 应填21
. 点评：巧妙解法巧在利用了f(x)为奇函数,所以f(0)=0,这一重要结论.
例8．（2007年全国卷理I ）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，
()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分而不必要的条件
C ．必要而不充分的条件
D ．既不充分也不必要的条件
命题意图: 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识.
解 先证充分性：因为()f x ，()g x 均为偶函数， 所以()(),f x f x -=()()g x g x -=，有
()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=，
所以 ()h x 为偶函数．
反过来，若()h x 为偶函数，()f x ()g x 不一定是偶函数．如2()h x x =，(),f x x =2
()g x x x =-，
故选B.
方法二：可以选取两个特殊函数进行验证． 故选B
点评：对充要条件的论证，一定既要证充分性，又要证必要性，二着缺一不可．同时，对于抽象函数，有时候可以选取特殊函数进行验证． 5.函数的图象与性质
函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.
例9．(2006年山东卷)函数y=1+ax(0<a<1)的反函数的图象大致是 ( )
（A ） （B ） （C ） （D ） 命题意图: 本题主要考查对数函数的图象，互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识. 解：∵y=1+ax(0<a<1),∴
()()
1log (1),01a f x x a -=-<<.此函数图象是由函数
()()
log ,01a f x x a =<<向右平移一个单位得到的.
故选A.
6. 函数综合问题
函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力.
例10．（2007年浙江卷文）已知.|1|)(2
2kx x x x f ++-=
（Ⅰ）若k = 2，求方程0)(=x f 的解；
（Ⅱ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个解x1，x2，求k 的取值范围，并证明
.4112
1<+x x
命题意图：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。

满分15分。

（I ）解：当.02|1|)(,22
2=++-==x x x x f k 时
分两种情况讨论：
①当时或即时11,112-≤≥≥-x x x ， 方程化为,01222
=-+x x
01,,x x <<解得舍去所以
②当11,012
<<-<-x x 即时， 方程化为1+2x = 0， 解得21
-
=x ，
由①②得，
.2
1
,2310)(,2-=--=
==x x x f k 或的解是
方程时当
（II ）解：不妨设2021<<<x x ，
因为
⎩⎨
⎧≤+>-+=,1||,1,1||,12)(2x kx x kx x x f 所以(]1,0)(在x f 是单调递函数， 故(]1,00)(在=x f 上至多一个解，
(]12121211
2221
,(1,2),0,,,0,1,(1,2).2
1
()0,,1;17
()0,2, 1.2
7
1,()0(0,2).2
x x x x x x f x k k x f x k x k x k f x ∈=-<∈∈==-≤-==--<<--
<<-=若则故不符合题意因此由得所以由得所以故当时在上有两个解
方法一：
(
]2
11221212
10,1,,210(1,2),111),2
77(,1),8,
22
11
4.
x x x kx k x x k k x x y k k x x ∈=-+-=∈=
+=-=--<=+<因为所以而方程因为所以则而在上是减函数因此
方法二：
因为(]01,1,011=+∈kx x 所以； ①
因为012),2,1(22
22=-+∈kx x x 所以， ②
由①②消去k ，得
212122212
1
2
11
1
120,
2.
(1,2),
4.
x x x x x x x x x x --=+=∈+<
即又因为所以 7.以集合为背景的不等式
以集合为背景的不等式,以考查不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的,解题时应注意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,准确解题. 例11. （2007年北京卷文）
记关于x 的不等式01x a
x -<+的解集为P ，不等式11
x -≤的解集为Q ．
（I ）若3a =，求P ；
（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．
命题意图：本题主要考查集合的有关概念和运算及分式不等式和含绝对值的不等式的解法.
解：（I ）由3
01x x -<+，得{}13P x x =-<<．
（II ）
{}
{}1102Q x x x x =-=≤≤≤．
由0a >，得
{}
1P x x a =-<<，又Q P ⊆，所以2a >，
即a 的取值范围是(2)+∞，
． 8.以线性规划形式出现的不等式
以线性规划形式出现的不等式,重在考查数形结合的解题能力.这种题目解题时要注意根据已知不等式组作出图形,分析求解.
例12.（2006 年辽宁卷）双曲线22
4x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表
示该区域的不等式组是
（A ）0003x y x y x -≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤≤⎩
（B ）0003x y x y x -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≤≤⎩
（C ） 0003x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪≤≤⎩
（D ） 0003x y x y x -≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤≤⎩
命题意图：本题主要考查利用双曲线的图象性质和线性规划的知识，体现数形结合能力.
解：作图可知三角形区域在第一象限.即满足0003x y x y x -≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤≤⎩
故选(A)
9..以简易逻辑为背景的不等式
以简易逻辑为背景的不等式,解题时往往以不等式为工具,来确定命题,用简易逻辑知识解决问题.
例13.（2006 年山东卷）设2
2
1:200,:0
||2x p x x q x ---><-，则p 是q 的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 命题意图：本题主要考查利用不等式和简易逻辑知识解决问题的能力. 解： 由题设可得:
22:200,:5, 4.1:0,1,2, 2.||2p x x p x x x q x x x x -->><--<-<<<->-即即1或
故选(A)
10..与函数知识结合的不等式
与函数知识结合的不等式,解题时往往以不等式为工具, 结合函数知识,通过推理来解决问题.
例14.（2006 年山东卷）设12
32,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
命题意图：本题主要考查利用不等式和函数知识解决问题的能力. 解：
0((2))(3)(1)2 2.
f f f f e ===3=lo
g 故选(C)
12..与平面向量知识结合的不等式
与平面向量知识结合的不等式,解题时往往以不等式为工具, 结合平面向量知识和坐标运算,通过和坐标运算和推理来解决问题.
例15.（2006 年辽宁卷）设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若OP AB PA PB ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是
（A ）1
12λ≤≤
（B
）
11λ≤ （C
）112
λ≤≤ （D
）
11λ≤
命题意图：本题主要考查利用不等式和平面向量知识解决问题的能力. 解：设P(x,y),则由AP AB λ=得,
,(1,)(1,1),1,1,
,.
AP AB x y x x y y λλλλλλ=-=--=-=-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩即解得
2222,(,)(1,1)(1,)(,1),
0,(1)20,11OP AB PA PB x y x y x y x y y λλλλ⋅≥⋅∴-≥----∴+-≥∴-+-≤∴≤≤
又点P 是线段AB 上的一个动点, 0 1.λ∴≤≤
1 1.λ∴≤≤
故选(B)
13..与函数的导数知识结合的不等式
.与函数的导数知识结合的不等式,解题时往往以不等式和函数的导数为工具, 结合函数知识,通过推理来解决问题.
例16. （2006 年江西卷） 已知函数3
2
()f x x ax bx c =+++在
2
3x =-
与1x =时都取得极值.
求a 、b 的值及函数()f x 的单调区间; 若对
[]
1,2x ∈-,不等式2
()f x c <恒成立,求c 的取值范围.
命题意图：本小题考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等
基础知识的综合运用，考查就数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.
解：322(1)(),()32,f x x ax bx c f x x ax b '=+++=++
2
2124
()0,(1)320,
3931
,2,
2()32(32)(1),():f a b f a b a b f x x x x x f x ''-=-+==++==-=-'=--=+-由得函数的单调区间如下表
所以函数()f x 的递增区间为
(,)3-∞-与(1,)+∞;递减区间为2(,1)
3-. [][]32221
(2)()22
222
1,2,,(),
327
(2)2,(2)2.
()(1,2),(2)2,1 2.f x x x x c x x f x c f c f c f x c x c f c c c =--+∈-=-=+=+=+∈-=+-当时为极大值而则为最大值要使恒成立只须解得或
<> <>
14..与数列知识结合的不等式
与数列知识结合的不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题. 例17.（2006 年湖北卷）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*
,()n S n n N n
⎛⎫∈ ⎪⎝⎭均在函数32y x =-的图像上.
（Ⅰ）求数列{}n a
的通项公式；
（Ⅱ）设13n n n b a a +=
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m
T <
对所有*n N ∈都成立的最小正
整数m .
命题意图：本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力.
解：（I ）依题意得，32,n
S n n =-即232n S n n
=-.
当n ≥2时， ()2
21(32)312(1)65
n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦;
当n=1时，113a S =-×2
1-2×1-1-6×1-5.
所以65()n a n n N *
=-∈.
（II ）由（I ）得
[]131111(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪-+--+⎝⎭
，
故
11
11111
11...277136561n
n b n n T =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=
-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑=111261n ⎛⎫- ⎪+⎝
⎭. 因此，使得111261n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭﹤(
)20m n N *∈成立的m 必须满足12≤20m
，即m ≥10,故满足要求的最
小整数m 为10.
15..不等式的实际应用
不等式的实际应用题,解题时往往以不等式为工具, 结合函数知识和函数的导数的应用,通过建立不等式模型,利用计算和推理来解决问题. 例18．（2007年重庆卷文）（本小题满分12分）
用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 命题意图：本小题主要考查利用函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用不等式知识解决实际问题的能力．
解：设长方体的宽为x （m ），则长为)(2m x ，高为
).23
0( )(35.441218<<-=-=
x m x x h
故长方体的体积为
).
23
0( )(69)35.4(2)(3322<<-=-=x m x x x x x V 从而 )1(181818)(2
x x x x x V -=-='
令 00)(==x x V ，解得（舍去）或x=1，因此x=1.
当 0
)(23
1 ;0)(10<'<<>'<<x V x x V x 时，当时，，
故在x=1处)(x V 取得极大值，并且这个极大值就是)(x V 的最大值.
从而最大体积 ，)(31619)1(3
32m V V =⨯-⨯==此时长方体的长为2m ，高为1.5m
答：当长体的长为2m ，宽为1m ，高为1.5m 时，体积最大，最大体积为3m3.
一.选择题
1.y=322
-+x x 的单调递减区间为（ ）
A.(－∞，－3)
B.(－∞，－1)
C.［1，+∞］
D.［－3，－1］ 2.下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是（ ）
A.y=－x
B.y= 11
-x C.y=3－2x D.y=－x2+2x+1
3.设f(x)是定义在A 上的减函数，且f(x)＞0，则下列函数：y=3－2f(x),y=1+)(2
x f ,y=f2(x),y=1
－)(x f ，其中增函数的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
4．关于x 的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（-∞，-8]∪[0，+∞）B 、（-∞，-4） [-8，4） D 、（-∞，-8] 5．若a>0，b>0，且2a+b=1，则S=2ab -4a2-b2的最大值是（ ）
A ．21
2-
B 、12-
C 、21
2+ D 、12+
6．已知不等式m2＋(cos2θ－5)m ＋4sin2θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.0≤m ≤4 B.1≤m ≤4 C ．m ≥4或x ≤0 D.m ≥1或m ≤0 二.填空题
7.设f(x)=x2－1(x ≤－2),则f －1(4)=__________. 8.已知f(x)=3x －2,则f －1(3x －2)=__________.
9.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）＝lg 1
1x +，那么当x ∈（－1，0）时， f
（x ）的表达式是_____．
10. 记S=121
2
211
212
1
11101010
-+
+++
++
，则S 与1的大小关系是 .
11.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,函数21cos28sin sin2x x y x ++=
的最小值是_________.
12.实数,x y 满足x
x y y
=-,则x 的取值范围是__________.
三.解答题
13. 设函数f （x ）=log2（x +1），当点（x ，y ）在y=f （x ）的反函数图象上运动时，对应
的点（3,2y
x ）在y=g （x ）的图象上.
(1)求g （x ）的表达式;
(2)当g （x ）—f —1（x ）≤0时，求u （x ）=g （x ）—f —1（x ）的最小值.
14. 在某产品的制造过程中，次品率p 依赖于日产量x ，
已知 =p 1,101x
⎧≤⎪-⎨⎪>⎩当0<x 100时;1,当x 100时.
其中x 为正整数，又该厂每生产一正品可赢利A 元，但每生产出一件次品就要损失3A
元.
(1) 将该厂的日赢利额T （元）表示为日产量x （个）的函数，并指出这个函数的定义域;
(2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少？
15．已知).1(1)(-≠+=x x x x f
)()1(x f 求的单调区间；
（2）若
.43)()(:,)(1,0>+-=
>>c f a f b b a c b a 求证
16．某人上午7时乘摩托艇以匀速V 千米/小时（4≤V ≤20）从A 港出发前往50千米处的
B 港，然后乘汽车以匀速W 千米/小时（30≤W ≤100）自B 港向300千米处的
C 市驶去，在同一天的16时至21时到达C 市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x 小时、y 小时，若所需经费)8(2)5(3100y x p -+-+=元，那么V 、W 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.
【参考答案】
一.1.A 提示：2230,13x x x x +-≥≥≤-则或,
又()()2
223141x x x x +-=+-,∈-∞,-,.可知当时函数递减.
2.D 提示：函数y=－x2+2x+1的图象开口向下,对称轴x=1.
3.C 提示：由于f(x)是定义在A 上的减函数，且f(x)＞0，所以其－2f(x), )(2
x f ,和－)(x f 都是增函数.
4.D
5.A
6.C
二.7.－5 .8.x.
9. 提示：当x ∈（－1，0）时，－x ∈（0，1），∴f （x ）＝－f （－x ）＝－lg 1
1x +＝lg （1－x ）．
10. <1s
11. 4 ;
12. ()[),04,-∞⋃+∞
三.13. (1)易求12)(1-=-x
x f .)14(31)(-=x x g . (2)由g （x ）—f —1（x ）≤0得：[]2,12∈x .
121)232(31)(2--=x x u . 故x 2[].121)(,2,123-≥∈=x u 即121)(,23log min 2-==x u x .
14. （1）易知
()4(1)[1],0,100,33(101)A T Ax p xp Ax x x N x *=-+
=-∈∈-. （2）求T 的最大值是个难点.须变换：
]})101(3404)101[(34101{]34)101(3404[])101(34[x x A x x A x x x A T -+--+=+--=--=易知当且仅当≈-=3404101x 89.4时，T 最大.但是x N *∈，)90(),89(f f 两者的最大值一定是T 的最大值吗？这是本题的第二个难点.因此，必须证明函数
)(x T 在（0，3404101-）上是增函数，而在（3404101-，100）上是减函数.
15. 解：（1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得
11
1)(+-=x x f , .),1()1,()(上分别单调递增和在区间+∞---∞∴x f
（2）首先证明任意).()()(,0y f x f y x f y x +<+>>有事实上,
)(1111)()(y x xy f y x xy y x xy y x xy y x xy xy y y x x y f x f ++=+++++>++++++=+++=+.
而
()),()1(,y x f y x xy f y x y x xy +>+++>++知由 )()()(y x f y f x f +>+∴
,04)2(1)(122>=+-≥-=a b b a b b a c
.34222≥++≥+∴a a a c a 43)3()()()(=≥+>+∴f c a f c f a f 16.解：题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解. 由于103,5.125.2,100450≤≤≤≤∴≤≤=x y V V y 同理及 又149≤+≤y x
.23),23(131)8(2)5(3100y x z y x y x P +=+-=-+-+=令
则z 最大时P 最小.
作出可行域，可知过点（10，4）时, z 有最大值38，
∴P 有最小值93，这时V=12.5，W=30.
视y x z 23+=这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法。