第二十二章二次函数教案
九年级上册数学人教版第22单元复习教学设计 教案
第22章二次函数复习教案一、知识网络二、知识梳理+经典例题知识点一：二次函数的概念定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
知识点三：二次函数y=ax2+k的图像和性质二次函数y=ax2+k（a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），它与y=ax2的图像形状相同，只是位置不同.函数y=ax2+k（a≠0）的图像是由抛物线y=ax2向上（或下）平移|k|个单位长度得到的.二次函数y=ax2+k（a≠0）与y=ax2（a≠0）的图像之间的关系如下表所示：y=ax2（a≠0）向上平移|k|个单位长度向下平移|k|个单位长度二次函数y=ax2+k的图像和性质如下:a的符号a>0a<0图像开口方向向上向下对称轴y轴y轴最值当x=h时，y有最小值y最小值=0当x=h时，y有最大值y最大值=0知识点五：二次函数y=a(x-h)2+k(a,h，k是常数，a≠0)的图像和性质1、二次函y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是x=h，顶点坐标为(h,k)，是由抛物线y=ax2(a≠0)向右（左）平移|h|个单位长度，再向上（下）平移|k|个单位长度得到的2、性质a的符号a>0a<0图像开口方向向上向下对称轴x=h x=h顶点坐标(h,k)(h,k)增减性当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大当x<h时，y随x的增大而增大；当x>h时，y随x的增大而减小最值当x=h时，y有最小值，y最小值=k 当x=h时，y有最大值，y最大值=k例5已知二次，函数y=a（x-1）2-c的图像如图所示，则一次函数y=ax+c 的大致图像可（）a a>0开口向上a<0开口向下b ab=0对称轴为y轴ab>0(a,b同号)对称轴在y轴左侧ab<0(a,b异号)对称轴在y轴右侧c c=0图像过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b2-4ac b2-4ac=0与x轴有唯一一个交点b2-4ac>0与x轴有两个交点b2-4ac<0与x轴没有交点例7、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2-4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个知识点八：二次函数与一元二次方程的联系1、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.那么一元二次方程的根就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，因此，二次函数的图像与x轴的交点情况决定了一元二次方程根的情况.（1）当二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴有两个交点时，b2-4ac>0,方程ax2＋bx＋c=0（a知识点九：二次函数与一元二次不等式的关系1、抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）在x轴上方的部分点的纵坐标为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c >0（a≠0）的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c<0（a≠0）的解集，不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号2、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次不等式ax2＋bx＋c >0（a≠0）及ax2＋bx＋c<0（a≠0）之间的关系如下：例9、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（）A.x＜-1B.x＞3C.-1＜x＜3D.x＜-1或x＞3知识点十：二次函数与实际问题1、二次函数的应用：二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题2、建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题：建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的表达式是解题关键。
初中数学九年级上册第二十二章 二次函数二次函数的概念教案
二次函数的概念柏树中心校：陈锡教学目标1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.2.会利用二次函数的概念解决问题.3.会列二次函数表达式解决实际问题.教学重点：掌握二次函数的概念和一般形式教学难点：会列二次函数表达式解决实际问题教学过程：一、情境引入：雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？1.什么叫函数?2.什么是一次函数？正比例函数？3.一元二次方程的一般形式是什么？二、讲授新课：1探究：二次函数的定义问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为x，表面积为y，则y 关于x 的关系式为。
问题2：n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？想一想：问题1-3中函数关系式有什么共同点?y=6x2y=20x2+40x+20m=12n2－12n2、归纳总结：形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.例题：例1下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量）①y=ax2+bx+c②s=3-2t² ③y=x2④y=1x2⑤y=x²+x³+25 ⑥y=(x+3)²-x²方法总结：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等想一想:二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？3、二次函数概念的应用例2 :y=(m+3)x m2-7（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是二次函数？变式训练：1、已知: y=(k+2) x|k| ，k取什么值时，y是x的二次函数？2、若函数y=(m2−9)x2+(m+2)x+4是二次函数，求m的取值范围3、若函数y=(m−1)x m2−2m−1+ (m-3)x+4是二次函数，求m的取值范围例3：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．三、课堂练习：1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为2.函数y=(m-n)x2+ mx+n是二次函数的条件是( )A . m,n是常数,且m≠0B . m,n是常数,且n≠0C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数3．下列函数是二次函数的是( )A．y＝2x＋1 B．y=1xC．y＝3x2＋1 D．y= √x+14. 已知函数y=3x2m-1－5①当m=＿＿时，y是关于x的一次函数；②当m=＿＿时，y是关于x的反比例函数；③当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 .6.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系．7.某商店经销一种销售成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg,针对这种商品的销售情况，请解答下列问题：（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）8.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当x=3时矩形的面积.四、课堂小结：形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.。
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数大单元教学设计
（1）完成课本第22章练习题1、2、3，要求学生熟练掌握二次函数的定义、图像性质、顶点式与标准式的转换。
（2）利用图形计算器或计算机软件，绘制几个典型二次函数的图像，观察并分析开口方向、顶点、对称轴、最值等性质。
2.实际问题应用：
（3）结合生活实际，编写一道关于二次函数的应用题，要求学生将实际问题抽象为二次函数模型，并求解。
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数大单元教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握二次函数的定义，能够准确地识别和描述二次函数的一般形式，即f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）。
2.使学生理解二次函数图像的基本性质，包括开口方向、对称轴、顶点、最小（大）值等，并能够利用这些性质解决相关问题。
2.教学方法：采用情境导入法，通过生活实例激发学生的兴趣，引导学生从实际问题中发现数学规律。
3.教学步骤：
a.展示生活中抛物线运动的图片或视频，让学生观察并描述其运动轨迹。
b.学生分享观察到的运动轨迹特点，教师引导总结出抛物线的一般形式。
c.提问：“这些运动轨迹都可以用一个数学模型来描述，你们知道是什么吗？”由此引出二次函数的定义。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，使他们认识到数学在现实生活中的广泛应用和价值。
2.通过二次函数的学习，让学生感受到数学的对称美和秩序美，培养他们的审美情趣。
3.引导学生树立正确的价值观，认识到数学知识的学习不仅是为了应对考试，更重要的是为了解决实际问题，为我国的社会发展做出贡献。
3.教学步骤：
a.将学生分成若干小组，每组分配一个讨论题目，如二次函数的性质、图像特点等。
人教版九年级数学上册第22章《二次函数》教案
第二十二章二次函数1.通过对实际问题的分析,确定二次函数的解析式,并体会二次函数的意义.2.会用描点法画抛物线,通过图象理解二次函数的性质.3.会用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出函数图象的对称轴,并能解决一些简单的实际问题.4.会用待定系数法求二次函数的解析式.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.6.掌握二次函数模型的建立,并能运用二次函数的知识解决实际问题.1.从实际问题情境中经历探索两个变量之间的关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察、探究能力及归纳总结能力.2.通过二次函数的图象探究二次函数的性质,使学生进一步体会数形结合思想在数学中的应用,经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程.3.运用二次函数的知识解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生应用数学的意识.4.经历探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.1.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会数学来源于生活又应用于生活,从而提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等思想方法,养成既能自主探索又能合作探究的良好学习习惯.3.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,获得运用数学解决实际问题的经验,感受数学模型、数学思想在实际问题中的应用价值.二次函数是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一,学生在学习了正比例函数、一次函数之后,又学习了二次函数,这是对函数及其应用知识学习的深化和提高,也是学习其他初等函数的基础.二次函数是描述现实世界变量之间的关系的重要数学模型,二次函数的图象也是人们最为熟悉的曲线之一,如喷泉水流、抛掷的铅球划过的轨迹等,同时,二次函数的相关性质也是解决有关问题的理论基础,它常与一元二次方程、三角形等知识综合在一起,它综合了初中所学的函数知识,它在中学数学中起着承上启下的作用.二次函数作为重要的数学模型,在解决有关实际问题中发挥着重要作用,通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题的能力. 本章从实际问题情境入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,重点内容是对二次函数的图象和性质的理解和掌握,二次函数的图象和性质是从函数y=ax 2出发逐步深入探究的,在探究过程中体现了从特殊到一般、类比、数形结合思想,其中类比思想多处体现,如类比一次函数研究二次函数,而数形结合思想贯穿探究二次函数的图象和性质的始终.对于某些实际问题,力图加强二次函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生应用数学的意识.【重点】1.通过对实际问题情境的分析,确定二次函数的解析式.2.会用描点法画二次函数图象,并从图象中了解二次函数的性质.3.会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴,并能解决简单的实际问题.4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.5.能运用二次函数知识解决实际问题.【难点】1.能够正确运用二次函数的图象及性质解决实际问题.2.理解二次函数与一元二次方程的关系.1.注意对实际问题情境的创设,帮助学生形成模型思想.在教学中要创设丰富的实际问题的情境,使学生理解二次函数的意义,并能够用二次函数的知识解决实际问题.2.鼓励学生采用多种方法了解二次函数的性质.二次函数图象的平移问题是二次函数的教学难点,所以可以让学生将自己的想法表达出来,互相学习和借鉴.3.注重知识之间的联系,帮助学生建立二次函数与其他学过的函数之间的联系.22.3实际问题与二次函数 2课时22.1 二次函数的图象和性质1.通过对实际问题的分析,确定二次函数的解析式,并体会二次函数的意义.2.会用描点法画抛物线,通过图象了解二次函数的性质.3.会用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出函数图象的对称轴,并能解决一些简单的实际问题.4.会用待定系数法求二次函数的解析式.1.从实际问题情境中经历探索两个变量之间的关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察、探究能力及归纳总结能力.2.通过函数的图象探究二次函数的性质,使学生进一步体会数形结合思想在数学中的应用,经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程.1.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会数学来源于生活又应用于生活,从而提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习方法,养成既能自主探索又能合作探究的良好学习习惯.【重点】1.二次函数图象及其性质.2.运用二次函数的知识解决实际问题.【难点】不同形式的二次函数图象之间的位置关系.22.1.1二次函数1.理解并掌握二次函数的定义.2.能判断一个给定的函数是否为二次函数.3.能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式及自变量的取值范围.1.让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程.2.使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察、探究能力及归纳总结能力.3.经历探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.1.通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴趣.2.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会数学来源于生活又应用于生活,提高学生应用数学的意识.【重点】1.理解并掌握二次函数的定义.2.能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式及自变量的取值范围.【难点】用二次函数表示变量之间的关系.【教师准备】多媒体课件(1~3)【学生准备】预习教材P28~29.导入一:出示喷泉图片:图片中喷头喷出的水珠在空中走过一条曲线,这些曲线是否能用函数关系式来表示?它们的形状是怎样画出来的?这些都将在新的一章中学习.导入二:请同学们阅读章前问题,并回答下列问题:如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y与x之间有什么数量关系?学生思考回答:y=6x2.【问题】y是x的函数吗?这个函数是不是我们以前学过的函数?【师生活动】复习函数、正比例函数、一次函数的概念.导入三:当你走在大街上时,会发现有好多车在奔跑,但你是否想到小汽车的行驶是要限速的?假设小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h )之间的函数关系式为s=v2,一辆汽车的速度为100 km/h.在前方80 m处停放着一辆故障车,你能判断此时是否有危险吗?[设计意图]通过欣赏图片、感受生活中的数量关系式,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习本章的兴趣.同时让学生体会二次函数是刻画某些实际问题的模型,通过复习一次函数的知识,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识.问题1【课件1】(教材问题1)n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系?思路一教师引导学生思考并回答下列问题.n个球队中,每个队要与其他个球队各比赛一场,全部比赛共有场.分析题意,题目中的等量关系为,所列等式为.【师生活动】学生独立思考后回答问题,教师点评并分析如何建立函数的数学模型.解:n个球队中,每个队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,所以比赛的场次数m=n(n-1) ,即m=n2-n.思路二小组活动,共同探究,思考下列问题.(1)明确题意,题中的已知条件是什么?(2)分析题意,题中的等量关系是什么?(3)如何根据题中的等量关系建立函数解析式?【师生活动】小组讨论,教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生小组讨论后发表讨论结果,教师及时补充.解:n个球队中,每个队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,所以比赛的场次数m=n(n-1) ,即m=n2-n.问题2【课件2】(教材问题2)某种产品现在的年产量是20 t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x 的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示?思路一教师引导学生思考并回答下列问题.这种产品现在的年产量是20 t,一年后的产量是t,再经过一年后的产量是t.分析题意,题目中的等量关系为,所列等式为.【师生活动】学生独立思考后回答问题,教师点评并分析如何建立函数的模型.解:这种产品现在的年产量是20 t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)·(1+x)t,即y=20(1+x)2.思路二小组活动,共同交流,思考下列问题.(1)明确题意,题中的已知条件是什么?(2)分析题意,题中的等量关系是什么?(3)根据等量关系你能写出函数解析式吗?【师生活动】学生通过交流讨论列出函数解析式,教师在巡视过程中及时解决疑难问题.解:这种产品现在的年产量是20 t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)·(1+x)t,即y=20(1+x)2.[设计意图]通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出函数关系式,为引出二次函数的概念做铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.二、二次函数的概念观察教师板书上的三个函数关系式:(1)y=6x2; (2)m=n2-n; (3)y=20(1+x)2.【思考】(1)这三个函数是我们学过的函数吗?(2)这些函数的自变量x的最高次数是多少?(3)你能说出它们的共同特征吗?(4)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?【师生活动】学生独立思考,小组交流,逐一回答所提问题,教师适时启发学生,共同归纳总结.【课件3】一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.【思考】(1)你身边哪些量之间存在着二次函数关系?(2)二次项系数a能不能为0?b,c能不能为0?为什么?(3)如何判断一个函数是不是二次函数?(4)二次函数与一元二次方程的一般形式有什么关系?【师生活动】学生独立思考回答问题,教师和学生共同归纳二次函数的特征:①函数关系式必须是整式.②自变量的最高次数是2.③二次项系数不为0.④函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)中,当a≠0时,y=ax2+bx+c是二次函数;当a=0时,y=bx+c,若b≠0,则它是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数.[设计意图]学生观察讨论,通过老师设计的问题串类比已学函数,抽象出二次函数的特征,归纳总结出二次函数的一般形式,学生经历了探索二次函数概念的形成过程,[过渡语]我们通过实例归纳总结出了二次函数的概念,试试能不能解决下列问题.子:①y=6x2;②y=-3x2+5;③y=200x2+400x+200;④y=x3-2x;⑤y=x2-+3;⑥y=(x+1)2-x2.其中二次函数有.(只填序号)〔解析〕根据二次函数的概念可得①②③符合二次函数的概念;④中自变量的最高次数是3,⑤中函数右边不是整式形式,⑥中函数化简后不含二次项,均不符合二次函数的概念.故填①②③.若y=(m+1)--是二次函数,则m的值为.〔解析〕二次函数的自变量x的最高次数是 ,∴m2-6m-5=2,解得m=7或m=-1.由二次项系数不为0,得m+1≠ ,∴m=7.故填7.在如图所示的一张长、宽分别为 50 cm 和 30 cm的矩形铁皮的四个角上,各剪去一个大小相同的小正方形,用剩余的部分制作一个无盖的长方体箱子,小正方形的边长为x cm,长方体铁皮箱的底面积为y cm2.(1)求y与x之间的关系式;(2)写出自变量x的取值范围;(3)当x=5时,长方体铁皮箱的底面积是多少?解:(1)由题意得长方体的底面的长为(50-2x)cm,宽为(30-2x)cm,题目中的等量关系为长方体的底面积=长×宽,所以可得函数解析式为y=(50-2x)(30-2x)=4x2-160x+1500.(2)根据实际意义,小正方形的边长为正数,且两个小正方形的边长和不能大于矩形的宽,所以2x<30,即x<15,且x>0,所以自变量x的取值范围是0<x<15.(3)把x=5代入上述函数解析式,得y=800,所以长方体铁皮箱的底面积是800 cm2.[设计意图]通过例题加深对二次函数概念的理解和掌握,在探索中发现新知,在交流中巩固新知,同时体验在实际问题中建立函数模型,为后边的学习做铺垫,让学生体会数学来源于生活又应用于生活.[知识拓展]1.根据实际问题列二次函数关系式时应注意:(1)正确判别自变量与因变量;(2)确保找到正确的等量关系;(3)将列出的关系式整理成y=ax2+bx+c(a≠0)的形式;(4)确保自变量有意义.2.在二次函数y=ax2+bx+c中,必须注意限制条件a≠0.3.任何一个二次函数都可以化成y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的形式,因此把y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)叫做二次函数的一般式.4.在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,x的取值范围是全体实数.5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程有着密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么这个二次函数就是一元二次方程了.1.二次函数的概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的函数,叫做二次函数.2.二次函数满足的条件:①先化简再判断;②等式右边是整式形式;③自变量的最高次数是2;④二次项系数不为0.3.二次函数的自变量的取值范围:自变量的取值在实际问题中要有实际意义.4.根据实际问题写出函数解析式:认真分析题意,找到题目中的等量关系,根据等量关系列出函数解析式.1.下列各式中,是二次函数的是()A.y=2x+1B.y=-2x+1C.y=x2+2D.y=2x2-解析:A,B中自变量x的次数是1,是一次函数;D中,等式右边不是整式形式.故选C.2.二次函数y=2x2+2x-4的二次项系数与常数项的和为()A.1B.-2C.7D.-6解析:二次函数y=2x2+2x-4中,二次项系数为2,常数项为-4,2+(-4)=-2.故选B.3.y=(m+1)2--3x+1是二次函数,则m的值为.解析:根据二次函数的概念可得m2-m=2,且m+1≠0,解得m=2.故填2.4.若物体运动的路程s(m)与时间t(s)之间的关系为s=5t2+2t,则当t=4 s时,该物体所经过的路程为.解析:把t=4代入函数解析式,得s=5×16+2×4=88.故填88 m.5.一个矩形的长是4 cm,宽是3 cm,若将这个矩形的长增加x cm,宽增加2x cm,则它的面积增加到y cm2,试写出y与x的关系式,并求出自变量x的取值范围.解:根据矩形的面积公式得y=(4+x)(3+2x)=2x2+11x+12.自变量x的取值范围是x>0.22.1.1二次函数一、感知二次函数问题1问题2二、二次函数的概念一、教材作业【必做题】教材第29页练习的1,2题.【选做题】教材第41页习题22.1的1题.二、课后作业【基础巩固】1.下列不属于二次函数的是()A.y=(x-1)(x+2)B.y=(x+1)2C.y=1-x2D.y=2(x+3)2-2x22.若y=mx2+nx-p(m,n,p是常数)为二次函数,则()A.m,n,p均不为0B.m≠0,且n≠0C.m≠0D.m≠0,且p≠03.已知二次函数y=3(x-2)2+1,当x=3时,y的值是()A.4B.-4C.3D.-34.若二次函数y=4x2+1的函数值为5,则对应的自变量x的值为()A.1B.-1C.±1D.5.二次函数y=2x(x-1)的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.6.如果函数y=(a-1)x2-ax+6是关于x的二次函数,那么a的取值范围是.7.菱形的两条对角线的和为26 cm,则菱形的面积S(cm2)与一条对角线长x(cm)之间的函数关系式为.8.若函数y=(m+1)-2x+3是关于x的二次函数,试确定m的值或其取值范围.9.写出下列各函数关系式,并判断它们是什么类型的函数.(1)正方体的表面积S与棱长a之间的函数关系;(2)圆的面积y与它的周长x之间的函数关系;(3)某产品年产量为30台,计划今后每年比上一年的产量增长x%,两年后该产品的产量y(台)与x之间的函数关系.【能力提升】10.下列函数关系中,可以看作是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的模型的是 ()A.在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间之间的关系B.我国现年人口自然增长率为1%,我国总人口数随年份变化的关系C.一个矩形的周长一定时,矩形面积和矩形一边长之间的关系D.圆的周长与其对应的半径之间的关系11.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品的日销售量m(件)与每件商品的销售价x(元)满足一次函数m=162-3x,试写出商场销售这种商品的日销售利润y(元)与每件商品的销售价x(元)之间的函数关系式,y是x的二次函数吗?【拓展探究】12.如图所示,用同样规格的正方形白色和黑色瓷砖铺设矩形地面,请观察下列图形并解答问题.(1)在第n个图形中,每一横行有块瓷砖,每一竖列有块瓷砖,黑色瓷砖共有块;(均用含n的代数式表示)(2)在(1)的条件下,设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与n之间的函数关系式;(3)按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖,求n的值.【答案与解析】1.D(解析:化简后D中不含有自变量x的二次项,所以D选项不属于二次函数.故选D.)2.C(解析:根据二次函数的概念,即形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的函数是二次函数,所以只要满足二次项系数不为0即可.故选C.)3.A(解析:把x=3代入函数解析式,可得y=4.故选A.)4.C(解析:把y=5代入函数解析式,得4x2+1=5,解得x=±1.故选C.)5.2-20(解析:将原式整理得y=2x2-2x,所以二次项系数为2,一次项系数为-2,常数项为0.)6.a≠1(解析:二次函数中二次项系数不为0,所以a-1≠0,即a≠1.故填a≠1.)7.S=-x2+13x(解析:根据题意可得菱形的另一条对角线长为(26-x)cm,由菱形的面积公式可得S=x(26-x)=-x2+13x.故填S=-x2+13x.)8.解:∵函数y=(m+1)-2x+3是关于x的二次函数,∴m2+1=2,且m+1≠0,解得m=1.9.解:(1)S=6a2,是二次函数. (2)y=ππ=π,是二次函数. (3)y=30(1+x%)2,是二次函数.10.C(解析:设一个矩形的周长为a,矩形的一边长为x,则另一边长为-x,则矩形的面积S=x-=-x2+x,是二次函数.故选C.)11.解:由题意可知该商品每件的利润为(x-30)元,则y=(162-3x)(x-30),即y=-3x2+252x-4860,所以y是x的二次函数.12.解:(1)由图形规律可以得出:每一横行有(n+3)块瓷砖,每一竖列有(n+2)块瓷砖,黑色瓷砖数=(n+3)(n+2)-n(n+1)=4n+6.故答案为:(n+3),(n+2),(4n+6).(2)y=(n+3)(n+2),即y=n2+5n+6. (3)由题意得(n+3)(n+2)=506,解得n1=-25(舍去),n2= ,∴n的值为20.本节课由实际问题导入新知识,呈现了“问题情境——建立数学模型——归纳总结——知识拓展”的过程,在探究过程中,给学生提供探索和交流的空间,在小组交流、合作中获取知识,把要探究的知识设计成问题形式,降低了难度,让学生体验成功的快乐,激发学习兴趣.学生在课堂上学会了与他人交流,学会了探索,提升了分析问题和解决问题的能力.此外,教学中实际问题的解决贯穿整节课,让学生体会建模思想是解决数学问题的重要途径,培养了学生应用数学的意识.由于这节课内容较少,在学习了一次函数和一元二次方程后,学习这节课应该是很简单的,所以误认为学生会通过自学掌握所有知识,教学时对于概念的形成过程有点过于急躁,造成学生对概念的细节问题掌握不牢固,在后边的练习中出错较多,缺乏学习数学知识的严谨性,所以在课堂上要重视探究知识的过程.二次函数是一种常见的函数,应用非常广泛,许多实际问题往往可以归结为二次函数问题加以研究.在教学中要重视二次函数概念的形成和构建,在对二次函数的概念的学习过程中,让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程,体会用函数思想去描述、研究变量之间的变化规律的意义.练习(教材第29页)1.解:S= πr·r+ πr2= πr2.2.解:y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600.1.本节课主要学习二次函数的概念,通过具体实例中变量之间关系的特征,感受二次函数的特征和意义,从而形成对二次函数的初步认识,本节课的重点是强调具体问题的分析、抽象,渗透数学建模思想.教师引导学生分析问题,并用关系式表示这一关系的过程,引出二次函数的概念,获得二次函数表示变量关系的体验,学生在教师的引导下,通过自主探索与合作交流,理解并掌握本节课的重点,学生通过主动探索,获取知识,丰富数学活动的经验,逐步达到学会学习的目的.2.对于九年级的学生来说,之前已经学过常量与变量、一次函数和正比例函数,对于函数是刻画变量之间关系的数学模型也有了一定的认识,所以在此基础上可以用类比的方法继续深入学习二次函数.而且学生的逻辑思维、概括归纳能力也有了一定的提高,本节课根据教材实例引导学生自主探究,分析题意,得到相应的函数关系式,分析所得到的三个关系式的共同特征,由学生概括归纳,得到二次函数的概念和一般式,这样很自然地就突破了本节课的难点.学生通过经历知识的形成过程培养了分析问题和解决问题的能力,提高了数学的应用意识.已知函数y=(a2-4)x2+(a+2)x+3.(1)当a为何值时,该函数是二次函数?(2)当a为何值时,该函数是一次函数?〔解析〕由二次函数的定义知a2-4≠0,据此可以求得a的值;由一次函数的定义知a2-4=0,且a+2≠0,据此可以求得a的值.解:( )∵该函数是二次函数,∴二次项系数不为0,即a2-4≠0,解得a≠±2,∴当a≠±2时,该函数是二次函数.( )∵该函数是一次函数,∴a2-4=0,且a+2≠0,解得a=±2,且a≠- ,∴a=2.22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质1.能用描点法画出二次函数y=ax2的图象.2.能根据对二次函数y=ax2的图象的理解,掌握二次函数y=ax2的性质.3.初步建立二次函数表达式与其图象之间的关系.1.经历探索和发现二次函数的图象的特点和性质的过程,获得研究函数性质的经验.2.通过二次函数的图象探究其性质,进一步体会数形结合思想的应用.1.经历观察、推理、交流等过程,获得研究问题和合作交流的方法和经验,体验数学活动中的探索性和创造性.2.在数学学习活动中,体会数学和实际生活的联系,感受数学的实际意义,激发学生学习数学的乐趣.【重点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象,掌握二次函数y=ax2的性质.【难点】探究二次函数y=ax2的图象特点和性质的过程.【教师准备】教材图22.1—3,图22.1—4,图22.1—5.【学生准备】复习二次函数的概念.导入一:图中的拱桥是什么曲线?这条曲线有什么特点?通过对本节课的学习,相信大家一定会回答这个问题.导入二:复习提问:1.正比例函数、一次函数的图象分别是什么?(一条直线.)2.画函数图象的基本步骤是什么?(列表、描点、连线.)3.一次函数的性质是如何研究的?(先画出一次函数的图象,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质.)4.我们能否类比研究一次函数的性质的方法来研究二次函数的性质呢?如果可以,应先研究什么?(可以用研究一次函数的性质的方法来研究二次函数的性质,应先研究二次函数的图象.)导入三:如图所示,一名篮球运动员手中的球在离篮筐中心水平距离4 m处投篮,当球运行的水平距离为2.5 m时,球达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮筐内,已知篮筐距离地面的高度为3.05 m.。
人教版九年级数学22章二次函数全章教案
第二十二章二次函数分析与教学建议（一）．二次函数在初中数学教材中的分析二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。
二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。
和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。
函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。
学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。
本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。
二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。
本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。
（二）本章课时安排本章教学时间约需15课时 ，具体安排如下：22．1节 二次函数…………………………7课时22．2用函数的观点看一元二次方程…………………2课时22．3实际问题与二次函数…………………3课时教学活动 小结及测试…………………3课时（三）、本章教学目标分析（1）本章教学要求如下①经历描点法画函数图象的过程。
人教版九年级上册 第22章 二次函数全章教案
3、y=ax2向左平移h个单位得到函数_____y=ax2向右平移h个单位得到函数________
三、教学指导：
探索y=a(x-h)2的图像性质
y=a(x-h)2
开口
对称轴
顶点坐标
函数y的最值
a>0
a<0
3.抛物线y=-3x2向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，他的解析式是什么？指出它的开口方向，顶点坐标，对称轴，极值情况？
三、教学指导：
探索y=a(x-h)2+k的图像性质
抛物线
开口
对称轴
顶点
y=a x2
a>0向上
a<0向下
Y轴
(0,0)
y=ax2+k
同上
Y轴
(0,k)
y=a(x-h)2
当a<O时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点是抛物线上位置最高的点。反映了当a<O时，函数y=ax2的性质:当x<0时，函数值y随x的增大而增大； 与x>O时，函数值y随x的增大而减小，当x= 0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0。
C、m,n是常数,且m≠n D、m,n为任何实数
（二）中标题
5.一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。
（三）爬坡题
6.y=（m+3）xm2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》教案
第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.3.通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征.4.在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣.【教学重点】结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念.【教学难点】1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系；2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件.一、情境导入，初步认识问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x 之间的关系式可表示为，y是x的函数吗？问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个队要与其他个球队各比赛一场，整个比赛场次数应为，这里m是n的函数吗？问题3 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？二、思考探究，获取新知全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师全场巡视，发现问题可给予个别指导.在同学们基本完成情形下，教师再针对问题2，解释m=12n(n-1)而不是m=n(n-1)的原因；针对问题3，可引导同学们先算出第二年产量为20(1+x)t ，第三年产量为20(1+x)(1+x)t ，得到y=20（1+x)2.【教学说明】上述活动的目的在于引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式，体会二次函数是刻画实际生活中自变量与因变量的关系的重要模型之一.思考函数y=6x 2，m=12n 2-12n,y=20x 2+40x+20有哪些共同点？ 【教学说明】在同学们相互交流、发言的过程中，教师应关注：（1）语言是否规范；（2）是否抓住共同点；（3）针对少数同学可能进一步探索出其不同点等问题应及时引导，让同学们在轻松快乐的环境中进入二次函数的学习.【归纳结论】上述三个函数都是用自变量的二次式表示的，从而引出二次函数定义.一般地，形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 为常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数.其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是二次项系数，一次项系数和常数项.【教学说明】针对上述定义，教师应强调以下几个问题：（1）关于自变量x 的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；（2）二次项的系数a ≠0是定义中不可缺少的条件，若a=0，则它是一次函数；（3）二次项和二次项系数不同，二次项指ax 2,二次项系数则仅是指a 的值；同样，一次项与一次项系数也不同.教师在学生理解的情况下，引导学生做课本P29练习.三、运用新知，深化理解1.下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是？若是二次函数，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y=(x+2)(x-2);(2)y=3x(2-x)+3x 2; (3)y=21x -2x+1;(4)y=1-3x 2.2.若y=(m+1)xm 2+1-2x+3是y 关于x 的二次函数，试确定m 的值或取值范围.3.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现：这种商品的销售量m(件）与每件商品的销售价x （元）满足一次函数关系m=162-2x ，试写出商场销售这种商品的日销售利润y （元）与每件商品的销售价x （元)之间的函数关系式，y 是x 的二次函数吗？4.如图，用同样规格的正方形白瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：（1）在第n 个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖（均用含n 的代数式表示）；（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与（1）中的n 的函数关系式（不要求写自变量n 的取值范围）.【教学说明】这个环节的教学自主性很强，可让同学们分小组完成，对优胜小组给予鼓励，培养学生团队精神，让部分学生分享成功的快乐，但对题2、3、4，教师应及时给予引导，鼓励学生大胆完成.【答案】1.解：（1）y=(x+2)(x-2)=x 2-4,该函数是二次函数，它的二次项系数为1，一次项系数是0，常数项是-4.（2）y=3x(2-x)+3x 2=6x,该函数不是二次函数.（3）该函数不是二次函数.（4）该函数是二次函数，它的二次项系数为-3，一次项系数为0，常数项为1.2.解：∵()21123m y m x x +=+-+是y 关于x 的二次函数.∴m+1≠0且m 2+1=2,∴m≠-1且m2=1，∴m=1.3.解：由题意分析可知，该商品每件的利润为（x-30）元，则依题意可得：y=(162-3x)(x-30)即y=-3x2+252x-4860由此可知y是x的二次函数.4.解：（1）观察图示可知第1、2、3个图形中每一横行瓷砖分别为4，5，6，每一竖列瓷砖分别为3，4，5，由此推断在第n个图中，每一横行共有（n+3）块瓷砖，每一竖行共有（n+2）块瓷砖；（2）y=(n+3)(n+2)即y=n2+5n+6.四、师生互动，课堂小结1.二次函数的定义；2.熟记二次函数y=ax2+bx+c中a≠0,a、b、c为常数的条件.【教学说明】本环节设置的目的在于让学生进一步认识二次函数的相关定义，教师可与学生一起回顾.1.布置作业：教材习题22.1第1、2、7题；2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时的内容涉及到初中第二个函数内容，由于前面有了学习一次函数的经验，因此教师教学时可在学生以往经验的基础上，创设丰富的现实情境，使学生初步感知二次函数的意义，进而能从具体事物中抽象出数学模型，并列出二次函数的解析式.教学时应注重引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中的数学问题，提高研究与应用能力.22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念；2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的表达式.3.通过画出简单的二次函数y=x2，y=-12x2等探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征.4.使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.【教学重点】1.二次函数y=ax2的图象的画法及性质；2.能确定二次函数y=ax2的解析式.【教学难点】1.用描点法画二次函数y=ax2的图象，探索其性质；2.能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题.一、情境导入，初步认识问题1在八年级下册，我们学习的一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？【教学说明】通过对问题1的思考，可激发学生的求知欲望，想尝试运用列表法画出一个二次函数的图象.问题2 你能画出二次函数y=x2的图象吗？【教学说明】学生分组画y=x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导，尤其应关注学生的列表和连线，然后给予讲评，提醒注意的问题，并让学生发表不同的意见，达成共识.二、思考探究，获取新知问题1你能说说二次函数y=x2的图象有哪些特征吗？不妨试试看，并与同伴交流.【教学说明】教师应在学生的交流过程中，听取他们各自的看法，对于通过观察而归纳出的结论叙述较好的给予肯定，对不够完整的或叙述欠佳的学生给予鼓励，并予以诱导.在这一活动过程中，让学生们逐步积累对二次函数y=ax2的图象及其简单性质的感性认识.问题2请在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并通过图象谈谈它们的特征及其差异.y=12x2与y=2x2.【教学说明】在这一活动过程中，教师可将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述.教师巡视，适时点拨，最后在黑板上与全班同学一起进行归纳总结.问题3（1）在同一直面坐标系中，画出函数y=-x2,y=-12x2,y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？（2）当a<0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？【教学说明】教师在处理问题时可让学生画图后回答，可让学生从开口方向、最值、增减性三个方面作答，最后教师以课件方式展示结论.【归纳结论】1.二次函数y=ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.2.二次函数y=ax2的图象及其性质，如下表所示：3.二次函数y=ax2的开口大小与a的关系：|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大.|a|值相同，开口形状相同.【教学说明】针对师生共同完成的归纳总结，教师应着重强调两点：（1）a 的符号决定着抛物线的开口方向，|a|的大小，影响抛物线的开口大小；（2）对于函数的增减性及最大（小）值，教师应引导学生通过图象进行分析，利用图象的直观性获得结论，切忌死记硬背，让同学感受到数形结合思想方法是函数问题中最重要的思想方法之一，增强他们的学习兴趣.三、运用新知，深化理解1.若抛物线y=ax2与y=4x2的形状及开口方向均相同，则a= .2.下列关于二次函数y=ax2(a≠0)的说法中，错误的是（）A.它的图象的顶点是原点B.当a<0，在x=0时，y取得最大值C.a 越大，图象开口越小;a 越小，图象开口越大D.当a>0，在x>0时，y 随x 的增大而增大3.请在同一坐标系中画出函数y 1=x 和y 2=-x 2的图象，结合图象，指出当x 取何值时，y 1>y 2；当x 取何值时，y 1<y 2.4.一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y 轴，且经过点（-1，14）. （1）求这个二次函数的解析式；（2）画出这个二次函数的图象；（3）根据图象指出，当x>0时，若x 增大，y 怎样变化？当x<0时，若x 增大，y 怎样变化？（4）当x 取何值时，y 有最大（或最小）值，其值为多少？【教学说明】本环节易采用先让学生独立思考，再以小组交流的方式展开.其中题2、3、4均是集图象与性质于一体，鼓励学生用自己的语言叙述，逐步渗透用数学语言进行说理的能力，同时进一步体现数形结合的思想.【答案】1.42.C 【解析】当a>0时，a 值越大，开口越小，a 值越小，开口越大；当a<0时，a 值越大，开口越大，a 值越小，开口越小.所以C 项说法不对.3.列表如下：如图所示：根据图象可知，当x>0或x<-1时，y1>y2,当-1<x<0时，y2>y1.4.解：（1）设这个二次函数解析式为y=ax2,将（-1，14）代入得a=14,所以y=14x2.(2)略(3)当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小.(4)当x=0时，y有最小值，y最小值=0.四、师生互动，课堂小结1.画二次函数y=ax2的图象时，有哪些地方是你需关注的？2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax2的性质的？3.本节课你还存在哪些疑问？【教学说明】问题1旨在提醒学生画图过程中列表时应以原点为中心，左右对称选取点，连线时应用光滑曲线连接；问题2是为了进一步突出数形结合思想在函数问题的解决过程中的重要性；而问题3是想了解学生哪部分没学好，难学，以便教师可以进行针对性辅导.1.布置作业：教材习题22.1第3、4、11题.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时的设计比较注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课的目的是要让学生通过动手操作，经历探索归纳的思维过程，逐步获得图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质1.能画出二次函数y=ax2+k的图象；2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系；3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质.4.通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象，感受它们与y=2x2的联系，并由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别.5.在通过类比的方法获取二次函数y=ax2+k的图象及其性质过程中，进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.【教学重点】1.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的联系；2.二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【教学难点】二次函数y=ax2+k的性质的基本应用.一、情境导入，初步认识问题1请同学们谈谈一次函数y=x与y=x+2的图象之间的关系；问题2同样地，你能猜想出二次函数y=x2与y=x2+1的图象之间有何关系吗？【教学说明】问题1既是复习旧知识，同时又为解决本节知识起到抛砖引玉的作用.学生的回答也许形式多样，教师适时诱导，并设疑，为后面的解惑作铺垫.二、思考探究，获取新知问题1在同一坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象.请观察图象，谈谈它们有哪些相同点和不同点，并指明这两个图象的关系如何？【教学说明】在学生自主操作时，教师应指导它们在画平面直角坐标系时的单位长度要稍大一些，如选取0.8cm或1cm为一个单位长度为好，这样学生们所画出的图形才有可能清晰些.教师应巡视，纠正画图过程中可能出现的失误，并引导他们进行分析，发现规律，获得感性认识.问题2（教材第33页练习）在同一直角坐标中，画出下列二次函数的图象y=12x2，y=12x2+2，y=12x2-2，观察三条抛物线的位置关系并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.你能说出抛物线y=12x2+k的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线y=12x2有什么关系？【教学说明】设计问题2，一方面进一步增强学生的画图能力，另一方面加深学生的感性认识，从而形成对二次函数y=ax2+k的图象及其性质的初步认识.同伴间应相互交流，教师巡视指导，然后完成课本第33页练习.【归纳结论】1.二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象通过上、下平移得到.2.y=ax2与y=ax2+k的性质如下：三、运用新知，深化理解1.抛物线y=3x2可以看作是抛物线y=3x2-4向平移得到的.2.已知抛物线y=ax2+k与抛物线y=-2x2的形状相同，且图象到x轴的最近点的距离为3，求a、k的值，并指出抛物线y=ax2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标.【教学说明】针对本节所学内容及学生掌握的情况，设计训练题1，2，目的是加深学生对新知识的理解，能灵活运用所学知识解决简单的问题.教师在这个过程中要予以诱导.【答案】略四、师生互动，课堂小结本环节师生共同回顾所学知识，如y=ax2+k的图象特征，函数的增减性等，并对可能出现的困难、疑问给予整理，进行辨析.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学重点在于培养学生的比较能力，旨在希望学生通过对比发现函数图象的性质，从而进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.第2课时二次函数y=a（x-h）2的图象和性质1.能画出二次函数y=a(x-h)2的图象；2.了解抛物线y=ax2与抛物线y=a(x-h)2的联系；3.掌握二次函数y=a(x-h)2的图象特征及其简单性质.4.通过动手操作、观察比较、分析思考、规律总结等活动过程完成对二次函数y=a(x-h)2的图象及其性质的认知.5.在学生学习活动过程中，使他们进一步体会数形结合的思想方法，培养创造性思维能力和动手实践能力，增强学习兴趣、激发学习欲望.【教学重点】1.掌握二次函数y=a(x-h)2的图象及性质；2.二次函数y=ax2与y=a(x-h)2图象之间的联系.【教学难点】利用二次函数y=a(x-h)2的性质解决实际问题.一、情境导入，初步认识我们知道，二次函数y=ax2-2的图象可以由函数y=ax2的图象向下平移得到，那么函数y=12(x-2)2的图象是否可以由函数y=12x2的图象经过平移而得到呢？二、思考探究，获取新知问题在同一坐标系中画出二次函数y=-12(x+1)2,y=-12(x-1)2的图象，指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；并结合图象，说说抛物线y=-12x2, y=-12(x+1)2,y=-12(x-1)2的关系.【教学说明】在教学过程中，学生独立思考后，合作完成.教师巡视指导，针对学生在画图、探究过程中可能出现的错误给予指正，对好的给予表扬，并展示其图象，在合作交流过程中探索出抛物线y=-12(x+1)2,y=-12(x-1)2与y=-12x2的联系.【归纳结论】函数y=ax2与y=a(x-h)2的图象及其性质如下表：三、运用新知，深化理解【设计说明】针对本节知识，设计了以下几道题，及时了解学生运用新知解决问题的能力，查漏补缺.1.抛物线y=3(x-3)2的开口方向是向，对称轴是，顶点是.2.若抛物线y=a(x-h)2的顶点是（-3，0），它是由抛物线y=-2x2通过平移而得到的，则a= ,h= .【教学说明】这两道题可采用抢答的形式来处理，可适当让学生说明其解题思路或依据.【答案】1.上x=3 (3,0)2.-2-3四、师生互动，课堂小结1.抛物线y=ax2与y=ax2+c和抛物线y=ax2与y=a(x-h)2有哪些共同点，又有哪些不同点？同伴间可相互交流.2.将抛物线y=ax2上下平移与左右平移所得到的表达式在形式上有何区别？3.课本第35页练习.【设计及教学说明】对所给两个问题的思考，让学生亲历知识的自主建构，不断完善自己的知识结构.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学仍在于着重培养学生的比较和判断能力，通过比较找出异同点，从而进一步归纳性质，并通过练习使学生从“练”中“悟”，形成函数意识.第3课时二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质1.会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象；2.掌握抛物线y=ax2与y=a(x-h)2+k之间的平移规律；3.依据具体问题情境建立二次函数y=a(x-h)2+k模型来解决实际问题.4.通过“活动探究——观察思考——运用迁移”等三个环节来获取新知识，掌握新技能，解决新问题.5.进一步培养学生观察能力、抽象概括能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，了解从特殊到一般的辩证关系.【教学重点】二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的图象及其性质.【教学难点】1.二次函数y=a(x-h)+k与y=ax2(a≠0)的图象之间的平移关系；2.通过对图象的观察，分析规律，归纳性质.一、情境导入，初步认识问题将抛物线y=-12x2向下平移1个单位，所得到的抛物线表达式是什么？若再将它向左平移1个单位呢？【教学说明】学生通过对前两节课所学习的上、下平移和左、右平移规律的回顾与思考，在尝试解决问题的过程中，可增强他们的学习兴趣，激发求知欲望，也为新知识的学习做好铺垫.学生们可相互交流，教师对其结论可暂不作评价.二、思考探究，获取新知问题1 画出二次函数y=-12(x+1)2-1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点坐标.问题2 请在问题1中所在的平面直角坐标系内，画出抛物线y=-12x2，及抛物线y=-12（x+1）2，y=-12x2-1,观察所得到的四个抛物线，你能发现什么？问题3请依据问题2中你的发现，说说抛物线y=a(x-h)2+k是由抛物线y=ax2(a ≠0)通过怎样的平移而得到的？并说说它的对称轴和顶点坐标.【教学说明】教师可给予15~20分钟的时间让学生自主探究，画出图象，并让学生们交流，获得感性认识.教师巡视，鼓励每个学生积极参与进来，针对个别同学，应适时予以点拨.如果条件允许，对学生的成果可通过多媒体展示.【归纳结论】1.一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的形状相同（因为a值相同），而位置不同.将抛物线y=ax2上下平移，可得到抛物线y=ax2+k(k ＞0时，向上平移k个单位；k＜0时，向下平移-k个单位)，再将抛物线y=ax2+k 左右平移后，可得到抛物线y=a(x-h)2+k（h＞0时，向右平移；h＜0时，向左平移）.2.抛物线y=a(x-h)2+k的性质：（1）a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；（2）对称轴是直线x=h；（3）顶点坐标是（h，k）.【教学说明】1.通过探究，师生共同交流，达成共识后，教师在黑板上与学生一道进行归纳，了解并掌握本课时知识.2.此时教师可对问题情境中的问题1作出评价，让学生体验成功的快乐.3.归纳结论完成后，教师引导学生做第37页练习，可让学生采取举手抢答的形式进行.三、典例精析，掌握新知例（教材第36页例4）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？解：如图建立直角坐标系，点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数是y=a(x-1)2+3（0≤x≤3）.由这段抛物线经过点（3，0）可得0=a(3-1)2+3,解得a=-34.因此y=-34(x-1)2+3（0≤x≤3）.当x=0时，y=2.25，也就是说，水管应长2.25m.【教学说明】教师讲解此例时，可向学生提问：（1）坐标系的原点为什么建立在池中心点？（2）自变量的取值范围为什么是0≤x≤3？（3）设函数解析式有什么诀窍？四、运用新知，深化理解【设计说明】针对本节所学知识，通过几道小题进行演练，巩固所学新知识，并依据学生的完成情况，教师可适时予以查漏补缺.1.抛物线y=-3(x+2)2-4的顶点坐标是，当x 时，函数值y随x的增大而增大.2.若抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点坐标为（1,0），则这条抛物线与x轴的另一个交点是.3.已知二次函数的图象顶点坐标为（-4，3），且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是.4.已知二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y=-12(x+1)2+3.（1）试确定a,h,k的值；（2）指出二次函数y=a(x-h)2+k图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.5.将抛物线y=2(x-1)2+3作下列移动，求得到的新抛物线的解析式.（1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位；（2）顶点不动，将原抛物线开口方向反向.【教学说明】第1，2题较为简单，可采用抢答形式来处理，第3小题应引导学生设出所求的二次函数表达式为y=a(x-h)2+k的形式，第4、5题为选做题，教师可根据教学实际选择做或不做.五、师生互动，课堂小结1.抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的特征有哪些？2.如果解抛物线的顶点坐标（或对称轴或最低点等），要想确定该抛物线表达式，如何设出这个表达式更有利于求解呢？【设计及教学说明】问题1侧重于所学知识回顾，而问题2侧重于应用，为后继学习做好铺垫.教学时，教师应予以评讲.1.布置作业：教材习题22.1第5题.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.前面的几个课时是从最基本的二次函数图象入手开始探索，已初步对二次函数的性质进行了归纳，因此本课时的内容算是对前面内容的小结.所以教学时教师应大胆放手让学生自主归纳与探究，教师给予引导和提示并让学生适时进行练习，以巩固所学，在这一过程中应注意渗透数形结合的思想方法.22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x-h)2+k的形式，以便确定它的对称轴和顶点坐标；2.会利用对称性画出二次函数的图象，掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的平移规律；3.会用公式确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴和顶点.4.通过思考、探索、尝试与归纳等过程，让学生能主动积极地探索新知.5.经历探求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的过程，感悟二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法，感受数学的对称美.【教学重点】用抛物线的对称轴画二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过配方确定抛物线的对称轴和顶点坐标.通过配方法将二次函数的一般形式化为顶点式，探索二次函数y=ax2+bx+c的平移变换.【教学难点】用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标.一、情境导入，初步认识问题1请说出抛物线y=ax2+k，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.问题2你知道二次函数y=12x2-6x+21的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标吗？【教学说明】问题1设计的目的既是对前面所学知识进行简单的回顾，又为本节知识的学习展示着方法和思路，学生处理起来较为简单，可采用抢答形式来处理.问题2设计的目的在于制造认知冲突，激发学生的求知欲望，学生在处理问题2时可能有些困难，教师适时诱导，引入新课.。
人教初中数学《第二十二章《二次函数(数学活动)》教学设计
二次函数一、内容和内容解析 1．内容利用二次函数解决具体数学问题． 2．内容解析二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，例如生活中涉及的求最大利润，最大面积等实际问题都与二次函数的最大(小)值有关．本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，运用有关结论解决相关的数学问题． 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用二次函数相关知识解决具体数学问题． 二、目标和目标解析 1．目标能够从数学问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决具体数学问题． 2．目标解析达成目标的标志是：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何从具体数学问题中抽象出二次函数模型，将已有知识综合运用来解决数学问题． 三、教学问题诊断分析学生在学习了一次函数和二次函数的图象与性质后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别函数的增减性和最值，但还是不能灵活运用数学知识．所以教学中教师要提醒学生理解题意并回忆每道题所涉及的知识点，引导学生利用二次函数的相关知识进行解决．基于以上分析，本节课的教学难点是：将具体数学问题转化为二次函数问题． 四、教学过程设计1．复习二次函数解决实际问题的方法问题1 解决二次函数实际问题你用到了什么知识？所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？师生活动：学生思考后回答，师生共同归纳：(1)由于抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是图象的最低(高)点，可得当x ＝－2b a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小(大)值244ac b a－；(2)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； (3)在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值．设计意图：培养学生归纳概括能力，并利用所学知识构建数学模型的能力．为本节课的内容进行准备．2．探究与二次函数有关的数学问题 教科书第54页，活动1(1)．问题2 如何利用二次函数的知识来解决？哪个量为自变量，哪个量为函数？师生活动：学生独立思考并进行小组讨论，在整个活动的描述中，个位上的数是变化的，而它的变化会使两个两位数的乘积发生相应的变化，所以个位上的数应该为自变量，而函数为乘积后的结果．师生共同总结后，列出二次函数解析式，并求出最大值．过程如下：(1)设第一个两位数的个位上的数为x ，则第二个两位数的个位上的数为(10－x )．两个两位y＝(90＋x)[90＋(10－x)]＝(90＋x)(100－x)＝－x2＋10x＋9000．即当x＝5时，95与95的乘积是最大值，最大值为9025．设计意图：通过分析题意，正确地表示出函数关系式，渗透函数思想．教科书第54页，活动1(2)．问题3 如何利用二次函数的知识来解决？哪个量为自变量，哪个量为函数？师生活动：学生独立思考并进行小组讨论，在整个活动的描述中，十位上的数与个位上的数组成的数是变化的，而它的变化会使两个三位数的乘积发生相应的变化，所以十位上的数与个位上的数组成的数为自变量，而函数为乘积后的结果．师生共同完成解题过程：(2)设第一个三位数的十位上的数与个位上的数组成的数为x，则第二个三位数的十位上的数与个位上的数组成的数为(100－x)．两个三位数的乘积y＝(900＋x)[900＋(100－x)]＝(900＋x)(1 000－x)＝－x2＋100x＋900 000．即当x＝50时，950与950的乘积是最大值，最大值为902500．设计意图：通过分析题意，正确地表示出函数关系式，渗透函数思想．教材第54页，活动2．问题4 你能根据题意画出曲线L吗？它是什么形状？师生活动：学生独立画图后小组讨论交流．教师在巡视时注意搜集学生画出的图象，尤其关注不同结果的小组，在展示时给予充分的时间，使学生在相互交流中加深对函数图象的认识．在共同讨论中确定这些点的连线是抛物线(图1)．图1教师追问：如何证明这条曲线就是抛物线呢？如何确定解析式呢？在坐标系中，如何能将横、纵坐标联系在一起呢？学生思考并相互补充，想到利用勾股定理来解决．师生共同梳理过程(图2)：过点A作AB⊥PM．在Rt△PAB中，有PB2＋AB2＝PA2．∴PA2＝(y－2)2＋x2．∴(y －2)2＋x 2＝y 2．整理，得y ＝241x ＋1．从而说明曲线L 是抛物线．图2设计意图：锻炼学生的动手操作能力，让学生体会数形结合思想和函数思想． 3．小结教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： (1)本节课学了哪些主要内容？(2)解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？ (3)学到了哪些思考问题的方法？设计意图：通过小结，让学生梳理本节课所学内容，加深对二次函数的认识，为熟练地应用知识解决数学问题提供方法． 4．布置作业教科书复习题22第9题． 五、目标检测设计1．如图，已知平行四边形ABCD 的周长为8 cm ，∠B ＝30°，边长AB ＝x cm ．(1)写出平行四边形ABCD 的面积y (单位：cm 2)与x 的函数关系式，并求自变量x 的取值范围． (2)当x 取什么值时，y 的值最大？并求最大值．设计意图：考查学生对本节课所学的内容的理解和掌握的程度．3．B 船位于A 船正东26 km 处，现在A ，B 两船同时出发，A 船以12 km/h 的速度朝正北方向行驶，B 船以5 km/h 的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？设计意图：考查学生对本节课所学的内容的理解和掌握的程度．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． （二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． （三）情感与价值观要求 通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备师：多媒体课件、投影仪； 生：硬纸、剪刀． 教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ [生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． [师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．（演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．[生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕．（演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．（投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习D CA BD CABDC A B（一）课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题． （二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．D C A BEDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ） A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ） A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50° 答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm ，则其腰长为（x+2）cm ，根据题意，得 2（x+2）+x=16．解得x=4．E DC A B P所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算：(1))1)(1(y x x y x y +--+ (2)22242)44122(aa a a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xy z y x ++⋅++)111( 2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案： 四、（1）2x （2）ba ab - （3）3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
人教版九年级上册第二十二章二次函数的概念、图像和性质(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax²+bx+c的表达式，其中a、b、c为常数，且a≠0。它是描述现实世界中许多曲线现象的重要数学工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析物体抛射的运动轨迹，了解二次函数在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
人教版九年级上册第二十二章二次函数的概念、图像和性质（教案）
一、教学内容
人教版九年级上册第二十二章“二次函数的概念、图像和性质”，本节课主要教学内容包括：
1.二次函数的定义：y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）；
2.二次函数的图像：抛物线，分为开口向上和开口向下两种情况；
3.二次函数的性质：
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数的定义和图像性质这两个重点。对于难点部分，如对称轴的推导和顶点坐标的计算，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如绘制不同参数的二次函数图像。这个操作将演示二次函数的基本原理。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数的概念、图像和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体抛射或曲线运动的情况？”（如抛球、拱桥等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
-通过绘制不同参数的二次函数图像，让学生掌握如何识别抛物线的开口方向、顶点位置等特征；
初中九年级数学上册《第二十二章 二次函数》大单元整体课时教学设计
初中九年级数学上册《第二十二章二次函数》大单元跨学科教学课时教学设计[2022课标]一、教学目标1.会用数学的眼光观察现实世界：通过本章《第二十二章二次函数》的学习，学生能够运用二次函数的知识观察体育与物理现象中的运动轨迹和变化规律，如铅球投掷的抛物线轨迹、竖直上抛运动中小球的高度变化等，从而发现数学与现实生活及学科的紧密联系。
2.会用数学的思维思考现实世界：学生能够运用二次函数的性质（如开口方向、顶点坐标、对称轴等）和解析式，分析体育和物理问题中的量化关系，如通过调整参数来优化运动效果或模拟实验现象，培养逻辑思维和问题解决能力。
3.会用数学的语言表达现实世界：学生能够将体育和物理中的问题抽象成二次函数模型，建立相应的数学表达式，并通过计算、推导和论证，用准确的数学语言描述和解释这些现象，最终得出科学结论。
二、教学内容分析本章主要探讨二次函数的定义、图象、性质以及应用，是初中数学知识体系中的重要组成部分。
从学科内部来看，二次函数的学习是在一次函数基础上的深化和拓展，通过本章的学习，学生能够理解并掌握二次函数的基本概念、图象特征以及增减性，为后续学习一元二次方程、二次不等式等内容打下坚实基础。
从跨学科角度来看，二次函数在体育、物理等领域有着广泛的应用。
在体育项目中，如投掷、跳跃等，运动员的运动轨迹往往可以抽象为二次函数图象，通过二次函数的解析式可以精确描述运动员的运动状态，为训练提供科学依据。
在物理学中，二次函数模型被广泛应用于描述抛体运动、振动等自然现象，有助于学生理解自然界中复杂运动的本质规律。
在本章的教学过程中，教师应注重引导学生将二次函数知识与实际问题相结合，通过跨学科的教学活动，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识和实践能力。
结合体育、物理等学科的实例，让学生深刻体会到数学知识在解决实际问题中的重要作用，提升数学学习的价值和意义。
三、教学重点1.理解并掌握二次函数的定义、图像及基本性质。
初中数学人教版九年级上册：第22章《二次函数》全章教案
初中数学人教版九年级上册实用资料第二十二章二次函数22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式．3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．重点二次函数的概念和解析式．难点本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力．一、创设情境，导入新课问题1现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系：(1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)；(2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元；(3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)．(一)教师组织合作学习活动：1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式．2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨．(1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000(3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提出各自看法．教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式．板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项．三、做一做1．下列函数中，哪些是二次函数？(1)y＝x2(2)y＝－1x2(3)y＝2x2－x－1(4)y＝x(1－x)(5)y＝(x－1)2－(x＋1)(x－1)2．分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)y＝x2＋1(2)y＝3x2＋7x－12(3)y＝2x(1－x)3．若函数y＝(m2－1)xm2－m为二次函数，则m的值为________．四、课堂小结反思提高，本节课你有什么收获？五、作业布置教材第41页第1，2题.22.1.2二次函数y＝ax2的图象和性质通过画图，了解二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上(或向下)，掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题．重点从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数y＝ax2的性质，掌握二次函数解析式y＝ax2与函数图象的内在关系．难点画二次函数y＝ax2的图象．一、引入新课1．下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？(1)y＝3x－1(2)y＝2x2＋7(3)y＝x－2(4)y＝3(x－1)2＋12．一次函数的图象，正比例函数的图象各是怎样的呢？它们各有什么特点，又有哪些性质呢？3．上节课我们学习了二次函数的概念，掌握了它的一般形式，这节课我们先来探究二次函数中最简单的y＝ax2的图象和性质．二、教学活动活动1：画函数y＝－x2的图象．(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)．(2)提出问题：它的形状类似于什么？(3)引出一般概念：抛物线，抛物线的对称轴、顶点．活动2：在坐标纸上画函数y＝－0.5x2，y＝－2x2的图象．(1)教师巡视，展示学生的作品并进行点拨；教师再用多媒体课件展示正确的画图过程．(2)引导学生观察二次函数y＝－0.5x2，y＝－2x2与函数y＝－x2的图象，提出问题：它们有什么共同点和不同点？(3)归纳总结：共同点：①它们都是抛物线；②除顶点外都处于x轴的下方；③开口向下；④对称轴是y轴；⑤顶点都是原点(0，0)．不同点：开口大小不同．(4)教师强调指出：这三个特殊的二次函数y＝ax2是当a＜0时的情况．系数a越大，抛物线开口越大．活动3：在同一个直角坐标系中画函数y＝x2，y＝0.5x2，y＝2x2的图象．类似活动2：让学生归纳总结出这些图象的共同点和不同点，再进一步提炼出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质图象(草图) 开口方向顶点对称轴最高或最低点最值a＞0当x＝____时，y有最____值，是________.a＜0当x＝____时，y有最____值，是________.活动4：达标检测(1)函数y＝－8x2的图象开口向________，顶点是________，对称轴是________，当x________时，y随x的增大而减小．(2)二次函数y＝(2k－5)x2的图象如图所示，则k的取值范围为________．(3)如图，①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接________．答案：(1)下，(0，0)，x＝0，＞0；(2)k＞2.5；(3)a＞b＞d＞c.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．二次函数的图象都是抛物线．2．二次函数y＝ax2的图象性质：(1)抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．(2)当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点；|a|越大，抛物线的开口越小．作业布置教材第32页练习．22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质1．经历二次函数图象平移的过程；理解函数图象平移的意义．2．了解y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k三类二次函数图象之间的关系．3．会从图象的平移变换的角度认识y＝a(x－h)2＋k型二次函数的图象特征．重点从图象的平移变换的角度认识y＝a(x－h)2＋k型二次函数的图象特征．难点对于平移变换的理解和确定，学生较难理解．一、复习引入二次函数y＝ax2的图象和特征：1．名称________；2.顶点坐标________；3.对称轴________；4.当a＞0时，抛物线的开口向________，顶点是抛物线上的最________点，图象在x轴的________(除顶点外)；当a＜0时，抛物线的开口向________，顶点是抛物线上的最________点，图象在x轴的________(除顶点外)．二、合作学习在同一坐标系中画出函数y＝12x2，y＝12(x＋2)2，y＝12(x－2)2的图象．(1)请比较这三个函数图象有什么共同特征？(2)顶点和对称轴有什么关系？(3)图象之间的位置能否通过适当的变换得到？(4)由此，你发现了什么？三、探究二次函数y ＝ax 2和y ＝a(x －h)2图象之间的关系1．结合学生所画图象，引导学生观察y ＝12(x ＋2)2与y ＝12x 2的图象位置关系，直观得出y ＝12x 2的图象――→向左平移两个单位y ＝12(x ＋2)2的图象．教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系，如： (0，0)――→向左平移两个单位(－2，0)； (2，2)――→向左平移两个单位(0，2)； (－2，2)――→向左平移两个单位(－4，2)．②也可以把这些对应点在图象上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程． 2．用同样的方法得出y ＝12x 2的图象――→向右平移两个单位y ＝12(x －2)2的图象．3．请你总结二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质．y ＝ax 2(a ≠0)的图象――→当h ＞0时，向右平移h 个单位当h ＜0时，向左平移|h|个单位y ＝a(x －h)2的图象． 函数y ＝a(x －h)2的图象的顶点坐标是(h ，0)，对称轴是直线x ＝h.4．做一做 (1)(2)填空：①抛物线y ＝2x 2向________平移________个单位可得到y ＝2(x ＋1)2；②函数y ＝－5(x －4)2的图象可以由抛物线________向________平移________个单位而得到．四、探究二次函数y ＝a(x －h)2＋k 和y ＝ax 2图象之间的关系1．在上面的平面直角坐标系中画出二次函数y ＝12(x ＋2)2＋3的图象．首先引导学生观察比较y ＝12(x ＋2)2与y ＝12(x ＋2)2＋3的图象关系，直观得出：y ＝12(x＋2)2的图象――→向上平移3个单位y ＝12(x ＋2)2＋3的图象．(结合多媒体演示) 再引导学生观察刚才得到的y ＝12x 2的图象与y ＝12(x ＋2)2的图象之间的位置关系，由此得出：只要把抛物线y ＝12x 2先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得到函数y＝12(x ＋2)2＋3的图象． 2．做一做：请填写下表：函数解析式 图象的对称轴图象的顶点坐标y ＝12x 2 y ＝12(x ＋2)2 y ＝12(x ＋2)2＋33.总结y ＝a(x －h)2＋k 的图象和y ＝ax 2图象的关系y ＝ax 2(a ≠0)的图象――→当h ＞0时，向右平移h 个单位当h ＜0时，向左平移|h|个单位y ＝a(x －h)2的图象――→当k ＞0时，向上平移k 个单位当k ＜0时，向下平移|k|个单位y ＝a(x －h)2＋k 的图象．y ＝a(x －h)2＋k 的图象的对称轴是直线x ＝h ，顶点坐标是(h ，k)． 口诀：(h ，k)正负左右上下移(h 左加右减，k 上加下减)从二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象可以看出：如果a ＞0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大；如果a ＜0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小．4．练习：课本第37页 练习五、课堂小结1．函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和函数y ＝ax 2图象之间的关系．2．函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质． 六、作业布置教材第41页 第5题22.1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质(2课时)第1课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质1．掌握用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象．2．掌握用图象或通过配方确定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质．重点通过图象和配方描述二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质． 难点理解二次函数一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的配方过程，发现并总结y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝a(x －h)2＋k 的内在关系．一、导入新课1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，可以由函数y＝ax2的图象先向________平移________个单位，再向________平移________个单位得到．2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向________，对称轴是________，顶点坐标是________．3．二次函数y＝12x2－6x＋21，你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？二、教学活动活动1：通过配方，确定抛物线y＝12x2－6x＋21的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．(1)多媒体展示画法(列表，描点，连线)；(2)提出问题：它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？(3)引导学生合作、讨论观察图象：在对称轴的左右两侧，抛物线从左往右的变化趋势．活动2：1.不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋2x－3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？2．你能画出函数y＝－x2＋2x－3的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；(2)抽一位或两位同学板演，学生自纠，老师点评；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？活动3：对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？(1)组织学生分组讨论，教师巡视；(2)各组选派代表发言，全班交流，达成共识，抽学生板演配方过程；教师课件展示二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)和y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象．(3)引导学生观察二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，在对称轴的左右两侧，y随x 的增大有什么变化规律？(4)引导学生归纳总结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质．活动4：已知抛物线y＝x2－2ax＋9的顶点在坐标轴上，求a的值．活动5：检测反馈1．填空：(1)抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是________；(2)抛物线y＝2x2－2x－1的开口________，对称轴是________；(3)二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝________.2．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)y＝3x2＋2x；(2)y＝－2x2＋8x－8.3．求二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，并说出该图象具有哪些性质．4．抛物线y＝ax2＋2x＋c的顶点是(－1，2)，则a，c的值分别是多少？答案：1.(1)(1，1)；(2)向上，x＝12；(3)－1；2.(1)开口向上，x＝－13，(－13，－13)；(2)开口向下，x＝2，(2，0)；3.对称轴x＝－1，当m＞0时，开口向上，顶点坐标是(－1，3－m)；4.a＝1，c＝3.三、课堂小结与作业布置课堂小结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质．作业布置教材第41页第6题．第2课时用待定系数法求二次函数的解析式1．掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式．2．能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减性．3．能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上观察出函数的一些性质．重点二次函数的解析式和利用函数的图象观察性质．难点利用图象观察性质．一、复习引入1．抛物线y＝－2(x＋4)2－5的顶点坐标是________，对称轴是________，在________________侧，即x________－4时，y随着x的增大而增大；在________________侧，即x________－4时，y随着x的增大而减小；当x＝________时，函数y最________值是________．2．抛物线y＝2(x－3)2＋6的顶点坐标是________，对称轴是________，在________________侧，即x________3时，y随着x的增大而增大；在________________侧，即x________3时，y随着x的增大而减小；当x＝________时，函数y最________值是________．二、例题讲解例1根据下列条件求二次函数的解析式：(1)函数图象经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－2)；(2)函数图象的顶点坐标是(2，4)，且经过点(0，1)；(3)函数图象的对称轴是直线x＝3，且图象经过点(1，0)和(5，0)．说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件．一般来说：任意给定抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标(或对称轴或最值)及另一个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与x轴的两个交点坐标，则用分解式较为快捷．例2已知函数y＝x2－2x－3，(1)把它写成y＝a(x－h)2＋k的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？(2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；(3)求出图象与坐标轴的交点坐标；(4)画出函数图象的草图；(5)设图象交x轴于A，B两点，交y轴于P点，求△APB的面积；(6)根据图象草图，说出x取哪些值时，①y＝0；②y<0；③y>0?说明：(1)对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化；(2)利用函数图象判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图象，要使y<0，其对应的图象应在x轴的下方，自变量x就有相应的取值范围．例3二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则：a________0；b________0；c________0；b2－4ac________0.说明：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数a，b，c的符号的关系：系数的符号图象特征a的符号a>0 抛物线开口向____a<0 抛物线开口向____的符号－b2a－b2a>0 抛物线对称轴在y轴的____侧b＝0 抛物线对称轴是____轴－b2a<0 抛物线对称轴在y轴的____侧c的符号c>0 抛物线与y轴交于____c＝0 抛物线与y轴交于____c<0 抛物线与y轴交于____三、课堂小结本节课你学到了什么？四、作业布置教材第40页练习1，2.22.2二次函数与一元二次方程1．总结出二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．3．会用计算方法估计一元二次方程的根．重点方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．难点二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．一、复习引入1．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口由什么决定呢？补充：当a的绝对值相等时，其形状完全相同，当a的绝对值越大，则开口越小，反之成立．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质：(1)顶点坐标与对称轴；(2)位置与开口方向；(3)增减性与最值．当a＞0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当x＝－b2a时，函数y有最小值4ac－b24a.当a＜0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小；当x＝－b2a时，函数y有最大值4ac－b24a.二、新课教学探索二次函数与一元二次方程：二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示．(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？验证一下一元二次方程x2－2x ＋2＝0有根吗？(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？归纳：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：①有两个交点，②有一个交点，③没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0＝ax2＋bx＋c的两个根x1与x2；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2－4ac＜0时，抛物线与x 轴没有交点．举例：求二次函数图象y ＝x 2－3x ＋2与x 轴的交点A ，B 的坐标．结论：方程x 2－3x ＋2＝0的解就是抛物线y ＝x 2－3x ＋2与x 轴的两个交点的横坐标．因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的．即：若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1，x 2，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标分别是A(x 1，0)，B(x 2，0)．例1 已知函数y ＝－12x 2－7x ＋152，(1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y 轴的交点关于图象对称轴的对称点，然后画出函数图象的草图；(2)自变量x 在什么范围内时，y 随着x 的增大而增大？何时y 随着x 的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值．三、巩固练习请完成课本练习：第47页1，2四、课堂小结二次函数与一元二次方程根的情况的关系． 五、作业布置教材第47页 第3，4，5，6题.22.3 实际问题与二次函数(2课时)第1课时 用二次函数解决利润等代数问题能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．利用二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．重点把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题． 难点1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型． 2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．一、复习旧知，引入新课1．二次函数常见的形式有哪几种？二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象的顶点坐标是________，对称轴是________；二次函数的图象是一条________，当a ＞0时，图象开口向________，当a ＜0时，图象开口向________．2．二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢？二、教学活动活动1：问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球的运动时间t(单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t ≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？活动2：问题：某商场的一批衬衣现在的售价是60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该衬衣的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？1．问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？2．如果你是老板，你会怎样定价？3．以下问题提示，意在降低题目梯度，提示考虑x的取值范围．(1)若设每件衬衣涨价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期少卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？(2)若设每件衬衣降价x元，获得的利润为y元，则定价为________元，每件利润为________元，每星期多卖________件，实际卖出________件．所以y＝________.何时有最大利润，最大利润为多少元？根据两种定价可能，让学生自愿分成两组，分别计算各自的最大利润；老师巡视，及时发现学生在解答过程中的不足，加以辅导；最后展示学生的解答过程，教师与学生共同评析．活动3：达标检测某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？答案：(1)y＝－x＋180；(2)w＝(x－100)y＝－(x－140)2＋1 600，当售价定为140元，w 最大为1 600元．三、课堂小结与作业布置课堂小结通过本节课的学习，大家有什么新的收获和体会？尤其是数形结合方面你有什么新的体会？作业布置教材第51～52页习题第1～3题，第8题．第2课时二次函数与几何综合运用能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型．重点应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题．难点函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．一、引入新课上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共同研究二次函数与几何的综合应用． 二、教学过程问题1：教材第49页探究1.用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 为多少米时，场地的面积S 最大？分析：提问1：矩形面积公式是什么？ 提问2：如何用l 表示另一边？提问3：面积S 的函数关系式是什么？问题2：如图，用一段长为60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m ，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？分析：提问1：问题2与问题1有什么不同？提问2：我们可以设面积为S ，如何设自变量？提问3：面积S 的函数关系式是什么？答案：设垂直于墙的边长为x 米，S ＝x(60－2x)＝－2x 2＋60x.提问4：如何求解自变量x 的取值范围？墙长32 m 对此题有什么作用？ 答案：0＜60－2x ≤32，即14≤x ＜30.提问5：如何求最值？答案：x ＝－b 2a ＝－602×（－2）＝15时，S max ＝450.问题3：将问题2中“墙长为32 m ”改为“墙长为18 m ”，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？提问1：问题3与问题2有什么异同？提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？提问3：可否试设与墙平行的一边为x 米？则如何表示另一边？答案：设矩形面积为S m 2，与墙平行的一边为x 米，则S ＝60－x 2·x ＝－x 22＋30x.提问4：当x ＝30时，S 取最大值．此结论是否正确？提问5：如何求自变量的取值范围？答案：0＜x ≤18.提问6：如何求最值？答案：由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当x ＝18时，S max ＝378. 小结：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．三、回归教材阅读教材第51页的探究3，讨论有没有其他“建系”的方法？哪种“建系”更有利于题目的解答？四、基础练习1．教材第51页的探究3，教材第57页第7题．2．阅读教材第52～54页．五、课堂小结与作业布置课堂小结1．利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题．2．实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处．作业布置教材第52页习题第4～7题，第9题．。
人教版九上数学第22章二次函数教案
，结果精确到0.1 m 2） ax 2的图像，理解抛物线的有关概念的性质，能确定二次函数 y ＝ax 通过画具体的简单二次函数的图像，探索出二次函数 y ＝2图像性质的过程，培养学生观察、思考、归纳（第2题）在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次（按x由小到大）连结各点（连线），得到函数y＝x2的图象，如图所示．提问：通过画图和观察图象，你能发现图象有什么特征？像这样的曲线通常叫做抛物线．（二次函数的图象←→抛物线）它有一条对称轴，（对称轴是y轴或直线x=0）抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．（抛物线上最高或最低点←→二次函数的最大值或最小值）做一做（1）在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？（2）在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2、y＝－2x2的图象．观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？（3）将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？概括函数 y＝ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称．它的顶点坐标是（0，0）．当a＞0时，抛物线y＝ax2开口向上．在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．顶点是抛物线上位置最低的点．即函数y＝ax2的性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；当x＝0时，函数 y＝ax2取得最小值，最小值y＝0．当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2开口向____．在对称轴的左边，曲线自左向右____；在对称轴的右边，曲线自左向右____．顶点是抛物线上位置的最___点． 当x ＝______时，函数 y ＝ax 2取得最______值，最值y ＝______． 即函数y ＝ax 2的性质：当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而______；当x ＞0时，函数值y 随x 的增大而______；当x ＝0时，函数 y ＝ax 2 取得最______值，最值y ＝______．练 习1、不画图象，说出抛物线y ＝－4x 2和y ＝41x 2的对称轴、顶点坐标、开口方向和最值以及取得最值时自变量的值。
人教版九年级上册数学22章二次函数教案
第二十二章 二次函数 22．1 二次函数的图象和性质22．1.1 二次函数1．能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．▲重点结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念． ▲难点1．能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系． 2．重视二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中a ≠0这一隐含条件．◆活动1 新课导入1．一次函数的一般形式：__y ＝kx ＋b(k ≠0)__． 2．正比例函数的一般形式：__y ＝kx(k ≠0)__．3．想一想：正方体六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 之间有什么关系呢？通过本节课的学习我们将能知道y 与x 的关系，并能用式子把它们之间的关系表达出来，下面就让我们进入本节课的学习．◆活动2 探究新知 1．教材P 28 问题1. 提出问题：(1)“n 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛”，比赛的总场次是n(n －1)场，还是12n(n －1)场，为什么？(2)式子m ＝12n 2－12n ，m 是n 的函数吗？为什么？学生完成并交流展示． 2．教材P 28 问题2. 提出问题：(1)问题中前后两年的产量间存在怎样的关系？(2)原产量为20 t ，一年后的产量是多少？两年后的产量是多少？ (3)对式子y ＝20(1＋x)2，y 是x 的函数吗？(4)教材中的函数①，②，③有什么共同特征？它们是一次函数吗？它们应该属于几次函数？ 学生完成并交流展示． ◆活动3 知识归纳我们把形如y ＝__ax 2＋bx ＋c__(其中a ，b ，c 是常数，且a ≠0)的函数叫做二次函数．其中x 是自变量，a 为__二次项系数__，b 为__一次项系数__，c 为__常数项__．强调以下几个问题：(1)关于自变量x 的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；(2)二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件．若a＝0，b≠0，则它是一次函数．◆活动4例题与练习例1判断函数y＝(x－2)(3－x)是否为二次函数？若是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由．解：y＝(x－2)(3－x)＝－x2＋5x－6，它是二次函数，它的二次项系数为－1，一次项系数为5，常数项为－6.例2已知函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5(m是常数)，当m为何值时：(1)函数是一次函数？(2)函数是二次函数？解：(1)当m＝－3时，函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5是一次函数；(2)当m≠±3时，函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5是二次函数．例3某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围．解：降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)件，则y＝(13.5－2.5－x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5 500(0＜x≤11)．练习1．教材P29练习第1，2题．2．下列说法中，不正确的是(D)A．二次函数中，自变量的取值范围一般是全体实数B．在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数C．y＝13(x＋1)(2x－1)是二次函数D．在函数y＝2－3x2中，一次项系数为23．已知二次函数y＝1－2x－x2，其中二次项系数a＝__－1__，一次项系数b＝__－2__，常数项c＝__1__．4．已知两个变量x，y之间的关系为y＝(m－2)xm2－2＋x－1，若x，y之间是二次函数关系，求m的值．解：根据题意，得m2－2＝2且m－2≠0，解得m＝－2，即m的值为－2.◆活动5完成《名师测控》随堂反馈手册◆活动6课堂小结1．请叙述二次函数的定义及一般形式．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：①解析式为整式；②自变量的最高次数为2；③二次项的系数不为0. 3．自变量x的取值范围为全体实数．1．作业布置(1)教材P41习题22.1第1，2题；(2)《名师测控》对应课时练习．2．教学反思22.1.2二次函数y＝ax2的图象和性质1．会用描点法画二次函数y＝ax2的图象，理解抛物线的有关概念．2．掌握二次函数y＝ax2的性质，能确定二次函数y＝ax2的解析式．3．经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理．▲重点1．二次函数y＝ax2的图象的画法及性质．2．能确定二次函数y＝ax2的解析式．▲难点1．用描点法画二次函数y＝ax2的图象，探索其性质．2．能运用二次函数y＝ax2的有关性质解决问题．◆活动1新课导入1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是__一条经过(0，b)的直线__．特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是__过原点的直线__．2．描点法画出一次函数的步骤：分别为__列表__、__描点__、__连线__三个步骤．3．我们把形如__y＝ax2＋bx＋c(a≠0)__的函数叫做二次函数．◆活动2探究新知1．教材P29～30.提出问题：(1)同学们回想一下，一次函数的性质是怎样研究的？我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？(2)对函数y＝x2，请完成下表：x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x2……(3)请描绘出表中各点，画出y＝x2的图象；(4)你能说说二次函数y＝x2的图象有哪些特征吗？学生完成并交流展示．2．教材P30例1.提出问题：(1)你能在同一直角坐标中画出函数y＝12x2与y＝2x2的图象吗？请完成下表并描点，进而画出各函数图象；x …－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …y＝12x2……x …－2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 …y＝2x2……(2)观察所画出的图象，它们有哪些共同点和不同点？(3)你能由此猜想并归纳出当a＞0时，y＝ax2的图象和性质吗？学生完成并交流展示．3．教材P31探究．提出问题：(1)你能在同一直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－12x2，y＝－2x2的图象吗？请同学们在草稿纸上尝试画出它们的图象；(2)你画出的图象与图22.1－5中的图象相同吗？仔细观察你所画出的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点？(3)你能总结归纳出当a＜0时，y＝ax2的图象和性质吗？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．二次函数y＝ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫做抛物线y＝ax2＋bx＋c.2．一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是__y轴__，顶点是__(0，0)__．当a＞0时，抛物线的开口__向上__，顶点是抛物线的最__低__点，|a|越大，抛物线的开口__越小__；在对称轴的左侧，y随x的增大而__减小__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__增大__．当a＜0时，抛物线的开口向__下__，顶点是抛物线的最__高__点，|a|越大，抛物线的开口越__小__；在对称轴的左侧，y随x的增大而__增大__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__减小__．◆活动4例题与练习例1已知函数y＝(m＋2)xm2＋2m－6是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m为何值时，此函数图象的顶点为最低点？(3)当m为何值时，此函数图象的顶点为最高点？解：(1)m＋2≠0，m2＋2m－6＝2，解得m1＝2，m2＝－4，∴m的值为2或－4；(2)若函数图象有最低点，则抛物线的开口向上，∴m＋2＞0，解得m＞－2，∴m＝2；(3)若函数图象有最高点，则抛物线的开口向下，∴m＋2＜0，解得m＜－2，∴m＝－4.例2二次函数y＝ax2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m)．(1)求a，m的值；(2)写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？解：(1)将点P(1，m)代入y＝2x－1，得m＝2×1－1＝1，∴点P的坐标为(1，1)．将点P(1，1)代入y＝ax2，得1＝a×12，解得a＝1；(2)二次函数的解析式为y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大．练习1．教材P32练习．2．抛物线y＝3x2的开口向__上__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，0)__；抛物线y＝－14x2的开口向__下__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，0)__．3．抛物线y＝－x2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，若x1＜x2＜0，则y1__＜__y2.4．若点(x1，5)和点(x2，5)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当y＝x1＋x2时，y的值是__0__．◆活动5完成《名师测控》随堂反馈手册◆活动6课堂小结1．如何画出函数y＝ax2的图象？2．函数y＝ax2具有哪些性质？1．作业布置(1)教材P41习题22.1第3，4题；(2)《名师测控》对应课时练习．2．教学反思22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质1．能画出二次函数y＝ax2＋k的图象．2．掌握二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的图象之间的联系．3．掌握二次函数y＝ax2＋k的图象及其性质．▲重点1．二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的图象之间的联系．2．二次函数y＝ax2＋k的图象及其性质．▲难点二次函数y＝ax2＋k的性质的基本应用．◆活动1新课导入1．画函数图象利用描点法，其步骤为__列表__、__描点__、__连线__．2．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条__抛物线__，当a>0时，它的开口向__上__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，0)__；在对称轴的左侧，y随x的增大而__减小__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__增大__；当x＝__0__时，y取最__小__值．当a<0时又会有什么变化呢？◆活动2探究新知教材P32例2.提出问题：(1)观察图22.1－6，图中红色、蓝色抛物线分别是哪一个函数的图象？中间黑色虚线抛物线又是哪一个函数的图象？(2)学生们观察图象，回答：①抛物线y＝2x2＋1与y＝2x2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？②抛物线y＝2x2＋1，y＝2x2－1与抛物线y＝2x2有什么位置关系？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k的区别和联系：函数解析式顶点坐标对称轴开口方向增减性y＝ax2(a≠0) (0，0)y轴当a＞0时，抛物线开口向__上__；当a＜0时，抛物线开口向__下__.当a＞0时，在对称轴左侧，y随x的增大而__减小__，在对称轴右侧，y随x的增大而__增大__；当a＜0时，在对称轴左侧，y随x的增大而__增大__，在对称轴右侧，y随x的增大而__减小__.y＝ax2＋k(a≠0) (0，k)2.二次函数y＝ax2＋k的图象可由抛物线y＝ax2的图象向上或向下平移__|k|__个单位长度得到．当k＞0时，抛物线y＝ax2向__上__平移__k__个单位长度得到抛物线y＝ax2＋k；当k＜0时，抛物线y＝ax2向__下__平移__－k __个单位长度得到抛物线y ＝ax 2＋k.◆活动4 例题与练习例1 指出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值． (1)y ＝－13x 2＋4；(2)y ＝2x 2－3.解：(1)y ＝－13x 2＋4的图象开口向下，对称轴是y 轴，顶点坐标为(0，4)，当x ＝0时，有最大值y ＝4；(2)y＝2x 2－3的图象开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为(0，－3)，当 x ＝0时，有最小值y ＝－3.例2 直接写出符合下列条件的抛物线y ＝ax 2－1的函数解析式： (1)经过点(－3，2)；(2)与y ＝12x 2的开口大小相同，方向相反；(3)当x 的值由0增加到2时，函数值减少4. 解：(1)y ＝13x 2－1；(2)y ＝－12x 2－1；(3)y ＝－x 2－1.例3 能否适当地上下平移抛物线y ＝15x 2，使得到的新图象经过点(5，－2)？若能，请你求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．解：设平移y ＝15x 2的图象后经过点(5，－2)的图象的函数解析式为y ＝15x 2＋k ，则有－2＝15×52＋k ，解得k ＝－7，故经过点(5，－2)的函数解析式为 y ＝15x 2－7，即把抛物线y ＝15x 2向下平移7个单位长度．练习1．教材P 33 练习．2．对于二次函数y ＝－35x 2＋3，下列说法中错误的是( B )A ．最大值为3B ．图象与y 轴没有交点C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大D ．其图象关于y 轴对称3．已知抛物线y ＝4x 2＋2上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且x 1＜x 2＜0，则y 1与y 2的大小关系是( C ) A ．y 1＜y 2 B ．y 1＝y 2 C ．y 1＞y 2 D ．无法确定4．抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移2个单位长度得到抛物线y ＝－3x 2＋2，则a ＝__－3__，c ＝__4__． ◆活动5 完成《名师测控》随堂反馈手册 ◆活动6 课堂小结1．二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质．2．二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与二次函数y ＝ax 2的图象之间的关系．1．作业布置(1)教材P 41 习题22.1第5题(1)； (2)《名师测控》对应课时练习．2．教学反思第2课时 二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质1．能画出二次函数y ＝a(x －h)2的图象．2．了解抛物线y ＝ax 2与抛物线y ＝a(x －h)2的联系． 3．掌握二次函数y ＝a(x －h)2的图象特征及其简单性质．▲重点1．掌握二次函数y ＝a(x －h)2的图象及性质．2．二次函数y ＝ax 2与y ＝a(x －h)2的图象之间的联系． ▲难点运用二次函数y ＝a(x －h)2的性质解决实际问题．◆活动1 新课导入1．画函数图象利用描点法，其步骤为__列表__、__描点__、__连线__．2．二次函数y ＝x 2＋3的图象是一条__抛物线__，它的开口向__上__，对称轴是__y 轴__，顶点坐标是__(0，3)__；在对称轴的左侧，y 随x 的增大而__减小__，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而__增大__；当x ＝__0__时，y 取最__小__值．◆活动2 探究新知 1．教材P 33 探究． 提出问题：(1)抛物线y ＝－12(x ＋1)2与y ＝－12(x －1)2的开口方向、对称轴、顶点坐标各是什么？两抛物线的开口大小有什么关系？(2)抛物线y ＝－12(x ＋1)2与y ＝－12(x －1)2之间有什么关系？学生完成并交流展示．2．若抛物线y ＝a(x －h)2的顶点是(－3，0)，它是由抛物线y ＝－2x 2平移得到的，则a ，h 的值各是多少？ 学生完成并交流展示． ◆活动3 知识归纳1．二次函数y ＝a(x －h)2(a ≠0)的图象性质：开口方向：当a>0时，开口向__上__，当a<0时，开口向__下__；顶点是__(h ，0)__，对称轴是__x ＝h__；最值：当a>0时，有__最小值y ＝0__，当a<0时，有__最大值y ＝0__；增减性：当a>0且x>h 时，y 随x 的增大而__增大__，x<h 时，y 随x 的增大而__减小__；当a<0且x>h 时，y 随x 的增大而__减小__，x<h 时，y 随x 的增大而__增大__．2．y ＝ax 2和y ＝a(x －h)2的图象有如下关系： y ＝ax 2――→h>0，向右平移 h 个单位h<0，向左平移 |h| 个单位y ＝a(x －h)2.3．由抛物线y ＝ax 2的图象通过平移得到y ＝a(x －h)2的图象，左右平移的规律是(四字口诀)__左加右减__． 4．对于二次函数的图象，只要|a|相等，则它们的形状__相同__，只是__开口方向__不同，且|a|越大，开口__越小__．◆活动4 例题与练习例1 试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝15x 2得到抛物线y ＝15(x ＋4)2和y ＝15(x －4)2.解：将抛物线y ＝15x 2向左平移4个单位长度得到抛物线y ＝15(x ＋4)2，向右平移4个单位长度得到抛物线y ＝15(x －4)2. 例2 已知二次函数y ＝a(x －h)2，当x ＝2时有最大值，且此函数的图象经过点(1，－3)，求此二次函数的解析式，并指出当x 为何值时，y 随x 的增大而增大．解：依题意，得h ＝2，∴y ＝a(x －2)2.∵点(1，－3)在抛物线上，∴a ＝－3，∴y ＝－3(x －2)2，当x ＜2时，y 随x 的增大而增大．练习1．教材P 35 练习．2．在下列二次函数中，其图象对称轴为x ＝－2的是( A ) A ．y ＝(x ＋2)2 B ．y ＝2x 2－2 C ．y ＝－2x 2－2 D ．y ＝2(x －2)23．已知点A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(3，y 3)三点都在抛物线y ＝－13(x ＋2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为__y 3＜y 1＜y 2__．4．已知一抛物线与抛物线y ＝－12x 2＋3的形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(－5，0)，根据以上特点，试写出该抛物线的解析式．解：∵所求的抛物线与抛物线y ＝－12x 2＋3的形状相同，开口方向相反，∴其二次项系数是12.又∵顶点坐标是(－5，0)，∴所求抛物线的解析式为y ＝12(x ＋5)2.◆活动5 完成《名师测控》随堂反馈手册 ◆活动6 课堂小结1．二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质．2．二次函数y ＝a(x －h)2的图象和二次函数y ＝ax 2的图象之间的关系．1．作业布置(1)教材P 41 习题22.1第5题(2)； (2)《名师测控》对应课时练习． 2．教学反思第3课时 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质1．会用描点法画出二次函数y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)的图象． 2．掌握抛物线y ＝ax 2与y ＝a(x －h)2＋k 之间的平移规律．3．依据具体问题情境建立二次函数y ＝a(x －h)2＋k 模型来解决实际问题．▲重点二次函数y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)的图象及其性质． ▲难点1．二次函数y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2(a ≠0)的图象之间的平移关系． 2．通过对图象的观察，分析规律，归纳性质．◆活动1 新课导入 1．填空：函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 y ＝2x 2 向上 y 轴或x ＝0 (0，0) 最小值0 y ＝－x 2＋2 向下 y 轴或x ＝0 (0，2) 最大值2 y ＝3x 2－5 向上 y 轴或x ＝0 (0，－5) 最小值－5 y ＝0.5(x －6)2 向上 x ＝6 (6，0) 最小值0 y ＝－8(x ＋4)2向下x ＝－4(－4，0)最大值02.把抛物线y ＝－2x 2向左平移1个单位长度得到的抛物线是( A ) A ．y ＝－2(x ＋1)2 B ．y ＝－2(x －1)2 C ．y ＝－2x 2＋1 D ．y ＝－2x 2－1 ◆活动2 探究新知 1．教材P 35 例3. 提出问题：(1)函数y ＝－12(x ＋1)2－1的图象与函数y ＝－12x 2的图象有什么关系？函数y ＝－12(x ＋1)2－1有哪些性质？(2)请在坐标系中画出函数y ＝－12(x ＋1)2－1的图象，并将它与函数y ＝－12x 2和y ＝－12x 2－1的图象作比较，抛物线y ＝－12(x ＋1)2－1可以由抛物线y ＝－12x 2经过怎样的变换得到？根据图象，你能指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？(3)请依据上述问题中的发现，说说抛物线y ＝a(x －h)2＋k 是由抛物线y ＝ax 2(a ≠0)通过怎样的平移而得到的？你能由此归纳出y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)的图象的性质吗？学生完成并交流展示．2．已知点A(1，y 1)，B(－2，y 2)，C(－2，y 3)在函数y ＝a(x ＋1)2＋k(a ＞0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是什么？学生完成并交流展示．◆活动3 知识归纳1．一般地，抛物线y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2形状__相同__，位置__不同__．把抛物线y ＝ax 2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a(x －h)2＋k.平移的方向、距离要根据__h ，k__的值决定．2．思考：(1)抛物线y ＝a(x －h)2＋k 有如下特点：①当a ＞0时，开口向__上__；当a ＜0时，开口向__下__；②对称轴是x ＝__h__；③顶点坐标是__(h ，k)__；(2)从二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象可以看出：如果a ＞0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而__减小__，当x ＞h 时，y 随x 的增大而__增大__；如果a ＜0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而__增大__，当x＞h时，y随x的增大而__减小__．◆活动4例题与练习例1对于抛物线y＝－12(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④当x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个例2把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y＝12(x＋1)2－1的图象．(1)试确定a，h，k的值；(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：(1)原二次函数的解析式为y＝12(x＋1－2)2－1－4，即y＝12(x－1)2－5，∴a＝12，h＝1，k＝－5；(2)它的开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，－5)．练习1．教材P37练习．2．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围是(B)A．m＞1B．m＞0C．m＞－1D．－1＜m＜03．已知点A(4，y1)，B(2，y2)，C(－2，y3)都在函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是__y3＞y1＞y2__．◆活动5完成《名师测控》随堂反馈手册◆活动6课堂小结1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质．2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和二次函数y＝ax2的图象之间的关系．1．作业布置(1)教材P41习题22.1第5题(3)；(2)《名师测控》对应课时练习．2．教学反思22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质1．会用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象．2．掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质．▲重点用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质解决简单问题．▲难点通过配方将二次函数y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并得到其性质．◆活动1 新课导入1．你能说出函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标及其性质吗？解：开口向下，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标是(2，1)，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，在对称轴左侧y 随x 的增大而增大．当x ＝2时，有最大值1.2．函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系？解：函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象是由函数y ＝－4x 2的图象向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到的．◆活动2 探究新知 1．教材P 37 思考． 提出问题：(1)把二次函数y ＝12x 2－6x ＋21化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式；(2)写出二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)画出y ＝12x 2－6x ＋21的图象；(4)观察图象，回答：①抛物线y ＝12x 2如何平移得到抛物线y ＝12x 2－6x ＋21?②二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的y 随x 的增减性如何？学生完成并交流展示．2．不画出图象，你能直接说出函数y ＝－x 2＋2x －3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 提出问题：(1)你能用上面的方法讨论二次函数y ＝－x 2＋2x －3的图象和性质吗？(2)思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？(3)你能由此总结归纳出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象和性质吗？ 学生完成并交流展示． ◆活动3 知识归纳1．如何画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象？一般地，先用配方法求抛物线的顶点坐标：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a ，则抛物线的对称轴为__x ＝－b 2a __，顶点坐标为__⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a __.2．思考并完成下表：函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)开口方向 a ＞0，开口__向上__ a ＜0，开口__向下__对称轴 __x ＝－b2a __顶点坐标__⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a __最大(小)值当x ＝－b2a 时，y 最小值＝__4ac －b 24a__当x ＝－b2a 时，y 最大值＝__4ac －b 24a__增减性当x ＜－b2a时，y 随x 的增大而__减小__；x ＞－b2a时，y 随x 的增大而__增大__x ＜－b2a时，y 随x 的增大而__增大__；x ＞－b2a时，y 随x 的增大而__减小__◆活动4 例题与练习例1 求二次函数y ＝－12x 2＋x －52的顶点坐标及对称轴．解：顶点坐标为(1，－2)，对称轴为x ＝1.例2 把抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到抛物线y ＝－12x 2，求原来的抛物线的解析式．解：抛物线y ＝－12x 2先向上平移6个单位长度，得到抛物线y ＝－12x 2＋6，再将抛物线y ＝－12x 2＋6向左平移4个单位长度，得到抛物线y ＝－12(x ＋4)2＋6，即y ＝－12x 2－4x －2.练习1．教材P 39 练习．2．已知二次函数y ＝2x 2－mx ＋8，当x ＜－3时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－3时，y 随x 的增大而增大，则当x ＝1时，y 的值为__22__．◆活动5 完成《名师测控》随堂反馈手册 ◆活动6 课堂小结1．形如y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定：(1)当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 容易配方时，可采用配方法来确定顶点坐标及对称轴方程； (2)当a ，b ，c 比较复杂时，可直接用公式来确定： 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的对称轴为x ＝－b 2a ，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a .2．解决二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的平移问题时，应先将它化为y ＝a(x －h)2＋k 形式后进行．1．作业布置(1)教材P 41 习题22.1第6，7题； (2)《名师测控》对应课时练习． 2．教学反思第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式1．学会用待定系数法求抛物线的解析式．2．熟练地根据二次函数的不同性质选择适当的方法求解析式．▲重点用待定系数法求二次函数的解析式． ▲难点由条件灵活选择解析式类型．◆活动1 新课导入1．正比例函数图象经过点(1，3)，该函数解析式是__y ＝3x__．2．在直角坐标系中，直线l 过(1，3)和(3，1)两点，求直线l 的函数解析式． 解：设直线l 的函数解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)．把(3，1)，(1，3)代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝1，k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝4.∴直线l 的函数解析式为y ＝－x ＋4.3．一般地，函数解析式中有几个独立的系数，我们就需要相同个数的独立条件才能求出函数解析式．例如：我们确定正比例函数y ＝kx(k ≠0)只需要一个独立条件；确定一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)需要两个独立条件．如果要确定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式，需要几个条件呢？◆活动2 探究新知 1．教材P 39 探究．(1)回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式的关键是什么？(2)如果一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，同学们能仿照求一次函数的解析式的步骤求出这个二次函数的解析式吗？(3)解三元一次方程的方法是什么？ 学生完成并交流展示．2．已知抛物线的顶点坐标为(1，－1)，过原点，求抛物线的解析式． 提出问题：(1)图象顶点为(h ，k)的二次函数的解析式是什么？如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？ (2)如何设解析式？(3)如果已知顶点坐标和一点，求二次函数的解析式的一般步骤是什么？ 学生完成并交流展示． ◆活动3 知识归纳1．求二次函数的解析式y ＝ax 2＋bx ＋c ，需要求出__a ，b ，c__的值．由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于__a ，b ，c__的方程组，求出__a ，b ，c__的值，就可以写出二次函数的解析式．2．利用待定系数法求二次函数解析式时，一般可以分以下几种情况： (1)顶点在原点，可设为y ＝ax 2；(2)对称轴是y 轴(或顶点在y 轴上)，可设为y ＝ax 2＋k ； (3)顶点在x 轴上，可设为y ＝a(x －h)2； (4)抛物线过原点，可设为y ＝ax 2＋bx ；(5)已知顶点(h ，k)时，可设顶点式y ＝a(x －h)2＋k ； (6)已知抛物线上三点时，可设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ；(7)已知抛物线与x 轴两交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)时，可设交点式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．◆活动4 例题与练习例1 已知二次函数经过(1，1)，(－1，4)，(0，3)三点，求这个二次函数的解析式． 解：设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c.∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1，1)，(－1，4)，(0，3)三点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝4，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－32，c ＝3，∴二次函数的解析式为y ＝－12x 2－32x ＋3.例2 已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式．解：设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c.∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(0，2)，(1，0)，(2，0)三点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，c ＝2. ∴二次函数的解析式为y ＝x 2－3x ＋2. 练习1．教材P 40 练习第1，2题．2．已知函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象顶点是(1，3)，则b ，c 的值是( B ) A ．b ＝2，c ＝－2 B ．b ＝2，c ＝2 C ．b ＝－2，c ＝2 D ．b ＝－2，c ＝－23．已知二次函数的图象经过点(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，则这个二次函数的解析式为__y ＝x 2＋2x －5__．4．已知二次函数的图象的对称轴为x ＝1，函数的最大值为－6，且图象经过点(2，－8)，求此二次函数的解析式．解：设二次函数的解析式为y ＝a(x －1)2－6.∵函数图象过点(2，－8)，∴a(2－1)2－6＝－8，解得a ＝－2，∴此二次函数的解析式为y ＝－2(x －1)2－6.◆活动5 完成《名师测控》随堂反馈手册 ◆活动6 课堂小结1．熟练掌握求二次函数解析式的基本方法． 2．灵活选择方法求解析式．1．作业布置(1)教材P 42 习题22.1第10，11题；(2)《名师测控》对应课时练习．2．教学反思22.2二次函数与一元二次方程1．知道二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，体会数形结合思想．▲重点二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间的联系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．▲难点一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系．◆活动1新课导入1．若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)，(1，0)，则方程kx＋b＝0的解是__x＝1__．2．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝－3的解是__x＝－2__．3．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那么，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢？通过本节课的学习我们将能解决这个问题．◆活动2探究新知1．教材P43问题．提出问题：(1)小球的飞行高度能否达到15 m，20 m，20.5 m？就是要判断哪一个一元二次方程是否有解？(2)请将函数h＝20t－5t2化成顶点式，并解释小球飞行高度能否达到15 m，20 m，20.5 m；(3)为什么小球飞行高度达到15 m有两个时间，而飞行高度达到20 m只有一个时间，请从方程和函数角度分别给出解释；(4)请结合本问题谈谈二次函数与一元二次方程的关系．学生完成并交流展示．2．教材P44思考．提出问题：(1)由图22.2－2可以看出抛物线y＝x2＋x－2与x轴有几个公共点？它们的横坐标分别是什么？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此得出方程x2＋x－2＝0的根为多少？(2)由图22.2－2可以看出抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有几个公共点？公共点的横坐标是多少？当x为多少时，函数值是0？由此得出方程x2－6x＋9＝0的根为多少？(3)由图22.2－2可以看出抛物线y＝x2－x＋1与x轴有没有公共点？由此得出方程x2－x＋1＝0的根如何？(4)你能由此总结归纳出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系吗？学生完成并交流展示． ◆活动3 知识归纳一般地，从二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可得如下结论：(1)如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有公共点，公共点的横坐标为x 0，那么当x ＝x 0时，函数值是0，因此x ＝x 0是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根；(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的三种情况：无实数根、有两个相等的实数根、有两个不相等的实数根．◆活动4 例题与练习 例1 教材P 46 例．例2 如图，已知直线y ＝－12x 与抛物线y ＝－14x 2＋6交于A ，B 两点．(1)求A ，B 两点的坐标；(2)－14x 2＋6＞－12x 的解集为______________；(3)－14x 2＋6＜－12x 的解集为______________．解：(1)A(6，－3)，B(－4，2)； (2)－4＜x ＜6； (3)x ＜－4或x ＞6例3 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，请根据图象信息回答问题：(1)写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根； (2)写出不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集； (3)写出方程ax 2＋bx ＋c ＝2.5的两根； (4)写出不等式ax 2＋bx ＋c ＜2.5的解集；(5)若方程ax 2＋bx ＋c ＋1－k ＝0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．解：(1)x 1＝0，x 2＝4；(2)x ＜0或x ＞4；(3)x 1＝－1，x 2＝5；(4)－1＜x ＜5；(5)k ＞－1. 练习。
新人教版九年级数学上册22二次函数复习教案新版
第22章二次函数一、复习目标1.理解二次函数的概念；2.会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3.会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4.会用待定系数法求二次函数的解析式；5.利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
6.二次函数的综合应用 二、课时安排 2三、复习重难点把握二次函数的性质，利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系，并能和其它知识点进行综合应用。
四、教学过程 （一）知识梳理 二次函数知识点：1. 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++(a b c ，，是常数，0a ≠)的函数，叫做二次函数。
2. 二次函数的基本形式（1）二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质： 4. ()2y a x h k =-+的性质： 3.二次函数图象的平移 1. 平移步骤：(1) 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； (2)保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位（3） 平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．4.二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与轴的交点()10x ，，()20x ，(若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 5.二次函数2y ax bx c =++的性质（1） 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，随的增大而减小；当2b x a >-时，随的增大而增大；当2bx a=-时，有最小值244ac b a-． （2） 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，随的增大而增大；当2b x a >-时，随的增大而减小；当2bx a=-时，有最大值244ac b a -． 6.二次函数解析式的表示方法（1） 一般式：2y ax bx c =++(，，为常数，0a ≠)； （2） 顶点式：2()y a x h k =-+(，，为常数，0a ≠)；（3）两根式：12()()y a x x x x =--(0a ≠，，是抛物线与轴两交点的横坐标).7.二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况)：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与轴没有交点. 7.二次函数的应用： （二）题型、方法归纳 类型一：二次函数的平移【主题训练1】(枣庄中考)将抛物线y=3x 2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为()A.y=3(x+2)2+3B.y=3(x-2)2+3 C.y=3(x+2)2-3D.y=3(x-2)2-3【自主解答】选A.由“上加下减”的平移规律可知,将抛物线y=3x 2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为:y=3x 2+3;由“左加右减”的平移规律可知,将抛物线y=3x 2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为:y=3(x+2)2+3.归纳：二次函数平移的两种方法1.确定顶点坐标平移:根据两抛物线前后顶点坐标的位置确定平移的方向与距离.2.利用规律平移:y=a(x+h)2+k 是由y=ax 2经过适当的平移得到的,其平移规律是“h 左加右减,k 上加下减”.即自变量加减左右移,函数值加减上下移.类型二：二次函数的图象及性质【主题训练2】(十堰中考)如图,二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),下列结论:①ab<0;②b 2>4a;③0<a+b+c<2;④0<b<1;⑤当x>-1时,y>0.其中正确结论的个数是()A.5个B.4个C.3个D.2个【自主解答】选B.①∵对称轴在y轴右侧,∴- >0,∴ <0,∴a,b异号,∴ab<0,①正确;②把x=0,y=1代入y=ax2+bx+c得c=1,所以二次函数为y=ax2+bx+1; 又∵图象与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴b2>4a,②正确;③∵当x=1时,图象在x轴上方,∴a+b+c>0;把x=-1,y=0代入y=ax2+bx+1,得b=a+1,∵图象的开口向下,∴a<0,∴a+b+c= a+a+1+1=2a+2<2,∴0<a+b+c<2,③正确;④∵b=a+1,∴a=b-1,∵0<a+b+c<2,c=1,∴0<b-1+b+1<2,即0<2b<2,∴0<b<1,④正确;⑤当x>-1时,函数图象有部分在x轴上方,与x轴有交点,有部分在x轴下方,所以y>0,y=0,y<0都有可能.所以正确的共有4个,选B.归纳：类型三：二次函数与方程、不等式【主题训练3】(贺州中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中结论正确的是.(填入正确结论的序号)【自主解答】∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,①是正确的.∵抛物线的开口方向向上,∴a>0;b－ =1>0,∴a与b异号,则b<0.∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,∴c<0;∵对称轴x=2ab－=1,∴b=-2a,∴2a+b=0,③是错误的.∴abc>0,②是正确的.∵抛物线的对称轴x=2a∵当x=-2时,y=4a-2b+c>0,又∵b=-2a,∴4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c>0,④是错误的.∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴在x=-1与x=3时函数值相等,由函数图象可知x=-1的函数值为负数,∴x=3时的函数值y=9a+3b+c<0,⑤是正确的.答案:①②⑤归纳：二次函数与方程、不等式的关系1.二次函数与方程:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标满足ax2+bx+c=0.2.二次函数与不等式:抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方部分的横坐标满足ax2+bx+c>0;抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方部分的横坐标满足ax2+bx+c<0.类型四：二次函数的应用【主题训练4】(武汉中考)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如表).温度x(℃) …-4 -2 0 2 4 4.5 …植物每天高度增长…41 49 49 41 25 19.75 …量y(mm)由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y 是温度x 的函数,且这种函数是一次函数和二次函数中的一种.(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由.(2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,那么实验室的温度x 应该在哪个范围内选择?直接写出结果.【自主解答】(1)选择二次函数.设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c, 根据题意,得4a 2b c 49,a 1,4a 2b c 41,b 2,c 49,c 49-+==-⎧⎧⎪⎪++==-⎨⎨⎪⎪==⎩⎩解得， ∴y 关于x 的函数解析式为y=-x 2-2x+49.不选另外两个函数的理由:点(0,49)不可能在任何反比例函数图象上,所以y 不是x 的反比例函数;点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在同一直线上,所以y 不是x 的一次函数.(2)由(1)得y=-x 2-2x+49,∴y=-(x+1)2+50. ∵a=-1<0,∴当x=-1时y 的最大值为50.即当温度为-1℃时,这种植物每天高度增长量最大. (3)-6<x<4.归纳：解决二次函数应用题的两步骤1.建模:根据数量关系列二次函数关系建模或者根据图象的形状建模.2.应用:利用二次函数的性质解决问题.（三）典例精讲例题1： （2016·浙江省绍兴市·10分）课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时，透光面积最大值约为1.05m 2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．【分析】（1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可；（2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可．【解答】解：（1）由已知可得：AD=，则S=1×m2，（2）设AB=xm，则AD=3﹣m，∵，∴，设窗户面积为S，由已知得：，当x=m时，且x=m在的范围内，，∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．【点评】本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识，解题的关键是求出对称轴与直线BC交点H坐标，学会利用判别式确定两个函数图象的交点问题，属于中考常考题型．（四）归纳小结1.引导学生整理把握本章知识点并熟练掌握。
人教版九年级上册数学 第22章 二次函数 全章复习 教案
第22章二次函数全章复习教案【学习目标】 1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义； 2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质； 3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题； 4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④， 其中；⑤.（以上式子a≠0） 几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)当时开口向上当时开口向下()2.抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点. (1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧. (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： ①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (可以看成的图象平移后所对应的函数.)20()y ax bx c a =++≠,,a b c (3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： （a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根. 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题2yax bx c =++利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式； (4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式例题1. 已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在x 轴上截得的线段长为6，求抛物线的解析式．【思路点拨】已知抛物线的顶点是(3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即，也就是，再由在x 轴上截得的线段长为6建立方程求出a ．也可根据抛物线的对称轴是直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，则与x 轴的交点为(0，0)和(6，0)，因此可设y ＝a(x-0)·(x-6)．【答案与解析】解法一：∵ 抛物线的顶点是(3，-2)，且与x 轴有交点，∴ 设解析式为y ＝a(x-3)2-2(a ＞0)，即，设抛物线与x 轴两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0)．则，解得．∴ 抛物线的解析式为，即． 解法二：∵ 抛物线的顶点为(3，-2)， ∴ 设抛物线解析式为．∵ 对称轴为直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，∴ 抛物线与x 轴的交点为(0，0)，(6，0)． 把(0，0)代入关系式，得0＝a(0-3)2-2，解得，∴ 抛物线的解析式为， 即．解法三：求出抛物线与x 轴的两个交点的坐标(0，0)，(6，0)设抛物线解析式为y ＝a(x-0)(x-6)，2(3)2y a x =--2692y ax ax a =-+-2692y ax ax a =-+-12||6x x -==29a =22(3)29y x =--22493y x x =-2(3)2y a x =--29a =22(3)29y x =--22493y x x =-把(3，-2)代入得，解得．∴ 抛物线的解析式为，即．举一反三【变式】已知抛物线（m 是常数）． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若，且抛物线与轴交于整数点，求此抛物线的解析式．【答案】（1）依题意，得，∴，∴抛物线的顶点坐标为．（2）∵抛物线与轴交于整数点，∴的根是整数．∴．∵，∴是完全平方数．∵， ∴，∴取1，4，9，．当时，；当时，；当时，． ∴的值为2或或．∴抛物线的解析式为或或．类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号例题2. 如图，二次函数y=ax 2+bx +c=0（a ≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=2，且OA=OC ，则下列结论：①abc ＞0；②9a +3b +c ＜0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）有一个根为﹣其中正确的结论个数有（ ）3(36)2a ⨯⨯-=-29a =2(6)9y x x =-22493y x x =-2442y mx mx m =-+-155m <<x 0≠m 2242=--=-=mm a b x m m m m a b ac y 442444422)()(---=-=241681622-=--=m m m m )2,2(-x 02442=-+-m mx mx 2x ==±0m >2x =2m155m <<22105m <<2m2x ==±21m =2=m 24m =21=m 29m =29m =m 21296822+-=x x y x x y 2212-=22810999y x x =--A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路点拨】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y 轴的交点可分别判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y ＜0，可判断②；由OA=OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac 2﹣bc +c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．【答案】C ；【解析】解：由图象开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图象可知当x=3时，y ＞0，∴9a +3b +c ＞，故②错误；由图象可知OA ＜1，∵OA=OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，∴c ＞﹣1，故③正确；假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，整理可得ac ﹣b +1=0，两边同时乘c 可得ac 2﹣bc +c=0，即方程有一个根为x=﹣c ，由②可知﹣c=OA ，而当x=OA 是方程的根，∴x=﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个，故选C ．类型三、数形结合例题3. 已知平面直角坐标系xOy(如图所示)，一次函数的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数的图象上，且MO ＝MA ，二次函数的图象经过点A 、M．334y x =+32y x =2y x bx c =++(1)求线段AM 的长；(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．【答案与解析】(1)一次函数，当x ＝0时，y ＝3，所以点A 的坐标为(0，3)，又∵ MO ＝MA ，∴ M 在OA 的中垂线上，即M的纵坐标为，又M 在上，当时，x ＝1，∴ 点M 的坐标为．如图所示，．(2)将点A(0，3)，代入中，得 ∴即这个二次函数的解析式为：．(3)如图所示，设B(0，m)(m ＜3)，，．334y x =+334y x =+3232y x =32y =31,2⎛⎫⎪⎝⎭AM ==31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭2y x bx c =++3,31.2c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩5,23.b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩2532y x x =-+25(,3)2C n n n -+3,34D n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭则|AB|＝3-m ，，．因为四边形ABCD 是菱形，所以．所以 解得（舍去）将n ＝2代入，得，所以点C 的坐标为（2，2）．类型四、函数与方程例题4.某体育用品店购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x （x ≧60）元，销售量为y 套．（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案与解析】解：（1）销售单价为x 元，则销售量减少×20，故销售量为y=240﹣×20=﹣4x+480（x ≥60）；（2）根据题意可得，x （﹣4x+480）=14000，解得x 1=70，x 2=50（不合题意舍去），故当销售价为70元时，月销售额为14000元； （3）设一个月内获得的利润为w 元，根据题意得：w=（x ﹣40）（﹣4x+480）=﹣4x2+640x ﹣19200 =﹣4（x ﹣80）2+6400．当x=80时，w 的最大值为6400．故当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．举一反三：【变式1】抛物线与直线只有一个公共点，则b=________．213||4D C DC y y n n =-=-5||4AD n =||||||AB DC AD ==2133,453.4m n n m n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩113,0;m n =⎧⎨=⎩221,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩2532y x x =-+2C y =【答案】由题意得 把②代入①得. ∵抛物线与直线只有一个公共点， ∴方程必有两个相等的实数根， ∴，∴．【变式2】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集； (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； (4)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】(1) (2). (3). (4)方法1：方程的解， 即为方程组中x的解也就是抛物线与直线的交点的横坐标，由图象可看出， 当时，直线与抛物线有两个交点，∴． 方法2：∵二次函数的图象过(1，0)，(3，0)，(2，2)三点， ∴ ∴ ∴ ，即， ∴. ∵ 方程有两个不相等的实数根，∴，∴.类型五、分类讨论例题5．若函数，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )．A ．B ．4C ．或4D ．4或【思路点拨】此题函数是以分段函数的形式给出的，当y ＝8时，求x 的值时，注意分类讨论.【答案】D ；【解析】由题意知，当时，，∴ ．(舍去)．当2x ＝8时，x ＝4．综合上知，选D ．类型六、与二次函数有关的动点问题例题6．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=mx 2-（m+n ）x+n （m ＜0）的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若∠ABO=45°，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设M （p ，q ）为二次函数图象上的一个动点，当-3＜p ＜0时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．22(2)2(2)x x y x x ⎧+≤=⎨>⎩228x +=x =2>x =x =【思路点拨】（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案；（2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案；（3）根据当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；结合图象可知：-（12m+4）≤2，即可得出m的取值范围．【答案与解析】（3）由（2）得二次函数的解析式为：y=mx2-（m+1）x+1∵M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，∴q=mp2-（m+1）p+1．∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，-q）．∴M′点在二次函数y=-m2+（m+1）x-1上．∵当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；结合图象可知：-（12m+4）≤2，≤m＜0．。
第22章《二次函数》教案
22.1.4二次函数2y ax bx c =++的图象教学目标1.能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2()+y a x h k =-的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。
2．熟记二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标公式； 3．会画二次函数一般式c bx ax y ++=2的图象．教学重点确定二次函数一般式c bx ax y ++=2的顶点坐标、对称轴、及开口方向教学难点把二次函数一般式c bx ax y ++=2通过配方的到顶点式y ＝a(x —h)2+k课堂教学程序设计讨论完善 一、知识链接：1.抛物线()2231y x =+-的顶点坐标是；对称轴是直线；当x =时y 有最值是；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小。
2.二次函数解析式2()+y a x h k =-中，很容易确定抛物线的顶点坐标为，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。
二、自主学习： （一）、问题：（1）你能直接说出函数222++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗？（2）你有办法解决问题（1）吗？解：222++=x x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 . （3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用的方法转化为式从而直接得到它的图像性质.[来源:数理化网] （4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：①222+-=x x y ②52212++=x x y ③c bx ax y ++=2 （5）归纳：二次函数的一般形式c bx ax y ++=2可以用配方法转化成顶点式：，因此抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标是；对称轴是，[来源:数理化网] （6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。
用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
①4322+-=x x y ②222++-=x x y ③x x y 42--=（二）、用描点法画出216212y x x =-+的图像.（1）顶点坐标为；（2）列表：顶点坐标填在；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）（3）描点，并连线：（4）观察：①图象有最点，即x =时，y 有最值是； ②x 时，y 随x 的增大而增大；x 时y 随x 的增大而减小。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第22章 二次函数的图象和性质第1课时教案
22.1二次函数的图象和性质22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第1课时）一、教学目标【知识与技能】1.能画出二次函数y=ax2+k的图象；2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系；3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【过程与方法】通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象，感受它们与y=2x2的联系，并由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别.【情感态度与价值观】在通过类比的方法获取二次函数y=ax2+k的图象及其性质过程中，进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.二、课型新授课三、课时第1课时，共3课时。
四、教学重难点【教学重点】1.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的联系；2.二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【教学难点】二次函数y=ax2+k的性质的基本应用.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等六、教学过程（一）导入新课这个函数的图象是如何画出来呢？（出示课件2）（二）探索新知探究一二次函数y=ax2+k图象的画法在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2,y=x2+1,y=x2-1的图象.（出示课件4）学生自主操作，画图，教师加以巡视，纠正画图过程中可能出现的失误，并引导他们进行分析，发现规律，获得感性认识.1.列表：x…-3-2-10123…y=x2…9410149…y=x2+1…105212510…y=x2-1…830-1038…2.描点，连线：（出示课件5）教师问：抛物线y=x2、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？（出示课件6）学生独立思考并整理.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=x2向上x=0（0,0）y=x2+1向上x=0(0，1)y=x2-1向上x=0(0，-1)出示课件7：例在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象.学生自主操作，画图，教师加以巡视.解：先列表：x…-2-1.5-1-0.500.51 1.52…y=2x2+1…9 5.53 1.51 1.53 5.59…y=2x2-1…7 3.51-0.5-1-0.51 3.57…然后描点画图：（出示课件8）教师问：抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？（出示课件9）学生独立思考并整理.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2x2+1向上x=0（0,1）y=2x2-1向上x=0（0，-1）探究二二次函数y=ax2+k的性质教师归纳：（出示课件10）二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质：开口方向：向上.对称轴：x=0.顶点坐标：（0，k）.最值：当x=0时，有最小值，y=k.增减性：当x＜0时，y 随x 的增大而减小；当x＞0时，y 随x 的增大而增大.出示课件11：在同一坐标系中，画出二次函数212y x =-，2122y x =-+，2122y x =--的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.学生自主操作，画图，并整理.解：如图所示.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y =12-x 2向下x =0（0,0）y =12-x 2+2向下x =0（0,2）y =12-x 2-2向下x =0（0，-2）出示课件12：在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：231x y -=；23121--=x y ；23122+-=x y .学生自主操作，画图，教师巡视加以指导.出示课件13，14：根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是;(2)三条抛物线的开口方向_______;(3)对称轴都是__________;(4)从上而下顶点坐标分别是_____________________;(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________;(6)函数的增减性都相同：____________________________.学生独立思考并口答.⑴抛物线；⑵向下；⑶直线x=0；⑷(0，2)，(0，0)，(0，-2)；⑸高；大；y=2，y=0，y=-2；⑹对称轴左侧y随x增大而增大,对称轴右侧y随x增大而减小师生共同归纳：二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质（出示课件15）y=ax2+k a＞0a＜0开口方向向上向下对称轴y轴（x=0）y轴（x=0）顶点坐标（0,k）（0,k）出示课件16：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.学生独立思考后，师生共同解答.解：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.教师归纳：方法总结：二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．出示课件17：抛物线y=−2x2+3的顶点坐标是________,对称轴是________，在________侧，y随着x的增大而增大；在________侧，y随着x的增大而减小.学生口答：（0,3）；y轴；对称轴左；对称轴右探究三二次函数y=ax2+k的图象及平移出示课件18：从数的角度探究：出示课件19：从形的角度探究：观察图象可以发现，把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度，就得到抛物线_____；把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1.学生观察图象并解答：上；y=2x2+1；下师生共同归纳：二次函数y=ax2与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系（出示课件20）二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到：当k>0时,向上平移k个单位长度得到.当k<0时,向下平移k个单位长度得到.教师强调：上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.出示课件21：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将()A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到学生独立思考并口答：D出示课件22：想一想：教师问1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？学生答：第一种方法：平移法，分两步，即第一步画y=ax2的图象；第二步把y=ax2的图象向上（或向下）平移︱k︱单位.第二种方法：描点法，分三步即列表、描点和连线.教师问2.抛物线y=ax2+k中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？学生答：a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.（三）课堂练习（出示课件23-27）1.将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是．2.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线．3.填表：函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=3x2y=3x2＋1y=-4x2－54.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，点(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.5.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k____.6.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：⑴抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1，当x_____时，y随x的增大而减小；当x_____时，函数y有最大值，最大值y是_____，其图象与y轴的交点坐标是_____，与x轴的交点坐标是_____.（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.7.对于二次函数y=(m+1)x m2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2），则a=____.9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.参考答案：1.y=x2+22.y=2x2－43.函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=3x2向上（0,0）y轴有最低点y=3x2＋1向上（0,1）y轴有最低点y=-4x2－5向下（0,-5）y轴有最高点4.在5.=2；＞2；＜26.⑴向下平移1个单位.⑵>0；=0；1；(0,1)；(-1,0),(1,0)⑶开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.7.28.-29.8（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（22.1.3第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本课时教学重点在于培养学生的比较能力，旨在希望学生通过对比发现函数图象的性质，从而进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.。
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时主要介绍了二次函数在实际问题中的应用。
这部分内容是对前面学习的二次函数知识的巩固和拓展，通过实际问题引导学生将理论知识和实际应用相结合，提高解决问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次函数在实际问题中的运用方法。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有了初步的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，解决实际问题对学生来说还是一个挑战。
因此，在教学过程中，需要关注学生对知识的掌握程度，以及他们在解决实际问题时的思维方式和方法。
三. 教学目标1.了解二次函数在实际问题中的应用。
2.能够将实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.掌握二次函数在实际问题中的应用。
2.将实际问题转化为二次函数问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。
同时，运用讨论法、案例分析法等，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备PPT，展示二次函数在实际问题中的应用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题引出本节课的主题，激发学生的兴趣。
例如：一个农场计划种植两种作物，种植面积一定的条件下，如何安排两种作物的种植面积，使得总收益最大？2.呈现（10分钟）呈现实际问题，引导学生认识到实际问题可以通过二次函数来解决。
通过PPT展示实际问题的图像，让学生观察和分析图像，理解二次函数在实际问题中的应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试将实际问题转化为二次函数问题。
每组选择一个实际问题，分析问题中的变量关系，列出二次函数的表达式。
第22章二次函数,教案
第22章二次函数,教案篇一：20XX最新人教版第二十二章二次函数教案第22章二次函数第一课时篇二：20XX新人教版22章二次函数全章教案第二十二章二次函数分析与教学建议（一）．二次函数在初中数学教材中的分析二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。
二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。
和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。
函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。
学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。
本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。
二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。
本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。
新人教版 数学 第22章 二次函数 整章教案
教学时间课题22.1 二次函数（2）课型新授课教学目标知识和能力使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。
过程和方法使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程情感态度价值观培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯教学重点使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是教学的重点。
教学难点用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。
课堂教学程序设计设计意图一、提出问题1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?二、范例例1、画二次函数y=x2的图象。
解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y …9 4 1 0 1 4 9 …(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。
提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。
抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。
顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．三、做一做1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。
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课题：22.1.1二次函数（第1课时）一、教学目标1.复习巩固函数、正比例函数、一次函数、反比例函数的概念.2.知道什么是二次函数，会判断一个函数是不是二次函数.3.会根据实际问题列出二次函数的解析式.二、教学重点和难点1.重点：二次函数的概念.2.难点：根据实际问题列出二次函数的解析式.三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：初二的时候我们学过函数的概念，什么是函数？哪位同学还记得？（稍停）（师出示下面的板书）在一个变化过程中，有两个变量x和y，x每取一个值，y就有唯一确定的值，我们就说x是自变量，y是x的函数.师：（指板书）大家把函数的概论默读两遍.（生默读）师：学习了函数概念之后，我们还学习了几种特殊的函数，这几种特殊的函数是正比例函数、一次函数、反比例函数.师：什么样的函数是正比例函数？形如y=kx的函数叫做正比例函数（板书：形如y=kx的函数叫做正比例函数）.师：譬如，y=2x就是一个正比例函数（边讲边板书：y=2x）.师：什么样的函数是一次函数？形如y=kx+b的函数叫做一次函数（板书：形如y=kx+b的函数叫做一次函数）. 师：譬如，y=2x+3就是一个一次函数（边讲边板书：y=2x+3）.师：（指准y=kx+b）一次函数y=kx+b，当b=0时，成为正比例函数y=kx，所以说，正比例函数是特殊的一次函数.师：什么样的函数是反比例函数？形如kyx=的函数叫做反比例函数（板书：形如kyx=的函数叫做反比例函数）.师：譬如，2yx=就是一个反比例函数（边讲边板书：2yx=）.师：正比例函数、一次函数、反比例函数都是一些特殊的函数，从今天开始，我们再来学习一种特殊的函数，叫二次函数（板书课题：22.1.1二次函数）.（二）尝试指导，讲授新课师：什么样的函数是二次函数？（板书：y=2x2）y=2x2是一个二次函数；（板书：y=3x2+x）y=3x2+x也是一个二次函数；（板书：y=-x2+5）y=-x2+5也是一个二次函数；（板书：y=x2+2x-3）y=x2+2x-3也是一个二次函数. 师：（指板书）从这几个二次函数，哪位同学知道什么样的函数是二次函数？（让生思考一会儿）生：……（让几名同学发表看法）（师出示下面的板书）形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.师：（指准板书）形如y=ax2+bx+c的函数叫做二次函数.在这个式子中，x是自变量，a，b，c都是常数，二次项系数a不能为0，而一次项系数b、常数项c没有这个限制，它们可以为0，也可以不为0.师：（指y=2x2）如果b，c都为0，二次函数就成了这种样子；（指y=3x2+x）如果b不为0，c为0，二次函数就成了这种样子；（指y=-x2+5）如果b为0，c不为0，二次函数就成了这种样子；（指y=x2+2x-3）如果b，c都不为0，二次函数就成了这种样子.师：（指准y=ax2+bx+c）总之，形如y=ax2+bx+c的函数，只要a≠0，不管b，c等不等于0，都是二次函数. 师：下面请同学们根据二次函数的概念来做几个练习.（三）试探练习，回授调节1.判断正误：对的画“√”，错的画“×”. (1)y=2x 2-x+3是二次函数； （ ） (2)y=3-x+2x 2是二次函数； （ ） (3)y=2x 2-x 是二次函数； （ ） (4)y=2x 2+3是二次函数； （ ） (5)y=2x 2是二次函数； （ ） (6)y=0x 2-x+3是二次函数； （ ） (7)y=2(1+x)2是二次函数； （ ） (8)21y2x x 3=-+是二次函数. （ ）2.形如y=ax 2+bx+c(a ≠0)的函数是二次函数，请你找出下列二次函数的a ，b ，c ： (1)二次函数y=x 2+3x-4，a= ，b= ，c= ； (2)二次函数y=2x 2-x ，a= ，b= ，c= ； (3)二次函数y=-x 2+6，a= ，b= ，c= ；(4)二次函数2x y 2=，a= ，b= ，c= ；(5)二次函数y=x+3x 2-1，a= ，b= ，c= ； (6)二次函数y=(x+2)(2x-1)，a= ，b= ，c= . （四）尝试指导，讲授新课师：下面我们来看一个二次函数的实际例子. （师出示例题）例 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.假如每年都比上一年的产量增加x 倍，请你写出两年后这种产品的产量y 与x 之间的函数关系式.师：大家把这个题目默读几遍，想一想怎么列函数关系式. 【要给学生充足的读题思考时间】师：（指准例题）某工厂一种产品现在的年产量是20件（板书：现在20），计划今后两年增加产量，假如每年都比上一年的产量增加x 倍，那么一年后的产量是多少件？（板书：一年后，让生思考一会儿再叫学生） 生：……（让几名学生回答）师：一年后的产量应该是现在的产量20乘以1+x ，即20(1+x)（边讲边板书：20(1+x)）. 师：那么两年后的产量是多少件？（板书：两年后，让生思考一会儿再叫学生） 生：……（让几名学生回答）师：两年后的产量应该是一年后的产量20(1+x)再乘以1+x ，即20(1+x)2（边讲边板书：20(1+x)2，上面的板书如下所示）. 现 在 20 一年后 20(1+x) 两年后 20(1+x)2师：（指准例题）这道题目要我们写出两年后这种产品的产量y 与x 之间的函数关系式，函数关系式是y=20(1+x)2（边讲边板书：y=20(1+x)2），把(1+x)2展开整理一下，得到y=20x 2+40x+20（边讲边板书：y=20x 2+40x+20）.师：（指y=20x 2+40x+20）从这个关系式可以看出，y 是x 的什么函数？ 生：（齐答）二次函数. （五）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了二次函数的概念，什么是二次函数？（指准板书）形如y=ax 2+bx+c(a ≠0)的函数是二次函数，这里的a 不能为0，而b ，c 可以为0，可以不为0. 师：（指例题）本节课我们还学习了一个二次函数的实际例子，通过这个例子，希望同学们会根据实际问题列出二次函数关系式.（作业：P41习题1.2.）四、板书设计课题：22.1.2二次函数y=ax2（第1课时）一、教学目标1.复习函数图象的概念和描点法.2.会用描点法画二次函数y=x2，y=-x2的图象，知道二次函数的图象是一条抛物线，知道抛物线y=x2，y=-x2的开口方向、对称轴和顶点.二、教学重点和难点1.重点：用描点法画二次函数y=x2，y=-x2的图象.2.难点：准确地画出y=-x2的图象.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)形如y= (k≠0)的函数叫做正比例函数；(2)形如y= (k≠0)的函数叫做一次函数；(3)形如y= (k≠0)的函数叫做反比例函数；(4)形如y= (a≠0)的函数叫做二次函数.2.填空：如图，一个正方体的棱长为x，则它的表面积y与棱x长x之间的函数关系是y= ，这个函数是函数.（二）创设情境，导入新课师：上节课我们学习了二次函数的概念，这节课我们要学习什么？这节课我们要学习如何画二次函数的图象.在学习如何画二次函数图象之前，让我们先来复习函数图象的概念.师：什么是函数图象？（板书：y=x2）我们以二次函数y=x2为例来说明函数图象的意思.师：（指准y=x2）二次函数y=x2，x取1，y=1，以x的值1为横坐标，以y的值1为纵坐标，可以在坐标平面内描一个点；同样，x取2，y=4，以x的值2为横坐标，以y的值4为纵坐标，又可以在坐标平面内描一点.x可以取很多很多值，相应地我们可以描出很多点.大家可以想象，这很多很多点密密麻麻可以组成一条曲线，这条曲线就是函数y=x2的图象.师：函数图象的意思告诉我们函数图象是什么，但我们不能按函数图象的意思来画图象.为什么？（稍停）因为按这种意思画图象，要密密麻麻描很多很多点，这样画太麻烦了，所以必须要有比较简单的画函数图象的方法.这种简单的画函数图象方法我们已经学过，叫什么方法？（稍停）叫描点法（板书：描点法）. 师：怎么用描点法画函数图象呢？用描点法画函数图象有三步，哪三步？（稍停）第一步列表（板书：第一步列表），第二步描点（板书：第二步描点），第三步连线（板书：第三步连线）.师：下面我们就用描点法画二次函数y=x2的图象.（三）尝试指导，讲授新课（师出示例题）例用描点法画出二次函数y=x2的图象.师：用描点法画二次函数y=x2的图象，首先要干什么？生：（齐答）列表.（师出示下表）师：（指准表格）我们取了x为-3，-2，-1，0，1，2，3这七个数，当x=-3时，y等于什么？生：（齐答）y=9.（师填入：9）（以下师生共同完成填表过程）师：用描点法画函数图象第二步干什么？生：（齐答）描点.（师出示下面的直角坐标系）师：（指准表格）当x=-3时，y=9，以-3为横坐标，以9为纵坐标描点（边讲边描点）.（以下师生共同完成描点过程）师：点描好了，下一步干什么？生：（齐答）连线.师：怎么连线？大家在脑子里连一连，看看连出来的是什么样的曲线？（让生想象一会儿）师：从左到右把所有的点用平滑曲线连接起来（边慢慢地讲边慢慢地连线），这条曲线就是二次函数y=x2的图象（边讲边在图中板书：y=x2）.师：（指图象）二次函数的图象画完了，关于这个图象，有几点需要告诉大家.师：（指图象）首先要告诉大家，二次函数y=x2的图象是抛物线（板书：二次函数y=x2的图象是抛物线）. 师：为什么说是抛物线？因为这个图象的形状类似于投篮球时球在空中经过的路线，所以说是抛物线.以后我们把这个图象叫做抛物线y=x2.师：（指准图象）第二点需要告诉大家的是，抛物线一头是封闭的，一头是开口的，抛物线y=x2的开口方向向上（板书：开口向上）.师：（指准图象）第三点需要告诉大家的是，抛物线y=x2是一个轴对称图形，它的对称轴是什么？（稍停）它的对称轴是y轴（板书：对称轴是y轴）.师：（指准图象）第四点需要告诉大家的是，抛物线都有一个顶点，这个最尖尖上的点就是抛物线的顶点，从图象可以看出，抛物线y=x2的顶点是原点（板书：顶点是原点）.师：好了，抛物线y=x2的情况介绍完了，下面请大家来做一个练习.（四）试探练习，回授调节3.用描点法画出二次函数y=-x2的图象.第一步：列表；第二步：描点；第三步：连线4.根据上题所画的图象，填空：二次函数y=-x2的图象是抛物线，抛物线y=-x2的开口向，对称轴是，顶点是 . （五）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了画最简单的二次函数y=x2，y=-x2的图象，y=x2的图象是抛物线，y=-x2的图象也是抛物线.下面几节课我们还要画更复杂的二次函数图象，通过画图象我们会发现，实际上任何二次函数的图象都是抛物线.因为二次函数的图象都是抛物线，所以把y=x2的图象叫做抛物线y=x2，把y=x2+2x+3的图象叫做抛物线y=x2+2x+3，把某某二次函数的图象叫做抛物线某某.课外补充作业：5.在同一直角坐标系中，画出二次函数y=12x2，y=-12x2的图象.第一步：列表；y=1 2 x2y=-1 2 x2第二步：描点；第三步：连线.6.根据上题所画的图象，填空：(1)抛物线y=12x2的开口向，对称轴是，顶点是；(2)抛物线y=-12x2的开口向，对称轴是，顶点是 .四、板书设计课题：22.1.2二次函数y=ax（第2课时）一、教学目标1.通过画y=ax2的二次函数的图象，经历归纳过程，知道抛物线y=ax2的特点.2.培养画图能力和归纳概括能力，渗透数形结合思想.二、教学重点和难点1.重点：抛物线y=ax2的特点.2.难点：归纳抛物线y=ax2的特点.三、教学过程（一）创设情境，导入新课上节课我们画了二次函数y=x2,y=-x2的图象，这两个函数是最简单的二次函数，这节课我们再来画几个二次函数的图象，请看例题.（二）尝试指导，讲授新课（师出示例题）例在同一直角坐标系中，画出二次函数y=12x2，y=2x2的图象.师：画二次函数y=12x2，y=2x2的图象，首先要列表.（师出示下面的表格）y=1 2 x2y=2x2（以下师生共同完成填表过程）师：表填好了，下面要描点和连线.（师出示下面的直角坐标系）（以下师先用彩笔画y=12x2的图象，并在图中板书：y=12x2；再用另一色彩笔画y=2x2的图象，并在图中板书：y=2x2）师：（指图象）两个函数的图象都画好了，大家比较一下，这两个图象有什么共同点和不同点？（让生观察思考一会儿再叫学生）生：……（让几名学生发表看法）师：（指准图象）我们知道，所有的二次函数的图象都是抛物线，所以这两个二次函数的图象也都是抛物线.抛物线y=12x2和抛物线y=2x2有这么三个共同点，第一它们的开口方向都向上，第二它们的对称轴都是y轴，第三它们的顶点都是原点.师：（指准图象）抛物线y=12x2和抛物线y=2x2有一个不同点，哪个不同点呢？（稍停）就是它们的开口大小不一样，抛物线y=12x2的开口大，而抛物线y=2x2的开口小.师：下面请同学们再来画两个二次函数的图象，并探讨这两个图象的共同点和不同点. （三）试探练习，回授调节1.在同一直角坐标系中，画出二次函数y=-12x2，y=-2x2的图象.y=-1 2 x2y=-2x22.根据上题所画的图象，比较抛物线y=-12x2和抛物线y=-2x2，填空：(1)它们的共同点是，开口方向都向，对称轴都是，顶点都是；(2)它们的不同点是，抛物线y=-12x2的开口比抛物线y=-2x2开口（填“大”或“小”）.（四）尝试指导，讲授新课（师在黑板上出示在同一直角坐标系中画出的y=-12x2，y=-2x2的图象）师：我们画了四个二次函数的图象，（指准函数解析式）这四个函数是y=12x2，y=2x2，y=-12x2，y=-2x2，它们都是形如y=ax2的二次函数（板书：y=ax2）.大家看一看，是不是这样的？（稍停）师：（指图象）这四个函数都是形如y=ax2的二次函数，所以从它们的图象，可以归纳出形如y=ax2二次函数的图象特点，也就是说可以归纳出抛物线y=ax2的特点（板书：抛物线y=ax2的特点）.师：首先我们来看抛物线y=ax2的开口方向，开口方向是向上的还是向下的？（让生观察思考一会儿再叫学生）生：……（让一两名好生发表看法）师：（指准图象）抛物线y=12x2，抛物线y=2x2的开口向上，而抛物线y=-12x2，抛物线y=-2x2的开口向下.可见抛物线y=ax2的开口是向上还是向下，要看a的符号，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下（板书：(1)当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下）.师：我们再来看对称轴，抛物线y=ax2的对称轴是什么？生：（齐答）对称轴是y轴.师：（指图象）这四个图象的对称轴都是y轴，可见抛物线y=ax2的对称轴是y轴（板书：(2)对称轴是y轴）. 师：我们再来看顶点，抛物线y=ax2的顶点是哪一点？生：（齐答）顶点是原点.师：（指图象）这四个图象的顶点都是原点，可见抛物线y=ax2的顶点是原点（板书：(3)顶点是原点）.师：最后我们来看抛物线y=ax2开口的大小.（指准图象）抛物线y=12x2开口比抛物线y=2x2开口大；抛物线y=-12x2开口比抛物线y=-2x2开口大；抛物线y=12x2与抛物线y=-12x2开口一样大；抛物线y=2x2与抛物线y=-2x2开口一样大.从这些事实，大家想一想，抛物线y=ax2的开口大小取决于什么？（让生思考一会儿再叫学生）生：……（让一两各好生发表看法）师：抛物线y=ax2的开口大小取决于｜a｜，｜a｜越小,开口越大（板书：(4)｜a｜越小,开口越大）.师：（指板书）上面我们从这四个图象归纳出了抛物线y=ax2的四个特点，大家对照图象看看这四个特点.（生默读）师：下面请大家来做一个练习.（五）试探练习，回授调节3.填空：(1)抛物线y=4x2的开口向，对称轴是，顶点是；(2)抛物线y=-3x2的开口向，对称轴是，顶点是；(3)抛物线y=4x2的开口比抛物线y=-3x2的开口（填“大”或“小”）.（六）归纳小结，布置作业师：本节课我们画了几个形如y=ax2二次函数的图象，并从这几个图象归纳出了抛物线y=ax2的四个特点，请大家一起把这四个特点读一遍.（生读）（作业：P41习题4.）四、板书设计课题：22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k（第1课时）一、教学目标1.经历画图、观察、比较、归纳过程，知道抛物线y=ax2+k和抛物线y=ax2的关系，知道抛物线y=ax2+k的特点.2.培养画图能力和归纳概括能力，渗透数形结合思想.二、教学重点和难点1.重点：抛物线y=ax2+k的特点.2.难点：归纳抛物线y=ax2+k的特点.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：抛物线y=ax2的特点：(1)当a＞0时，开口向；当a＜0时，开口向；(2)对称轴是；(3)顶点是；(4)｜a｜越小，开口越 .2.填空：(1)抛物线y=12x2的开口向，对称轴是，顶点是；(2)抛物线y=-13x2的开口向，对称轴是，顶点是；(3)抛物线y=-13x2的开口比抛物线y=12x2的开口（填“大”或“小”）.（二）创设情境，导入新课（师出示下面的板书）抛物线y=ax2的特点：(1)当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；(2)对称轴是y轴；(3)顶点是原点；(4)｜a｜越小，开口越大.上节课我们学习了抛物线y=ax2的特点，（指准板书）抛物线y=ax2有这么四个特点.第一个特点是，抛物线的开口方向由a的符号决定，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下.第二个特点是，抛物线的对称轴是y轴.第三个特点是，抛物线的顶点是原点.第四个特点是，抛物线的开口大小由｜a｜的大小决定，｜a｜越小，抛物线的开口越大；｜a｜越大，抛物线的开口越小.师：（指准y=ax2）y=ax2是比较简单的二次函数，如果在ax2后面加上常数k，二次函数就成了y=ax2+k（边讲边板书：y=ax2+k），本节课我们就来学习抛物线y=ax2+k的特点（与y=ax2+k连起来板书：抛物线y=ax2+k 的特点）.（三）尝试指导，讲授新课师：抛物线y=ax2+k有什么特点？为了探讨这个问题，请大家先来画两个具体函数的图象.3.尝试题：在同一直角坐标系中，画出二次函数y=12x2+2，y=12x2-2的图象.y=12x2+2y=12x2-2（生尝试时，师将尝试题出示在黑板上，等多数同学画好后，师生共同完成黑板上的尝试题，两条抛物线用不同色彩笔画）师：（指图象）二次函数y=12x2+2，y=12x2-2的图象画好了，从画好的图象看，这两条抛物线的开口是向上还是向下？向上.师：这两条抛物线的对称轴是什么？y轴.师：这两条抛物线的顶点是哪个点？（让生观察思考一会儿再叫学生）师：（指准图象）抛物线y=12x2+2的顶点是这个点，顶点坐标是(0，2)；抛物线y=12x2-2的顶点是这个点，顶点坐标是(0，-2).师：（用虚线画y=12x2的图象，并指准图象）这是我们上节课画过的二次函数y=12x2的图象，请大家观察这三个图象，你发现抛物线y=12x2和这两条抛物线有什么关系？（让生观察一会儿再叫学生）师：（指准图象）抛物线y=12x2和这两条抛物线相比，它们的形状相同，只是位置不同，把抛物线y=12x2向上平移2个单位，就得到抛物线y=12x2+2；把抛物线y=12x2向下平移2个单位，就得到了抛物线y=12x2-2.师：（指准板书）上下平移抛物线y=12x2，可以得到抛物线y=12x2+2，抛物线y=12x2-2，那么上下平移哪条抛物线可以得到抛物线y=ax2+k？：抛物线y=ax2（指准图象）因为上下平移抛物线y=ax2可以得到抛物线y=ax2+k，所以它们的开口方向相同，对称轴相同，开口大小相同，只是顶点不同.（指准板书）抛物线y=ax2的开口方向由a的符号决定，所以抛物线y=ax2+k的开口方向也由a的符号决定，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下（板书：(1)当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下）. （指准板书）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，所以抛物线y=ax2+k的对称轴也是y轴（板书：(2)对称轴是y 轴）.师：（指准板书）抛物线y=ax2的开口大小由｜a｜的大小决定，所以抛物线y=ax2+k的开口大小也由｜a｜的大小决定，｜a｜越小，开口越大（板书：(4)｜a｜越小，开口越大）.师：（指准图象）抛物线y=ax2的项点是原点，经过上下平移，顶点发生了变化，大家想一想，抛物线y=ax2+k 的顶点坐标是什么？（让生思考一会儿再叫学生）生：……（让几名学生发表看法）师：（指准图象）抛物线y=12x2+2的顶点是(0，2)，抛物线y=12x2-2的顶点坐标是(0，-2)，可见抛物线y=ax2+k的顶点坐标是(0，k)（板书：(3)顶点坐标是(0，k)）.师：（指板书）这就是抛物线y=ax2+k的四个特点，下面请大家做几个练习.（四）试探练习，回授调节4.填空：(1)把抛物线y=2x2向平移个单位，可以得到抛物线y=2x2+3，抛物线y=2x2+3的开口向，对称轴是，顶点坐标是；(2)把抛物线y=2x2向平移个单位，可以得到抛物线y=2x2-6，抛物线y=2x2-6的开口向，对称轴是，顶点坐标是；(3)把抛物线y=-13x2向平移个单位，可以得到抛物线y=-13x2+1，抛物线y=-13x2+1的开口向，对称轴是，顶点坐标是；(4)把抛物线y=-13x2向平移个单位，可以得到抛物线y=-13x2-2，抛物线y=-13x2-2的开口向，对称轴是，顶点坐标是 .（五）归纳小结，布置作业师：（指板书）本节课我们学习抛物线y=ax2+k的特点，请大家结合图象把这四个特点默读两遍.（生默读）课外补充作业5.填空：(1)把抛物线y=13x2向平移个单位，可以得到抛物线y=13x2-3，抛物线y=13x2-3的开口向，对称轴是，顶点坐标是；(2)把抛物线y=-x2向平移个单位，可以得到抛物线y=-x2+2，抛物线y=-x2+2的开口向，对称轴是，顶点坐标是；(3)抛物线y=13x2-3比抛物线y=-x2+2的开口（填“大”或“小”）.6.利用上题确定的开口方向、对称轴和顶点，请在下面的直角坐标系中，大致画出抛物线y=13x2-3，抛物线y=-x2+2.四、板书设计课题：22.1.3二次函数y=a(x-h)2＋k的图象（第2课时）一、教学目标1.经历画图、观察、比较、归纳过程，知道抛物线y=a(x-h)2和抛物线y=ax2的关系，知道抛物线y=a(x-h)2的特点.2.培养画图能力和归纳概括能力，渗透数形结合思想.二、教学重点和难点1.重点：抛物线y=a(x-h)2的特点.2.难点：归纳抛物线y=a(x-h)2的特点.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：抛物线y=ax2+k的特点：(1)当a＞0时，开口向；当a＜0时，开口向；(2)对称轴是；(3)顶点坐标是；(4)｜a｜越小，开口越 .2. 填空：(1)把抛物线y=-3x2向下平移4个单位，可以得到抛物线y= ，得到的抛物线开口向，对称轴是，顶点坐标是；(2)把抛物线y=3x2向上平移5个单位，可以得到抛物线y= ，得到的抛物线开口向，对称轴是，顶点坐标是；(3)上面得到的两条抛物线的开口大小（填“相等”或“不等”）.（二）创设情境，导入新课师：上节课我们学习了形如y=ax2＋k二次函数的图象特点，本节课我们要学习另一种形式的二次函数的图象特点（板书：抛物线y=a(x-h)2的特点）.师：（指准y=a(x-h)2）形如y=a(x-h)2的二次函数的图象有什么特点？还是让我们先来画两个具体函数的图象. （三）尝试指导，讲授新课3.尝试题：在同一直角坐标系中，画出二次函数y=-12(x+3)2，y=-12(x-3)2的图象.y=-12(x+3)2y=-12(x-3)2（生尝试时，师将尝试题出示在黑板上，等多数同学画好后，师生共同完成黑板上的尝试题，两条抛物线用不同色彩笔画）师：（指图象）二次函数y=-12(x+3)2，y=-12(x-3)2的图象画好了，从画好的图象看，这两条抛物线的开口是向上还是向下？生：（齐答）向下.师：（指准图象）抛物线y=-12(x+3)2的对称轴是什么？（稍停）对称轴是这条直线（边讲边用虚线画对称轴），因为这条直线上点的横坐标都为-3，所以我们把对称轴记作直线x=-3（边讲边在图中板书：直线x=-3）.师：（指准图象）抛物线y=-12(x-3)2的对称轴是什么？（稍停）对称轴是这条直线（边讲边用虚线画对称轴），对称轴记作什么？记作直线x=3.师：（指准图象）因为这条直线上点的横坐标都为3，所以我们把对称轴记作直线x=3（边讲边在图中板书：直线x=3）.师：（指y=-12(x+3)2的图象）我们再来看顶点，这条抛物线的顶点坐标是什么？(-3，0).师：（指y=-12(x-3)2的图象）这条抛物线的顶点坐标是什么？(3，0).师：（用虚线画y=-12x2的图象，并指准图象）这是二次函数y=-12x2的图象，请大家观察这三个图象，你发现抛物线y=-12x2和这两条抛物线有什么关系？（让生观察一会儿再叫学生）生：……（让几名学生发表看法）师：（指准图象）抛物线y=-12x2和这两条抛物线相比，它们的形状相同，只是位置不同.把抛物线y=-12x2向左平移3个单位，就得到抛物线y=-12(x+3)2；把抛物线y=-12x2向右平移3个单位，就得到抛物线y=-12(x-3)2.师：（指准板书）左右平移抛物线y=-12x2可以得到抛物线y=-12(x+3)2，抛物线y=-12(x-3)2，那么左右平移哪条抛物线可以得到抛物线y=a(x-h)2?生：抛物线y=ax2.（让几名学生回答后师板书：左右平移抛物线y=ax2可以得到抛物线y=a(x-h)2）师：（指准图象）因为左右平移抛物线y=ax2可以得到抛物线y=a(x-h)2，所以它们的开口方向相同，开口大小相同，而对称轴不同，顶点不同.师：抛物线y=ax2的开口方向怎么确定？生：当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下.师：抛物线y=a(x-h)2的开口方向怎么确定？生：当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下.（生答师板书：(1)当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下）师：抛物线y=ax2的对称轴是什么？生：（齐答）y轴.师：抛物线y=a(x-h)2的对称轴是什么？生：……（让几名学生发表看法）师：（指准板书）抛物线y=-12(x+3)2的对称轴是直线x=-3，抛物线y=-12(x-3)2的对称轴是直线x=3，可见抛物线y=a(x-h)2的对称轴是直线x=h（板书：(2)对称轴是直线x=h）. 师：抛物线y=ax2的顶点是什么？生：（齐答）是原点.师：抛物线y=a(x-h)2的顶点坐标是什么？生：……（让几名学生发表看法）师：（指准图象）抛物线y=-12(x+3)2的顶点坐标是(-3，0)，抛物线y=-12(x-3)2的顶点坐标是(3，0)，可见抛物线y=a(x-h)2的顶点坐标是(h，0)（板书：(3)顶点坐标是(h，0)）.师：抛物线y=ax2的开口大小怎么决定？生：｜a｜越小，开口越大.师：抛物线y=a(x-h)2的开口大小怎么决定？生：｜a｜越小，开口越大.（生答师板书：(4)｜a｜越小，开口越大）师：（指板书）这就是抛的线y=a(x-h)2的四个特点，下面请大家做几个练习.（四）试探练习，回授调节4.填空：(1)把抛物线y=4x2向平移个单位，可以得到抛物线y=4(x+6)2，抛物线y=4(x+6)2的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是；(2)把抛物线y=4x2向平移个单位，可以得到抛物线y=4(x-5)2，抛物线y=4(x-5)2的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是；(3)把抛物线y=-2x2向平移个单位，可以得到抛物线y=-2(x+7)2，抛物线y=-2(x+7)2的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是；(4)把抛物线y=-2x2向平移个单位，可以得到抛物线y=-2(x-4)2，抛物线y=-2(x-4)2的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是 .（五）归纳小结，布置作业师：（指板书）本节课我们学习抛物线y=a(x-h)2的特点，请大家结合图象把这四个特点默读两遍.（生默读）课外补充作业5.填空：。