第七章非平稳时间序列模型精品PPT课件
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xt t t
d
jt j
j0
确定性影响
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(B)at
随机性影响
安徽财经大学统计与应用数学学院
五、对两个分解定理的理解
Wold分解定理说明任何平稳序列都可以分解为确定性 序列和随机序列之和。它是现代时间序列分析理论的 灵魂，是构造ARMA模型拟合平稳序列的理论基础。
个为随机性的，不妨记作
xt Vt t
其中：{V t }为确定性序列， t 为随机序列，t
j t j j0
它们需要满足如下条件
（1）0 1, 2j （2）t~W(0 N ,2) j0
（3）E (V t,s)0, ts
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安徽财经大学统计与应用数学学院
二、确定性序列与随机序列的定义
对任意序列yt 而言，令y t关于q期之前的序列值作线
性回归 y t01 y t q2 y t q 1 t
确其定中{性 t序}为列回，归若残lq差im序 q2列 ，0 Va(rt)。q2
随机序列，若 lq i mq2 Va(ryt)
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安徽财经大学统计与应用数学学院
第七章 非平稳时间序列模型
Contents
第一节 时间序列的分解 第二节 差分运算 第三节 ARIMA模型 第四节 单位根检验
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安徽财经大学统计与应用数学学院
第一节 时间序列的分解
一、Wold分解定理（1938）
对于任何一个离散平稳过程{ x t }它都可以分解为两个 不相关的平稳序列之和，其中一个为确定性的，另一
安徽财经大学统计与应用数学学院
例 1964年——1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近 似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算
考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用
xt xt xt1
600
60
500 40
400 20
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0 200
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0
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原序列时序图
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第二节 差分运算
一、差分运算的实质
差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方 法
Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定 可以充分提取确定性信息
差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息
d
dxt (1B )dxt ( 1 )iC d ixt i i 0
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模型产生典故 Karl Pearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有 个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在 荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找 到他的概率最大呢？
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安徽财经大学统计与应用数学学院
二、ARIMA模型的平稳性
ARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根，其中p个在单位 圆内，d个在单位圆。所以当 d 0 时ARIMA(p,d,q)模 型非平稳。
安徽财经大学统计与应用数学学院
二、差分方式的选择
序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋 势平稳
序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分 就可以提取出曲线趋势的影响
对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差 分运算，通常可以较好地提取周期信息
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Cramer 分解定理是Wold分解定理的理论推广，它说 明任何一个序列的波动都可以视为同时受到了确定性 影响和随机性影响的综合作用。平稳序列要求这两方 面的影响都是稳定的，而非平稳序列产生的机理就在 于它所受到的这两方面的影响至少有一方面是不稳定 的。
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安徽财经大学统计与应用数学学院
P=0 ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)
q=0 ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)
d=1,P=q=0 ARIMA(P,d,q)=random walk model
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随机游走模型( random walk)
模型结构 xt xt1t E(t)0， Va(rt)2,E(ts)0,st Esxt 0,st
三、ARMA模型分解
xt ((BB))t
确定性序列
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随机序列
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四、Cramer分解定理（1961）
任何一个时间序列{ x t }都可以分解为两部分的叠加：
其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成分，另 一部分是平稳的零均值误差成分，即
-40
5
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wenku.baidu.com
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差分后序列时序图
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三、过差分
足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非 平稳确定性信息
但过度的差分会造成有用信息的浪费
假设序列如下
xt 01tat
考察一阶差分后序列和二阶差分序列的平稳性与方差
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第三节 ARIMA模型
一、ARIMA模型结构
使用场合 差分平稳序列拟合
模型结构
E((Bt))d0x， t Va((B r)t)t2,E(ts)0,st Esxt 0,st
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安徽财经大学统计与应用数学学院
ARIMA 模型族
d=0 ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)
获
得 观 察 值 序
平稳性 检验
N
Y 白噪声 检验
ARIMA模型的方差齐性
d 0时，原序列方差非齐性 ARIMA（0,1,0）模型
V ( x ta ) V r( x 0 a t rt 1 1 ) t2
d阶差分后，差分后序列方差齐性
V(a xtr)V(a t)r2
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安徽财经大学统计与应用数学学院
三、ARIMA模型建模步骤
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比较
二阶差分（过差分）
一阶差分
平稳
平稳
xt xt xt1
2xt xt xt1 at 2at1at2
1 at at1
方差小
方差大
Va(r2xt)Va(atr2at1at2)
Va( rxt)Va(art at1)
62
22
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d
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确定性影响
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(B)at
随机性影响
安徽财经大学统计与应用数学学院
五、对两个分解定理的理解
Wold分解定理说明任何平稳序列都可以分解为确定性 序列和随机序列之和。它是现代时间序列分析理论的 灵魂，是构造ARMA模型拟合平稳序列的理论基础。
个为随机性的，不妨记作
xt Vt t
其中：{V t }为确定性序列， t 为随机序列，t
j t j j0
它们需要满足如下条件
（1）0 1, 2j （2）t~W(0 N ,2) j0
（3）E (V t,s)0, ts
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二、确定性序列与随机序列的定义
对任意序列yt 而言，令y t关于q期之前的序列值作线
性回归 y t01 y t q2 y t q 1 t
确其定中{性 t序}为列回，归若残lq差im序 q2列 ，0 Va(rt)。q2
随机序列，若 lq i mq2 Va(ryt)
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第七章 非平稳时间序列模型
Contents
第一节 时间序列的分解 第二节 差分运算 第三节 ARIMA模型 第四节 单位根检验
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第一节 时间序列的分解
一、Wold分解定理（1938）
对于任何一个离散平稳过程{ x t }它都可以分解为两个 不相关的平稳序列之和，其中一个为确定性的，另一
安徽财经大学统计与应用数学学院
例 1964年——1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近 似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算
考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用
xt xt xt1
600
60
500 40
400 20
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0 200
100
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原序列时序图
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第二节 差分运算
一、差分运算的实质
差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方 法
Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定 可以充分提取确定性信息
差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息
d
dxt (1B )dxt ( 1 )iC d ixt i i 0
page 8 09.10.2020
模型产生典故 Karl Pearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有 个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在 荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找 到他的概率最大呢？
page 15 09.10.2020
安徽财经大学统计与应用数学学院
二、ARIMA模型的平稳性
ARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根，其中p个在单位 圆内，d个在单位圆。所以当 d 0 时ARIMA(p,d,q)模 型非平稳。
安徽财经大学统计与应用数学学院
二、差分方式的选择
序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋 势平稳
序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分 就可以提取出曲线趋势的影响
对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差 分运算，通常可以较好地提取周期信息
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Cramer 分解定理是Wold分解定理的理论推广，它说 明任何一个序列的波动都可以视为同时受到了确定性 影响和随机性影响的综合作用。平稳序列要求这两方 面的影响都是稳定的，而非平稳序列产生的机理就在 于它所受到的这两方面的影响至少有一方面是不稳定 的。
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P=0 ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)
q=0 ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)
d=1,P=q=0 ARIMA(P,d,q)=random walk model
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随机游走模型( random walk)
模型结构 xt xt1t E(t)0， Va(rt)2,E(ts)0,st Esxt 0,st
三、ARMA模型分解
xt ((BB))t
确定性序列
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随机序列
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四、Cramer分解定理（1961）
任何一个时间序列{ x t }都可以分解为两部分的叠加：
其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成分，另 一部分是平稳的零均值误差成分，即
-40
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wenku.baidu.com
20
25
30
35
差分后序列时序图
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三、过差分
足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非 平稳确定性信息
但过度的差分会造成有用信息的浪费
假设序列如下
xt 01tat
考察一阶差分后序列和二阶差分序列的平稳性与方差
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第三节 ARIMA模型
一、ARIMA模型结构
使用场合 差分平稳序列拟合
模型结构
E((Bt))d0x， t Va((B r)t)t2,E(ts)0,st Esxt 0,st
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ARIMA 模型族
d=0 ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)
获
得 观 察 值 序
平稳性 检验
N
Y 白噪声 检验
ARIMA模型的方差齐性
d 0时，原序列方差非齐性 ARIMA（0,1,0）模型
V ( x ta ) V r( x 0 a t rt 1 1 ) t2
d阶差分后，差分后序列方差齐性
V(a xtr)V(a t)r2
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三、ARIMA模型建模步骤
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比较
二阶差分（过差分）
一阶差分
平稳
平稳
xt xt xt1
2xt xt xt1 at 2at1at2
1 at at1
方差小
方差大
Va(r2xt)Va(atr2at1at2)
Va( rxt)Va(art at1)
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