材料力学第十一章 弯曲问题的进一步分析

2 yz
y

M y ( zI z yI yz ) IyIz I
2 yz
外力偶矩Me 作用在包含梁轴线的任意纵向平面内

M y ( zI z yI yz ) M z ( yI y zI yz ) I yIz I
2 yz
广义弯曲 正应力公式

M y ( zI z yI yz ) M z ( yI y zI yz ) I yIz I
右截面：FS、M ＋dM
FN1 a
FN 2 d d x FN1 0
FS S I zd
z
FS S I zd
剪力向上时
z
C
z
切应力流

y
FS S z I zd
F 截面法 C y
z b a dx d x
外力F 沿 y 作用
剪力沿 y 方向，用FSy 表示。 C z FSz FSy
若横截面只有一根对称轴，则弯曲中心必在此 对称轴上。 若横截面没有对称轴，则按弯曲中心的定义来 确定。 对于非对称截面的实体梁和闭口薄壁截面梁， 截面的弯曲中心通常在形心附近，且杆件的扭转刚 度较大，当外力作用在形心主惯性平面内时，引起 的扭转变形可忽略不计。
槽形截面梁实验
弯 曲 + 扭 转
外力作用在形心 主惯性平面Cxy 内
My n I zt
例：图示一简支组合梁，l=3 m，F = 4 kN，该梁由宽 为100 mm、高为150 mm的木梁及其底部加10 mm厚的钢 板组成，横截面如图。已知E木 =10 GPa，E钢 =200 GPa。 试求这两部分的最大正应力。
矩形截面梁 E1A1
z 正应力 对称轴 y
纯弯曲
E2 > E1 中性轴 z
E2A2
y
中性轴 位置未知
b h
E1A1
z E2A2 y y y


变形后梁中性层 曲率半径为

y

纵向线应变沿截面高度线性变化（连续变化） 虎克定律
E1
y

E2
y

弯曲正应力沿截面高度线性变化，但在两种材料交界 处正应力不连续。
h E

E

(sin yz d A cos z d A) 0
2 A A
I yz sin I y cos 0
tan
Iy I yz
完全确定了中性轴x 的位置
h y sin z cos

E
A
y d A M z
h E
中性轴 x yh z dA
I yz 0 M z M sin M y M cos
对称截面梁
广义弯曲正应力公式

tan
Myz Iy

M z I y M y I yz M y I z M z I yz
Mz y Iz
Iy Iz tan
C Mz My
y M
中 性 z 轴


斜弯曲
中性轴不垂直外力所在平面
中性轴是一条过截面形心的直线
z0 M z I y M y I yz tan y0 M y I z M z I yz
横截面有凸角
中性轴
D1
横截面无凸角
中性轴

D1
C

z
y
D2
D2
最大应力 发生在角点上
用图解法确定 产生最大应力的点
非对称纯弯曲
特 例 推 广

M y ( zI z yI yz ) M z ( yI y zI yz ) I yIz I
第十一章 弯曲问题 的进一步研究
◆ 非对称纯弯曲梁的正应力 ◆ 两种材料的组合梁 ◆ 开口薄壁截面梁的切应力 弯曲中心
§1-1 非对称纯弯曲梁的正应力
梁有纵向对称面且外力作用在纵向对称面内 对称弯曲
纯弯曲：
My σ Iz
横力弯曲：
M ( x) y σ Iz
非对称弯曲
无纵向对称面 梁 有纵向对称面但外力不作用在纵向对称面内
N
0
A
z d A M
A
y
0

y d A M z
d A F
A
N
0
y h z dA
h E
中性轴 x
E
h dA 0
A
Sx 0
中性轴x 过截面形心C
h y sin z cos
z d A M
A
y
0
中性轴 x yh z dA
A2
b h
E1A1
z E2A2 y y y


M E2 I z z E1I z
A1、A2 对中性 轴 z 的惯性矩
1
MyE1 E2 I z E1I z
等效截面法
MyE2 E2 I z E1I z
将由多种材料组成的组合梁的横截面等效换算为仅由 一种材料组成的梁的横截面。 然后按均质材料梁的公式计算。
纯弯曲 横力弯曲
①外力作用在形心主惯性平面内
平面弯曲＋扭转
②外力作用在平行于形心主惯性平 面的某一特定平面内 平面弯曲
槽形截面梁实验 弯 曲 + 扭 转
外力作用在形心 主惯性平面Cxy 内
平 面 弯 曲
?
外力作用在距形心主惯 性平面为 e 的平行平面内
这与横力弯曲时横截面上存在剪力或切应力有关
开口薄壁截面梁的切应力
外力F 作用在与形心主惯性 C 平面Cxy 平行的某一特定平面内
梁只发生平面弯曲 左截面：FS、M
F
z b x
b ' d
c d
y
a
dx
c M dM＝FS dx FN1 * d A Sz d FN2 A Iz dx M dM FN 2 Sz 切应力沿厚度、dx方向均匀分布 Iz
梁变形后挠曲线不在外力作用面内
例：Z形截面梁受力如图，已知F = 5 kN， l=4 m，Iy =1.98×10-6 m4，Iz =10.97×10-6 m4， Iyz =3.38×10-6 m4。试求该梁的最大拉应力和最 大压应力。 F
11
70
F
160
C
11
z
11
l/2
l/2
y
70
F x
l/2 y
2 yz
中性轴

设 ( y0，z0) 为中性轴上的任一点
y0 z0
M y ( z0 I z y0 I yz ) M z ( y0 I y z0 I yz ) I yIz I
2 yz
0
中性轴的方程
M y ( z0 I z y0 I yz ) M z ( y0 I y z0 I yz ) 0
FH h FSe
h2b2d e 4I z
弯曲＋扭转
S
S
S
e a e
平面弯曲
A
当梁在两个正交的形心主惯性 平面内分别产生平面弯曲时，横截 面上产生的相应两个剪力作用线的 交点即为弯曲中心。
当外力的作用线平行于形心主轴、并通过 横截面的弯曲中心时，梁只产生平面弯曲。 梁产生平面弯曲的条件 ① 外力如何作用在弯曲 中心上？ ② 其它形状的薄壁截面 弯曲中心在何处？
b h
E1A1
z E2A2 y
A1 A2

y y

将横截面上的 微内力进行合成
d A d A FN 0
确定中性轴位置
E2 S z 0 E1S z
A1、A2 对中性轴 z 的面积矩 中性轴不是水平对称轴

A1
y d A y d A M z M
2 yz
非对称横力弯曲 对称弯曲 ① 梁有纵向对称面，且外力作用在纵向对称面内
I yz 0
广义弯曲 正应力公式
My 0
M z M
对称弯曲 平面弯曲
My Iz
② 梁无纵向对称面，但外力作用在形心主惯性 平面内或与形心主惯性平面平行的平面内
y、z 为形心主轴
I yz 0
M z M

Iy I yz
0.5858
30 .36
F x
l/2 y
y A 69 mm z A 64 .5 mm yC 69 mm zC 64.5 mm
广义弯曲 正应力公式
11 C 160
70
F
D 11
l/2
y B 80 mm z B 5.5 mm y D 80 mm z D 5.5 mm


( I z sin I yz cos ) M z
tan Iy I yz

M z ( yI y zI yz )
2 I y I z I yz
Me
z
非对称截面等直梁 纯弯曲 z Me
x
Me x
y
Me

M z ( yI y zI yz ) IyIz I
b
h E1A1 z E2A2 y y y h
b
E1
z E1


M E1 I zt 1
1
Izt 为等效截面对 中性轴 z 的惯性矩
b' y 等效(相当)截面
M M E2 I z E1I zt E1I z
nI z I zt I z
My I zt
B
A
z
11
y
70 中性轴

M z ( yI y zI yz ) I yIz I
2 yz

M z max ( yI y zI yz ) IyIz I
2 yz
F x
l/2 y l/2
11 C 160
70
F
D 11

M z max ( yI y zI yz ) I yIz I
梁截面为非对称截面 轴 y、z 为非形心主惯性轴 各截面上 My =0，只有Mz 。 危险截面在跨中，最大弯矩为
11 C 160 梁发生 非对称弯曲
70
F
D 11
l/2
B
A
z
11
y
70 中性轴
M z max
1 Fl 6 kN m 4
tan
M z I y M y I yz M y I z M z I yz
c
微内力 dA 合成的结果是剪力FSy
合力矩定理 外力F 沿 z 作用 剪力沿 z 方向，用FSz 表示。 剪力FSy 作用线的位置
dA
y
合力矩定理
剪力FSz 作用线的位置
横截面上剪力FSy 和 FSz 的交点 A 弯曲中心 剪切中心 弯心
过点A 取 x'∥x、y'∥y、z'∥z C z A z'
非对称截面等直梁 纯弯曲
Me z
任取一正交坐标系Cxyz
Me x
h
中性轴x
y
实验
平面假设、单向受力假设仍然成立
变形后梁中性层 曲率半径为
h
h E E
非对称截面等直梁 纯弯曲
Me z
任取一正交坐标系Cxyz
Me x y h 中性轴x z dA
y
d A F
A
F C y
z b a dx d 弯 心 平 面 x
c
dA
y y'
FSz
FSy
过弯曲中心A且与形心主惯 性平面Cxy 平行的平面Ax'y' 过弯曲中心A且与形心主惯 性平面Cxz 平行的平面Ax'z'
对于开口薄壁截面梁，只有当外力作用在弯心平面 内时，梁才只发生平面弯曲而无扭转。
若横截面有两根对称轴，则两根对称轴的交点 即为弯曲中心，即弯曲中心与截面的形心重合。
e＝ ?
平 面 弯 曲
外力作用在距形心主惯 性平面为 e 的平行平面内
b
d
d
d
h
FS F FS S z 1 I zd
FH
h S ud 2 d A d du
z
SA半 个 翼缘1 dAb0
FS ud h / 2 d d u I zd
FShb2d / 4I z
S
A
常用开口薄壁截面弯曲中心 A 的大致位置：
与形心重合
狭长矩形中线的交点 与形心重合
弯曲中心的位置与截面的几何特征有关。
§1-2 两种材料的组合梁
由两种或两种以上材料组成的梁 组合梁 复合梁
组合梁各组成部分紧密结合，弯曲变形时无相对 错动，可以看作是一个整体。
实验
b h
平面假设、单向受力假设仍然成立
非对称截面梁
外力作用在形心主惯性平面Cxy 内或 与形心主惯性平面平行的平面内
My 0
广义弯曲正应力公式
tan
M z I y M y I yz M y I z M z I yz
My Iz
90
中性轴与 y 轴 正交(即为z 轴) 对称弯曲 平面弯曲

③ 梁有纵向对称面，但外力作用面与纵向对称 面间有一夹角
2 yz
B
A
z
11
y
70 中性轴
A 47.4 MPa
B 103MPa
C 47.4 MPa
D 103MPa
梁的最大拉应力、最大压应力发生在B、D两点上
§1-3 开口薄壁截面梁的切应力 弯曲中心
对称弯曲
平面弯曲
FS S I zb
平面弯曲
z
非对称 弯曲
无纵向 对称面
b h
b
E1A1
z E2A2 y y y


h
E1 z E1
将组合梁变换为仅有材料1组成
截面上材料2的宽度变换成
b' y 等效(相当)截面
E2 b b nb E1
E2 n E1
折 算 比
可以证明： 等效截面的中性轴与两种材料的实际截面的中性轴重合 等效截面梁的弯曲刚度与两种材料的组合梁的弯曲刚度相同