抛物线中的定点定值问题

抛物线练习（定点定值垂直等）

例1.已知,A B是抛物线22(0)

=>上的两点，且

y px p

⊥．

OA OB

求证：（1）求AB两点的横坐标之积和纵坐标之积;

（2）直线AB恒过定点;

（3）求弦AB中点P的轨迹方程;

（4）求AOB

△面积的最小值；

（5）O在AB上的射影M轨迹方程.

思考1：若将O点改为抛物线上任意点，AB直线是否仍过定点？

⊥，即表示OA、OB斜率之积为-1，若k OA k OB=m(m为不为零的常思考2：本题中，OA OB

数),直线AB是否过定点，试先举特例研究，再做一般性研究；

思考3：若k OA+ k OB=n(n为非零常数), 直线AB过定点吗？试先举特例研究，再做一般性研究；思考4：把问题3和问题4中的O点改为抛物线上任意点，是否也有类似性质？

思考5：上述结论在椭圆中成立吗？

例2.在专题7例1中，椭圆上任找一点A ，作两条斜率之和为0的直线，分别交椭圆与另外亮点B 和C,有BC 斜率为定值（简称一定二动斜率定值）

试着以抛物线2

4y x =上点A （4，4）,作两条斜率之和为0的弦AB,AC 分别交抛物线于B 、

C 两点，证明：BC 斜率为定值。

例3.类比于专题7例4---例6

已知抛物线2

4y x =，过焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在点P ，

使PF 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

思考1：若上述问题改为过求出的定点P ，做两条直线，分别交抛物线于点A,B 且满足直线AP 与BP 斜率之和为0，且A 、B 不关于x 轴对称，证明直线AB 过定点.

思考2：若上述问题改为过求出的定点P ，做一条直线，交抛物线于点A,B 探究,AF BF K K 的关系。

思考3：若题中出现的点不是焦点，是否有类似规律,如下题：

已知定点(3,0)H -，动点P 在

y 轴上，动点Q 在x 轴的正半轴上，动点M 满足:0HP PM ⋅=，

3

2

PM =-

.设动点M 的轨迹为曲线C ，过定点(,0)(

D m 0)m >的直线l 与曲线C 相交于

A B 、两点．

（1）求曲线C 的方程；

（2）若点E 的坐标为(,0)m -，求证：AED BED ∠=∠； （3）是否存在实数,a 使得以

AD 为直径的圆截直线:l x a '=所得的弦长恒为定值？若存在求出实

数a 的值；若不存在，请说明理由.

例4：类比于专题8：在椭圆中，将准线和焦点结合，有很多垂直，共线的结论，试证明：

如图：若AB 是过抛物线)0(22

>=p px y 焦点F 的弦，M 是AB 的中点, l 是抛物

线的准线,l MN ⊥，N 为垂足，l BD ⊥,l AH ⊥,D ,H 为垂足.证明： （1）AN BN ⊥；即以AB 为直径的圆和抛物线的准线相切． （2）HF DF ⊥； （3）FN AB ⊥；

（4）A 、O 、D 三点共线；（能否推广？F(a,0),:l x a =-）

思考：若AB 是过抛物线)0(22

>=p px y 焦点F 的弦，过A 和B 分别做抛物线的切线，切线

交于点M ，试着猜想M 的轨迹并证明；（参考专题8例3）

抛物线练习（定点定值垂直等）

例1.已知,A B 是抛物线2

2(0)y px p =>上的两点，且OA OB ⊥．

求证：（1）求AB 两点的横坐标之积和纵坐标之积;

（2）直线AB 恒过定点;

（3）求弦AB 中点P 的轨迹方程; （4）求AOB △面积的最小值；

（5）O 在AB 上的射影M 轨迹方程.

（1）

（2）

（3）

（5）222

()x p y p -+=

思考1：若将O 点改为抛物线上任意点，AB 直线是否仍过定点？

思考2：本题中，OA OB ⊥，即表示OA 、OB 斜率之积为-1，若k OA k OB =m (m 为不为零的常

数),直线AB 是否过定点，试先举特例研究，思考3：若k OA + k OB =n (n 为非零常数), 直线AB 过定点吗？试先举特例研究，再做一般性研究；

思考4：把问题3和问题4中的O 点改为抛物线上任意点，是否也有类似性质？

思考5：上述结论在椭圆中成立吗？

例2.在专题7例1中，椭圆上任找一点A ，作两条斜率之和为0的直线，分别交椭圆与另外亮点B 和C,有BC 斜率为定值（简称一定二动斜率定值）

试着以抛物线2

4y x =上点A （4，4）,作两条斜率之和为0的弦AB,AC 分别交抛物线于B 、

C 两点，证明：BC

例3.类比于专题7例4---例6

已知抛物线2

4y x =，过焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在点P ，

使PF 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。（-1，0）

思考1：若上述问题改为过求出的定点P ，做两条直线，分别交抛物线于点A,B 且满足直线AP 与BP 斜率之和为0，且A 、B 不关于x 轴对称，证明直线AB 过定点.

思考2：若上述问题改为过求出的定点P ，做一条直线，交抛物线于点A,B 探究,AF BF K K 的关系。0AF BF K K +=

思考3：若将P 改为x 轴负半轴上的其它点，是否有类似规律,如下题：

已知定点(3,0)H -，动点P 在

y 轴上，动点Q 在x 轴的正半轴上，动点M 满足:0HP PM ⋅=，

3

2

PM =-

MQ .设动点M 的轨迹为曲线C ，过定点(,0)(

D m 0)m >的直线l 与曲线C 相交于

A B 、两点．

（1）求曲线C 的方程；

（2）若点E 的坐标为(,0)m -，求证：AED BED ∠=∠； （3）是否存在实数,a 使得以

AD 为直径的圆截直线:l x a '=所得的弦长恒为定值？若存在求出实

数a 的值；若不存在，请说明理由.

22、解：（Ⅰ）设(,),(0,),(,0)(0)M x y P y Q x x '''>,

3

,2

PM MQ =-0.HP PM ⋅=

3

(,)(,)2

x y y x x y ''∴-=---且(3,)(,)0y x y y ''⋅-=,

211

,,30.32

x x y y x yy y ''''∴==-+-=

24(0)y x x ∴=>. ………………………………………………4分