(完整版)三角函数与平面向量综合题的六种类型

第1讲 三角函数与平面向量综合题3.17
题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合
【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量.
（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B
2的最大值.
题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】
已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π
2
，2π)，且→a ⊥→b ．
（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π
3)的值．
题型三. 三角函数与平面向量的模的综合
【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝2
5 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)
若－π2＜β＜0＜α＜π
2，且sinβ＝－513，求sinα的值.
题型四 三角函数与平面向量数量积的综合
【例4】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）
求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.
题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算
【例5】（山东卷）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 37C =．
（1）求cos C ；（2）若5
2
CB CA ⋅=u u u r u u u r ，且9a b +=，求c ．
题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算
【例6】()f x a b =⋅r r ，其中向量(,cos 2)a m x =r
，(1sin 2,1)b x =+r ，x R ∈，且函数
()y f x =的图象经过点(,2)4
π
．
（Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。

题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题
【例7】设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈r r ，函数()()f x a a b =⋅+r
r r .
（Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3
()2
f x ≥成立的x 的取值集.
【跟踪训练】
三角函数与平面向量训练反馈
1、已知向量=（x x x 3,52
-），=（2，x ），且⊥，则由x 的值构成的集合是（ ）
A 、｛0，2，3｝
B 、｛0，2｝
C 、｛2｝
D 、｛0，-1，6｝ 2、设02x π≤≤,1sin 2sin cos x x x -=-,则 （ ）
A ．0x π≤≤
B ．
74
4x π
π≤≤
C ．544
x ππ
≤≤ D ．
32
2
x π
π
≤≤
3、函数1cos 4tan 2sin )(++⋅=x x x x f 的值域是 。

4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B b
C a c
=-
+. （1）求角B 的大小；
（2）若b 13a ＋c ＝4，求a 的值. 5、已知向量 )1),3
(cos(π
+
=x ，)21),3(cos(-+
=π
x ，)0),3
(sin(π+=x 函数 x f ⋅=)(， x g ⋅=)(， x h ⋅-⋅=)(
（1）要得到)(x f y =的图象，只需把)(x g y =的图象经过怎样的平移或伸缩变换？ （2）求)()()(x g x f x h -=的最大值及相应的x ．
6．设函数()()f x a b c =⋅+r r r ，其中向量(sin ,cos ),(sin ,3cos )a x x b x x =-=-r r
，
(cos ,sin ),c x x x R =-∈r
．
（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d r
平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，
求长度最小的d r
．
7．已知向量(sin ,1),(1,cos ),22
a b ππθθθ==-<<r r
．
（Ⅰ）若a b ⊥r r ，求θ；（Ⅱ）求a b +r
r 的最大值．
8、已知向量)21,sin (--=→
θa m ，)cos ,2
1
(θ=→n ．
（1）当2
2
=a ，且→→⊥n m 时，求θ2sin 的值； （2）当0=a ，且→m ∥→
n 时，求θtan 的值．
【专题训练】 一、选择题
1．已知→a ＝(cos40︒，sin40︒)，→b ＝(cos20︒，sin20︒)，则→a ·→b ＝ （ ）
A ．1
B ．
32 C ．12
D ．
22
2．将函数y ＝2sin2x －π2的图象按向量(π2，π
2
)平移后得到图象对应的解析式是
（ ）
A ．2cos2x
B ．－2cos2x
C ．2sin2x
D ．－2sin2x
3．已知△ABC 中，AB →＝a →，AC →＝b →，若a →·b →
＜0，则△ABC 是 （ ）
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．任意三角形 4．设→a ＝(32,sin α)，→b ＝(cos α,13
)，且→a ∥→b ，则锐角α为
（ ）
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．75︒
5．已知→a ＝(sin θ，1＋cosθ)，→b ＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，3π
2
)，则一定有 （ ）
A ．→a ∥→b
B ．→a ⊥→b
C ．→a 与→b 夹角为45°
D ．|→a |＝|→b |
6．已知向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，若C 点在函数y ＝sin π
12
x 的图象上,实数λ
＝ （ ）
A ．52
B ．32
C ．－52
D ．－32
7．设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→
长度
的最大值是
（ ）
A ． 2
B ． 3
C ．3 2
D ．2 3 8．若向量→a ＝(cos α,sin α)，→b ＝(cos β,sin β)，则→a 与→b 一定满足
（ ） A ．→a 与→b 的夹角等于α－β
B ．→a ⊥→b
C ．→a ∥→b
D ．(→a ＋→b )⊥(→a －→b )
9．已知向量→a ＝(cos25︒,sin25︒)，→b ＝(sin20︒,cos20︒)，若t 是实数，且→u ＝→a ＋t →b ，则|→u |的最小值为 （ ）
A ． 2
B ．1
C ．
2
2
D ．12
10．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：→OP
＝→OA ＋λ(→AB ＋→AC)，λ∈(0,＋∞)，则直线AP 一定通过△ABC 的 （ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
二、填空题
11．已知向量→m ＝(sin θ，2cos θ)，→n ＝(3,－1
2
).若→m ∥→n ，则sin2θ的值为____________．
12．已知在△OAB(O 为原点)中，→OA
＝(2cos α，2sin α)，→OB ＝(5cos β，5sin β)，若→OA·→OB ＝－5，则S △AOB 的值为_____________.
13．已知向量→m ＝(1，1)向量→n 与向量→m 夹角为3π4
，且→m ·→n ＝－1.则向量→
n ＝__________．
三、解答题
14．已知向量→m ＝(sinA,cosA)，→n ＝(3,－1)，→m·→n ＝1，且A 为锐角.
(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x ＋4cosAsinx(x ∈R)的值域．
15．在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量→m ＝(1，2sinA)，→n ＝(sinA ，
1＋cosA)，满足→m ∥→n ，b ＋c ＝3a.(Ⅰ)求A 的大小；(Ⅱ)求sin(B ＋π
6)的值．
16．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，→m ＝(2b －c ，a)，→n ＝(cosA ，－cosC)，且→m
⊥→n ．
(Ⅰ)求角A 的大小；
(Ⅱ)当y ＝2sin 2B ＋sin(2B ＋π
6)取最大值时，求角B 的大小.
17．已知→a ＝(cosx ＋sinx ，sinx)，→b ＝(cosx －sinx ，2cosx)，
（Ⅰ）求证：向量→a 与向量→b 不可能平行；
（Ⅱ）若f(x)＝→a ·→b ，且x ∈[－π4,π4
]时，求函数f(x)的最大值及最小值．
【专题训练】参考答案 一、选择题
1．B 解析：由数量积的坐标表示知→a ·→b ＝cos40︒sin20︒＋sin40︒cos20︒＝sin60︒＝32. 2．D 【解析】y ＝2sin2x －π2→y ＝2sin2（x ＋π
2）－π2＋π2，即y ＝－2sin2x.
3．A 【解析】因为cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →
|＝a →·b
→
|a →|·
|b →|＜0，∴∠BAC 为钝角.
4．B 【解析】由平行的充要条件得32×1
3－sin αcos α＝0，sin2α＝1，2α＝90︒，α＝45︒.
5．B 【解析】→a ·→b ＝sin θ＋|sin θ|，∵θ∈(π，3π2)，∴|sin θ|＝－sin θ，∴→a ·→b ＝0，∴→a ⊥→b ． 6．A 【解析】c →＝a →＋λb →＝(6，－4＋2λ)，代入y ＝sin π12x 得，－4＋2λ＝sin π
2＝1，解得λ
＝5
2
. 7．C 【解析】|P 1P 2→
|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cosθ≤3 2.
8．D 【解析】→a ＋→b ＝(cos α＋cos β,sin α＋sin β)，→a －→b ＝(cos α＋cos β,sin α－sin β)，∴(→a ＋
→b )·(→a －→b )＝cos 2α－cos 2β＋sin 2α－sin 2β＝0，∴(→a ＋→b )⊥(→a －→b )． 9．C 【解析】|→u |2＝|→a |2＋t 2|→b |2＋2t →a ·→b ＝1＋t 2＋2t(sin20︒cos25︒＋cos20︒sin25︒)＝t 2＋2t ＋
1＝(t ＋
22)2＋12，|→u |2 min ＝12，∴|→u |min ＝2
2
.
10．C 【解析】设BC 的中点为D ，则→AB ＋→AC ＝2→AD ，又由→OP ＝→OA ＋λ(→AB ＋→AC)，→AP
＝2λ→AD ，所以→AP 与→AD 共线，即有直线AP 与直线AD 重合，即直线AP 一定通过△ABC 的重心． 二、填空题
11．－8349 【解析】由→m ∥→n ，得－12sin θ＝23cos θ,∴tan θ＝－43，∴sin2θ＝2sin θcos θ
sin 2θ＋cos 2θ
＝
2tan θtan 2θ＋1
＝－83
49．
12．532 【解析】→OA·
→OB ＝－5⇒10cos αco βs ＋10sin αsin β＝－5⇒10cos(α－β)＝－5⇒cos(α－β)＝－12，∴sin ∠AOB ＝32，又|→OA|＝2，|→OB|＝5，∴S △AOB ＝12×2×5×32＝532
． 13．(－1，0)或(0，－1) 【解析】设→n ＝(x ，y)，由→m·→n ＝－1，有x ＋y ＝－1 ①，由→m 与→
n
夹角为3π4，有→m·→n ＝|→m |·|→n |cos 3π4，∴|→n |＝1，则x 2＋y 2＝1 ②，由①②解得⎩⎨⎧ x=﹣1y=0或⎩
⎨⎧
x ＝0y ＝－1 ∴即→n ＝(－1，0)或→
n ＝(0，－1) ． 三、解答题
14．【解】(Ⅰ)由题意得→m·→n ＝3sinA －cosA ＝1，2sin(A －π6)＝1，sin(A －π6)＝12
， 由A 为锐角得A －π6＝π6，A ＝π
3
.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知cosA ＝12，所以f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝1－2sin 2x ＋2sinx ＝－2(sinx －12)2＋3
2
，
因为x ∈R ，所以sinx ∈[－1,1]，因此，当sinx ＝12时，f (x )有最大值3
2
．
当sinx ＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，3
2
]．
15．【解】(Ⅰ)由→m ∥→n ，得2sin 2A －1－cosA ＝0，即2cos 2A ＋cosA －1＝0，∴cosA ＝1
2
或cosA
＝－1.
∵A 是△ABC 内角，cosA ＝－1舍去，∴A ＝π
3
.
(Ⅱ)∵b ＋c ＝3a ，由正弦定理，sinB ＋sinC ＝3sinA ＝3
2
，
∵B ＋C ＝2π3，sinB ＋sin(2π3－B)＝3
2
，
∴
32cosB ＋32sinB ＝32，即sin(B ＋π
6)＝32
． 16．【解】(Ⅰ)由→m ⊥→n ，得→m·→n ＝0，从而(2b －c)cosA －acosC ＝0，
由正弦定理得2sinBcosA －sinCcosA －sinAcosC ＝0 ∴2sinBcosA －sin(A ＋C)＝0，2sinBcosA －sinB ＝0，
∵A 、B ∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA ＝12，故A ＝π
3
.
(Ⅱ)y ＝2sin 2B ＋2sin(2B ＋π6)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos π6＋cos2Bsin π
6
＝1＋32sin2B －12 cos2B ＝1＋sin(2B －π
6
).
由(Ⅰ)得，0＜B ＜2π3，－π6＜2B －π6＜7π
6
，
∴当2B －π6＝π2，即B ＝π
3
时，y 取最大值2.
17．【解】（Ⅰ）假设→a ∥→b ，则2cosx(cosx ＋sinx)－sinx(cosx －sinx)＝0，
∴2cos 2x ＋sinxcosx ＋sin 2x ＝0，2·1＋cos2x 2＋12sin2x ＋1－cos2x
2＝0，
即sin2x ＋cos2x ＝－3，
∴2(sin2x ＋π4)＝－3，与|2(sin2x ＋π
4)|≤2矛盾，
故向量→a 与向量→b 不可能平行．
（Ⅱ）∵f(x)＝→a ·→b ＝(cosx ＋sinx)·(cosx －sinx)＋sinx·2cosx ＝cos 2x －sin 2x ＋2sinxcosx ＝cos2x ＋sin2x ＝2(
22cos2x ＋22sin2x)＝2(sin2x ＋π4
)， ∵－π4≤x≤π4，∴－π4≤2x ＋π4≤3π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π
8时，f(x)有最大值2；
当2x ＋π4＝－π4，即x ＝－π
4时，f(x)有最小值－1．。