3.2点到平面的距离,平面的法式方程

§3.2 点到平面的距离，平面的法式方程
本节重点：掌握平面划分空间的判别法 掌握点到平面的距离的求法。 掌握平面的法式方程。
1. 平面划分空间
由平面方程建立中，我们看到平面方程的左边 AX＋BY＋CZ＋D＝
这里为平面的法向量{A,B,C}，为平面上任一点， (X,Y,Z)为动点。若 在已知平面上，则上式的值为 0。假设不在这个平面上，则上式不等于 0，我们来研究它的符号。 把的起点放在，则它指向已知平面的某一侧。若点位于所指的这一 侧，则∠(，)小于直角，于是·＞0。若位于与所指相反的一侧,则∠(，) 大于直角，于是·＜0。由此我们得到
(2)
习 题 3-２
１、将下列平面方程化为法式方程： (1) 6X－3Y＋6Z－7＝0 (2) 2X－2Y－Z＋12＝0 (3) X－Y＋Z＋8＝0 (4) X－ａ＝0 (ａ＞0) ２、求原点到平面12X－4Y＋3Z－39＝0的距离。 ３、求点(2,3,－5)与(3,4,7)到平面 X＋2Y－2Z＝9的距离，并问这两点 是否在这平面同侧？ ４、求两平行平面6X＋2Y－3Z＋63＝0 ，6X＋2Y－3Z＋49＝0间的距 离。 ５、一个动点到三个平面 X＋Y＋Z＝0 ，X－Z＝0，X－2Y＋Z＝0距 离之平方和等于9,试求这个点的轨迹方程。 ６、平面6X－3Y－6Z＋7＝0与 X＋2Y＋2Z－9＝0相交组成两对对棱 二面角，试求含有坐标原点的那个二面角及其对棱二面角的角平分面方 程。
2. 点到平面的距离，平面的法式方程
从点向已知平面引垂直线段，(如图2-5)是点到平面
图2-5 的距离。再由点向过的平面法线引垂直线段，则易知四边形为一矩形， 故，由于在含的轴线上是的射影向量
∴ 故|| 即
（1） 于是我们有 3.2.2定理 一点到已知平面距离公式由(1)表示 系：原点到已知平面AX＋BY＋CZ＋D＝0的距离为 由公式(1)可以看出，如果将已知平面方程的左边预先乘以一个因子
得一仍代表原平面的新方程，那么去求距离时只要将已知点的坐标代入 左边，并取绝对值就可得到。现在对于的符号，我们来现定一种确定的 取法。
当方程左边乘以时,它变成 AX＋BY＋CZ＋D＝0 (2)
因此，由这方程的一项系数所确定的法向量就是。今设平面不通过原 点，我们从原点到这平面引垂直线段。
由于向量与平行，因此，可以取的符号使与同向。这时，若将的起 点移到这平面上，它就指向不含原点的一侧。现在我们将定理1用于方 程(2)便得D＜0，这样，我们应取的符号与D相反。如果平面通过原点 (即D＝0)则合于原点，成为零向量，这时我们对于的符号可不予以限 制。
3.2.1 定理 对于平面 AX＋BY＋CZ＋D＝0
把法向量{A,B,C}的起点放在它上面，则所指一侧的点坐标满足不等式 AX＋BY＋CZ＋D＞0
而另一侧的点的坐标满足不等式 AX＋BY＋CZ＋D＜0
系：把位于已知平面同侧的点的坐标代入方程左边，所得的值必同 号；异侧的点的坐标代入方程左边，其值异号。 由此，我们知道平面把空间上点分成三部分，一部分点在平面上， 它的坐标代入方程左端使 AX＋BY＋CZ＋D＞0与AX＋BY＋CZ＋D＜ 0。
X－Y＋z－1＝0 (2) = ＝21>0故λ＝—，法式方程为 法式方程为
—（X－3Y＋2wk.baidu.com＋21）=0 (3) ＝0 λ＝ 法式方程为
(X－3Y＋2Z)=0 例2、求以下各组距离
(1) 原点到平面2X＋3Y＋6Z－35＝0 (2) 点(1,3,－2)到平面＝0 解：(1) =
在上述规定下，我们考察一下方程(3) 四个系数的几何意义。 由定理2的系看出│D│＝ 但D≤0故D＝－，如果记＝，则为D＝－。 由于(A)＋(B)＋(C)＝1，因此法向量{A，B，C}为单位向量，于是其 三个坐标即为的方向余弦，即 A＝COSα B＝COSβ C＝COSγ 这样(2)可以写成 XCOSα＋YCOSβ＋ZCOSγ－＝0 这个方程叫做平面的法式方程，一个给定一般方程的平面；AX＋BY＋ CZ＋D＝0，当其左边乘以之后，就成为法式方程，因此，叫做法式化 因子。 例1、 求下列平面的法式方程 (1) 2X－2Y＋Z－3＝0 (2) X－3Y＋2Z＋21＝0 (3) X－3Y＋2Z＝0 (4) X－ａ＝0 ａ＞0 解：(1) = ＝—3＜0 故λ＝，法式方程为