高等代数课件(北大版)第三章 线性方程组§3-5

数学与计算科学学院 §3.5 线性方程组有解判别定理 2012-9-22
引入向量
a11 a12 a 21 a 22 1 , 2 a a s1 s2 a1n a2n , ,n a sn b1 b2 , b n
于是（1）可表为 x 1 1 x 2 2 + + x n n

(1) 有解 可由向量组 1 , 2 , , n 线性表出．
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定理 线性方程组(1)有解的充分必要条件是 (1)的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即
(1)
其系数矩阵A和增广矩阵 A 分别为
a11 a 21 A a s1 a12 a 22 as2 a1n a2n a sn
a11 A a 21 , a s1 a12 a 22 as2 a1n a2n a sn b1 b2 bs
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例1
讨论线性方程组
ax1 x 2 x 3 4 x1 bx 2 x 3 3 x1 2 bx 2 x 3 4
何时有解？何时无解？ 在有解的时候求出它的一般解．
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a11 a1 r 0, a r 1 a rr
则方程组(1)与下面的方程组是同解的.
a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 a 1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a r 1 x 1 a r 2 x 2 a rn x n b r
2012-9-22
数学与计算科学学院
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设线性方程组
a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 a 1 n x n b1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a s 1 x 1 a s 2 x 2 a sn x n b s
R ( A ) R ( A ).
证：若(1)有解，则 可由 1 , 2 , , n 线性表出，
于是向量组 1 , 2 , , n与 1 , 2 , , n , 等价，
所以 R ( A ) R ( A ).
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总之，线性方程组(1)有解 R ( A ) R ( A ).
并且，若 R ( A ) R ( A ) n , 则(1)有唯一解； 若 R ( A ) R ( A ) n 则(1)有无穷多个解. 附 若 R ( A ) R ( A ) r , 且 r 级子式
反过来，若 R ( A ) R ( A ) ，则
ra n k { 1 , 2 , , n } ra n k { 1 , 2 , , n , }
设 i , i , , i 为 1 , 2 , , n 的一个极大无关组，
1 2 r
则 i , i , , i 也为 1 , 2 , , n , 的极大无关组，
1 2 r
∴向量组 1 , 2 , , n 与 1 , 2 , , n , 等价， 从而 可由向量组 1 , 2 , , n 线性表出， 所以，方程组(1)有解．
例2 讨论线性方程组是否有解？
x1 x 2 ax1 bx 2 a2x b2x 2 3 1 3 a x1 b x 2 x3 1 cx 3 d 2 2 c x3 d 3 3 c x3 d
a,b,c,d
各不相同．
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