常微分方程课程总结

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第一章 绪论

§1.2微分方程的基本概念

（1）常微分方程偏微分方程

微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。 常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。

()()

,dy

axy a dx

dy p x y Q x dx

=+=为常数 偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。

()

22,2224

2

u u

f x y x y u u y x ∂∂+=∂∂∂∂=∂∂

（2）线性与非线性

一般n 阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）

()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++

++=

（3）解和隐式解

微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 隐式解：Φ（x,y ）=0 （4）通解和特解

通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.） 特解： 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件：用来确定任意常数的条件.

初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.

（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。

第二章 一阶微分方程的初等解法

§2.1 变量分离方程与变量变换

2.1.1、变量分离方程

)()(y x f dx

dy

ϕ= ⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ 2.1.2、可化为变量分离方程的类型

1.形如)(x y g dx dy =，称为齐次微分方程，令u ＝x

y ,即y ＝ux ，于是dx dy ＝x dx du ＋u ，代入原方程，

变形为x dx du ＋u ＝g （u ），整理得dx du ＝x

u

u g -)(

2.形如

2

221

11c x b x a c x b x a dx dy ++++= 的方程也可经变量变换化为变量分离方程

（1）

常数）(212121k c c b b a a ===，方程化为dx

dy ＝k ，有通解c kx y += （2）

≠==k b b a a 212121c c 情形，令u ＝y b x a 21+，这时有dx du ＝dx

dy b a 22+＝2122c u c ku b a +++是分离变量方程 （3）

2

1

21b b a a ≠情形，若21c c 、不全为零，方程右端分子、分母都是x 、y 的一次多项式，因此111c x b x a ++＝0，222c y b x a ++＝0，交点（),βα，令X ＝x －α，Y ＝y －β，化为011=+Y b X a ， 022=+Y b X a 。则原方程变形为=dX dY Y b X a Y b X a 2211

++＝)(X

Y

g

§2.2 线性微分方程与常数变易法

（1）一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx

dy

+=，其中)()(x Q x P ，在区间上是x 的连续函数。若)(x Q ＝0，则

变为y x P dx

dy )(=，

称为一阶齐次线性微分方程，若)(x Q 0≠，则称为一阶非齐次线性微分方程。 （2）

y x P dx

dy

)(=是变量分离方程，解为⎰

=dx x P ce y )(（c 是任意常数）。 （3）常数变异法，令⎰

=dx

x P e x c y )()(，微分之，得到

⎰

+⎰=dx x P dx

x P e x P x c e dx x dc dx dy )()()()()( 代入原方程得到新方程，解得c dx e x Q x c dx x P +⎰=⎰-)()()(

得到通解c dx e x Q e y dx

x P dx

x P +⎰⎰

=⎰

-)()()( （4）伯努利微分方程

n y x Q y x P dx dy

)()(+= 令n y z -=1，从而dx

dy

y n dx dz n

--=)(，均代入原方程得到 )()1()()1(x Q n z x P n dx

dz

-+-=,这是线性微分方程。 §2.3 恰当微分方程与积分因子

2.3.1 恰当微分方程

（1）简单二元函数的全微分：

)(xy d xdy ydx =+

)(2y x d y xdy ydx =- )(2x

y

d x xdy ydx =+-

)(ln x y d xy xdy ydx =-- )arctan (ln 22y x d y x xdy ydx =+- )(ln 212

2y

x y

x d y x xdy ydx +-=--

2.3.2 积分因子

)(x N

x

N

y M ψ=∂∂-

∂∂，积分因子⎰=dx x e )(ψμ。 §2.4一阶隐式微分方程与参数表示

（1）形如),(dx dy

x f y =，

引入参数

p dx dy =，原方程变为),(p x f y =，两边对x 求导，并以p dx

dy

=代入，得到dx dy p f x y p ∂∂+∂∂=

，这是关于p x ,的一阶微分方程 （2）形如),(dx

dy

y f x =， 引入参数

p dx

dy

=，原方程变为),(p x f x =，两边对y 求导，并以

p dy dx 1=代入，得到dy dp p f y f p ∂∂+∂∂=1，这是关于p y ,的一阶微分方程，设求得通解为0),,(=c p y φ，则方程通解为{0

),,()

,(==c p y p y f x φ

（3）形如F （),y x '＝0

c t t dt t t t y dt t t t y t t p t t x tx p y x y x +++=+-=+-=+=+==='='-'+⎰2

33

33233

32

332333)1(4123)1()21(9,)1()21(9d ,13,13,y 0

3积分之，得到于是从而则由方程得解：令（4）形如F （),y y '＝0

第三章 一阶微分方程解的存在定理

§3.1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法

1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程

),(y x f dx dy

= （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。

定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ϕ=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件

00()x y ϕ= （3.3）