《二项式定理》复习课件(理)

(2)增减性 n－k＋1 k－1 k ∵Cn＝ Cn ， k
∴当 k＜
n＋1 2 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知
后半部分是逐渐减小的．
n 当 n 为偶数时，中间一项(第 2 ＋1
大，最大值为
(3)最大值
n＋1 n－1 ＋1 项 ) 当 n 为奇数时， 中间两项(第 2 ＋1 项和第 2
C
n 2 n
【解答】令 x＝1 则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7 ＝－1，① 令 x＝－1 则 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37， ② (1) 令 x＝0，则 a0＝(1－0)7＝1， ∴a1＋a2＋…＋a7＝－2， －1－37 (2)(①－②)÷ 2 得 a1＋a3＋a5＋a7＝ ＝－1094. 2 －1＋37 (3)(①＋②)÷ 2 得 a0＋a2＋a4＋a6＝ ＝1093. 2
＝2n－1.
要点探究
► 探究点1 通项公式的应用
1 6 2x－ 的展开式的常数项是 2x
例 1 [2009· 四川卷]
-20 ． ________
【思路】令展开式的通项中x的幂指数等于0确定待定 系数r.
变式题 A．－10 C．－5
[2009· 浙江卷]
2 1 5 在二项式x －x 的展开式
a 的指数由 n 逐项减少到 0，b 的指数由 0 逐项增加到 n， 简称“一降二升”； (3)注意区分“项”、“项数”、“系数”、“二项式系数”等概念 的区别． 2．二项式系数的性质 (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，事实上这一
k n－ k C ＝ C n n 性质直接由公式 得到．
项)的二项式系数最
.
的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为：
最大值为
C
n 1 2 n
或
C
n 1 2 n
.
wenku.baidu.com2n
(4)各项二项式系数和
1 2 n C0 ＋ C ＋ C ＋ … ＋ C n n n n＝
.
(5) 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的 和，即
0 1 3 Cn ＋C 2 n＋…＝Cn＋Cn＋…
n=7时，是35/2或70
【思路】根据条件可以求出n，再根据n的奇偶性，确 定二项式系数最大的项.
变式题 [2009· 全国卷Ⅰ] x－y10 的展开式中，x7y3 的系数与 x3y7 的系数之和等于________．
【思路】根据二项展开式的通项公式分别找到所求 两项的系数即可．
【答案】 －240
►
探究点3
赋值法在二项展开式中的应用
例 3 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1) a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4) a0＋a1＋a2＋…＋a7.
【思路】利用赋值法可求得．
方法二： a0＋a1＋a2＋…＋a7可看作
(1＋2x)7 展开式中各项的系数和，
7 ∴ a0＋a1＋a2＋…＋a7＝3 ＝2187. 【点评】 求关于展开式中系数和问题，往往根据 展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如：1,0，
二项式定理
知识梳理
1．二项式定理 0 n 1 n－1 2 n－2 2 k n－k k n C a ＋ C a b ＋ C a b ＋ … ＋ C b＋ n n na (a＋b) ＝ n n …+Cn b (n∈N*)， 右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式， n 其中各项系数 Ck …，n)叫做展开式的 二项式系数 ， n(k＝0,1， k n－k k C a b n 第 k＋1 项 Tk＋1＝ (其中 0≤k≤n，k∈N，n∈N*) 叫做二项展开式的通项公式． 二项展开式的特点 (1)项数：共有 n＋1 项； (2)(a＋b)n 的展开式中各项均为 a 与 b 的 n 次齐次式， 其中
中，含 x4 的项的系数是( D．5
B
)
B．10
【思路】 令展开式的通项中 x 的幂指数等于 4 确定待 定系数 r.
►
探究点2
二项式系数与项的系数 1 n ( 2 x ) 例2 已知 2 若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数 成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项 的系数 n=14时，是3432
－1，….
规律总结
1、二项式定理的核心是它的通项公式，求展开式中的 特定项，一定要充分利用通项公式。 2、二项式系数、二项展开式项的系数是两个不同的概 念，在解题时要注意区分。 3、求关于展开式中系数和问题，往往根据展开式的特 点赋给其中字母一些特殊的数，如1,0，-1，… （赋值法）
作业： 三维设计二项式定理一节1、3、6
(4) 方法一：∵(1－ 2x)7 的展开式中， a0 ， a2 ， a4 ， a6 大于零，而 a1，a3，a5，a7 小于零， ∴ a0 ＋ a1 ＋ a2 ＋ … ＋ a7 ＝ (a0 ＋ a2 ＋ a4 ＋ a6) － (a1 ＋ a3＋a5＋a7) ＝1093－(－1094)＝2187.