空间解析几何-第2章 空间的平面与直线

求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
cC D 0,
AD, BD, C D.
a
b
c
将A D, B D, C D,
z
c
a
b
c
代入所设方程得
o
xa
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
化简得 2x 3 y z 6 0.
• 例3 已知两点M(1,-2,3)与N(3,0,-1)，求线段 MN的垂直平分面方程。
二、平面的一般式方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
例 1 求过三点A(2,1,4)、B(1,3,2)和 C (0,2,3)的平面方程. 解 AB {3, 4,6}
AC {2, 3,1} 取 n AB AC {14, 9,1}, 所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) (z 4) 0,
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
表示
D
即 任一平面
？
Ax By Cz D 0
（A,B,C不同时为零）
不妨设 A 0，则
A x
D A
By 0 Cz 0
0
，为一平面.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
法向量 n {A, B,C}.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
平面一般式方程的几种特殊情况：
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
D 0, 平面通过 x轴；
(2)
A 0,

D

0,
平面平行于 x轴；
类似地可讨论 B 0, C 0 情形.
(3) A B 0, 平面平行于xoy 坐标面；
必有 M0M n M0M n 0
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面的点法式方程 其中法向量 n {A, B,C}, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ).
y
b
x y z 1 平面的截距式方程 a bc
x轴上截距 y轴上截距 z 轴上截距
例 7 求平行于平面6x y 6z 5 0而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解 设平面为 x y z 1,
z
a bc
V
1,

11 32
abc
1,
6 6t t 6t
6
a 1, b 6, c 1,
所求平面Biblioteka Baidu程为 6x y 6z 6.
或 6x y 6z 6.
已知平面上一点和不共线两个向量, 求通过该点与两向量平行的平面 ——点位式/坐标式参数方程 点位式（2.1.3或2.1.4） 坐标式参数方程(2.1.2)
类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形. (4)A B D 0, 有z 0,即xoy面.
例 4 设平面过原点及点(6,3, 2)，且与平面
4x y 2z 8垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
由平面过原点知 D 0,
由平面过点(6,3, 2)知 6A 3B 2C 0
n{4,1,2},
4A B 2C 0
A B 2C, 3
所求平面方程为 2x 2 y 3z 0.
• 例5 求通过点M(2,-1,1)与N(3,-2,1)，且平行 于z轴的平面的方程
例 6 设平面与x, y, z 三轴分别交于P(a,0,0)、 Q(0,b,0)、R(0,0, c)（其中a 0，b 0，c 0），
• 2. 通过点M(1,-5,1)和N(3,2,-2)且垂直于 xOy坐标面的平面.
• 3. 已知四点 (5,1,3),B(1,6,2),C(5,0,4),D(4,0,6),求通过直 线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直 线AB且与三角形ABC所在平面垂直的平面.
• 4. 过点M(3,2,-4)且在x轴和y轴上截距分别 为-2和-3的平面
o
y
x
由所求平面与已知平面平行得
111 （向量平行的充要条件） a b c ,
616
化简得 1 1 1 , 令 1 1 1 t 6a b 6c 6a b 6c
a 1 , b 1, c 1 ,
6t
t
6t 代入体积式
1 1 1 1 1 t 1 ,
化简得 14x 9 y z 15 0.
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x y z 7和
3x 2 y 12z 5 0的平面方程.
解 n1 {1,1,1}, n2 {3,2,12}
取法向量
n

n1

n2

{10,
15,
5},
解析几何
第2章 空间的平面与直线
2019/11/28
§2.1.1 平面的方程
一、平面的点法式方程
z
n
如果一非零向量垂直
M0
M
于一平面，这向量就叫做
该平面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
已知 n { A, B, C}, M0( x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M( x, y, z)
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已知不共线的三点,求通过三点的平面
——三点式方程(2.1.6)
向量式法式方程(2.1.10) 坐标式法式方程(2.1.11)
以上共介绍了多少种方法? 哪些方法适用于仿射坐标系? 哪些方法适用于直角坐标系?
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练习1
• 1. 通过点M(3,1,-1)和N(1,-1,0)且平行于矢 量 {-1,0,2}的平面.