油藏数值模拟黑油模型差分方程四种解法

IMPES方法
原理方法：
处理过程：方程左边系数（毛管力和传导系数）以显示形式取值；
求解过程：压力和饱和度求解交替进行（先求压力再求饱和度）。

求解过程（差分方程线性化过程）：
对于油气水三相的方程组：
两
两
（3）压力和饱和度联立求解。

求解步骤：
（1）方程的系数以隐式的形式展开，对方程的求解过程中，进行若干次迭代：第L+1次迭代的系数是以L次为基础进行泰勒展开，取一阶小项，忽略掉二阶小项，获得线性方程组，联立起来求压力和饱和度（相当于一个半隐式的步骤）。

（2）重复这个迭代过程，满足精度的要求，进入下一时间步。

（3）重复上述步骤，直到模拟时间结束。

IMPIMS方法
基本原理：
（1）毛管压力和传导系数的取值确定：以显式确定压力，以隐式确定饱和度，显式和隐式的取值过程交替进行；
（2）求解压力和饱和度均以隐式迭代求得；
（3）压力和饱和度的求解交替进行。

求解步骤：
一、求解压力，与IMPES求压力的过程一样：
对于油气水三相的方程组：
（1）方程左边系数（毛管压力和传导系数等）以显式的形式取值（全都写成n方），将P n+1在P n处做泰勒展开，取一阶小项，即P n+1=P n+δp。

（2）方程右边以两相或三相的形式对求解变量进行分步微分展开（求解变量：三相：δp、δSw、δSg ||两相：δp、δSw、δPb（饱和压力））。

（3）将左右两边的表达式合并在一起，把与求解变量有关的内容移到等号左边，把常数项移动到等号右边，形成一个与三个求解变量有关的线性方程组。

（4）求解这个线性方程组。

考虑到δSw和δX只和本节点有关，消去这两项，得到一个与压力有关的方程，对压力用隐式求解。

得到δp。

二、求解饱和度，执行一遍半隐式方法，得到油气水三相方程。

对于油气水三相的方程组：
（1）对方程左边中的相毛管压力和传导系数以隐式形势取值，以两相或三相的形式（三相以δp、δSw、δSg ||两相以δp、δSw、δPb）对毛管压力和传导系数进行处理：以n时刻为基准对n+1时刻的变量进行泰勒级数展开，取一阶小项，忽略掉两个微小项的乘积项。

（2）方程右边以两相或三相的形式对求解变量进行分步微分展开（求解变量：三相：δp、δSw、δSg ||两相：δp、δSw、δPb）。

（3）将左右两边的表达式合并在一起，把与求解变量有关的内容移到等号左边，把常数项移动到等号右边，形成一个与三个求解变量有关的线性方程组。

三、将δp带入半隐式的水方程，得到含水饱和度δSw，将δp和δSw带入油方程与气方程处理并联立之后的新方程，得到δXg（一个时步相当于IMPES和半隐式交替完成求解过程）。

四、重复上述步骤，直到模拟时间结束。

四种方法的对比。