对数函数总结

二、新授内容：

定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b

=，那么数 b 叫做 以

a 为底 N 的对数，记作

b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数

例如：

1642= ⇔ 216log 4= ; 100102=⇔2100log 10=

242

1= ⇔2

12log 4=

; 01.0102

=-⇔201.0log 10-= 探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）

⑵01log =a ，1log =a a

∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10

=a ∴01log =a 同样易知： 1log =a a ⑶对数恒等式

如果把 N a b

= 中的 b 写成 N a log , 则有 N a

N

a =log

⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做为了简便,N 的常用对数

N 10log 简记作lgN

例如：5log 10简记作lg5 ; 5.3log 10简记作lg3.5.

⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN

例如：3log e 简记作ln3 ; 10log e 简记作ln10

（6）底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围,0(+∞

三、讲解范例：咯log

例1将下列指数式写成对数式：（课本第87页） （1）4

5=625 （2）6

2-=

641 （3）a

3=27 (4) m ）（3

1=5.73 例2 将下列对数式写成指数式：

（1）416log 2

1-=； （2）2log 128=7；

（3）lg0.01=-2； （4）ln10=2.303

例3计算： ⑴27log 9，⑵81log 43，⑶()()

32log 32-+，⑷625log 345

二、新授内容：

积、商、幂的对数运算法则：

如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：

)

()()

(3R)M(n nlog M log 2N log M log N

M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=

三、讲授范例： 例1 计算

（1）5log 25， （2）4.0log 1， （3）2log （74×52）， （4）lg 5100 例2 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：

log )2(;

(1)log z

xy a

a 例3计算： (1)lg14-2lg

37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg (3)2

.1lg 10

lg 38lg 27lg -+

四、课堂练习：

1.求下列各式的值：

（１）2log ６－2log ３ （２）lg ５＋lg ２

（３）5log ３＋5

log 3

1

（４）3log ５－3log １５ 2. 用lg ｘ，lg ｙ，lg ｚ表示下列各式：

(1) lg （xyz ）； （２）lg z xy 2； （３）z

xy 3lg ； （４）z y x

2lg

二、新授内容：

1.对数换底公式：

a

N

N m m a log log log =

( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0)

证明：设 a log N = x , 则 x

a = N

两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x

m log log log log =⇒=

从而得：a N x m m log log =

∴ a

N m m a log log =

2.两个常用的推论:

①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a

② b m

n

b a n

a m log log =（ a,

b > 0且均不为1）三、讲解范例：

例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56

例2计算：①3

log 12.05

- ② 2

1

94log 2log 3log -⋅例3设),0(,,+∞∈z y x 且z

y

x

643== 1︒ 求证

z

y x 1211=+ ； 2︒ 比较z y x 6,4,3的大小 例4已知a log x=a log c+b ，求x

四、课堂练习：

①已知 18log 9 = a , b

18 = 5 , 用 a, b 表示36log 45 ②若8log 3 = p , 3log 5 = q , 求 lg 5 1．证明：

b x

x

a a

b a log 1log log +=

2．已知λ====n a a a b b b n log log log 2121 求证：λ=)(log 2121n a a a b b b n 二、新授内容： 1．对数函数的定义：

函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数；它是指数函数x

a y = )10(≠>a a 且的反函数对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为,(+∞-∞

2．对数函数的图象

由于对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数，所以x y a log =的图象与x

a

y =的图象关于直线x y =对称x

a y =的图象关于x y =对称的曲线，就可以得到x y a log =的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质