浅谈多项式因式分解的方法

浅析多项式因式分解的方法

摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形的一个重要组成部分，也是处理数学问题的重要手段和工具因式分解在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用。

关键词：多项式因式分解转化方法应用

Chinese Abstract: polynomial factorization of polynomial multiplication is the inverse process, are algebraic identical deformation is an important part of solving mathematical problems, is also the importantmeans and tools.. Factorization in algebraic operations, such as solutions of equations has extremely extensive application.

Key words: Factorization of polynomial transformation method and its application.

在初中数学中，因式分解是一个十分重要的概念，在解题过程中有着广泛的应用，借助分解因式可解决计算、求值、说理等多方面的问题，因式分解也是整式乘法的一种重要变形，而转化是其中最重要的数学思想，即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘积。这种转化通常要通过观察、分析、尝试，应用提取公因式、乘法

公式、分组分解等方法来达到目的在解题过程中，方法灵活多变本文归纳总结因式分解的几种常用方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、简单的十字相乘法、拆、添项法、配方法等。

一、因式分解概念

把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.

分解因式与整式乘法为相反变形：

(a-b)(a+b) ←→ a2-b2整式乘法

(a-b)(a+b) ←→ a2- b2因式分解

同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤

二、基本方法

（一）提公因式法

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式.

例1分解因式 ma+mb

分析在多项式ma+mb中，每个单项式都含有字母m，故提出m就

可以.

解ma+mb=m(a+b)

例2 分解因式X(A-B)+Y(B-A)

分析通过适当的变形可以找出公因式（A-B）或（B-A），再提出就可以.

解1 X(A-B)+Y(B-A)

=X(A-B)-Y(A-B)

=(X-Y)(A-B)

解2 X(A-B)+Y(B-A)

=-X(B-A)+Y(B-A)

=(B-A)(Y-X)

（二）公式法若把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.

例3 分解因式 9a2-4b2

分析本题是一个二项式，符合平方差公式.用平方差公式分解. ∵9a2=(3a)2, 4b2=(2b)2,那么只要把3a和2b看作平方差公式中的a 和b 即可.②将两项交换后，这两项式是平方差的形式.

解 9a2-4b2

=(3a)2-(2b)2

=(3a+2b)(3a-2b)

例4 分解因式 x2+8ax+16a2

分析这题为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的

完全平方公式.题中的x2=(x)2，16a2=(4a)2，且这两项的符号相同，可写成平方和.这样x和4a就为公式中的a和b.另外8ax正好是2(x)(4a)即公式中的2ab项，这样这题就可用和的完全平方公式分解.

解(1) x2+8ax+16a2

=(x)2+2(x)(4a)+(4a)2

=(x+4a)2

再写第一步的三个项的和时实际上先写x2和(4a)2项，再写固定的“2”常数再将公式中的a、b数即x和4a写进二个括号内；计算出来为8ax，即原题中的中间项.

运用公式法分解因式时，先观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，然后尝试选择何种公式进行分解，并记住公式的结构特点和应用条件.

（三）十字相乘法

十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.十字相乘法

一般地，对于二次三项式a x2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1×a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1×c2，（注：⑴常数项是正数时，它分解成两个同号的因数，它们与一次项系数符号相同。⑵常数项是负数时，它分解成两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次系数符号相同。）

将a1，a2，c1，c2，排列如下：

a1 c1

╳

a2 c2

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1×c2 + a2×c1，若它正好等于二次三项式a x2+bx+c的一次项系数b，即a1×c2 + a2×c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1 x+ c1与a2 x+ c2之积，即 a x2+bx+c=( a1 x+ c1)( a2 x+ c2 ). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法. 它只能把某些二次三项式分解因式，而在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号.

例5 分解因式x2+3x-18

分析通过观察，此题采用十字相乘法就可以.

解 1 -3

╳

1 6

1×6+1×(-3)=3

所以x2+3x-18=(x-3)(x+6).

（四）配方法

对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方