能控性和能观性分析

x2 p1
p
p2
0
pn
x1
2.离散系统的能控性
定义 在有限时间区间 t 0, nT 内，若存在无约束的阶梯 控制序列 u(0),, u(n 1) ，能使系统从任意初态 x(0) 转移到 任意终态 x(n) ，则称该系统是状态完全能控的，简称是能控的。
3. 能控性和能达性
为便于数学处理。不失一般性：可以把终端状态规定为状 态空间中的原点 ，若系统在有限时间内从任一初始状态转移 至零状态，则称系统是状态能控的；
rank c [ A, B]n p rank[ B AB A n p B] n
其中：p rankB，p p 注：该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入 系统，可减少不必要的计算。
例1：已知
4 0 1 x x 2 u 0 5
解：n=3, 系统输入向量是2维的列向量，即p = 2。
2 1 p = rankB = rank 1 1 = 2 = p -1 -1 Γ c A, B3-2 2 1 3 2 = 1 1 2 2 -1 -1 -2 -2
显见矩阵S3-2的第二行与第三行线性相关， 故 rank c [ A, B] n p 2 3 ，系统不可控。
解：
2 5 4 2 1 3 S1 1 2 2 4 4 1 1 2 2 4 4
矩阵S的第二行与第三行线性相关，
故rankS =2＜3，系统不可控。
例3：用可控性判别矩阵 S n p判别系统能控性。
x1 1 3 2 x1 2 1 x 0 2 0 x 1 1 u1 2 2 u x3 0 1 3 x3 1 1 2
反之，也可以把初始状态规定为状态空间中的原点，若系 统从初始零状态在有限时间内转移至任意其他终端状态，则称 系统是状态能达的。 对于线性定常系统，能控性和能达性是等价的。
3.1. 2 能控性判据(※)
1. 秩判据（能控性判别矩阵） ※
定理3.1：对于线性连续定常系统： Ax Bu 状态完全 x
试判断其可控性。 解：
1 0 0 ˆ B1 0 4 0 0 0 7
ˆ ， B ，均行线性无关， 0 4 1
2
1 1 0
所以：系统完全可控。
例6：证明如下系统总是完全可控的。
0 x 0 a0 1 0 x u 1 0 an 1 1
中，B 不包含元素全为零的行。
例4：已知线性定常系统的对角线规范型为
x1 8 0 0 x1 0 1 x 3 0 u1 x2 0 1 0 2 u x3 0 0 2 x3 0 2 2
先假设这样的u存在，
由系统能控性定义：

凯莱—哈密顿定理可知
时间的函数
由此可知，要想系统完全能控，则上述方程组必 须任意的x0对有解，即系统的能控性判别矩阵满秩。 求满秩的方法：单输入系统： Gc [ A, B] 行列式为零 多输入系统：(Gc [ A, B])(Gc [ A, B])T行列式为零
判断系统的可控性。 解：由于此规范型中 B 不包含元素全为零的行， 故系统完全可控。
2）约当规范型系统（有重特征值）可控性判别 当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连
续系统 x(t ) Ax(t ) Bu (t )
x(0) x0
t 0
完全可控的充分必要条件是：由其导出的约当
ˆˆ ˆ ˆ 规范型 x Ax Bu 中，ˆ 中与同一特征值的各 B
如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可 由输出完全反映，则称系统是状态能观测的，否则就 称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
状态方程：描述了输入引起的状态变化
输入能够控制状态（控制问题）
输出方程：描述了状态变化引起的输出改变
状态能否由输出反映（观测和估计问题）
二． 能控性定义
1．状态能控和系统能控
则输出可控的充要条件是：输出可控性矩阵
S0 CB CAB CAn 1B D
的秩等于输出变量的维数q，即 rankS0 q 注意：状态可控性与输出可控性是两个不同的
概念，二者没有什么必然联系。
例7：已知系统的状态空间描述为
0 1 1 x x 1 u 1 2
对于线性定常离散系统，如果根据输出信号的有限个 采样值y(k)，可以惟一的确定系统的任一初始状态x(0), 则称系统是状态完全能观测的。
几点说明：
1、能观测性是研究输出反映状态的能力，即通过输出 量在有限时间内的量测，能否把系统的状态识别出来。 2、输入引起的输出可计算，所以分析观测性时，常令u 恒等于0，即分析齐次状态方程和输出方程即可。 3、需要定义观测时间。目的是为了唯一地求出n个状态 变量，多量测出几组输出。 4、能观测性归结为初始状态的确定，则任意状态可在初 态和输入作用下由状态转移矩阵得到。
a1
证明：
0 1 0 1 a n 1 S 0 1 an 1
rankS n ，故完全可控。
该题说明：可控标准型系统完全可控。
3．格拉姆矩阵判据
线性定常系统
x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0
y 1 0 x
判断系统的状态可控性和输出可控性。 解：1）系统的状态可控性矩阵为
S B 1 1 AB 1 1
rankS 1 2 ，状态不完全可控
2）系统的输出可控性矩阵为
S0 CB C A B D 1 1 0
rankS0 1 q , 系统输出可控。
注：秩判据是一种比较方便的判别方法。
补充：可控性判别矩阵 c [ A, B]n p（※）： 线性定常连续系统的状态方程
x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0
其中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；A 和B分别为(n×n) 和(n×p)常阵。该线性定常连 续系统完全可控的充要条件是：
2. 基于标准型判据
1）对角规范型系统(无重特征值)可控性判别（※） 当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0 完全可控的充分必要条件是：其对角线规范型
1 2 x Bu x n
完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时 刻T>0，使如下定义的格拉姆矩阵：
Wc [0, T ] =
ò
T
e
- At
BB e
T - AT t
dt
0
为非奇异。
注意：在应用该判据时需计算eAt，这在A的维数较
高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。
3.1. 3 能控性的性质
性质一：等价的状态空间模型具有相同的能控性。
考虑n维线性时不变系统的状态方程
x Ax Bu
x(0) x0
如果存在一个有限时刻T和时间段 [0, T ] 上控制信u(t)，使 得在这样的控制信号作用下，系统状态从t=0时刻的初始状态x(0) 转移到t=T时刻的零状态，即 x(T ) = 0 ，则称此状态是能控的。 如果系统的所有状态都是能控的，即能控状态充满整个状态空 间，则称系统是状态完全能控的，简称系统能控。如果状态空 间中存在一个或一些非零状态在时刻t0是不可控的，则称系统 在时刻t0是不完全可控的，也称为系统是不可控的。
性 质 二 ： 任意单输入系统的能控状态空间模型都能 变换成能控标准形。 化成能控性标准形的方法：
AB A2 B L An- 1B ] T = 轾 AB A2 B L An- 1B B 犏 臌 W = TT - 1 WAW -Fra Baidu bibliotek1 = A T[B
WB = B
注意： 能控性判据也适合离散系统，只是采样周期选
3.1 系统的能控性
3.1 能控性定义 一．能控性与能观测性的物理概念
系统的可控性和可观性，就是指系统内的所有 状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。
如果系统内部的所有状态的运动都可由输入来影响 和控制而由任意的初始状态达到原点，则称系统是能 控的，或者更确切的说是状态能控的，否则就称系统 为不完全能控的，或简称为系统不可控。
3.2 系统的能观性
3.2 能控性定义
如果对任意给定的输入u(t)，存在一有限观测时间 t f t0 使得根据 [0, T ] 期间的输出 y(t ) 能唯一地确定系统在初始时 刻的状态 x( t )，则称状态 x ( t0 ) 是能观测的。
0
如果系统的每一个状态都是能观测的，即能观测状态
充满整个状态空间，则称系统是状态完全能观测的
判断其能控性。 解：系统阶次 n 2 ，确定出可控判别阵
S B 1 4 AB 2 10
rankS 2 n ，所以系统为完全可控。
例2：判断下列系统的可控性
x1 1 3 2 x1 2 1 x 0 2 0 x 1 1 u1 2 2 u x3 0 1 3 x3 1 1 2
约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是 行线性无关的。
例5：已知约当规范型系统如下：
2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 ˆ x 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ˆ 0 0 0 x + 0 0 3 1 0 0 3 0 1 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 7 u 0 0 1 0 4 1
能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：
Gc [ A, B] = [ B M M 2 B M M n- 1B] 满秩 AB A L A
rank Gc = rank[ B M M 2 B M M n- 1B] = n AB A L A
[证明]：根据能控性的定义可知， 对系统的任意的初始状态 x ( t0 ) ，如果能找到输入 u(t)，使之在 [t0 , t f ] 的有限时间内转移到零状 态 x( t f ) 0 ，则系统状态能控。
择不当就不能保证能控的连续系统离散化后仍然能控。
3.1.4 输出能控性
x Ax Bu y Cx Du
定义：如果存在无约束的控制向量u(t),在有限的时 间间隔[0,T]内，使任一给定的初始输出 y0 转移到任 一最终输出 y(T)，则称线性定常系统为输出能控的。
x (0) x0 , t 0, t1
第三章 能控性和能观性分析
3.1 系统的能控性（※） 3.2 系统的能观性（※） 3.3 能控能观性的对偶原理
3.4 基于传递函数的能控能观性条件
第三章 能控性和能观性分析
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运 动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如 可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。 在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容 是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、 可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被 证明这是系统的两个基本结构属性。 本章首先给出可控性、可观测性的严格的数 学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测 性的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还 是在实际应用中都是很有用的。