一个修正的三阶收敛的牛顿迭代法_李娟

f（ xn） = f（ α + en）
= f（ α）
+
f '（
α）
en
+
1 2！
f ″（
α）
e2n
f（ yk） f '（ xk）
= c2 e2n + （ 2c3 － 4c22 ） e3n + o（ e3n ） ，
xk +1
=
yk
－ f（ yk） f '（ xk）
= α + 2c22 e3n + o（ e3n ） ，
（ 2） ： 187-203． ［8］ Chang Y-H O． Hybrid fuzzy least － squares regression a-
nalysis and its reliablity measures［J］． Fuzzy Sets and Systems，2001，119（ 2） ： 225-246． ［9］ Diamond P，Korner R ． Extended fuzzy linear models and least squares estimate［J］． Computers and Mathmatics with Applications，1998，33（ 9） ： 15-32．
摘 要： 给出了牛顿迭代法的一种修正形式，证明了它是三阶收敛的，通过数值算例进行了验证．
关键词： 牛顿迭代法; 收敛阶; 误差方程
中图分类号： O241． 7
文献标识码： A
文章编号： 1674 － 1331（ 2012） 03 － 0029 － 03
收稿日期： 2012 － 03 － 25
作者简介： 李娟( 1979 － ) ，女，汉族，甘肃两当人，讲师，硕士在读，研究方向: 计算数学．
0． 000000e + 000
6 － 1． 201576
2． 452039e － 012
牛顿法
k
xk
xk － xk－1
8
5． 000000
2． 309264e － 014
5
0． 876726
8． 437695e － 015
5
0． 893963
2． 016387e － 012
5
0． 757138
1． 110223e － 016
且 x0 充分靠近 α，则迭代公式（ 5） 产生的迭代法的
误差方程为
en+1 = 2C22 e3n + o（ e3n ） ．
（ 6）
其中 en = xn － α，ck = （ 1 / k！ ） f （ k） （ α） / f '（ α） ，
k = 2，3．
证明 将 f（ x） 在 α 处 Taylor 展开，则
Key words Fuzzy linear regression； LR － type fuzzy number； Weighted least-squares； Outliers
［责任编辑 王 芬］
表 1 两种方法的比较
x0
例 1 6． 0
例 2 1． 0
例 3 1． 0
例 4 1． 0
例5
－2
Байду номын сангаас
修正的牛顿法
k
xk
xk － xk－1
6
5． 000000
1． 687539e － 014
4
0． 876726
0． 000000e + 000
4
0． 893963
0． 000000e + 000
4
0． 757138
method with accelerated third-order convergence［J］． Appl Math Lett，2000，13（ 8） ： 87-93． ［3］ 关治，陆金甫． 数值方法［M］． 北京： 清华大学出版
第3 期
李 娟： 一个修正的三阶收敛的牛顿迭代法
社，2006． ［4］ 李庆扬，王能超，易大义． 数值分析［M］． 北京： 清华
p = ln （ xn+1 － α） /（ xn － α） ． ln （ xn － α） / （ xn－1 － α）
（ 3）
2 修正的牛顿迭代法
2． 1 算法
考虑非线性方程
f（ x） = 0，
（ 4）
f： →R 为 一 非 线 性 映 射． 设 α ∈ I 是 方 程
f（ x） = 0 的单根，f（ x） 在区间 I 上满足二阶连续可
Abstract A modified form of the Newton iteration method was given． it was proved that it is a third order convergence，then numerical examples were given to verify the theoretical analysis．
A Weighted Least-squares Fuzzy Linear Regression LIANG Yan，ZHANG Wenlin
（ Nanhang Jincheng College，Nanjing，Jiangsu 211156）
Abstract This paper has discussed the weighted least-squares method to estimate the fuzzy linear regression model，whose input，output and regression coefficient is LR － type fuzzy number． This method will obtain prediciton mode that can resist interference of abnormal values effectively as a result of decision makers giving different weights to the observation data based on training data＇s confidence．
［－ 2，0］．
+
1 3！
f （ α）
e3n
+
o（
e3n ）
数值例子中给定 ε = 1． 0E － 10，n = 10000． 求解结果如表 1 所示．
= f '（ α） [ en + c2 e2n + c3 e3n + o（ e3n ） ] ，
f '（ xn ） = f '（ α） [ 1 + 2c2 en + 3c3 e2n + o（ e2n ） ] ，
关于非线性方程 f（ x） = 0 的求解，经典牛顿
迭代法是一种 最 实 用 和 最 重 要 的 方 法，因 为 其 简
单和收敛速度快而被广泛应用于科学与工程计算
中，如非线性断裂问题、弹塑性问题以及其它非线
性力学问题、电路问题、电力系统计算、经济与非
线性规划问题、逆变消谐问题等． 牛顿迭代法二阶
收敛方程的单根，其迭代格式如下
大学出版社，施普林格出版社，2001．
·31·
A Revision of Newton's Iterative Method with Third-order Convergence LI Juan1，2
（ 1． Longnan Teachers College，Chengxian，Gansu 742500； 2． Mathematics and Statististics of Lanzhou University，Lanzhou，Gansu 730000）
宁夏师范学院学报（ 自然科学）
2012 年 6 月
算法 2（ Newton 法）
对迭代公式（ 5） 有
Step 1 给定 x0 ∈ R，ε ＞ 0，n ∈ N + ，k = 0； Step2 计算
yk
=
xk
－ f（ xk） f '（ xk）
= α + c2 e2n + 2（ c3 － c22 ） e3n ，
en+1
/
en
p
= C．
（ 2）
则称 p 为序列的收敛阶，称 C 为渐进误差常
数． 对于 p = 1，2，3 分别称为线性收敛，二次收敛，
和三 次 收 敛． 也 称 en+1
=
Cepn
+
o
(
ep +1 n
)
为
误
差
方程．
定义 2［2］ 设 α 是方程 f（ x） = 0 的单根，且
xn－1 ，xn，xn+1 是求 α 近似解的迭代序列的连续 3 项， 则收敛阶可以用下面的公式近似计算
xk +1
=
xk
－
f（ xk） f '（ xk）
；
Step 3 若 xk+1 － xk ＜ ε 或 k ＞ n，停机，输
出近似根 xk；
Step 4 令 k = k + 1 转回 Step2．
2． 2 收敛性分析
定理1 设 f（ x） ： I→R 在开区间 I 内具有直到
4 阶导数，设 α 是方程 f（ x） = 0 的单根，f'（ x） ≠0，
Step 1 Step 2
Step 3 根 xk；
Step 4
给定 x0 ，ε ＞ 0，k = 0；
计算yk
=
xk
－
f（ xk） f '（ xk）
，
xk +1
=
yk
－
f（ yk） f '（ xk）
；
若 xk+1 － xk ＜ ε，停 机，输 出 近 似
令 k = k + 1 转回 Step2．
·30·
8
－ 1． 201576
4． 905076e － 011
3 结论
算量小，而且比经典的牛顿迭代法收敛快．
数值算例的结果表明本文提出的算法不仅计
参考文献：
［1］ 包 雪 松 译． 数 值 方 法［M］． 北 京： 高 等 教 育 出 版 社，1990．
［2］ Weerakoon S，Fernando T G I． A variant of Newton’s
en+1 = 2c22 e3n + o（ e3n ） ．
2． 3 数值算例
选取一些比较典型的代数方程和超越方程，
在 MATLAB 环境下进行数值模拟，验证算法 1 的
有效性，同时与牛顿迭代法运算结果进行比较．
实验方程如下 例 1 f（ x） = x4 － 12x3 + 47x2 － 60x = 0，
x ∈［4，6］；
例 2 f（ x） = x2 － sinx = 0，x ∈ ［0． 5，2］；
例 3 f（ x） = x4 － ln（ x + 1） = 0，x ∈［0． 5，1］； 例 4 f（ x） = e－x2 － ln（ x + 1） = 0，x ∈［0，1］；
例 5 f（ x） = xex* 2 － sin2 x + 3cosx + 5，x ∈
Key words Newton's iteration method； Order of convergence； Error equations
［责任编辑 刘碧蕊］
( 上接第 23 页)
［5］ Savic D，Pedrycz W． Evaluation of fuzzy regression models［J］． Fuzzy Sets and Systems，1991，39： 51-63．
xk +1
=
xk
－
f（ xk） f '（ xk）
，k
= 0，1，2…，
（ 1）
本文引入步长因子，使得牛顿法通过加速后，
具有三阶收敛速度．
1 基本定义
定义 1［1］ 令 x0 ，x1 ，x2 ，… 是收敛于 α 的序
列，并令 en = xn － α． 如果存在着数 p 及常数 C ≠
0，使得
lim
n→∞
第 33 卷第 3 期 2012 年 6 月
宁夏师范学院学报（ 自然科学） Journal of Ningxia Teachers University （ Natural Science）
Vol． 33 No． 3 Jun． 2012
一个修正的三阶收敛的牛顿迭代法
李 娟1，2
（ 1． 陇南师范高等专科学校，甘肃 成县 742500； 2． 兰州大学 数学与统计学院，甘肃 兰州 730000）
微，则可以使用以下迭代公式求解：
{yk
=
xk
－
f（ xk） f '（ xk）
，
k
= 0，1，2，…，
（ 5）
xk +1
=
yk
－
f（ yk） f '（ xk）
，
迭代公式（ 5） 要求初始点 x0 要充分接近零点
α，但如果函数 f（ x） 为凸函数，则实现全局收敛．
算法 1（ 修正的 Newton 法）
［6］ Kao C，Chyu C L ． Least － squares estimates in fuzzy regression analysis［J］． European Journal of Operational Research，2003，148： 426-435．
［7］ Chang Y-H O． Fuzzy regression methods － a comparative assessment［J］． Fuzzy Sets and Systems，2001，119