直线与方程知识点总结与典型习题分类练习解析(精品)

y k ( x 3) 1 3k 2 1 4k ,解得 A , . k 1 k 1 x y 1 0
8分 由
y k ( x 3) 1 3k 7 1 9k ,解得 B ， , x y 6 0 k 1 k 1
4.直线 l 经过点 P（3，2）且与 x，y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点，△OAB 的面积为 12， 求直线 l 的方程. 解 方法一 设直线 l 的方程为
x y 1 （a＞0,b＞0）, a b
∴A(a,0),B(0,b), ∴ 3 2
ab 24, a b 1.
a 1
a 2 1 x -(a+1), 1 a
l1∥l2 2 1 a
3 (a 1)
，
解得 a=-1,
综上可知，a=-1 时，l1∥l2，否则 l1 与 l2 不平行. 方法二 由 A1B2-A2B1=0，得 a （ a-1）-1×2=0，由 A1C2-A2C1 ≠0，得 a(a -1)-1×6≠0,
【课堂讲解与练习】
直线的方程 3 3 3 1.设 a，b，c 是互不相等的三个实数，如果 A（a，a ） 、B（b，b ） 、C（c，c ）在同一直线 上，求证：a+b+c=0. 证明 ∵A、B、C 三点共线，∴kAB=kAC， ∴
a 3 b3 a 3 c3 ，化简得 a2+ab+b2=a2+ac+c2， ab ac
2
y x =1，将（-5，2）代入所设方 2a a 2 5 2 5 3 4
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程，解得 a=- ， 此时，直线方程为 x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0.
3 1 cos （2）设直线 l2 的倾斜角为 ,则 tan = .于是 tan = = 4 2 sin 1 2
a 1 1 2 a x-3,l2:y= =-1 a= . x -(a+1), 由 · 2 1 a 1 a 3 2 2 3
当 a≠1 时，l1:y=方法二
由 A1A2+B1B2=0，得 a+2(a-1)=0 a= .
例 3 （12 分）已知直线 l 过点 P（3，1）且被两平行线 l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0 截得的线段 长为 5，求直线 l 的方程. 解 方法一 若直线 l 的斜率不存在， 则直线 l 的方程为 x=3,此时与 l1,l2 的交点分别是 A（3，-4） ，B（3，-9） ， 截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意. 若直线 l 的斜率存在时，则设直线 l 的方程为 y=k(x-3)+1,分别与直线 l1,l2 的方程联立， 由
l1 // l 2 k1 k 2 , b1 b2 ； l1 l 2 k1 k 2 1
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点 l1 : A1 x B1 y C1 0 l 2 : A2 x B2 y C 2 0 相交
y y1 x x1 （ x1 x2 , y1 y2 ）直线两点 x1, y1 ， x2 , y2 y2 y1 x2 x1
④截矩式：
x y 1 其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴 a b 的截距分别为 a, b 。
⑤一般式：
Ax By C 0 （A，B 不全为 0）
1 各式的适用范围 2 特殊的方程如： ○ 注意：○ 平行于 x 轴的直线： y b （b 为常数） ； 平行于 y 轴的直线： x a （a 为常数） ； （6）两直线平行与垂直 当 l1 : y k1 x b1 ， l 2 : y k 2 x b2 时，
2 2
∴b -c +ab-ac=0， （b-c） （a+b+c）=0， ∵a、b、c 互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0. 2.（2009·宜昌调研）若实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=3，那么 （ A.
1 2 y 的最大值为 x
） B.
3 3
C.
3 2
D. 3
答案 D 3.（1）求经过点 A（-5，2）且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程； （2）过点 A（8，6）引三条直线 l1,l2,l3，它们的倾斜角之比为 1∶2∶4，若直线 l2 的方 程是 y= x,求 直线 l1,l3 的方程. 解 （1）①当直线 l 在 x、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为 y=kx, 将（-5，2）代入 y=kx 中，得 k=- ，此时，直线方程为 y=- x, 即 2x+5y=0. ②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为
A1 x B1 y C1 0 交点坐标即方程组 的一组解。 A2 x B2 y C 2 0
方程组无解 l1 // l 2 ；
方程组有无数解
1
l1 与 l 2 重合
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（8）两点间距离公式：设 A( x1 , y1 )，（ 是平面直角坐标系中的两个点， B x2 , y2） 则 | AB | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 （9） 点到直线距离公式： 一点 P x0 , y 0 到直线 l1 : Ax By C 0 的距离 d Ax0 By0 C 2 2
∴- ≤m≤ 且 m≠0.又∵m=0 时直线 x+my+m=0 与线段 PQ 有交点，∴所求 m 的取值范围 是- ≤m≤ . 方法二 过 P、Q 两点的直线方程为 y-1=
2 1 1 4 (x+1),即 y= x+ ,代入 x+my+m=0, 2 1 3 3 2 3 1 2
整理，得 x=-
7m 7m . 由已知-1≤≤2, m3 m3
2 3
∴ 3 (2-3k)=24.解得 k=- .∴所求直线方程为 y-2=- (x-3).即 2x+3y-12=0. 9.已知线段 PQ 两端点的坐标分别为（-1，1） 、 （2，2） ，若直线 l：x+my+m=0 与线段 PQ 有交 点，求 m 的取值范围. 解 方法一 直线 x+my+m=0 恒过 A（0，-1）点. kAP= 则1 1 1 2 3 =-2，kAQ= = ， 0 1 02 2 1 3 1 ≥ 或- ≤-2， m 2 m 2 3 1 2
1
4 5 1, 3 3 5
3 4 24 ,所以所求直线 l 的方程为 y-6= 1 (x-8), tan2 = 1 3 7 1 tan 2 1 ( 3 ) 2 4 2 tan 2
即 x-3y+10=0,l3 的方程为 y-6=
பைடு நூலகம்
24 (x-8),即 24x-7y-150=0. 7
A B
（10）两平行直线距离公式 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 ： Ax By C1 0 ，
l 2 ： Ax By C 2 0 ，则 l1 与 l 2 的距离为 d
C1 C 2 A2 B 2
（11）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系 平 行 于 已 知 直 线 A0 x B0 y C0 0 （ A0 , B0 是 不 全 为 0 的 常 数 ） 的 直 线 系 ：



当 90 ,180



时， k 0 ；
当 90 时， k 不存

②过两点的直线的斜率公式： k
y 2 y1 ( x1 x 2 ) x 2 x1
（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）
注意下面四点：(1)当 x1 x 2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90°； (2)k 与 P1、P2 的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程 ①点斜式： y y1 k ( x x1 ) 直线斜率 k，且过点 x1, y1 注意：当直线的斜率为 0°时，k=0，直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式： y kx b ，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式：
A0 x B0 y C 0 （C 为常数）
（二）垂直直线系 垂 直 于 已 知 直 线 A0 x B0 y C0 0 （ A0 , B0 是 不 全 为 0 的 常 数 ） 的 直 线 系 ：
B0 x A0 y C 0 （C 为常数）
（三）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为 k 的直线系： （ⅱ） 过两条直线 l1 为
解得
a 6, b 4.
x 6 y =1,即 2x+3y-12=0. 4
∴所求的直线方程为 方法二
设直线 l 的方程为 y-2=k(x-3),
2 ,令 x=0,得直线 l 在 y 轴上的截距 b=2-3k. k 2 3
令 y=0,得直线 l 在 x 轴上的截距 a=3 2 k
2 2
由两点间的距离公式，得
3k 2 3k 7 1 4k 1 9k + =25， k 1 k 1 k 1 k 1
解得 k=0,即所求直线方程为 y=1. 综上可知，直线 l 的方程为 x=3 或 y=1. 方法二 设直线 l 与 l1,l2 分别相交于 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+y1+1=0,x2+y2+6=0, 两式相减，得(x1-x2)+(y1-y2)=5 ① 6分 2 2 又(x1-x2) +(y1-y2) =25 ② 联立①②可得
解得- ≤m≤ .
2 3
1 2
两直线方程 2 例 1 已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a -1=0, （1）试判断 l1 与 l2 是否平行； （2）l1⊥l2 时，求 a 的值.
3
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解 （1）方法一 当 a=1 时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1 不平行于 l2; 当 a=0 时，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 不平行于 l2; 当 a≠1 且 a≠0 时，两直线可化为 l1:y=- x -3,l2:y=
y y0 k x x0 ，直线过定点 x0 , y0 ；
: A1 x B1 y C1 0 ，l2 : A2 x B2 y C2 0 的交点的直线系方程
，其中直线 l2 不在直线系中。 A1x B1 y C1 A2 x B2 y C2 0 （ 为参数）
a (a 1) 1 2 0 ∴l1∥l2 2
2 a a 2 0 a=-1, 2 a (a 1) 6
2
a (a 1) 1 6 0
故当 a=-1 时，l1∥l2，否则 l1 与 l2 不平行. （2）方法一 当 a=1 时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1 与 l2 不垂直，故 a=1 不成立.
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学生姓名 年级 高一 授课时间 教师姓名 课时
GFJW0901
02 直线与方程
【知识点】
（1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行 或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常 用 k 表示。即 k tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当 0 ,90 时， k 0 ； 在。