状态空间分解法计算公式分析
由传递函数求状态空间表达式根据前面介绍的微分方程与状态空间
b0sm b1sm1 L bm1s bm sn a1sn1 L an1s an
c1 c2 L cn
s 1 s 2
s n
(n m)
其中：
ci
lim G(s)(s
si
i )
X
1
(s
)
s
1
1
U (s)
X
2
(
s)
s
1
2
U (s)
X
n
(s)
s
1
n
U (s)
分解式第二部分表示状态变量与输出的关系， 输出y等于各状态变量与输入的线性组合，即式中 的C和D阵。
若传递函数等效为：
G(s)
b0
b1s n1 b2 s n1 s n a1s n1
bn1s an1s
bn an
式中
bi (bi aib0 ), (i 1,2, , n)
：
此时，式中的C阵和D阵可直接写成
sX 1(s) 1 X1 (s) U (s)
sX2
(s)
2
X
2 (s) U (s)
sX n (s) n X n (s) U (s)
x1 1x1 u
x2
2 x2
u
xn n xn u
Y (s) G(s)U (s) c1 U (s) c2 U (s) L cn U (s)
sn
a1s n1
b
an1s an
系统的微分方程为：
y (n) a1 y (n1) an1 y an y bu
则根据上节公式，可直接写出状态空间表达 式。即：
0 1 0
0
A
0
,
B , C 1
现代控制理论-3传递函数和状态空间模型间的转换
= 4 ⋅ 1 ⋅s+2 s +1 s +3 s + 4
G(s) = 4 ⋅ 1 ⋅ s + 2 s +1 s +3 s + 4
以下三个环节的串联
u
4
y1
1
y2
s+2 y
s +1
s+3
s+4
x1 = −x1 + 4u
y1
=
x1
xy 22
= −3x2 = x2
+
u2
x3 = −4x3 + u3
现代控制理论
Modern Control Theory (3)
俞立
浙江工业大学 信息工程学院
传递函数和状态空间模型间的转换
分解法建立复杂系统的状态空间模型 串联、并联、反馈关联
串联法：
G(s) =
4s + 8
s 3 + 8s 2 + 19s + 12
分解成
G(s) =
4(s + 2)
(s + 1)(s + 3)(s + 4)
例：求传递函数矩阵，其中状态空间模型的系数矩阵：
1 2 A = − 2 1,
1 B = 0,
C = [1 1],
D = [0]
难点：求逆矩阵 (sI − A)−1
1 2 A = − 2 1,
1 B = 0,
C = [1 1],
D = [0]
根据求逆矩阵的定义 (sI − A)−1 = adj(sI − A)
(sI − A) X (s) = BU (s)
X (s) = (sI − A)−1 BU (s)
状态空间的分解
基于状态空间模型，可以设计各种控制策略，如 线性二次调节器（LQR）、最优控制等，以实现 系统的最优控制。
控制系统仿真
通过状态空间模型，可以对控制系统进行仿真， 模拟系统的动态行为，评估控制策略的有效性和 性能。
在信号处理中的应用
信号滤波
状态空间方法可以用于信号滤波， 通过构建状态空间模型来描述信 号的动态变化，实现信号的平滑 和噪声抑制。
状态空间的分解
contents
目录
• 状态空间的基本概念 • 线性系统的状态空间表示 • 状态空间的分解方法 • 状态空间的应用 • 状态空间分解的实例分析
01
状态空间的基本概念
状态变量的定义
状态变量
01
描述系统状态的变量，通常用矢量表示，包含系统的各个独立
变量。
状态变量的选择
02
选择的状态变量应能全面反映系统的动态特性，且便于分析。
线性系统的状态方程
状态方程描述了系统内部状态变 量随时间的变化规律，通常表示 为状态变量的一阶或二阶微分方
程。
对于线性系统，状态方程具有形 式：dx/dt = Ax + Bu，其中x 是状态变量，u是输入，A和B是
系统矩阵。
解状态方程可以得到系统状态变 量的时间响应。
线性系统的输出方程
输出方程描述了系统输出与状态变量和输入之间的关系，通常表示为输出变量与状 态变量的线性组合。
总结词
高阶线性系统的状态空间表示能够精细 地描述系统的动态行为。
VS
详细描述
高阶线性系统是指系统的动态行为需要用 高阶微分方程来描述的系统。其状态空间 表示与一阶和二阶系统类似，但需要更多 的状态变量和方程来描述系统的动态行为 。通过高阶线性系统的状态空间表示，可 以更精确地分析系统的动态性能和稳定性 ，以及设计更有效的控制系统。
状态空间的分解
p(n1d m) ij
0，
p(n2d l ) ij
0
由引理10知：d l - m， 但1 l，m d
l m 0，即l m Jm Jl ）
(2) 转移规则的正确性 （即对k Jm , 有
pkj 1 ）
jJ m1
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C为闭集， 对k Jm C, 有
0
pkj 0
(3) 分解式的唯一性
pkj 1
jJ m1
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d
设对状态i，C Jm
d
设对另一状态i，C Jm
m1
（下证：对j, k Jm，一定也有j, k Jm
）m1
不妨设i Jl
若m l，
则从i出发，能且只能在m - l步，m - l d步，m - l 2d步
, 到达j或k. 由Jm 的定义知：j, k Jm l
若m l，
则从i出发，能且只能在d - (l - m) m - l d步， m - l 2d步上 ，到达j或k.
再由Jm 的定义知：j, k Jm ld 分解式是唯一的
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定理11
设{Xn，n 0，1，2， }是周期为d的不可约的齐次马尔
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引理7 (有关闭集的判定和性质)
(1) C是闭集 pij 0,i C, j C
(2) C是闭集 pij 1,i C jC
(3) C是闭集 p(n) 1,i C, n 0 ij jC
(4) i是吸收态(即{i}为闭集) pii 1
证明 (1) 若C是闭集 由定义 pij 0,i C, j C
N 0,当n N时，p（iind） 0,
状态空间分解法计算公式分析
同批工件间同时到达的耦合关系？工件本来是一个个到达，如C-C+1-C+2，但考虑为批次同时到达，C 可以直接到C+2;基于更新过程的关键更新定理，将小车与B2、B4间的耦合关系用节点间的批量到达速率、批量离开速率变化替代？B2的输出与B4的输入之间相互依赖 节点二：两次小车装载之间通常会有多个工件到达B2，在小车两次到达的间隔中B2内的工件数量曲线是单调非减的。
因此，实际上小车回到B2时B2拥有的工件数量的期望（锯齿的上尖点）远远比稳态后（稳态后不变，中间水平线）计算的期望要大 节点四：实际上小车来到B4时B4拥有的工件数量的期望远远比稳态后计算的期望要小，当小车容量C 越大、小车速度越慢（保持当量运载能力不变）的时候这个偏差越明显，这样将提高小车由于阻塞停留在B4处的计算概率（实际堵塞概率比计算值要小），降低前环节的处理能力。
平均在制品数量：()()()()()121112223331122334444444441112123,,,01011111C4,,2011WIP=;N N CS w b S w b S w b b w b w b w N i S w b S w b w w P w P w P w Pw P N +======+===⨯+⨯+⨯+⨯+⨯∑∑∑∑∑∑∑∑∑第4项改为乘以W4;第五项(节点四在制品数期望)就是小车阻塞的概率乘以节点4的个数（N4+1）状态之间的转换速率：存在概率路径，则用概率路径乘以速率，不存在概率路径，则直接用速率。
实际上概率路径之和一定=11i b =-0i b =1i b =2i b =B2B4节点3：2C+2个状态对应2C+2个方程右边第一项：上标为W3，漏了V ，第二项是只可能是从小车上只有一个变为空车返回状态右边VP3load （0）=VP2(0)，节点2空闲节点S3(1,1)-与S(i ，1)的状态平衡方程不一样，所以要分开写: 首先不是0个，并且只是1个，所以概率累乘；一出两进 如果运输2个或以上，则不可能经过状态S3(0,-1) C-1出C-1进上述两式合并？1<=i<=C 节点三2C+2个方程 V ，u4已知 需要求P式中，()333,S w b P 为系统稳态后，节点三处于状态 ()33,w b 的概率；V 为小车从B2到B4的运载速率，同时也是B4到B2的空车返回速率；λ2*为B2的到达速率()()1*21121P0PV 1PB μλ⨯---=；P01,PV1分别表示W1处于空闲与阻塞的概率而此时B2不可能处于堵塞状态，所以分母为1-阻塞的概率 μ4*为W4的加工速率*44μμ=；(3,4)(,)i i PB w w k -为当小车将i w 个工件运达B4时，B4的剩余空间为k 的概率。
已知传递函数求状态空间表达式
已知传递函数求状态空间表达式传递函数是描述线性系统的重要工具，但有时我们需要将其转换为状态空间表示以便于分析和实现。
本文将介绍已知传递函数如何求解状态空间表达式的方法。
首先，我们将传递函数表示为分子多项式$N(s)$除以分母多项式$D(s)$的形式：$$G(s) = frac{N(s)}{D(s)}$$接下来，我们可以使用部分分式分解将传递函数拆分为若干个一阶系统的和：$$G(s) = frac{N(s)}{D(s)} = frac{K_1}{s-a_1} +frac{K_2}{s-a_2} + cdots + frac{K_n}{s-a_n}$$其中，$a_1, a_2, cdots, a_n$ 是传递函数的极点，$K_1, K_2, cdots, K_n$ 是对应的系数。
接着，我们可以将每个一阶系统表示为状态空间形式：$$begin{aligned} dot{x}_i &= a_ix_i + b_iu y_i &= c_ix_i + d_iu end{aligned}$$其中，$x_i$ 是系统的状态向量，$u$ 是输入信号，$y_i$ 是输出信号，$a_i, b_i, c_i, d_i$ 是系统的系数。
注意，每个一阶系统的状态向量可能不同，因此需要为每个系统定义不同的状态向量。
最后，将每个一阶系统的状态空间表达式相加即可得到整个系统的状态空间表示：$$begin{aligned} dot{x} &= begin{bmatrix} dot{x}_1dot{x}_2 vdots dot{x}_n end{bmatrix} = begin{bmatrix} a_1 & 0 & cdots & 0 0 & a_2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & a_n end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 x_2 vdots x_n end{bmatrix} + begin{bmatrix} b_1 b_2 vdots b_nend{bmatrix} u y &= begin{bmatrix} c_1 & 0 & cdots & 0 0 & c_2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & c_n end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 x_2 vdots x_nend{bmatrix} + d_1u end{aligned}$$其中，$dot{x}$ 是整个系统的状态向量，$y$ 是输出信号，$a_i, b_i, c_i, d_i$ 在矩阵中的位置与之前相同。
状态空间法PPT课件
状态空间法的应用领域
控制系统设计
状态空间法广泛应用于控制系统设计，通过建立系统的状 态方程和输出方程，可以设计控制律来控制系统的行为。
信号处理
在信号处理领域，状态空间法可用于信号滤波、预测和估 计，通过建立信号的状态模型来描述信号的变化规律。
优势与局限
状态空间法具有直观、灵活和易于理解等优点，能够提供丰富的信息用于系统分 析和设计。然而，状态空间法也存在一些局限，例如对于高阶系统的计算可能较 为复杂，且在某些情况下难以得到解析解。
对未来研究的展望
进一步发展
随着科学技术的不断进步，状态空间法有望在更多领域得到应用和发展。例如，随着智能传感器和执行器技术的 进步，状态空间法在智能控制和自适应控制等领域的应用将更加广泛。此外，随着深度学习和人工智能技术的快 速发展，状态空间法有望与这些技术相结合，用于解决更复杂和高级的问题。
05 状态空间法的应用实例
在控制系统中的应用
控制系统建模
利用状态空间法建立控制系统的数学模型，以便 进行系统分析和设计。
控制系统优化
通过状态空间法对控制系统进行优化设计，提高 系统的性能和稳定性。
控制系统故障诊断
利用状态空间法对控制系统的故障进行诊断和定 位，及时发现和排除故障。
在信号处理中的应用
状态空间法ppt课件
contents
目录
• 引言 • 状态空间法的基本概念 • 状态空间法的实现 • 状态空间法的优势与局限性 • 状态空间法的应用实例 • 结论
01 引言
什么是状态空间法
状态空间法是一种数学方法，用于描述动态系统的状态变化 和输出响应。它通过建立状态方程和输出方程来描述系统的 状态变量和输出变量之间的关系，从而对系统进行建模、分 析和控制。
2.2状态空间表达式的建立
bn1s n1 b1s b0 Y ( s) g ( s) n U ( s) s an1s n1 a1s a0 Y ( s) U ( s) s n an1s n1 a1s a0
n
输出为：
bn1s
n 1
b1s b0
(2) 并联分解法
①极点两两相异时
N s g s N s Ds s p1 s p2 s pn c1 c2 cn s pn s p1 s p2
状态方程为：
dx1 R1 x2 uC 1 R1 R2 ( ) x1 dt L R1 R2 R1 R2 L L
dx2 R1 1 x1 x2 dt C R1 R2 C R1 R2
输出方程为：
y uC x2
写成矩阵形式
1 R1 R2 x1 L R1 R2 R x2 C(R R ) 1 2
3完全描述一个动态系统所需状态变量的个数有系统的4一般来说状态变量不一定是具有实际物理意义或可的阶次决定状态变量必须是相互独立的
2.2 状态空间表达式的建立
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
解：选择状态变量：x1 根据基尔霍夫定律：
iL , x2 uC ,
0 bn 1 bn 1 an 10 2 bn 2 an 11 an 20 n b0 an 1 n 1 an 2 n 2 a11 a00
Step1计算
step 2 定义状态变量:
现代控制理论基础-第2章-控制系统的状态空间描述精选全文完整版
(2-18)
解之,得向量-矩阵形式的状态方程
(2-19)
输出方程为
(2-20)
(5) 列写状态空间表达式
将式(2-19)和式(2-20)合起来即为状态空间表达式,若令
则可得状态空间表达式的一般式,即
(2-21)
例2.2 系统如图
取状态变量:
得：
系统输出方程为：
写成矩阵形式的状态空间表达式为：
1.非线性系统
用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代数方程，即
(2-7)
2. 线性系统的状态空间描述
若向量方程中 和 的所有组成元都是变量 和 的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式： （2－8） 式中，各个系数矩阵分别为 （2－9）
4．线性定常系统的状态空间描述
式中的各个系数矩阵为常数矩阵
当系统的输出与输入无直接关系（即 ）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即 ）时，称为非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为
（2－11）
1.系统的基本概念 2. 动态系统的两类数学描述 3. 状态的基本概念
2.2 状态空间模型
2.2.1状态空间的基本概念
1.系统的基本概念
■系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。 ■静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。 ■动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0<t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。
第一章 状态空间表达式(2013)
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 W ( s) n U ( s) s a n 1 s n 1 a1 s a 0
cm sm cm1sm1 c1s c0 W (s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
K1 T 1s 1
K2 T 2s 1
K3 T 3s 1
y
K4
3 状态空间表达式的建立 3.1 从系统方块图出发 变换成模拟结构图； 每个积分器的输出选作一个状态变量； 写出系统的状态方程和输出方程。
u +
K1 T 1s 1
+
K2 T 2s 1
K3 T 3s
y
K4
K1 T1 +
开环和闭环、反馈
控制的性能指标：稳定性、快速、精度。最优控制
控制理论概述
学控制理论做什么？ 系统分析—分析系统的性能
系统设计—设计控制器
所谓系统分析就是在规定的条件下，对数学模型已 知系统的性能进行分析； 所谓系统设计，就是构造一个能够完成给定任务的系统， 这个系统具有希望的瞬态、稳态性能以及抗干扰性能。
f (s) f (t )e dt
0
f (s) sf (s) f (0)
传递函数：线性动态系统零初值条件下输出量的Laplace变 换像函数与输入量的Laplace变换像函数之比。 *线性系统：满足叠加和一致性， 如用线性方程或线性微分方程描述的系统 可以用于分解复杂系统 *定常系统：参数不随时间变化
J u i
x1 i
B
x2
R x1 L x K 2 a J
Kb 1 L x1 L u B x2 0 J
状态、状态变量、状态空间、状态方程和动态方程
如式(2-2)所示。
其中,G=(g1,g2,…,gm ),G 是一个函数矢量。
第2章 状态空间分析法
在现代控制理论中,用系统的状态方程和输出方程来描
述系统的动态行为,状态方程和输出方程合起来称作系统的
状态空间表达式或动态方程。
根据函数向量F 和G 的不同情况,一般控制系统可以分
取每个积分器的输出端信号为状态变量x1 和x2,积分器的输
入端即ሶ 1 和ሶ 2,从图可得系统状态方程:
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
例2-6 求如图2-10(a)所示系统的动态方程。
图2-10 方块图
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
2.4 由系统的微分方程或传递函数求其动态方程
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
例2-2-电路如图2-6所示。以ei 作为系统的控制输入u(t),
eo 作为系统输出y(t)。建立系统的动态方程。
图2-6 RLC 电路
第2章 状态空间分析法
解 该RLC 电路有两个独立的储能元件L 和C,我们可以
取电容C 两端电压和流过电感L 的电流作为系统的两个状态
性,因此会产生一定程度上的结构差异,这也会导致动态方程
差异的产生;从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问
题,更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生,因而也产生
了不同的动态方程。所以说系统动态方程是不唯一的。
第2章 状态空间分析法
例如图2-11所示的传递函数的直接法实现,按照图上所
示各状态变量的取法,我们有式(2-24)所示动态方程。如果将
马尔科夫链
不可约定义 如闭集C的状态互通，则闭集C称为不可约的。如 马氏链 X n 状态空间不可约，则马氏链 X n 称为不可约的。
状态空间的分解
一、闭集和不可约
闭集判断 C是闭集的充要条件为对任意i C及k C都有 p ik =0,n≥1.
(n )
证 只需证必要性. 用归纳法，设C为闭集，由定义当n=1时结论 p (m ) 成立. 今设n=m 时， ik =0，i C, k C,则
T T
(n )
回顾：马尔科夫链的状态分类
一、周期态
马尔科夫链周期定义
如集合n : n 1, p iin 0 非空，则称该集合的最大公约数d=d (n （i）=G.C.D n : pii ) 0 为状态i的周期，如d>1就称i为周期的， 如d=1就称i为非周期的。
( )
回顾：马尔科夫链的状态分类
定 理4.5 可达关系与互通关系都具有传递性，即 如果I j，j k，则i k; 如果I j，j k，则i k。 定 理4.6 如I j则 （1）i与j同为常返或非常返，如为常返，则他们同为正常返或 零常返。 （2）i与j由相同的周期。
状态空间的分解
一、闭集和不可约
闭集定义 如对任意I C及k C都有 p ik =0，状态空间I的子集C 称为（随机）闭集. 闭集的意思是自C的内部不能到达C的外部. 这意味着一旦 质点进入闭集C中，它将永远留在C中运动. 另如 p ii =1，则称状态i为吸收的.显然状态i吸收等价于单点 集 为闭集. i
j I
回顾：马尔科夫链的基本概念
三、n步转移概率和矩阵
n步转移概率和矩阵定义 称条件概率
pij
(n )
P X m n j | X m i i ,j I ,m 0,n 1 ,
第一章控制系统的状态空间表达式
K1
(S
1)3
1 S(S 1)3
S1
1
K2
d
ds
(S
1)3
1 S(S 1)3
S 1
1
K3
1 d2
2!
ds
2
( S
1)3
1 S( S 1)3
S 1
1
K4
S
S(
1 S 1)3
S 0
1
因此，
F(s)
(S
1 1)3
(S
1 1)2
1 S 1
1 S
查拉普拉斯关系对照表，得：
比例环节的传递函数为： G(s) C(s) K
R(s)
作比例环节的阶跃响应曲线图
R(t)
X0
0
C(t)
t
KX0
0
t
图2-10 比例环节的阶跃响应曲线
2、积分(Integral)环节
积分环节的微分方程为： c(t) 1
t
r(t)dt
Ti 0
式中，Ti—积分时间。
积分环节的传递函数为
G(s) C(s) 1 R(s) TiS
fr
式中fr—阀门局部阻力系数。
动态数学模型
▪ 动态
----运动中的自动调节系统（或环节），当输入 信号和输出信号随时间变化时，称系统（或 环节）处于不平衡状态或动态。
▪ 动态数学模型（动态特性）---在不平衡状态时，输出信 号和引起它变化的输入信号之间的关 系，称为系统（或环节）的动态特性。
1.数学模型的建立
例2 求的反变换
※解：
F(s)
S2
S
3 2S
2
F(s)
S 3
状态空间分析法
·258·第9章 线性系统的状态空间分析与综合例题解析例9-1 对于图9-1所示的质量－弹簧系统，当外力F （t ）作用时，系统产生运动，质量及弹簧弹性系数见图示。
如不计摩擦，试：（1）以质量m 2的位移y (t )为输出，外力F (t )为输入，列写系统的运动方程； （2）求从F (s )到y (s )的传递函数； （3）以框图表示上述系统；（4）自选一定数目的状态变量，建立上述系统的状态方程和输出方程。
图9-1 质量－弹簧系统解：（1）设质量块m 1的位移为z ，根据牛顿定律有zm y z k t F 11)()(=-- 1) 同理对质量块m 2有y m y k y z k 221)(=-- 2) 联立式1）和2）消去中间变量ｚ，得出系统微分方程： )(])[(12121121)4(21t F k y k k ym k m k k ym m =++++ 3) (2) 对式3）进行拉氏变换可得212211214211])[()()(k k s m k m k k s m m k s F s Y ++++=4)·259·(3) 对式（1）进行拉氏变换可得 121`11)()()(k s m s F s Y k s Z +=+ 5) 同样处理式2)有21221)()(k k s m k s Z s Y ++=6) 由式5)，式6)可以画出系统结构图，如图9-2所示。
图9-2 系统结构图（4）设状态变量z x xz x ===211y x xy x ===433 由式1) x m k zx 112-== 11311)(m t F x m k ++ 由式2) 12132214x m kx m k k yx ++-== 因此有)(0010001000000011221221111t F m x m k k m k m k mk x⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--= []x y 0100=·260·例9-2 在图9-3所示系统中，若选取x 1，x 2 ，x 3作为状态变量，试列写其状态空间表达式，并写成矩阵形式.图9-3解： 由结构图可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=-+=-11313221)1()(2)3()2x y sx x x s s x x x s x u （整理可得系统状态空间方程表达式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+--==132.321.23.132232x y x x x u x x x x x写成矩阵的形式[]x y u x x 001020320032100=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=例9-3 设系统微分方程为u u u y y yy 1588147++=+++ 系统初始条件为零，试：（1）采用传递函数直接分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图； （2）采用传递函数并联分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图。
状态空间表达式的解PPT课件
06 结论
状态空间表达式解法的总结
解法概述
详细总结了状态空间表达式的解法，包 括其基本原理、主要步骤和常用技巧。
优缺点分析
对状态空间表达式的解法进行了全面 的优缺点分析，以便读者更好地理解
和使用。
应用实例
列举了几个实际应用的状态空间表达 式问题，并展示了如何运用解法进行 求解。
与其他方法的比较
将状态空间表达式的解法与其他常见 的方法进行了比较，突出了其独特性 和优势。
状态空间表达式的重要性
01
状态空间表达式具有直观性和通 用性，能够全面地描述系统的动 态特性，包括系统的稳定性、可 控性和可观测性等。
02
它为控制系统分析和设计提供了 强大的数学工具，使得复杂系统 的分析和控制成为可能。
状态空间表达式的应用领域
控制系统设计
状态空间表达式广泛应用于控制系统 设计和分析中，如线性控制系统、非 线性控制系统、多变量控制系统等。
等。
判定方法
03
通过计算系统的极点、零点和增益等参数，判断解的稳定性。
解的唯一性
定义
如果给定相同的初始条件和输入信号，状态空 间表达式的解是唯一的，则称该解是唯一的。
判定方法
通过求解线性代数方程组或使用数值计算方法， 验证解的唯一性。
唯一性条件
只有在无病态或适定性条件下，解才是唯一的。
解的收敛性
稳定性分析
分析系统的稳定性，判断系统是否能够保持稳定运行。对于不稳定 的系统，需要采取措施进行控制和调整。
04 状态空间表达式的解的性 质
解的稳定性
定义
01
如果状态空间表达式的解在初始条件的影响下，最终会趋于稳
定状态，则称该解是稳定的。
状态空间平均法分析
状态空间平均法首先要了解到在CCM 模式下，变换器的工作模式分为开启状态，关闭状态。
开启状态，时间为[0, dTs]：可以写出的状态方程为：)()()(11t u B t x A t x+= (1) )()()(11t u E t x C t y+= (2) 其中：x(t)为状态向量；u(t)为输入向量；A1和B1分别为状态矩阵与输入矩阵；y(t)为输出变量；C1和E1分别为输出矩阵和传递举证。
关闭状态，时间为[dTs, Ts]：可以写出的状态方程为：)()()(22t u B t x A t x+= (3) )()()(22t u E t x C t y+= (4) 其中：x(t)为状态向量；u(t)为输入向量；A2和B2分别为状态矩阵与输入矩阵；y(t)为输出变量；C2和E2分别为输出矩阵和传递举证。
由于此时为开关关闭状态，所以A2、B2、C2、E2的形式与上面(1)与(2)不一样。
为了消除纹波的影响需要在一个周期内对状态变量求平均，所以有⎰+=〉〈Ts t tTs d x Ts t x ττ)(1)( (5) 同样的方法有⎰+=〉〈Ts t t Ts d u Tst u ττ)(1)( (6) ⎰+=〉〈Ts t t Ts d y Ts t y ττ)(1)( (7) 因此可以对平均状态变量对时间求导数：⎰+=〉〈Ts t t Ts d x Tst xττ)(1)( (8) 同时)]()([1)(1))((1)(t x Ts t x Ts dx Ts d d x Ts d x Ts t t Ts t t Ts t t -+===⎰⎰⎰+++ττττττ (9) 因此可以得到等式：⎰+=〉〈Ts t t Ts d x Tst x ττ)(1)( (10) 将(1)(3)代入(10)，可以得到：))()((1)(⎰⎰++++=〉〈Ts t dTs t dTs t t Ts d x d x Tst x ττττ {}⎰⎰++++++=Ts t dTs t dTs t t d t u B t x A d t u B t x A Ts ττ])()([])()([12211 (11)状态变量与输入变量在一个周期内的平均值可以代替瞬时值，并且近似认为平均值在一个开关周期内维持恒值。
第二章 状态空间描述
Page: 7
2-2 状态空间的几个重要概念
x (k 1) Gx (k ) Hu(k ) y(k ) Cx (k ) Du(k )
Modern Control Theory
Page: 8
2-3
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
一、不同系统状态空间表达式的特点——又称动态方程
Modern Control Theory
状态方程
输出方程
Y (t )
U(s)
G(s)
Y(s)…Biblioteka 状态空间描述法示意图…
Page: 6
2-2 状态空间的几个重要概念
线性离散时间系统状态空间表达式
x (k 1) G (k ) x (k ) H (k )u(k ) y ( k ) C ( k ) x ( k ) D ( k ) u( k )
y 6 41 y 7 y 6u y
选择状态变量 令： x 1 y x2 y x 3 y
xn y
( n 1)
Modern Control Theory
Page: 19
2-3
则:
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
1 0 0 0 X 0 u(t ) 0 X 0 1 7 41 6 6 y 1 0 0X
Modern Control Theory
Page: 2
2-1 线性系统的数学描述
5.线性: 一个松弛系统,当且仅当对任何输入u1 和 u 2 及任意常数 , 均有 H ( u1 u2 ) Hu1 Hu2
(可加性) (齐次性)
H ( u1 ) H ( u1 )
串联分解法求状态空间表达式
串联分解法求状态空间表达式
串联分解法是一种用于求解状态空间表达式的方法，通常用于描述动态系统的行为。
在这种方法中，我们将系统分解为多个子系统，并且对每个子系统进行建模和分析，然后将它们组合起来得到整个系统的状态空间表达式。
首先，我们需要确定系统的状态变量，这些变量描述了系统的状态和演变。
然后，我们可以使用系统的动态方程来建立状态空间表达式。
动态方程可以是微分方程、差分方程或者差分-微分方程。
接下来，我们可以使用串联分解法将系统分解为多个子系统。
每个子系统可以有自己的状态变量和动态方程。
我们可以对每个子系统进行建模和分析，得到它们的状态空间表达式。
最后，我们可以将这些子系统的状态空间表达式组合起来得到整个系统的状态空间表达式。
这可以通过将子系统的状态变量连接起来，以及将子系统的动态方程相加或相乘来实现。
总之，串联分解法是一种用于求解状态空间表达式的方法，通过将系统分解为多个子系统并对其进行建模和分析，然后将它们组
合起来得到整个系统的状态空间表达式。
这种方法可以帮助我们更好地理解和描述动态系统的行为。
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B1W1B2小车B4W4同批工件间同时到达的耦合关系？工件本来是一个个到达，如C-C+1-C+2，但考虑为批次同时到达，C 可以直接到C+2;基于更新过程的关键更新定理，将小车与B2、B4间的耦合关系用节点间的批量到达速率、批量离开速率变化替代？B2的输出与B4的输入之间相互依赖 节点二：两次小车装载之间通常会有多个工件到达B2，在小车两次到达的间隔中B2内的工件数量曲线是单调非减的。
因此，实际上小车回到B2时B2拥有的工件数量的期望（锯齿的上尖点）远远比稳态后（稳态后不变，中间水平线）计算的期望要大节点四：实际上小车来到B4时B4拥有的工件数量的期望远远比稳态后计算的期望要小，当小车容量C 越大、小车速度越慢（保持当量运载能力不变）的时候这个偏差越明显，这样将提高小车由于阻塞停留在B4处的计算概率（实际堵塞概率比计算值要小），降低前环节的处理能力。
平均在制品数量：()()()()()121112223331122334444444441112123,,,01011111C4,,2011WIP=;N N CS w b S w b S w b b w b w b w N i S w b S w b w w P w P w P w Pw P N +======+===⨯+⨯+⨯+⨯+⨯∑∑∑∑∑∑∑∑∑第4项改为乘以W4;第五项(节点四在制品数期望)就是小车阻塞的概率乘以节点4的个数（N4+1）状态之间的转换速率：存在概率路径，则用概率路径乘以速率，不存在概率路径，则直接用速率。
实际上概率路径之和一定=11i b =-0i b =1i b =2i b =B2B4节点3：2C+2个状态对应2C+2个方程()()()33333*(3,4)340,01,2,0111(,);iw CS S S w w j P V P PB w j P μ==⎛⎫⨯=⨯-+⨯ ⎪⎝⎭∑∑右边第一项：上标为W3，漏了V ，第二项是只可能是从小车上只有一个变为空车返回状态()()33*220,10,0(0);S S P P VP λ-⨯=⨯右边VP3load （0）=VP2(0)，节点2空闲节点S3(1,1)-与S(i ，1)的状态平衡方程不一样，所以要分开写:()()()()333*2321,10,00,11(0)(1);load S S S P V P V P P P λ-⨯=⨯-⨯+⨯首先不是0个，并且只是1个，所以概率累乘；一出两进 如果运输2个或以上，则不可能经过状态S3(0,-1)()()()33323330,0,11(0)(),2;load S S w P V P V P P w w C ⨯=⨯-⨯≤≤C-1出C-1进()()3333*4(3,4)31,2,11(,1);CS S w w P P V PB w μ=⨯=⨯⨯∑()()3333*4(3,4)33,2,1(,),2;CS i S w w iP P V PB w i w C μ=⨯=⨯⨯≤≤∑上述两式合并？1<=i<=C 节点三2C+2个方程()()()33333*(3,4)340,01,2,0111(,);iw CS S S w w j P V P PB w j P μ==⎛⎫⨯=⨯-+⨯ ⎪⎝⎭∑∑()()33*220,10,0(0);S S P P VP λ-⨯=⨯()()()()333*2321,10,00,11(0)(1);load S S S P V P V P P P λ-⨯=⨯-⨯+⨯ ()()()33323330,0,11(0)(),2;load S S w P V P V P P w w C ⨯=⨯-⨯≤≤()()3333*4(3,4)31,2,11(,1);CS S w w P P V PB w μ=⨯=⨯⨯∑()()3333*4(3,4)33,2,1(,),2;CS i S w w iP P V PB w i w C μ=⨯=⨯⨯≤≤∑V ，u4已知 需要求P式中，()333,S w b P 为系统稳态后，节点三处于状态 ()33,w b 的概率；V 为小车从B2到B4的运载速率，同时也是B4到B2的空车返回速率；λ2*为B2的到达速率()()1*21121P0PV 1PB μλ⨯---=；P01,PV1分别表示W1处于空闲与阻塞的概率而此时B2不可能处于堵塞状态，所以分母为1-阻塞的概率 μ4*为W4的加工速率*44μμ=；(3,4)(,)i i PB w w k -为当小车将i w 个工件运达B4时，B4的剩余空间为k 的概率。
小车在B2、B4间来回移动，是一个再生过程。
在每个循环中，依次经历(){}3,1,1i i S w w C ≤≤（b i =1）、B4停留(){}3,2,1i i S w w C ≤≤（b i =2）、空车返回()30,0S （b i =0）、B2停留()30,1S -（b i =-1）四个阶段。
通过上文中节点平衡方程可以求出：当系统稳态时，小车处于各状态的概率()3,1,0,1,2i i S b P b =-。
又根据模型假设知，运输(){}3,1,1i i S w w C ≤≤与空车返回()30,0S 的速率均为V ，即每个循环中处于此两类状态的平均时间为011T T V==。
根据更新过程相关定理我们可以得到当系统稳态后，小车每个循环中在B2、B4处平均等待时间为：()()3301,1,2S i i S P T i V P =⨯=-。
----------------------------------------------------------------------------------------------------2b 0节点2：状态空间2S 总共有223N ⨯+个状态，根据图5（b ）本文可以建立状态空间S 2的状态平衡方程：()()()()222**1220,10,1,01;CS S S k k P DA P P V λλ-=⨯+=⨯+⨯∑()()()()222222**12222,11,1,0,1;S w S w S w C P DA P P V w N C λλ-+⨯+=⨯+⨯≤≤-()()()2222**122222,11,1,11;S w S w P DA P N C w N λλ-⨯+=⨯+-≤≤-(N2,0)只可能变为（N2-C ，1），有工件的情况下，满载运输，因此从N2+1-C 到N2-1均只有一个输入）()()2222*12,11,1;S N S N P DA P λ-⨯=⨯右侧()()()22*210,00,1;S S P V P DA λ⨯+=⨯()()()()222222**21222,0,11,0,11;S w S w S w P V P DA P w N λλ-⨯+=⨯+⨯≤≤-()()()222222*12,0,11,0;S N S N S N P V P DA P λ-⨯=⨯+⨯左侧只有一个出()()22*20,10,0;S S P P V λ-⨯=⨯223N ⨯+个方程V 已知式中，()222,S w b P 为系统稳态后，节点二处于状态 ()22,w b 的概率；*2λ为节点的到达速率()()1*21121P0PV 1PB μλ⨯---=；V 为小车从B4到B2的运载速率；DA 1为小车从B2到B4的运载速率， DA 1包括小车状态中的运输(){}3,1,1i i S w w C ≤≤（b i =1）与B4停留(){}3,2,1i i S w w C ≤≤（b i =2），由上文可知DA 1的表达式：()()()()()33333121111211;S S S S S P VP DA V V P P P -⎛⎫ ⎪=+⨯= ⎪+⎝⎭式中，V 为小车将工件从B2运送到B4的运输速度与小车从B4空车返回B2的返回速度；()3i S b P 为系统稳态时，小车处于运输(){}3,1,1i i S w w C ≤≤（b i =0）与B4停留(){}3,2,1i i S w w C ≤≤（b i =2）的概率。
节点4：状态空间4S 总共有424N C ⨯++个状态，根据图6（b ）本文可以建立状态空间S 4的状态平衡方程：()()()444*420,11,10,0;S S S P V P P DA μ⨯=⨯+⨯左侧有多个概率路径，但是和为1，因此省略掉()()()()444444**44244,11,1,0,1;S w S w S w P V P P DA w N μμ+⨯+=⨯+⨯≤≤()()()4444*42,1,0;S w S w P V P DA μ⨯+=⨯该公式W4=N4+1()()44*240,01,0;S S P DA P μ⨯=⨯()()()()4444441**423444,0,11,00(),1;w unload S w S i S w i P DA P VP w i P w C μμ-+=⨯+=⨯-+⨯≤≤∑？()()()()44444441**4234444,0,11,0(),1;w unload S w S i S w i w CP DA P VP w i P C w N μμ-+=-⨯+=⨯-+⨯+≤≤∑？()()()()444444**423441,0,11,21(1);N unload S N S i S i N CP DA P VP N i P μμ+=+-⨯+=⨯+-+⨯∑()()()444444441**434444,2,11,21(1+),11;N unload S w S i S w i N w CP P VP N w i P w C μμ++=++-⨯=⨯+-+⨯≤≤-∑？()()444*43,21,1();unload S C S N P P VP C μ+⨯=⨯式中，()44,i S w b P 为系统稳态后，节点四处于状态 ()44,w b 的概率；μ4*为W4的加工速率*44μμ=；V 为小车从B2到B4的运载速率；3()unload P i 为小车每次送达工件个数为i 的概率；DA 2为小车从B4到B2的运载速率， DA 2包括小车状态中的空车返回()30,0S （b i =0）、B2停留()30,1S -（b i =-1），由上文可知DA 2的表达式：()()()()()33333110200111;S S S S S P VP DA V V P P P ---⎛⎫ ⎪=+⨯= ⎪+⎝⎭式中，V 为小车将工件从B2运送到B4的运输速度与小车从B4空车返回B2的返回速度；()3i S b P 为系统稳态时，小车处于空车返回()30,0S （b i =0）与B2停留()30,1S -（b i =-1）的概率。