离散4同余关系

P150 证明
(6)若 (6)若a∈S关于×可逆，则h(a)关于⊗也可逆，且h(a)-1=h(a-1)； 关于×可逆， h(a)关于⊗也可逆， 关于 证明(1)： 证明(1)：∀b1,b2∈S’,h是A到A’的满同态 ∴ 有a1,a2∈S使h(a1)=b1,h(a2)=b2 (1) ∵,h是 的满同态 ∴ b1⊗b2=h(a1)⊗h(a2)=h(a1×a2)=h(a2×a1)=h(a2)⊗h(a1)=b2⊗b1
同余关系(2) §7.3 同余关系(2)
例2：定义I上的关系R：∀i,j∈I, iRj iff |i|=|j|, 则 定义I上的关系R i,j∈ R是<I,×>上的同余关系,但不是<I,+>上的同余关系。 <I,× 上的同余关系,但不是<I,+>上的同余关系。 <I,+>上的同余关系 证明(1) R是自反的 证明(1) R是自反的 ∵ ∀i∈I，均有|i|=|i| 即 iRi 均有|i|=|i|
. -吴扬扬制2
h是从A到A’的同态映射 是从A 的同态映射
§7.2 同态与同构 2.同态同构的性质 同态同构的性质(4) 2.同态同构的性质(4)
定理7.2.4 A=<S,×,+>到 =<S =<S’, 的满同态, ,+是二元运算 是二元运算, 定理7.2.4 设h是A=<S,×,+>到A’=<S ,⊗,⊕>的满同态,×,+是二元运算,则 (1)若 是可交换的， (1)若×是可交换的，则⊗也是可交换的； 也是可交换的； (2)若 是可结合的， (2)若×是可结合的，则⊗也是可结合的； 也是可结合的； (3)若×关于+可分配，则⊗关于⊕也是可分配的； (3)若 关于+可分配， 关于⊕也是可分配的； (4)若 是关于×的单位元， h(e)是关于⊗的单位元； (4)若e是关于×的单位元，则h(e)是关于⊗的单位元； 是关于 (5)若 是关于×的零元， h(z)是关于⊗的零元； (5)若z是关于×的零元，则h(z)是关于⊗的零元； 是关于
可交换。 ∴ ⊗可交换。 满同态可保持运算性质; 满同态可保持运算性质; . 同构的代数系统具有相同性质. 同构的代数系统具有相同性质.
-吴扬扬制-
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同余关系(1) §7.3 同余关系(1)
定义： 为代数系统， 上的等价关系， 定义： A=<S,*1,…,*n>为代数系统，R是S上的等价关系， (1)对于运算* 如果∀ (其中 其中： 的阶） (1)对于运算*i,如果∀a1,b1,a2,b2,…,ani,bni∈S (其中：ni为*i的阶） 对于运算 ),称 关于* 具有置换性质； akRbk,k=1,…,ni⇒*i(a1,…,ani)R*i(b1,…,bni),称R关于*i具有置换性质； (2)若R关于*i(1≤i≤n),具有置换性质，则称R为A上的同余关系。 具有置换性质， 上的同余关系。 (2)若 关于* (1≤i≤n),具有置换性质 则称R i,j∈I,i≡ m|(i-j),是<I,+,× 上的同余关系。 例1:模m同余关系≡m：∀i,j∈I,i≡mj iff m|(i-j),是<I,+,×>上的同余关系。 1:模 同余关系≡ 且 证明： 上的等价关系， 如果i 证明：≡m是I上的等价关系， ∀i1,j1,i2,j2∈I, 如果i1≡mj1,i2≡mj2， 则 m|(i1-j1),m|(i2-j2) 即：有p1,p2 ∈I使i1-j1=p1m，i2-j2=p2m ∴ (i1+i2)-(j1+j2)=(i1-j1)+(i2-j2)=p1m+p2m =(p1+p2)m (i1×i2)-(j1×j2)=(p1m+j1)×(p2m+j2)-(j1×j2) =p1p2m2+j2p1m+j1p2m =(p1p2m+j2p1+j1p2)m ∴ (i1+i2)≡m(j1+j2)且(i1×i2)≡m(j1×j2) 关于+, 具有置换性质，所以，它是<I,+, 上的同余关系。 +,× ≡m关于+,×具有置换性质，所以，它是<I,+,×>上的同余关系。 <I,+,×
置换性质与 运算有关
(2) R是对称的 ∵ ∀i,j∈I，如果iRj, 则|i|=|j| 因此有|j|=|i| ∴jRi R是对称的 i,j∈ 如果iRj, 因此有|j|=|i| R是传递的 (3) R是传递的 ∵ ∀i,j,k∈I，如果iRj且jRk, 则|i|=|j|且|j|=|k| i,j,k∈ 如果iRj iRj且 |i|=|j|且 此时有|i|=|k| 此时有|i|=|k| ∴ iRk R是 ∴ R是I上的等价关系 R关于 具有置换性质,但关于+ 关于× (4) R关于×具有置换性质,但关于+不具有置换性质 如果i ∵ ∀i1,j1,i2,j2∈I, 如果i1Rj1且i2Rj2，则 |i1|=|j1|且|i2|=|j2| ∴ |i1×i2| =|i1|×|i2| =|j1|×|j2| =|j1×j2| +>上的同余关系 上的同余关系? R是不是<I, ×, +>上的同余关系? 是不是<I, ∴ (i1×i2)R(j1×j2)
若m=3呢? 请写出其商代数. m=3呢 请写出其商代数. ⊕ [0] [1]
[0] [0] [1] [1] [1] [0] ⊗ [0] [1]
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[0] [0] [0] [1] [0] [1]
作业： 作业：P150 4, P152 1(1)(2),2
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-吴扬扬制-
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主要内容： 主要内容：
同态同构的性质 同余关系 置换性质 同余关系定义 与同态映射间的联系 商代数定义
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-吴扬扬制-
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§7.2 同态与同构 2.同态同构的性质 同态同构的性质(3) 2.同态同构的性质(3)
定理7.2.3 是从A=<S,* =<S’,* 定理7.2.3 设h是从A=<S,*1,…,*n>到A’=<S ,* 1,…,* n>的同态映射， =<S ,*’ ,…,*’ 的同态映射， 的子代数， 则h(A)=<h(S),*’1,…,*’n>是A’的子代数，称为A关于h的同态象。 h(A)=<h(S),* ,…,* 的子代数 称为A关于h的同态象。 证明：∵ h是从A到A’的同态映射 证明： 是从A 的同态映射 ∴ h(S)是S’的非空子集 h(S)是 的 (其中 其中： 的阶） 且 ∀i∈N(1≤i≤n), ∀b1,…,bni∈h(S), (其中：ni为*’i的阶） 有a1,…,ani∈S, 使h(a1)=b1,…,h(ani)=bni *’ ∴ * i(b1,…,bni)=*’i(h(a1),…,h(ani)) =h(*i(a1,…,ani))∈h(S) h(S)关于 关于* 封闭(1≤i≤n) ∴ h(S)关于*’i封闭(1≤i≤n) h(A)=<h(S),*’ ,…,*’ 的子代数。 故 h(A)=<h(S),* 1,…,* n>是A’的子代数。 的子代数
. -吴扬扬制6
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§7.4 商代数与积代数 商代数(1) 1. 商代数(1)
等价关系行 吗?
定义： 上的同余关系， 定义：设R为代数系统A=<S,*1,…,*n>上的同余关系， 为代数系统A=<S,* 关于R的商代数。 称 A/R=<S/R, *1, …, *n>为A关于R的商代数。 其中： 其中：*i([a1]R,…,[ani]R)=[*i(a1,…,ani)]R 例: ≡m是A=< I, +, × >上的同余关系， 上的同余关系， A/≡ =<I/≡ >,其中 I/≡ 其中： ,…,[mA/≡m=<I/≡m,⊕,⊗>,其中：I/≡m={[0]≡m,…,[m-1]≡m}, I/≡ ⊕:∀[i]≡m,[j]≡m∈I/≡m, [i]≡m⊕[j]≡m=[i+j]≡m, I/≡ =[i× ⊗:∀[i]≡m,[j]≡m∈I/≡m, [i]≡m⊗[j]≡m=[i×j]≡m, >,其中:I/≡ 其中:I/ 若m=2,则 A/≡2=<I/≡2,⊕,⊗ >,其中:I/≡2={[0]≡2,[1]≡2}, m=2,则 A/≡ =<I/≡ ={…,-3,[0]≡2={…,-4,-2,0,2,4,…}, [1]≡2={…,-3,-1,1,3,…}, ={…,-4,[1]≡2⊕[1]≡2=[1+1]≡2=[0]≡2, =[1× [1]≡2⊗[0]≡2=[1×0]≡2=[0]≡2
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但 i1Rj1且i2Rj2⇒(i1+i2)R(j1+j2) 请同学举例说明之
同余关系(3) §7.3 同余关系(3)
与同态映射间的联系 定理7.3.1 是从A=<S,* =<S’,* 定理7.3.1 设h是从A=<S,*1,…,*n>到A’=<S ,* 1,…,* n>的同态映射， =<S ,*’ ,…,*’ 的同态映射， 定义由h诱导的S上的二元关系R 定义由h诱导的S上的二元关系Rh：∀x,y∈S,xRhy iff h(x)=h(y), x,y∈S,xR 则Rh是A上的同余关系。 上的同余关系。 证明(1) 易证R 证明(1) 易证Rh是S上的等价关系; 上的等价关系; (其中 ni为 的阶） 其中： (2) ∀i∈N(1≤i≤n), ∀a1,b1,…, ani,bni∈S, (其中：ni为*i的阶） 若akRhbk,k=1,…,ni， h(ak)=h(bk),k=1,…,ni， 则 ))=* ∴ h(*i(a1,…,ani))=* i(h(a1),…,h(ani))=* i(h(b1),…,h(bni)) =*’ ))=* =*’ =h(*i(b1,…,bni)) 故(*i(a1 ,…, ani))Rh(*i(b1 ,…, bni)) ∴ Rh是A上的同余关系. 上的同余关系.