欧氏几何与非欧几何(修订版)
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何谢裕华秦敏雁施培成摘要：本文综述了由欧氏几何到非欧几何的发展历史；评述了非欧几何的思想及其伟大意义；论述了欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何的对立统一关系。
比较了三种几何的主要特征及适用范围。
关键词：第五公设，欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何。
一、关于Euclid的《Elements》欧几里得的《几何原本》早已失传，现存的有：1、公元四世纪末（400年左右）泰恩（Thon）的《原本》修订本。
2、18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个第十世纪的《原本》希腊文手抄本，可能比泰恩本更早些。
3、现代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依据泰恩修订本的版本。
4、现在看到的各种版本（一千多种版本）均非欧几里得手稿的传本，而是依据后人的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。
5、1794年法国数学家勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）为使《几何原本》更便于教和学，曾对《原本》作了较大的修改，如删去了《原本》中的非几何部分内容，并将几何部分重新整理和编写。
把“命题”中的定理和问题加以明确区分，还把第5公设换为与它等价的平行公理；“过直线外一点，有而且只有一条直线与原直线平行”等等，编成了《新欧几里得几何原本》。
于是自19世纪开始，初等几何课本一般都是以此为兰本的改编本。
6、中国最早的汉译本是1607年（明万历35年丁未）意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci,1552-1610）和徐光启（1562－1633）的合译本（前6卷），称之为“明译本”底本系德国人的拉丁文本15卷。
二百五十年之后，1857年，后9卷由英人伟烈亚（A.Wylie,1815-1887）和李善兰（1811－1882）合译，称之为“清译本”底本是英文版第15卷。
由于它们均系文言，并且名词，术语和现代有很大的差异，不易看懂，故现代新译本于1990年由陕西科技出版社出版。
二、关于第5公设古希腊对于数学的最杰出的贡献就是“根据公理体系来建立数学”的观念，即：一个合乎逻辑的学科，应当是由一组原始定义和原始命题（公设，公理）出发，通过演绎推理导出这一学科的其他所有命题。
欧几里得几何与非欧几里得几何之间的关系
欧几里得几何与非欧几里得几何之间的关系欧几里得几何和非欧几里得几何是两个不同的数学分支，它们通过研究空间和几何形状之间的关系，在数学领域做出了巨大贡献。
虽然它们有着不同的基本假设和公理系统，但它们之间存在一些有趣而重要的联系。
欧几里得几何，也称为平面几何，是基于欧几里得公理系统而建立的几何学。
它以欧几里得公理为基础，包括了诸如平行公理、共线公理等，并通过这些公理推导出其他几何定理。
欧几里得几何的研究范围主要涉及二维平面和三维空间中的几何形状，如点、线、角、面等。
这个分支的主要目标是研究空间内物体之间的关系，如距离、形状、相交等，并通过推导出的定理来描述这些关系。
与欧几里得几何不同，非欧几里得几何是建立在不同公理系统基础上的几何学。
它包括了不满足欧几里得公理的几何系统，其中最著名的是黎曼几何和庞加莱几何。
黎曼几何是非欧几里得几何的一种形式，它引入了曲率的概念，并对平行线的概念进行了重新定义。
在黎曼几何中，平行线不再保持严格平行，而是随着曲率的变化而可能相交。
庞加莱几何是另一种非欧几里得几何的形式，其特点是没有平行线的概念，所有线都是相交的。
尽管欧几里得几何和非欧几里得几何是两个独立的数学分支，但它们之间存在一些联系和相互影响。
首先，非欧几里得几何的发展源于对欧几里得几何公理系统的质疑和挑战。
19世纪末，数学家们开始研究在非欧几里得公理系统下的几何学，并发现了与欧几里得几何不同的几何规律。
这种挑战促使数学界重新审视和理解几何学的基础。
其次，欧几里得几何和非欧几里得几何在某些方面也存在一些相似之处。
虽然它们的公理系统和推演规则不同，但它们都在探索空间和形状的性质方面发挥作用。
例如，在欧几里得几何中，我们研究了平行线的特性，而在非欧几里得几何中，我们研究了曲线和曲率。
这些研究都为我们提供了对几何空间的不同看法，拓宽了我们对空间结构的认识。
此外，欧几里得几何和非欧几里得几何在应用领域也存在一些交叉。
欧几里得几何在物理学、工程学和地理学等领域中得到了广泛的应用，帮助我们研究和解释物体之间的相对关系。
高中数学人教新课标A版选修3-3第八讲欧式几何与非欧几何
结合图8-1，我们具体说明如下：
设 l 为 内垂直于x的射线，或者圆心在
x上的半圆，点A为 l 外的一点，则过点A必 可作两个半圆（或一射线、一半圆），其圆
心在x上，且与 l 相切（显然，切点在x上，
球面上的大圆可视为“直线”．在球 面上有这样一个结论：任意两条“直线” （大圆）都相交，即过“直线”外一点， 没有一条“直线”与该“直线”不相交．
也就是说，对球面上的大圆而言，欧 氏平行公理是不成立的．于是，在球面上 产生了一些与欧氏平面几何完全不同的定 理．
在欧氏平行公理不成立的条件下， 推导出来的所有定理与其结果所组成的 几何体系，称为非欧几何．
把“过直线外一点，没有一条直线与该 直线不相交”作为公理推导出的几何称为椭 圆几何．
非欧几何主要有椭圆几何和双曲几何， 它们与欧氏几何有明显的差异．
欧氏几何
椭圆几何
双曲几何
过直线外 一点，有且只有 一条直线与该直 线不相交．
过直线外一 点，没有一条直线 与该直线不相交．
过直线外一点， 不只一条直线与该 直线不相交．
教学重难点
• 球面几何与平面几何的比较． • 非欧几何的概念和意义． • 庞加莱模型．
一 平面几何与球面几何的比较
平面几何
球面几何
1.平面（球面）三角形两边之和大于第三边．
2.若两个平面（球面）三角形的三对边对应相等，则两个三 相 角形全等．
同 3.若两个平面（球面）三角形的两对边对应相等，且其夹角 的 对应相等，则两个三角形全等． 定 4.若两个平面（球面）三角形的两对角对应相等，且其夹边 理 对应相等，则两个三角形全等．
欧氏几何与非欧几何(修订版)
欧氏几何与非欧几何整个欧氏几何的理论大厦，建筑在5 条几何公理( 公设) 的基础之上，这5 条公理是：(1) 从任一点到另外一点能作一条直线( 简言之，即通过任意两点可作一条直线) ；(2) 任何一条有限直线可以沿着直线不断延长；(3) 以任意一点为中心，任一距离为半径能作一圆；(4) 凡直角皆相等；(5) 若一条直线与两直线相交，在同侧的两个内角之和小于两直角，那么不加限制地延长这两条直线，必在该侧相交于一点．前四条公理都十分简明，容易为人们经验所检验．而第五条( 称“第 5 公设”) 却显得冗长繁琐，不易检验．历代都有人想把它当作定理由其他4 条公理推证出来，从而将它排除在公理之外．其结果虽然都归于失败，但却推得若干与它等价的命题，其中Playfair(1748 —1819) 提出的等价命题最为著名：过一点能作一条且只能作一条直线，平行于给定的直线．不少教科书( 包括我国现行中学几何课本) 都用它来代替第 5 公设，并把它称为“平行公理”或“欧几里得公理”，因为它反映了欧氏几何的本质特征．长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。
也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？罗巴切夫斯基是从1815—1816年着手研究第五公设问题的．到1826年2月23日于喀山大学物理数学系学术会议上首次宣读自己新几何学的论文——《简要叙述平行线公理的一个严格证明》，前后经过了十年艰苦的努力．开始，他像其他所有研究者一样，也试图给出第五公设的证明，但不久就意识到这是徒劳的，对于第五公设，“至今没能找到它的严格证明，以往给出的任何一种证明，只能是一种说明，而不配称做是真正意义下的数学证明”。
人教版高中选修3-3三欧氏几何与非欧几何的意义课程设计
人教版高中选修3-3三欧氏几何与非欧几何的意义课程设计一、课程设计目标本节课程是高中数学选修3-3的一部分，主要通过讲解三欧氏几何和非欧几何的概念，来使学生了解到欧氏几何的局限性以及非欧几何在现实中的应用。
本节课程的目标如下：1.让学生了解欧氏几何的概念及其适用范围；2.让学生了解三角形、圆等图形的性质；3.让学生了解非欧几何的概念；4.让学生了解非欧几何在现实中的应用。
二、教学内容本课程将分为三个部分——欧氏几何、三角形的性质、非欧几何和其应用。
具体教学内容如下：1. 欧氏几何1.欧氏空间的定义；2.欧氏空间的二公理；3.线性空间和欧氏空间的区别；4.欧氏几何的适用范围。
2. 三角形的性质1.三角形的分类；2.三角形的内角和定理；3.三角形的外角和定理；4.特殊三角形的性质。
3. 非欧几何和其应用1.曲率和曲率半径的定义；2.常见的非欧几何模型；3.非欧几何在现实中的应用。
三、教学方法与手段本节课程采用多种教学方法和手段。
具体包括：1.介绍欧氏几何的概念和适用范围，通过掌握欧氏几何的定义和二公理，引出欧氏几何的局限性；2.以三角形为例，讲解三角形的分类和性质，结合实例，让学生理解三角形的性质；3.接着介绍非欧几何的概念，让学生了解非欧几何和欧氏几何的区别，包括曲率和曲率半径的概念等；4.最后，让学生了解非欧几何在现实中的应用，如GPS导航等；5.课堂上，教师可以采用讲解、示范、演示等多种教学方法，例如黑板教学、实物展示、PPT等。
四、教学重点与难点1. 教学重点1.学生掌握欧氏几何的概念和二公理；2.学生了解三角形的性质和计算方法；3.学生了解非欧几何的概念和区别；4.学生了解非欧几何在现实中的应用。
2. 教学难点1.让学生意识到欧氏几何的局限性；2.让学生理解非欧几何的概念和区别；3.让学生了解非欧几何在现实中的应用。
五、教学评价方式本节课程的评价方式主要包括上课听课、课堂回答问题、课后作业和期中、期末考试等多种方式，其中，课堂回答问题和课后作业占比较大，以检验学生对于所学内容的理解情况。
欧氏几何与非欧几何
欧氏几何欧几里得几何学,简称欧氏几何，主要是以欧几里得平行公理为基础的几何学。
欧几里得他把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑推理的思想方法加以系统化，初步奠定了几何学的逻辑结构的基础。
19世纪末期，德国数学家希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中提出了一个欧几里得几何的完整的公理体系。
从此人们把满足希尔伯特公理系统中的结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理等五组公理以及由其导出的一切推论组成的几何学叫做欧几里得几何学。
特别指出的是，平行公理在欧几里得几何中有着很重要的作用。
凡与平行公理有关的命题，都是欧几里得几何学的结论。
如三角形三条高线共点；过不共线的三点恒有一圆；任何三角形三内角之和等于180°；存在相似形；勾股定理成立。
1872年，德国数学家克莱茵在爱尔朗根大学提出著名的“爱尔朗根计划书”，明确了采用几何变换对各种几何进行分类。
指出，如果一种几何变换，它的全体组成一个“群”，就相应有一种几何学。
在每一种几何中主要研究在相应的变换下的不变性和不变量。
根据这种观点，欧几里得几何学就是研究图形在合同变换下(或在运动变换下)不变的科学。
欧几里得著有《几何原本》一书，该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述比例和算术理论以外，其他各卷都是论述几何问题的。
《几何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的基础上，然后以这些显然的假设为依据推证出体系里的一切定理。
在第1卷开始他首先提出23个定义，前6个定义是：①点没有大小；②线有长度没有宽度; ③线的界是点；④直线上的点是同样放置的；⑤面只有长度和宽度；⑥面的界是线。
在定义之后，有5个公设：①从任意点到另一点可以引直线；②有限直线可以无限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。
(完整word版)欧几里得几何与非欧几何
欧几里得几何与非欧几何摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。
关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的（相对而言) 科学体系.它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成,后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。
十九世纪二十年代,几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善,因此取名为罗氏几何学.1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何.十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。
1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论，不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实.从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。
一、欧几里得几何的发展(一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础在欧几里得时代以前,数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。
面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成,系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。
最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。
人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分, 等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。
演变过程从欧几里得几何到非欧几里得几何的转变
演变过程从欧几里得几何到非欧几里得几何的转变演变过程：从欧几里得几何到非欧几里得几何的转变欧几里得几何（Euclidean geometry）是一种基于欧几里得（Euclid）的数学理论，被广泛应用于平面几何和空间几何的研究中。
然而，在欧几里得几何出现之前，人们对于几何的认知和研究并非局限于欧几里得的思想。
随着时间的推移，数学学者们开始探索新的几何理论，从而引出了非欧几里得几何（non-Euclidean geometry）的发展。
1. 欧几里得几何的基础欧几里得几何以希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》为基础。
在这本著作中，欧几里得建立了一套严密的公理系统，包括点、直线、平行线等基本概念和定理。
这套公理系统形成了欧几里得几何的基础，成为后续几何研究的指导。
2. 非欧几里得几何的起源随着数学的发展，人们开始思考欧几里得公理中的第五公理，即“通过一点外一直线上的任意一点，可以作出一条与给定直线平行的直线”。
一些数学家开始质疑这个公理的合理性，并尝试推翻这个公理，从而引出了非欧几里得几何的起源。
3. 黎曼几何的开创德国数学家伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）在19世纪中期开创了黎曼几何，这是非欧几里得几何的一种重要分支。
黎曼在他的著作《黎曼几何的基本思想》中提出了对于几何的新的看法，包括多元微积分、黎曼流形等概念。
黎曼几何打破了欧几里得几何中平行线的定义，并引入了曲率的概念。
4. 非欧几里得几何的发展除了黎曼几何，其他数学家如卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）和尼古拉·伊万诺维奇·洛巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky）也对非欧几里得几何做出了重要贡献。
高斯提出了正则曲线坐标系，洛巴切夫斯基则提出了类似直线的概念，来研究非欧几里得几何。
这些学者的工作为非欧几里得几何的发展奠定了坚实的基础。
非欧几何与欧氏几何的联系
非欧几何与欧氏几何的联系
欧几里德几何（Euclidean geometry）是对平面和空间的理论的研究。
它在许多领域
都有应用，包括建筑、工程、物理学、天文学等。
然而，欧几里德几何是基于一些公理
（公认为真的陈述），这些公理在其他几何体系中不一定是真实的，因此出现了非欧几
何。
非欧几何（Non-Euclidean geometry）是指与欧几里德几何不同的几何体系。
在非欧
几何中，与欧几里德几何中的公理不同，例如，直线可能具有弯曲、平行线在一点处可能
相遇等等。
与欧几里德几何不同，非欧几何不一定是在欧几里德几何的基础上发展而来。
相反，
非欧几何在自身的基础上开创了不同的几何领域。
然而，非欧几何和欧几里德几何之间仍然存在一些联系。
其中最重要的联系是在范畴中。
如果说欧几里德几何是平坦的，那么可以将它看作是一种特殊的拓扑空间。
相比之下，非欧几何通常被认为是曲面的一种形式，因此它们也被归为拓扑空间的一类。
此外，在数学、物理学和其他学科中，非欧几何也有着广泛的应用。
在广义相对论中，非欧几何被用来描述弯曲的时空。
在抽象的数学领域中，非欧几何的一些结构也被用来证
明数学定理。
总之，非欧几何和欧几里德几何之间存在着紧密联系。
它们之间的相互作用使我们能
够更好地理解几何学的本质，并促进了许多领域的发展。
欧氏几何 非欧几何 罗曼几何2007
欧氏几何非欧几何罗曼几何2007/05/20 11:06欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。
后两种几何就称为非欧几何。
三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。
因此这三种几何都是正确的。
欧氏几何与非欧几何最显著的区别：在于对几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论的解释。
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。
欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。
罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。
那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。
在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
欧氏距离：在二维和三维空间中的欧式距离的就是两点之间的距离，二维的公式是d = sqrt((x1-x2)^+(y1-y2)^)三维的公式是d=sqrt(x1-x2)^+(y1-y2)^+z1-z2)^)推广到n维空间，欧式距离的公式是d=sqrt( ∑(xi1-xi2)^ ) 这里i=1,2..nxi1表示第一个点的第i维坐标,xi2表示第二个点的第i维坐标黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826－1866德国汉诺威）黎曼1826年出生于汉诺威一个小村庄，父亲是路德派的牧师。
由于家庭生活困难，黎曼的六个兄弟姐妹中多数夭亡。
黎曼本人身体也很虚弱。
19岁时，黎曼依父亲意愿进入哥廷根大学学习哲学和神学，以便将来成为一名牧师。
当时的哥廷根大学由于有高斯而成为世界数学的中心之一，受这里数学研究气氛的感染，从小就在数学上显露才华的黎曼决定放弃神学，专攻数学。
于是转到柏林大学，从雅可比、狄利克雷、史坦纳那里受教，而进入新的数学领域。
几何中的欧式空间与非欧几何
几何学是研究空间、形状、大小以及它们之间的关系的学科。
在几何学中，欧式空间和非欧几何是两个重要的概念。
欧式空间是基于欧几里德几何学的概念，而非欧几何是指那些不符合欧几里德几何学规则的几何学系统。
欧式空间是指一个平直的三维空间，符合欧几里德几何学的公理。
在欧几里德几何学中，空间是连续的，直线是无限延伸的，平行线永不相交等。
欧式空间中的几何学主要关注点是点、线、面和体的位置关系与性质。
欧式几何学应用广泛，不仅适用于物理学和工程学的各个领域，也是我们日常生活中的几何学基础。
然而，在几何学的发展历程中，人们发现了一些不符合欧几里德几何学规则的情况。
这给几何学家们带来了挑战，正在这种情况下，非欧几何学产生了。
非欧几何学是不符合欧几里德几何学公理的几何学系统，主要有椭圆几何学和双曲几何学。
椭圆几何学是一种曲面几何学，也称为黎曼几何学。
与欧几里德几何学不同，椭圆几何学中的曲面上的直线并非无限延伸，而是在某一点处回到原点。
在椭圆几何学中，平行线将会相交，直角三角形内角和不等于180度。
椭圆几何学的发现给人们打开了一个全新的几何学世界，并为曲面拓扑学等领域的发展奠定了基础。
双曲几何学与椭圆几何学相似，也是一种曲面几何学。
在双曲几何学中，直线永远不会相交，而是以两个方向无限延伸，也没有平行线的概念。
双曲几何学对于研究曲面的性质以及它们之间的关系起到了重要的作用，也在相对论中得到了广泛的应用。
总的来说，几何学中的欧式空间和非欧几何学代表了两个不同的几何学体系。
欧式空间是基于欧几里德几何学的概念，符合欧几里德几何学的公理，以点、线、面和体的位置关系为研究重点。
而非欧几何学则是不符合欧几里德几何学公理的几何学系统，主要有椭圆几何学和双曲几何学。
这些非欧几何学不仅拓展了几何学的范畴，也为曲面拓扑学和相对论提供了理论基础。
因此，了解和研究欧式空间与非欧几何学对于深入理解空间和几何学的本质具有重要意义。
什么是非欧几何它与欧几里得几何有何不同
什么是非欧几何它与欧几里得几何有何不同在我们探索数学的广袤世界时，欧几里得几何是我们最初接触的重要领域之一。
然而，随着数学的发展，非欧几何的出现打破了传统的认知，为我们打开了全新的视角。
那么，究竟什么是非欧几何？它与欧几里得几何又有着怎样显著的不同呢？要理解非欧几何，我们得先回顾一下欧几里得几何。
欧几里得几何，是以古希腊数学家欧几里得的《几何原本》为基础构建的几何体系。
在这个体系中，有着一系列我们熟悉的公理和定理。
比如，两点之间直线最短；三角形内角和等于 180 度；平行线永不相交等等。
欧几里得几何在很长一段时间里被认为是描述空间和形状的唯一正确方式。
它在我们日常生活中的建筑、工程、制图等方面都有着广泛的应用。
我们所熟悉的房屋结构、道路规划，都遵循着欧几里得几何的规则。
然而，非欧几何的出现挑战了这种传统观念。
非欧几何主要包括两种类型：罗巴切夫斯基几何（双曲几何）和黎曼几何（椭圆几何）。
罗巴切夫斯基几何中，最显著的特点是平行线不再是永不相交。
想象一下，在一个双曲平面上，过直线外一点可以画出多条与之平行的直线。
这与我们在欧几里得几何中的认知完全不同。
而且，在双曲几何中，三角形的内角和小于 180 度。
这种几何模型在一些特殊的物理学和天文学研究中具有重要意义。
黎曼几何则是另一种非欧几何。
在黎曼几何中，没有绝对的平行线概念。
并且，三角形的内角和大于 180 度。
这种几何在广义相对论中发挥了关键作用，帮助我们理解弯曲的时空。
那么，为什么会出现非欧几何呢？这其实是数学发展的必然结果。
当人们对空间和形状的认识不断深入，发现欧几里得几何在某些情况下无法很好地描述现实世界中的现象。
比如，在研究大尺度的宇宙空间或者微观世界时，欧几里得几何的局限性就逐渐显现出来。
从数学的本质来看，欧几里得几何是基于平坦的空间假设，而非欧几何则是对弯曲空间的描述。
这就好比我们在平地上走路和在山坡上走路的感觉是不同的。
欧几里得几何就像是在平地上行走的规则，而非欧几何则是在山坡或者更复杂地形上行走的规则。
欧氏几何
欧氏几何、非欧几何与现代物理学约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，现称为欧几里得几何。
欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。
这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做??维欧几里得空间（甚至简称??维空间）或有限维实内积空间。
这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间（不一定完备），希尔伯特空间在高等代数中也被称为欧几里得空间。
为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须非常仔细的表达并被扩展到任意维度。
尽管结果的数学非常抽象，它却捕获了欧几里得空间的根本本质，根本性质是它的平面性。
还另存在其他种类的空间，例如球面则非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。
其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。
其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。
欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。
为了使这些在数学上精确，必须明确定义距离、角、平移和旋转的概念。
标准方式是定义欧几里得平面为装备了内积的二维实数的向量空间。
有着在这个向量空间中的向量对应于在欧几里得平面中的点，在向量空间中的加法运算对应于平移，内积蕴涵了角和距离的概念，它可被用来定义旋转。
一旦欧几里得平面用这种语言描述了，扩展它的概念到任意维度就是简单的事情了。
对于大多数部分，词汇、公式和计算对更高维的出现不造成任何困难（但是，旋转在高维中是非常微妙，而高维空间的可视化仍很困难，即使对有经验的数学家也一样）。
非欧几何简介
非欧几何简介欧氏几何与球面几何的区别与联系比较球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质，我们可以总结出以下显著的差别，见表6-1：表6-1 球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质差异，其中A、B、C为单位球面上三角形的三个内角（弧度制）通过上面的比较，我们看到，球面上的几何是与平面几何不同的一种几何理论。
平面几何最早由希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前300年左右）整理成系统的理论。
他的不朽之作《几何原本》不仅包含了平面几何，也包含了立体几何。
为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后来就把这种几何称为欧氏几何。
球面上的几何是与欧氏几何不同的几何，所以叫做非欧几何。
球面上的几何与欧氏几何有不相同之处，但他们之间也有一些共同特征，见表6-2。
表6-2 球面上的几何与欧氏几何的共同特征两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系。
首先分析一下球面三角形的面积公式把这个公式改写成这个等式的左端称为球面三角形的角超，它反映出球面上的几何与平面几何的差距。
在平面几何中三角形三内角之和等于，角超等于零。
在球面上的几何中角超大于零。
不难看出当球面半径R无限增大时，球面逐渐趋向于平面，越来越小，即三角形的角超越来越小，球面三角形逐渐趋向于平面三角形，球面几何的性质逐渐接近于平面几何的性质。
所以我们可以说：当球面半径趋向于无穷大时，球面上的几何以平面几何为极限。
因为地球的半径非常大，当我们研究的范围相对于地球半径很小时，三角形的角超就一定很小。
因此，可以用平面几何的知识来代替球面几何知识，所产生的误差很小。
另一种非欧几何通过前一小节的分析，我们发现三角形的三个内角之和的大小，在很大程度上反映了平面欧氏几何与球面几何的差别。
当三角形的三个内角之和等于时，就是欧氏几何，当三角形的三个内角之和大于时，就反映出球面几何的主要特征。
有没有三角形三个内角之和小于的几何呢？我们简单回顾一段几何发展史。
在十七世纪以前，人们认为只有一种几何，就是欧氏几何，它是一切科学的基础。
几何学中的欧氏空间与非欧几何
几何学中的欧氏空间与非欧几何几何学是一门关于空间形状和性质的学科，其基本概念是面积、长度、角度和体积等。
在几何学中，欧氏空间是最基本的概念之一。
欧氏空间是指具有欧氏度量的空间。
在欧氏空间里，我们所熟悉的平凡几何学定理都是成立的。
但是，随着几何学的发展与深入研究，我们发现了无数个非欧几何空间。
本文将会详细探讨欧氏空间和非欧几何空间。
一、欧氏空间欧氏空间是用欧氏度量定义的空间。
在欧氏空间内，两点之间的距离是由勾股定理（a²+b²=c²）推导出的。
欧氏空间的特点是满足传递性、对称性和非负性。
同时，在欧氏空间内，平行线永远不会相交。
欧氏空间的一个非常重要的应用是解析几何。
然而，欧氏空间并不是唯一的空间。
在追求更为真实的数学描述的推进下，数学家们尝试着超越欧氏空间，并发现了许多非欧几何空间。
二、非欧几何空间非欧几何空间是指不满足欧氏公理的空间，如球面空间、双曲面空间等。
它的特点在于满足非欧几何公理。
在非欧几何中，曲线不再是直线。
在球面上，我们可以看到地面上所有的边都弯曲了。
而在双曲面上，直线却是呈现成弯曲的。
一个很好的例子是“球面上两点间最短路径不是直线”，这个性质通往了非欧几何的大门。
相比之下，这正是欧式几何公理中的假设。
在球面空间中，我们可以为一个点在地球表面上指定球面坐标（纬度和经度）。
在双曲面上也有类似的坐标系。
这些坐标系使得我们能够在非欧几何空间中进行研究和计算。
总结来说，非欧几何中的曲线要么是弯曲的，要么可以是弯曲的，但两点之间总有一条最短的路径。
在双曲几何中，平行线永远相交。
而在球面几何中，平行线不可能相交。
三、欧氏空间和非欧几何空间的比较欧氏几何是我们熟知的三角形、圆等形状的集合，其中最基本的特征是勾股定理。
而非欧几何没有勾股定理，并且不满足传递性、对称性和非负性等欧氏公理，因此在很多情况下，非欧几何的推导和欧氏几何完全不同。
在欧氏空间中，平面和立体之间可以无缝连接。
非欧几何(Non-Euclidean.
非欧几何（Non-Euclidean geometry）简介福州大学林鸿仁非欧几何就是非欧几里得几何，是针对欧几里得几何而言的，非欧几何通常指的是罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。
众所周知，素有“几何之父”之称的古希腊的数学家欧几里得( Euclid，希腊文：Ευκλειδης，约公元前330年-前275年）有一本传世之作叫《几何原本》，已经传了两千多年了。
其中的基本内容，至今还是我们孩子们学习的课程，包括《平面几何》和《立体几何》。
西方的几何学大概兴于公元前7世纪的古埃及，对古代埃及人来说，几何学就是“测地术”，几何是在测量地块中获得的，是一种经验的几何知识，所以大都十分零散杂乱，缺乏系统。
古希腊的欧几里得首先觉察到，很有必要对这些“上帝的杰作”进行整理，于是特地到古埃及的亚历山大，收集整理并于公元前3世纪写成《几何原本》这一巨著，开创了数学理论的系统化逻辑化的先河，除了使几何成为一门独立学科之外，也成为西方科学研究方法的典范。
欧几里得的《几何原本》全书共分13卷，包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。
在每一卷中，欧几里得都采用了完全不同的叙述方式，先提出公理、公设和定义，再将命题进行逻辑推理和证明。
他先后对直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何等进行系统的论述。
在这里，作为定义的基本概念，如点、线、面、直角等，已不是具体的图形或图像，而是抽象的一般概念；推演定理的方法，也尽量避开直观，而采用“三段论式”的逻辑方法。
欧几里得的成功之处在于，从一些被认为是不证自明的事实出发，通过逻辑演绎，用很少的几个公理公设，令人信服地推出了很多的定理，而且它们与现实世界又是一致的。
欧几里得建立的这一个几何学公理体系一直受到后世数学家的普遍称颂，被公认为数学严格性的典范。
因此，在相当长的历史时期里，人们一直把几何称为“欧几里得几何”简称“欧氏几何”，并把它奉为金科玉律。
但由于时代的局限，他的5条公设中的第5条一直被质疑。
浅谈欧氏几何与非欧几何在建筑中的应用
浅谈欧氏几何与非欧几何在建筑中的应用首先简单说说我对欧氏几何与非欧氏几何的陋见，欧氏几何与非欧氏几何都是数学几何学中的一块，做一个不是十分恰当的比喻，欧氏几何与非欧氏几何之间的关系就像是牛顿基本力学与后来爱因斯坦创立的相对论之间的关系。
那么接下来我将从学术上简单谈谈欧氏几何与非欧氏几何，欧氏几何是由以欧几里得几何学为基础的经典集合理论，它包括五条基本定理，整个欧氏几何的大厦都建立在这五条基本理论上，也就是说欧氏几何的一切定理、推论就是通过这些定义五个公设和数量公理的演绎、推理证明而得到的。
非欧氏几何即是区别于传统平面几何学的三维几何，它是建立在三维的现实生活中的，相较于二维几何它更加复杂更加具有动态的美，它的主要发展是在计算机的发明之后，人们开始利用计算机辅助技术来建立三维模型并寻找其中的数学规律，非欧氏几何的代表有拓扑几何、凸体几何等。
那么我们为什么要选择在建筑数字技术概论这门课上讲欧氏几何与非欧几何在建筑中的应用呢？计算机辅助技术看起来和我们的课题并无直接联系，建筑数字技术是指一些服务设计的软件比如CAD、Rhino、Revit、Sketchup等软件，它们大都是一些辅助人们建立模型的软件，我们这门课也是简要介绍这些软件，让同学们心里对这些软件有一定的认识，这好像与欧氏几何与非欧几何并无联系。
其实并不然，正如我之前所说，非欧氏几何的快速发展正是借助计算机强大的建模能力，而想要把它们都运用到我们的建筑设计中光靠传统的手绘是远远不够的，也无法表达清楚我们想要的效果，这只是其一。
其二，就算我们通过手绘解决出了非欧几何造型的难题，这只是完成了建筑设计中的一小部分——造型设计，还有设备设计，结构设计等方面内容，试想一下，想要在复杂的非欧几何建筑里不借助计算机辅助就做好结构、设备等处理设计这几乎是不可能实现的，由此可见，通过对欧氏几何非欧氏几何对我们建筑设计的影响就可以看出，计算机辅助技术对我们设计帮助之大，对我们建筑设计进步推动之大。
数学的几何探秘从欧式几何到非欧几何的发展
数学的几何探秘从欧式几何到非欧几何的发展数学的几何探秘：从欧式几何到非欧几何的发展几何学是数学的一个重要分支，它研究的是空间和形状的性质以及它们之间的关系。
在数学的历史长河中，欧式几何是最早被研究和发展起来的几何学体系之一，而非欧几何则是在欧式几何之后才逐渐形成的。
本文将探究数学几何在欧式几何到非欧几何的发展过程中的重要里程碑，并探索其背后的原理。
一、欧式几何的基础欧几里得是古希腊几何学的奠基人之一，他在公元前3世纪著作的《几何原本》中提出了欧式几何学的基本原理和定理。
这一体系以点、线、面为基本元素，采用了公理和证明的严密方法，建立了严谨的逻辑体系。
欧式几何在描述平面和空间中的图形性质和空间关系方面极为成功，为数学的进一步发展奠定了坚实的基础。
二、非欧几何的崛起19世纪中期，数学家们开始探索非欧几何。
最早提出非欧几何的是俄国数学家罗巴切夫斯基和德国数学家冯康。
他们从不同的角度出发，通过修改欧式几何的公理体系，构建了两种非欧几何系统：超几何和椭圆几何。
这些非欧几何系统打破了欧式几何传统的思维模式，提出了一些与直觉相矛盾，但在逻辑上仍然是自洽的命题。
三、超几何与椭圆几何超几何是从平行公理的否定出发，提出了一种没有平行线的几何系统。
由于没有平行线的约束，超几何的空间结构呈现出非欧几何的特征，其中最为著名的例子就是黎曼球面几何。
而椭圆几何则是在超几何的基础上，进一步将欧式几何的直线延伸到无穷远处，形成了一个封闭结构。
椭圆几何的一个重要应用就是研究球面上的性质，如经纬度系统。
四、广义相对论与非欧几何的应用非欧几何的发展不仅对数学学科本身有了重要的影响，而且对其他领域如物理学也产生了深远的影响。
广义相对论就是建立在非欧几何的基础上的理论，它通过引入弯曲的时空概念和测地线的概念，改变了牛顿力学中的绝对时空观念，给出了更为精确的描述重力和宇宙结构的理论框架。
在本文中，我们回顾了从欧式几何到非欧几何的发展过程，探讨了非欧几何系统的特点和应用。
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欧氏几何与非欧几何
整个欧氏几何的理论大厦，建筑在5 条几何公理( 公设) 的基础之上，这5 条公理是：
(1) 从任一点到另外一点能作一条直线( 简言之，即通过任意两点可作一条直线) ；
(2) 任何一条有限直线可以沿着直线不断延长；
(3) 以任意一点为中心，任一距离为半径能作一圆；
(4) 凡直角皆相等；
(5) 若一条直线与两直线相交，在同侧的两个内角之和小于两直角，那么不加限制地延长这两条直线，必在该侧相交于一点．
前四条公理都十分简明，容易为人们经验所检验．而第五条( 称“第 5 公设”) 却显得冗长繁琐，不易检验．历代都有人想把它当作定理由其他4 条公理推证出来，从而将它排除在公理之外．其结果虽然都归于失败，但却推得若干与它等价的命题，其中Playfair(1748 —1819) 提出的等价命题最为著名：
过一点能作一条且只能作一条直线，平行于给定的直线．不少教科书( 包括我国现行中学几何课本) 都用它来代替第 5 公设，并把它称为“平行公理”或“欧几里得公理”，因为它反映了欧氏几何的本质特征．
长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。
也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？
罗巴切夫斯基是从1815—1816年着手研究第五公设问题的．到1826年2月23日于喀山大学物理数学系学术会议上首次宣读自己新几何学的论文——《简要叙述平行线公理的一个严格证明》，前后经过了十年艰苦的努力．开始，他像其他所有研究者一样，也试图给出第五公设的证明，但不久就意识到这是徒劳的，对于第五公设，“至今没能找到它的严格证明，以往给出的任何一种证明，只能是一种说明，而不配称做是真正意义下的数学证明”。
通过错误与失败的精心研究。
罗巴切夫斯基大胆地提出原问题的“反问题”，即第五公设在数学上是不可证明的．用他自己的话说就是：“我推断，不依赖于经验，去寻求这个真实性的证明是徒劳的”．因为“这个真实性还没有包含在我们对现实事物的概念自身中”．那么，罗巴切夫斯基是怎样成功地解决这个反问题的?又是怎样从中发现非欧几何新天地的?原来，他运用了反证法这一间接证明方法．
罗巴切夫斯基的基本思想是，为证“第五公设不可证”，首先用第五公设的相反命题代替它，和其他公设构成一个新的公理系统，然后，对这个新公理系统展开逻辑推演．假设第五公设在数学上可证，那么一定能够推演出逻辑矛盾来，至少第五公设和它的相反命题就是一对逻辑矛盾；反之，如果推演不出逻辑矛盾，就自然反驳了“第五公设可证”的假设，从而也就间接证得“第五公设不可证”．
基于这种思想，罗巴切夫斯基从第五公设的等价命题普雷菲尔公理的否定；“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”．之后，他从这个相反命题，及欧几里得的其他公设出发而进行逻辑推演，推出一个新的演绎几何体系——非欧几何( 双曲型几何) ．在这个新几何中，与平行公理无关的命题与欧氏几何一致；与平行公理有关的定理则被新的定理代替，其中有一些新定理与人们的直接经验相矛盾．诸如：“三角形三内角之
和小于180 °”，“两三角形若三组对应角分别相等，则必全等”等。
尽管如此，经过仔细推敲，罗巴切夫斯基并没有发现它们之间含有任何逻辑矛盾。
罗氏几何在逻辑上是站得住脚的。
于是，远见卓识的罗巴切夫斯基断言，这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理系统属于一种新几何，它的逻辑完整性和严密性可以和欧氏几何相媲美．而这个新几何的存在，就是对“第五公设不可证”的间接证明．
最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。
这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。
这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗氏几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
紧接着黎曼（Riemann）又提出另一种类型的非欧几何( 椭圆型几何) 它用以下新公理来代替平行公理：任何两条直线均相交( 即不存在平行线) 。
黎曼几何的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
坚持第五公设，引出欧几里德几何。
以“可以引无数条平行线”为新公设，引出罗氏几何（或称双曲几何）。
双曲抛物面上的三角形
对于罗巴切夫斯基几何，不少数学家给出过多种不同的模型。
第一个模型是由法国数学家庞斯莱（Poncelet, 1788—1867）给出的。
他把圆心位于一条给定直线S上的半圆看作“直线”。
显然，过两点可以唯一确定一条“直线”，过“直线”外一点可以作多条“直线”与之平行（不相交）。
如图：
在欧氏平面上做一条直线x，以x为边缘的上半平面（不包含x 上的点）记为λ，现在考虑λ内部的点，我们规定λ内部的点为“非欧点”，圆心在x上的半圆或垂直于x的射线称为“非欧直线”。
那么，在λ内、圆心在x上的一段圆弧，或垂直于x的射线上的一条线段是“非欧线段”，两条“非欧直线”的夹角是“非欧角”。
这样，在λ内部建立了一个非欧几何的模型，在此模型内满足：过直线外一点，不只一条直线与该直线不相交。
设ｌ为λ内
垂直于x的射线，或者圆心在x上的半圆，点A为了ｌ外的一点，则过点A必可作两个半圆（或一射线、一半圆），其圆心在x上，且与ｌ相切（显然，切点在x上，而x上的点都不在λ内），那么经过点A就有两条“非欧直线”与ｌ都不相交，所以在内非欧平行公理是成立的。
当然，在这我们还需要说明两段“非欧线段”相等（或说合同）的概念、两个“非欧角”相等的概念等，这就要涉及其他的数学知识。
这里就不再介绍了。
以“一条平行线也不能引”为新公设，引出黎曼几何（或称椭圆几何）。
椭圆面上的三角形
在球面上，点的观念和定义依旧不变，但“直线”是两点之间最短的距离，称为最短线。
在球面上，最短线是大圆的弧，所以平面几何中的线在球面几何中被大圆所取代。
同样的，在球面几何中的角被定义在两个大圆之间。
结果是球面三角学和平常的三角学有诸多不同之处。
例如：球面三角形的内角和大于180°。
对比于通过一个点至少有两条平行线，甚致无穷多条平行线的双曲面几何学，通过特定的点没有平行线的球面几何学是椭圆几何学中最简单的模式。
注意，非欧几何中的直线是延续数学家的说法，从现代数学观念看，此（欧氏几何中的）直线非彼（非欧几何中的）直线，含义有演变了。
直线在不同的几何学体系中有着不同的描述。
这三种几何学，都是常曲率空间中的几何学，分别对应曲率为0、负常数和正常数的情况。
三种几何学的适用范围与模型
三种几何学有着相互矛盾的结论，但真理只有一个，为什么会出现三种矛盾的真理呢？原来，客观事物是复杂多样的，在不同的客观条件下，会有不同的客观规律。
例如：在日常小范围内，房屋建设，城市规划等，欧氏几何学是适用的。
但是，如果要作远距离的旅行，例如从深圳到北京，在地球上深圳到北京的最短路线已经不再是直线，而是一条圆弧，地球上的球面三角学就是黎曼几何学了，其三角形内角和是大于180度的。
如果把目光放的再远些，在太空中漫游时，罗巴切夫斯基几何学就大显身手了。
在科学研究中，各种几何有着其不可替代的地位。
欧氏几何学的重要性自不待言；20世纪初，爱因斯坦在研究广义相对论时，他意识到必须用一种非欧几何来描述这样的物理空间，这种非欧几何就是黎曼几何的一种；1947年，人们对对视空间（从正常的有双目视觉的人心理上观察到的空间）所做的研究得出结论：这样的空间最好用罗巴切夫斯基几何来描述。
三种几何学各有其适用范围，也各有其模型。
欧几里得几何学的模型最容易理解，我们
生活的平面和三维现实空间就是很合适的模型。
黎曼几何学的模型可以用球面来实现。
黎曼氏几何有个很好的模型，可供人来理解它的内容，这就是大家所熟悉的球面。
在球面上，过普通的两个点，只存在一条直线（即大圆）；但如果这两个点是“对径点”（球的直径两端的点），则存在无数的直线（大圆）。