专题四 几何概型练习

几何概型例题分析

1、甲、乙两人约定在下午4:00—5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另

一人一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。

2、设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概率。

3、将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过

2

1的概率。

4、两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机只有离基地25km范围内

才能收到，下午3：00张三在基地正东30km内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km 内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。

5、在单位圆的圆周上随机取三点A、B、C，求是锐角三角形的概率。

6、将长为L的木棒随机的折成3段，求3段构成三角形的概率．

1、解：设x 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图15||≤-y x 时可相见，即阴影部分

167604560222=-=P

2、解：R AC AB 2||||==. ∴ 2

12===⋂R R BCD

P ππ圆周 3、解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为y x --1，则基本事件组所对应的几何区域可表示为

}10,10,10|),{(<+<<<<<=Ωy x y x y x ，即图中黄色区域，此区域面积为2

1。 事件“三段的长度都不超过

2

1”所对应的几何区域可表示为 Ω∈=),(|),{(y x y x A ，}2

11,21,21<--<

1)21(212=⨯ 此时事件“三段的长度都不超过2

1”的概率为412181

==P

4、解：设y x ,为张三、李四与基地的距离]30,0[∈x ，]40,0[∈y ，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对),(y x ，表示区域总面积为1200，可以交谈即252

2≤+y x 故192

25120025412

ππ==P 5、解法1：记的三内角分别为，

，事件A 表示“是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合

。 因为是锐角三角形的条件是

且

所以事件A 构成集合

由图2可知，所求概率为

。 解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。

6、解：设M =“3段构成三角形”．x y ，分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为L x y --．{}()000x y x L y L x y L Ω=<<<<<+<，，，|．

由题意，x y L x y --，，要构成三角形，须有x y L x y +>--，即12x y +>； ()x L x y y +-->，即2L y <

；()y L x y x +-->，即2

L x <． 故()|222L L L M x y x y y x ⎧⎫=+><<⎨⎬⎩

⎭，，，． 如图1所示，可知所求概率为

221122()4

2L M P M L ⎛⎫ ⎪⎝⎭===Ω·的面积的面积