专题四 几何概型练习
完整版几何概型的经典题型及答案
几何概型的常见题型及典例分析一•几何概型的定义1. 定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或 体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型 .2. 特点：（1） 无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限 多个；（2） 等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等 . 构成事件A 的区域长度（面积或体 积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应 的几何图形，并对几何图形进行度量. 4.古典概型和几何概型的区别和联系：（1） 联系：每个基本事件发生的都是等可能的.（2） 区别：①古典概型的基本事件是有限的， 几何概型的基本事件是无 限的；②两种概型的概率计算公式的含义不同..常见题型（一）、与长度有关的几何概型分析：在区间［1,1］上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是 区间［1,1］的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的 发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的3.计算公式:P （A ）例1、在区间［1,1］上随机取一个数x 1X ，cos 2-的值介于0到2之间的概率为（).A.- 3B.C.D.区间长度有关，符合几何概型的条件 解：在区间［1,1］上随机取一个数X ,即x ［0到-之间,需使x或 x22 2 33 2 2 2••• 1 x 2或-x 1，区间长度为3 3由几何概型知使cos —x 的值介于0到1之间的概率为2 22符合条件的区间长度 J 1所有结果构成的区间长 度 2 3 .例2、如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间 再随意安装两盏路灯 C,D ，问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的 概率是多少？思路点拨从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限 多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型.解 记E : “ A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB1等分，由于中间长度为妙3=10米,方法技巧我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生 则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型 就可以用几何概型来求解.例3、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交 点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于 R 的概率 思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以， 地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1 ） O 也就是说，样本空间所对应的区域 G 是一维空 间（即直线）上的线段 MN 而有利场合所对 应的区域G 是长度不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。
几何概型(有答案)
A
10 10
S
30
x
0 x 30
0 y 30
而二人会面 x y 10
SA P(A)= SS
３０２－２０２ ＝ ３０２
９ ５
练习:假设小明家订了一份报纸,送 报人可能在早上6:30至7:30之间把 报纸送到小明家,小明的爸爸离开家 去工作的时间在早上7:00至8:00之 间,问小明的爸爸在离开家前能得到 报纸的概率是多少? 书本上P137例2
练习
在500ml的水中有一个草履虫，现 从中随机取出2ml水样放到显微镜下 观察，则发现草履虫的概率是（ ） A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
练习 取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位 置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米 1m 1m 的概率有多大?
3m
解：如上图，记“剪得两段绳子长都不 小于1m”为事件A，把绳子三等分，于 是当剪断位置处在中间一段上时，事件 A发生。由于中间一段的长度等于绳子 长的三分之一，所以事件A发生的概率P （A）=1/3。
例9、（1）在面积为S的三角形ABC的AB边上 任取一点P，则三角形PBC的面积小于S∕2的 概率是＿＿＿； （2）向面积为S的三角形ABC内任投一点P， 则三角形PBC的面积小于S∕2的概率是＿＿＿；
典型例题讲解
例10、下图的矩形，长为5，宽为2， 在矩形内在随机地撒300颗黄豆，数 得落阴影部分的黄豆数为138颗，则 我们可以估计出阴影部分的面积 为 ．
解题方法小结：
对于复杂的实际问题，解题的 关键是要建立概率模型，找出 随机事件与所有基本事件相对 应的几何区域，把问题转化为 几何概型的问题，利用几何概 型公式求解。
练习
几何概型经典练习题
几何概型题目选讲1•在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC , CB 的长，则该矩形面积4 — 0+ 12— 8 2解析：设AC = x ,由题意知x(12 — x)v 32? 0v x v 4或8v x v 12,所求事件的概率 P =―0+—— =-.12 3 小于32 cm 2的概率为() A.16C.f D'42 .已知圆 C : x 2 y 2=12,l : 4x 3y =25在圆上任取一点 P,设点P 到直线l 的距离小于2的事件为A 求P(A)的值。
解：P(A)=3 •设不等式组 °仝x< 2表示的平面区域为 D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 0< y w 22的概率是解析：坐标系中到原点距离不大于 2的点在以原点为圆心，2为半径的圆内及圆上,*0W x < 2， 表示的区域D0W y < 2nX 44— 4 4— n为边长为2的正方形及其内部，所以所求的概率为 —=4 44 •在区间［0,9］上随机取一实数x ,则该实数x 满足不等式 K log z x w 2的概率为2 解析：由1W Iog 2x w 2,得2W x w 4，根据区间长度关系，得所求概率为-.5.在［—6,9］内任取一个实数 m ，设f(x) =— x 2 + mx + m,则函数f(x)的图像与x 轴有公共点的概率等于 ______________ . 解析：函数f(x)的图像与x 轴有公共点应满足 △= m 2 + 4m > 0,解得m W — 4或m 》0，又m € ［ — 6,9］，故—6< m W2 + 9 44—4或W m w9,因此所求概率P =石6 •甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为 小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率； ⑵如果甲船的2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率. 解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ,贝U 0< x v 24,0< y v 24 且 y — x > 4 或 y — x < — 4.0< x v 24,作出区域 0W y v 24,y — x > 4或 y — x v—“两船无需等待码头空出”为事件12 X-X 20 X 202 _______ _ 25 24 X 24 — 36.⑵当甲船的停泊时间为 4小时，乙船的停泊时间为 2小时，两船不需等待码头空出，贝U 满足x — y >2或y — x >4. 设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ,画出区域A ，贝U P(A)=⑶因为 a , b € Z ,且 a € A , b € B ，所以，基本事件共12 个：(一2, — 1), ( — 2,0), (— 2,1), (— 2,2), (— 1,—1), ( — 1,0), (— 1,1), (— 1,2), (0 , — 1) , (0,0) , (0,1) , (0,2) •设事件 E 为 “ b — a € A U B ”，则事件 E 中包含 99 3个基本事件，事件 E 的概率P(E) = — = 4.10•袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为 0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个•已知从袋子中随机抽取 1个小球，取到标号是 2的小球的概率是 ；(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取 2个小球，记第一次取出的小球标号为a ,第二次取出的小球标号为b.①记事件 A 表示“ a + b = 2”，求事件 A 的概率； ②在区间[0,2]内任取2个实数x , y ,求事件“ x 2+ y 2>(a — b)2恒成立”的概率.n 1解:(1)由题意可知： ------- =1，解得n = 2.(2)①不放回地随机抽取 2个小球的所有基本事件为：(0,1), (0,21),1+ 1 + n 20 W x v 24 , 0 W y v 24,y — x >4或x — y > 2.11X 20 X 20+4 22 X 22 2 2 _______ = 442_ 22124 X 24 576 288.2 27.知k € [— 2,2 ],贝U k 的值使得过 A(1,1)可以作两条直线与圆 x + y + kx — 2y —错误！未找到引用源。
几何概率练习题
几何概率练习题一、概念解析几何概率是概率论中的一个重要分支，它与图形的大小、形状和位置有关。
在解决几何概率问题时，需要通过计算面积、长度等几何量来确定事件发生的概率。
以下是几个经典的几何概率练习题供大家练习与探讨。
二、实例题目1. 问题描述：在一个正方形的坐标系中，点P(X, Y)满足0 ≤ X ≤ 2，0 ≤ Y ≤ 3。
如果将点P随机落在该坐标系中，求点P在正方形的上半部分的概率。
解答思路：正方形的面积为2 * 3 = 6，而上半部分的面积为2 * 3 / 2 = 3。
所以，点P落在正方形的上半部分的概率为3 / 6 = 1 / 2。
2. 问题描述：在一个半径为3的圆的内部，点P(X, Y)满足-3 ≤ X ≤ 3，-3 ≤ Y ≤ 3。
如果将点P随机落在该圆内部，求点P在圆中的概率。
解答思路：圆的面积为π * 3² = 9π，而正方形的面积为6 * 6 = 36。
所以，点P落在圆内部的概率为9π / 36 = π / 4。
3. 问题描述：在一个长方形的坐标系中，点P(X, Y)满足0 ≤ X ≤ 4，0 ≤ Y ≤ 5。
如果将点P随机落在该坐标系中，求点P满足X > Y的概率。
解答思路：长方形的面积为4 * 5 = 20，而满足X > Y的三角形的面积为(4 * 5) / 2 = 10。
所以，点P满足X > Y的概率为10 / 20 = 1 / 2。
三、总结几何概率是一种通过计算几何量来求解事件概率的方法。
在解决几何概率问题时，需要对几何形状进行分析，并运用几何知识来计算相应的面积、长度等几何量。
通过练习题的训练，我们可以更好地掌握几何概率的概念与应用，提高解决实际问题的能力。
【文章结束】。
高中数学 同步练习 几何概型
§3.3 几何概型学习目标 1.通过具体问题感受几何概型的概念,体会几何概型的意义.2.会求一些简单的几何概型的概率.3.会用随机模拟的方法近似计算某事件的概率．知识点一几何概型的概念及特点1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．知识点二几何概型的概率公式事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积)成比例,故可用区域的测度代替基本事件数．P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).知识点三均匀随机数1．均匀随机数的定义如果试验的结果是区间[a,b]内的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的,则称这些实数为均匀随机数．2．均匀随机数的特征(1)随机数是在一定范围内产生的．(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等．3．均匀随机数的产生(1)计算器产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数是RAND.(2)Excel软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为“rand ( )”．(3)产生方法：①由几何概型产生；②由转盘产生；③由计算器或计算机产生．1．在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √)2．与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ×)3．随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √)4．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．( ×)题型一几何概型的识别例1 下列关于几何概型的说法错误的是( )A．几何概型是古典概型的一种,基本事件都要具有等可能性B．几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性答案 A解析几何概型和古典概型是两种不同的概率模型,几何概型中的基本事件有无限多个,古典概型中的基本事件有有限个．反思感悟几何概型特点的理解(1)无限性：在每次随机试验中,不同的试验结果有无穷多个,即基本事件有无限多个；(2)等可能性：在每次随机试验中,每个试验结果出现的可能性相等,即基本事件的发生是等可能的．跟踪训练1 判断下列概率模型是古典概型还是几何概型．(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子,求出现两个“4点”的概率；(2)如图所示,图中有一个转盘,甲、乙玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率．解(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子,所有可能结果有6×6＝36(种),且它们的发生都是等可能的,因此属于古典概型．(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果,且它们的发生都是等可能的,而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域面积有关,因此属于几何概型．题型二 几何概型的计算命题角度1 与长度有关的几何概型例2 取一根长为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率为多少？ 解 如图,记“剪得两段的长都不小于1 m ”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段时,事件A 发生,因为中间一段的长度为1 m,所以事件A 发生的概率为P(A)＝13.反思感悟 在求解与长度有关的几何概型时,首先找到试验的全部结果构成的区域D,这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段,然后找到事件A 发生对应的区域d,在找区域d 的过程中,确定边界点是问题的关键,但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．跟踪训练2 (1)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车,小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34(2)在区间[－1,2]上随机取一个数x,则|x|≤1的概率为 ． 答案 (1)B (2)23解析 (1)如图,7：50至8：30之间的时间长度为40分钟,而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站,此两种情况下的时间长度之和为20分钟,由几何概型概率公式知,所求概率为P ＝2040＝12.故选B.(2)∵区间[－1,2]的长度为3,由|x|≤1,得x ∈[－1,1],而区间[－1,1]的长度为2,x 取每个值为随机的, ∴在[－1,2]上取一个数x,则|x|≤1的概率P ＝23.命题角度2 与面积有关的几何概型例3 (1)如图,在矩形区域ABCD 的A,C 两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4 B.π2－1 C ．2－π2 D.π4(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x,y 组成有序数对(x,y),求满足x 2＋y 2≤4的概率． (1)答案 A解析 由题意知,将两个四分之一圆合在一起,其面积为12×π×12＝π2,矩形面积为2,则所求概率为2－π22＝1－π4.(2)解 在区间[－2,2]上任取两个实数x,y 组成有序数对(x,y),区域Ω是边长为4的正方形区域,其中满足x 2＋y 2≤4的是图中阴影区域(如图所示),S 阴＝π×22＝4π,所以P ＝4π16＝π4.反思感悟 解与面积有关的几何概型问题的关键点 (1)根据题意确认是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何特征计算相关面积,套用公式求得概率． 跟踪训练3 一只海豚在水池中自由游弋,水池为长30 m,宽20 m 的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．解 如图所示,区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”,问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2),阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)． 所以P(A)＝184600＝2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率约为0.31. 命题角度3 与体积有关的几何概型例4 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a,高为h,在正三棱锥内取点M,试求点M 到底面的距离小于h2的概率．解 如图,分别在SA,SB,SC 上取点A 1,B 1,C 1,使A 1,B 1,C 1分别为SA,SB,SC 的中点,则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时,点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S,由△ABC ∽△A 1B 1C 1,且相似比为2,得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意,知区域D(三棱锥S －ABC)的体积为13Sh,区域d(三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为 13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh·78. 所以点M 到底面的距离小于h 2的概率为P ＝78.反思感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量,我们要结合问题的背景,选择好观察角度,准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪训练4 在一个球内有一棱长为1的内接正方体,一动点在球内运动,则此点落在正方体内部的概率为( ) A.6π B.32π C.3π D.233π答案 D解析 由题意可知这是一个几何概型,棱长为1的正方体的体积V 1＝1,球的直径是正方体的体对角线长,故球的半径R ＝32,球的体积V 2＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝32π, 则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.随机模拟方法的应用典例 (1)(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]上随机抽取2n 个数x 1,x 2,…,x n ,y 1,y 2,…,y n ,构成n 个数对(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n(2)如图,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为23,则阴影区域的面积为 ．答案 (1)C (2)83解析 (1)由题意得,(x i ,y i )(i ＝1,2,…,n)在如图所示的正方形中,而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中,由几何概型概率计算公式知,π41＝m n ,所以π＝4mn .(2)由几何概型的概率公式可得S 阴影S 正方形＝23,又S 正方形＝4,所以S 阴影＝4×23＝83.[素养评析] (1)解决此类问题时应注意两点：一是选取适当的对应图形,二是由几何概型的概率公式正确地计算概率．(2)明确这类问题的运算对象,采用随机模拟的运算方法,设计运算程序,求得运算结果,这些就是数学核心素养中的数学运算.1．在半径为2的球O 内任取一点P,则|OP|＞1的概率为( ) A.78 B.56 C.34 D.12 答案 A解析 问题相当于在以O 为球心,1为半径的球外,且在以O 为球心,2为半径的球内任取一点, 所以P ＝43π×23－43π×1343π×23＝78.2．如图,在平面直角坐标系中,射线OT 为60°角的终边,在任意角集合中任取一个角,则该角终边落在∠xOT 内的概率是( )A.16B.23C.13D.160 答案 A解析 ∵在任意角集合中任取一个角,则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为60°,而整个角集合对应的角度为360°,∴该角终边落在∠xOT 内的概率P ＝60°360°＝16,故选A.3．当你到一个红绿灯路口时,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为45秒,那么你看到黄灯的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.56答案 C解析 由题意可知,在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的,可以认为是无限次等可能出现的,符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒,而整个灯的变换时间长度为80秒,由几何概型的概率计算公式,得看到黄灯的概率P ＝580＝116.4．如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 ．答案π8解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2,则正方形内切圆的半径为1,可得S 正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2,所以由几何概型知,所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.5．在区间[0,3]内任意取一个数,则此数大于2的概率为 ． 答案 13解析 由于区间[0,3]的长度为3,区间(2,3]的长度为1,故所求概率P ＝13.1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型． 2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题． 3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题,利用几何概型公式求解,概率公式为 P(A)＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).一、选择题1．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G,用AG 为半径作圆,则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( ) A.925 B.1625 C.310 D.15答案 D解析 以AG 为半径作圆,面积介于36π平方厘米到64π平方厘米,则AG 的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图)．所以所求概率P ＝210＝15.2．有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是( )答案 A解析 ∵P(A)＝38,P(B)＝28,P(C)＝26,P(D)＝13,∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．3．如图,矩形ABCD 中,点E 为边CD 的中点,若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q,则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23 答案 C解析 △ABE 的面积是矩形ABCD 面积的一半,由几何概型知,点Q 取自△ABE 内部的概率为12.4．已知地铁列车每10 min 一班,在车站停1 min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) A.110 B.19 C.111 D.18答案 A解析 设“乘客到达站台立即乘上车”为事件A,试验的所有结果构成的区域长度为10 min,而构成事件A 的区域长度为1 min,故P(A)＝110.5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C,现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB 的长,则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( ) A.16 B.13 C.23 D.45 答案 C解析 设AC ＝x cm,则BC ＝(12－x)cm(0＜x ＜12), ∴矩形面积为x(12－x)cm 2, 由x(12－x)＜32,解得x ＞8或x ＜4,∴0＜x ＜4或8＜x ＜12.∴所求概率为4＋412＝23,故选C.6．如图,在一个边长分别为a,b(a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形,梯形的上、下底边长分别为a 3,a2,且高为b.现向该矩形内随机投一点,则该点落在梯形内部的概率是( )A.710 B.57 C.512 D.58答案 C解析 S 梯形＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋a 2b ＝512ab,S 矩形＝ab.所以P ＝S 梯形S 矩形＝512.7．在[0,5]之间随机取一个数作为x 的值,则使1<log 2(x －1)≤2成立的概率是( ) A.15 B.25 C.35 D.45 答案 B解析 由1<log 2(x －1)≤2,得2<x －1≤4, 即3<x ≤5,则对应的概率P ＝5－35－0＝25.故选B.8．如图,在等腰三角形ABC 中,∠ACB ＝120°,DA ＝DC,过顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM,与线段AB 交于点M,则AM<33AC 的概率为( )A.33B.34C.32D.14答案 D解析 由题意,在等腰△ABC 中,∠ACB ＝120°,DA ＝DC,则AC ＝3AD,即AD ＝33AC,AB ＝3AC ＝3AD,所以要使过顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM,与线段AB 交于点M,则AM<33AC,只要AM<AD 即可,由DA ＝DC,得∠ACD ＝∠CAD ＝180°－120°2＝30°,所以AM<33AC 的概率为30°120°＝14.故选D.9．函数f(x)＝x 2－x －2,x ∈[－5,5],那么任取一点x 0使f(x 0)＞0的概率为( ) A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8答案 C解析 如图,在[－5,5]上函数的图象和x 轴分别交于两点(－1,0),(2,0),只有x 0∈[－5,－1)∪(2,5]时,f(x 0)＞0,由题意,知本题是几何概型问题．记事件A 为“任取一点x 0,使f(x 0)＞0”,事件A 的区域长度是区间[－5,－1)与(2,5]的长度和,全体基本事件的长度是[－5,5]的区间长度．由几何概型的概率计算公式,得P(A)＝4＋310＝0.7.故选C.二、填空题10．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取一点P,则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为 ． 答案 16π解析 点P 到点A 的距离小于等于a 可以看作是随机的,点P 到点A 的距离小于等于a 可视作构成事件的区域,棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1可视作试验的所有结果构成的区域,则用“体积比”公式计算概率,得P ＝18×43πa 3a 3＝16π. 11．有一个圆面,圆面内有一个内接正三角形,若随机向圆面上投一镖都中圆面,则镖落在三角形内的概率为 ． 答案334π解析 设圆面半径为R,如图所示△ABC 的面积S △ABC ＝3·S △AOC ＝3·12AC·OD＝3·CD·OD＝3·Rsin 60°·Rcos 60°＝33R24,∴P ＝S △ABC πR 2＝33R 24πR 2＝334π. 12．在区间[－2,4]上随机地取一个数x,若x 满足|x|≤m 的概率为56,则m ＝ .答案 3解析 当m ≤0时,不合题意．当m ≤2时,2m 6＝56无解．当2＜m ≤4时,由m ＋26＝56得m ＝3,综上m ＝3. 三、解答题13．(2018·惠州模拟)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图所示是赵爽的弦图．弦图是一个勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形,其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱(红)色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2,化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶3,若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计),试估计落在黄色图形内的图钉个数．解 设勾为a,则股为3a,所以弦为2a,小正方形的边长为3a －a,所以题图中大正方形的面积为4a 2,小正方形的面积为(3－1)2a 2,所以小正方形与大正方形的面积比为(3－1)24＝1－32,所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32×1 000≈134. 14．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点,过该点作垂直于直径的弦,其长度超过3的概率是多少？ (2)在半径为1的圆内任取一点,以该点为中点作弦,其长度超过3的概率是多少？ (3)在半径为1的圆周上任取两点,连成一条弦,其长度超过3的概率是多少？ 解 (1)设事件A ＝{弦长超过3},弦长只与它跟圆心的距离有关, 当且仅当它与圆心的距离小于12时才能满足条件．由几何概型概率公式知P(A)＝12.(2)设事件B ＝{弦长超过3},由于弦中点已确定,故弦被确定,当且仅当弦中点在以半径为12的同心圆内时才能满足条件．由几何概型概率公式知P(B)＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12＝14.(3)设事件C ＝{弦长超过3},如图,固定一点A 于圆周上,以此点为顶点作圆的内接正三角形ABC,显然只有当弦的另一端点D 落在BC 上(不包括B,C 两点)时,才有|AD|＞|AB|＝3,由几何概型概率公式知P(C)＝13.15．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数,依次记为m 和n,则m>n 的概率为( ) A ．0.3 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8答案 C解析 画出图形(如图所示),m,n 所满足的区域为矩形ABCD,而m>n 所满足的区域为梯形ABCE,所以m>n 的概率P ＝S 梯形ABCES 矩形ABCD ＝15－9215＝0.7.故选C.16．某校早8：00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 ．(用数字作答) 答案932解析 设小张和小王到校的时间分别为y 和x, 则⎩⎪⎨⎪⎧30≤x ≤50，30≤y ≤50，y －x ≥5，则满足条件的区域如图中阴影部分所示．故所求概率P ＝12×15×1520×20＝932.。
高一数学几何概型专题训练
几何概型专题训练题组一：与长度有关的几何概型1.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，你看到黄灯的概率是多少_______.2.在单位圆⊙O 的一条直径MN 上随机地取一点Q ，过点Q 作弦与MN 垂直且弦的长度超过1的概率是__________.3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车的时间不超过3分钟的的概率是__________.4.函数],5,5-[∈,2--)(2x x x x f =那么人去一点，，]55-[∈0x 使0≤)(0x f 的概率是_________.5.点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧B A 的长度小于1的概率是_________.题组二：与角度有关的几何概型1.在等腰直角△ABC 中,过直角顶点C 任作一条射线l 与斜边AB 交于点M,求AM 小于AC 的概率.变1:在等腰直角△ABC 中,在斜边AB 上任取一点M,求使△ACM 为钝角三角形的概率.变2:在等腰直角△ABC 中,在斜边AB 上任取一点M,求AM 小于AC 的概率.题组三：与体积有关的几何概型1.已知棱长为2的正方体，内切球O ，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为_______.2.用橡皮泥做成一个直径为6cm 的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾，试求这个沙砾距离球心不小于1cm 的概率.题组四：与面积有关的几何概型1.在半径为1的半圆内，放置一个边长为1/2的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，落在正方形内的概率为______.2.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为____.3.已知A={(x ,y )|x +y ≤6,x ≥0,y ≥0},B={(x ,y)|x ≤4,y ≥0,x -2y ≥0}若向区域A 中随机投一点P ，则点P 落入区域B 的概率是____.4.设在区间[0，2]中随机地取两个数，求下列事件的概率.(1)两个数中较大的大于1/2；(2)两数之和大于3/4.练习:分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m 和n ，则m>n 的 概率为多少?5. (约会问题)两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00至21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．6. 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?7.在面积为S 的三角形ABC 的内部任取一点P ，则三角形PBC 的面积大于S/4的概率是_______.8.一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m 、宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率.9.将长为L 的木棒随机的折成3段，求3段构成三角形的概率．10.在矩形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝7.现在向该矩形内随机投一点P ，求090 APB 时的概率.[课后习题]1．一枚硬币连掷3次，至少出现两次正面的概率是（ ） Ａ．14 Ｂ．12 Ｃ．38 Ｄ．232．在正方形ABCD 内任取一点P ，则使90APB °的概率是（ ） Ａ．π8Ｂ．π4 Ｃ．π18 Ｄ．π14 3．已知地铁列车每10min 到站一次，且在车站停1min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（ ）Ａ．110 Ｂ．16 Ｃ．1160 Ｄ．1114．在两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率是（ ） Ａ．12 Ｂ．13 Ｃ．14 Ｄ．155．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率是（ ） Ａ．π16 Ｂ．π8 Ｃ．π4 Ｄ．π26．在线段[03]，上任取一点，则此点坐标小于1的概率是 ．7．在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是 ．8．从1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10ml ，则其含有麦锈病的种子的概率是 ．9．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．10．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P到点A 的距离小于等于a 的概率为________．11．已知集合A {x |－1<x <5}，B ＝{x |x －23－x>0}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．12．某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过4分钟的概率是________．13．如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是________．14．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a 、b 都是从区间[0,4]任取的一个数，则f (1)＞0成立的概率是________．15.设p 在[0，5]上随机地取值，求方程02142 p px x 有实根的概率。
几何概型练习题.docx
几何概型练习题1．在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取点则该点落在三棱锥A1－ ABC内的概率是() 1111A．3B．6C．2 D ．42．如图，在一个边长为a、 b( a＞ b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为a与a，高为 b.向32该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为()1157A．12 B ．4 C ．12D．123．在区间 [0,1] 内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是 ()ππππA．4B．10 C ．20D ．404．某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，24若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为25，则河宽为（ ) A． 16 m B ．20 m C ． 8 m D ． 10 m5．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为40 秒，当某人到达路口时，看见的是红灯的概率是________；看见的不是黄灯的概率是________．6．取一根长度为 4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于 1 m的概率是 ________．7．点A为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率_．8．已知如图所示的矩形，长为12，宽为 5，在矩形内随机地投掷 1 000 粒黄豆，落在阴影部分的黄豆为 600 粒，则可以估计出阴影部分的面积为________．9．点P在边长为 1的正方形 ABCD内运动，则动点 P到顶点 A 的距离| PA|≤1的概率为______．10．利用计算机产生0～ 1 之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜0”发生的概率为________．11．一只蚂蚁在三边边长分别为3、 4、 5 的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率为 ________．12．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．在球内任取一点P，则点 P 落在剩余几何体上的概率为________．13．在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC， CB的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为________．14．在1 升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 毫升，含有麦锈病种子的概率是；从中随机取出30 毫升，含有麦锈病种子的概率是15．一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．16．在区间[1之间的概率为 ________．2, ] 上随机取一个数x，cos x的值介于0至2217. 如图所示，设M是半径为 R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接 MN，则弦 MN的长超过2R 的概率为________．18．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以 OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．19．已知正三棱锥－的底边长为 4，高为 3，在三棱锥内任取一点，使得S ABC PV1的概率是．< 2VP－ ABC S－ ABC20．已知正方体ABCD－A B CD的棱长为 1，在正方体内随机取点1M，求使四棱锥 M－ ABCD的体积小于61111的概率．21．(1) 在半径为 1 的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(2) 在半径为 1 的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(3) 在半径为 1 的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长3的概率是多少？23．设关于x 的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若 a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率．24．设AB＝ 6，在线段AB上任取两点 ( 端点A，B除外 ) ，将线段AB分成了三条线段，(1) 若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2) 若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．答案： 1．在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取点则该点落在三棱锥A 1－ ABC 内的概率是 ()111 1A ． 3B ．6C ． 2D ． 4[ 答案 ]B[ 解析 ] 体积型几何概型问题．＝VA － ABC ＝ 1 .1PVABCD － A 1B 1C 1D 1 62．如图，在一个边长为、 (a＞ ＞ 0) 的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为a a与 ，高为a b b3 2b . 向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为()1157 A ． 12 B ． 4 C ． 12D ． 12[ 答案 ] C[ 解析 ]S 矩形 ＝ ab .S 梯形＝1 1a ＋ 1 ab ＝5.2 3 2 12ab故所投的点落在梯形内部的概率为5梯形12ab.＝ S＝＝ 5PS 矩形ab123．(2013 ～2014·山东济南模拟) 在区间 [0,1] 内任取两个数， 则这两个数的平方和也在 [0,1] 内的概率是 ()A ．πB． πC ．πD ．π4102040[ 答案 ] A[ 解析 ]设在 [0,1] 内取出的数为 a ， b ，若 a 2＋ b 2 也在 [0,1] 内，则有 0≤a 2＋ b 2≤ 1.221如右图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1 的正方形，满足a ＋b 在 [0,1] 内的点在 4 单位14ππ圆内 ( 如阴影部分所示 ) ，故所求概率为＝ .144．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为 x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途24中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为25，则河宽为 ()A． 16 m B．20 m C．8 m D．10 m[ 答案 ]B[ 解析 ]物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率为2411125，即掉到河里的概率为25，则河流的宽度占总距离的25，所以河宽为500×25＝ 20(m) ．二、填空题5．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为40 秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是 ________．解析以时间的长短进行度量，故＝30＝2.P755答案2 56．取一根长度为 4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于 1 m的概率是 ________．解析把绳子 4 等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于 1 m，故所求概率为2＝＝P 412.1答案27．点A为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于 1 的概率为________．解析如图可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长2 3，则其概率是 .3答案2 38．已知如图所示的矩形，长为12，宽为 5，在矩形内随机地投掷 1 000 粒黄豆，落在阴影部分的黄豆为 600 粒，则可以估计出阴影部分的面积为________．解析设所求的面积为600＝S，则 S＝36. S，由题意，得1 0005×12答案369．(2014 ·长沙联考) 点P在边长为 1 的正方形ABCD内运动，则动点 P 到顶点 A 的距离| PA|≤1的概率为______．解析如图，满足 | |≤1的点P 在如图所示阴影部分运动，则动点P到顶点A的距离 || ≤1的PA PA 12π阴影4×π×1概率为S＝＝ .S1×14正方形答案π410．(2013 ·福建 ) 利用计算机产生0～ 1 之间的均匀随机数a ，则事件“ 3 － 1＜ 0”发生的概率为a________．[ 答案 ]1 3[ 分析 ]解不等式，求出 a 的取值范围，算出此范围与所给区间的比值即可．1[ 解析 ]由题意，得 0＜a＜3，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a－ 1＜ 0”发生的概1率为3.11．一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、 5 的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率为 ________．1[ 答案 ]2[ 解析 ]如图所示，△ ABC中， AB＝3， AC＝4， BC＝5，则△ ABC的周长为3＋ 4＋ 5＝ 12. 设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 为事件A，则 P( A)＝DE＋ FG＋MN 3＋2＋1 1＝＝ . BC＋ CA＋ AB12212．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．在球内任取一点P，则点 P 落在剩余几何体上的概率为________．[ 答案 ]53 125[ 解析 ]由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R＝5，圆柱底面半径r ＝4，高 h＝ 6，故球体积＝4π3＝500π，圆柱体积1＝πr2·＝96π，V3R3V h500π－96π∴所求概率＝3＝ 53.P500π125313．(2012 ·辽宁卷改编 ) 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C . 现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2 的概率为 ________．解析2－ x ) ＞ 20，设 AC ＝ x cm,0＜ x ＜12，则 CB ＝ (12 － x )cm ，要使矩形面积大于 20 cm ，只要 x (12 则 x 2x ＋ 20＜ 0，解得 2＜ ＜ 10，所求概率为10－ 22－ 12 ＝＝ .312答案2314．在 1 升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 毫升，含有麦锈病种子的概率是；从中随机取出 30 毫升，含有麦锈病种子的概率是。
七年级数学第四章几何图形初步知识总结例题
(每日一练)七年级数学第四章几何图形初步知识总结例题单选题1、下列说法中，正确的是（）①己知∠A=40°，则∠A的余角是50°②若∠1+∠2=90°，则∠1和∠2互为余角．③若∠1+∠2+∠3=180°，则∠1、∠2和∠3互为补角．④一个角的补角必为钝角．A．①，②B．①，②，③C．③，④，②D．③，④答案：A解析：根据余角及补角的定义进行判断即可．∵和为180度的两个角互为补角，和为90度的两个角互为余角，∴①已知∠A=40°，则∠A的余角=50°，正确，②若∠1+∠2=90°，则∠1和∠2互为余角，正确，③∠1、∠2和∠3三个角不能互为补角，故错误，④若一个角为120°，则这个角的补角为60°，不是钝角，故错误，∴正确的是：①②．故选：A．小提示：本题考查了余角及补角，掌握余角和补角的定义是解题的关键．2、下列说法：（1）在所有连结两点的线中，线段最短；（2）连接两点的线段叫做这两点的距离；（3）若线段AC=BC，则点C是线段AB的中点；（4）经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，是因为两点确定一条直线，其中说法正确的是（）A．（1）（2）（3）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（1）（2）（4）答案：B解析：根据两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的定义求解，线段的中点的定义，直线的性质对各小题分析判断即可得解．解：（1）在所有连结两点的线中，线段最短，故此说法正确；（2）连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，故此说法错误；（3）若线段AC=BC，则点C不一定是线段AB的中点，故此说法错误；（4）经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，是因为两点确定一条直线，故此说法正确；综上所述，说法正确有（1）（4）．故选：B．小提示：本题考查了线段的性质、两点间的距离的定义，线段的中点的定义，直线的性质等，是基础题，熟记各性质与概念是解题的关键．3、如图，BC=12AB，D为AC的中点，DC=3cm，则AB的长是()A．72cm B．4cm C．92cm D．5cm答案：B解析：先根据已知等式得出AB与AC的等量关系，再根据线段的中点定义可得出AC的长，从而可得出答案．∵BC=12AB∴AC=AB+BC=AB+12AB=32AB，即AB=23AC∵D为AC的中点，DC=3cm ∴AC=2CD=6cm∴AB=23AC=23×6=4(cm)故选：B．小提示：本题考查了线段的和差倍分、线段的中点定义，掌握线段的中点定义是解题关键．填空题4、如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．AC ＝3cm，CP＝1cm，线段PN＝__cm．答案：32解析：根据线段中点的性质求得线段CN的长度，即可求解．解：∵AP＝AC+CP，CP＝1cm，∴AP＝3+1＝4cm，∵P为AB的中点，∴AB＝2AP＝8cm，∵CB＝AB﹣AC，AC＝3cm，∴CB＝5cm，∵N为CB的中点，∴CN=12BC=52cm，∴PN=CN−CP=32cm所以答案是：32．小提示：本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段的中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．5、单位换算：56°10′48″＝_____°．答案：56.18解析：先将48″换算成“分”，再将“分”换算成“度”即可．解：48×（160）′＝0.8′，则10.8×（160）°＝0.18°，故56°10′48″＝56.18°，所以答案是：56.18．小提示：本题考查度、分、秒的换算，掌握换算方法是正确计算的前提．解答题6、如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=110°，将一直角三角板的直角项点放在O处，一直角边OM在射线O上，另一直角边ON在直线AB 的下方．(1)将图1中的三角形绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：此时直线ON是否平分∠AOC？计算出图中相关角的度数说明你的观点；(2)将图1中的三角板以每秒5°的速度绕点O逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n秒时，直线ON恰好平分∠AOC，则n的值为____________（直接写出答案）；(3)将图1中三角板绕点O旋转至图3，使ON在∠AOC的内部时，求∠AOM与∠NOC 的数量关系，并说明理由．答案：(1)35°，见解析(2)11或47(3)∠AOM−∠NOC=20°，见解析解析：（1）如图，作射线NT,先求解∠BON,∠AOT,再求解∠COT,从而可得答案；（2）分两种情况：①如图2，当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，此时逆时针旋转的角度为55°，②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA=35°，此时逆时针旋转的角度为：180°+55°=235°，再求解时间t即可；（3）由∠AOM=90°−∠AON，∠NOC=70°−∠AON，消去∠AON即可得到答案.(1)解：如图，过点O作射线NT,∵OM平分∠BOC，∴∠MOC=∠MOB，又∵∠BOC=110°，∴∠MOB=55°，∵∠MON=90°，∴∠BON=∠MON−∠MOB=35°，∴∠AOT=35°,∠COT=180°−110°−35°=35°,∴∠AOT=∠COT,∴OT平分∠AOC,即直线ON平分∠AOC.(2)解：分两种情况：①如图2，∵∠BOC=110°，∴∠AOC=70°，当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD=∠COD=35°，∴∠BON=35°，∠BOM=55°，即逆时针旋转的角度为55°，由题意得，5t=55°解得t=11（s）；②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA=35°，∴∠AOM=55°，即逆时针旋转的角度为：180°+55°=235°，由题意得，5t=235°，解得t=47（s），综上所述，t=11s或47s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；所以答案是：11或47；(3)解：∠AOM−∠NOC=20°.理由：∵∠MON=90°，∠AOC=70°，∴∠AOM=90°−∠AON，∠NOC=70°−∠AON，∴∠AOM−∠NOC=(90°−∠AON)−(70°−∠AON)=20°，∴∠AOM与∠NOC的数量关系为：∠AOM−∠NOC=20°.小提示：本题考查的是几何图形中角的和差关系，角的动态定义，角平分线的定义，掌握“几何图形中角的和差关系”是解本题的关键.。
专题四 几何概型及综合
专题四 几何概型及综合【典型例题】（一）、与长度有关的几何概型例1、（1）在长为12cm 的线段AB 方上任取一点M ，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率．（2）在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。
（1） 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？2、已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) A.110 B.19 C.111 D.183、已知集合A {x |－1<x <5}，B ＝{x |x －23－x>0}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．解析：由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，由几何概型知：在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈A ∩B 的概率为P ＝16.答案：164、 小赵从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率．（二）、与面积有关的几何概型例2、（1）ABCD 为长方形，1,2==BC AB ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ）A ．4π B.14π- C.8π D.18π-（2）、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。
解析：如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部（含边界），而区域E 表示单位圆及其内部，因此214416P ππ⨯==⨯。
几何概型练习苏教版必修
第8课时7.3.3 几何概型(3)
分层训练
1、如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（ ）
A ．
2
π B ．1π
C ．23
D ．13
2、现有100ml 的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml 的蒸馏水，则抽到细菌的概率为（ ）
A ．1100
B ．120
C ．110
D ．15
3、一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至6：00和下午4：30至5：30，则该船在一昼夜内可以进港的概率是__________
4、一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为（ ） A.43 B.21 C.31 D.3
2 5、若过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线L ，则L 与线段BC 相交的概率为_______
拓展延伸
6、往一边长为6厘米的正方形桌面上随机地扔一半径为1厘米的质地均匀的小圆片,求圆片在桌面上与桌面四周无交点的概率.
7、从(0,1)中随机地取两个数,求两数平方和小于14
的概率.
本节学习疑点：
7.3.3 几何概型(3)
1、A
2、D
3、1/12
4、B
5、1/3
6、94
6422==P 7、 1/2
8、设两数分别为,x y ,则 22140101x y x y ⎧+<⎪⎪<<⎨⎪<<⎪⎩,211()42116P ππ⋅⋅==。
高二数学3.3.1几何概型练习新人教A版必修3
) ，故所求概率为
4π 1
＝
π .
4
S
6．在面积 S 为△ ABC的边 AB上任取一点 P，则△ PBC的面积大于 4的概率是 (
)
1
1
A.
B.
4
2
3
2
C.
D.
4
3
[ 答案 ] C
1 [ 解析 ] 如图， 设点 C 到边 AB的距离为 h，则 S ＝ △ABC | AB| · h，S△PBC
2
1
1
1
184 23 P( A) ＝ 600＝ 75≈0.31.
[ 点评 ] 解决此类题的关键：
(1) 根据题意确定是与面积 ( 体积 ) 有关的几何概型； (2) 找出或构造出对应的几何图形，求出面积 ( 体积 ) ．
能力提升
一、选择题
1．在腰长为 2 的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于
1
的概率为 ( )
π
π
π
A. 16 B. 8 C. 4
π D. 2
[ 答案 ] B
[ 解析 ] 该点到此三角形的直角顶点的距离小于
1πຫໍສະໝຸດ 为半径的 4圆内，所以所求的概率为 8 .
1，则此点落在以直角顶点为圆心， 1
2．一只蚂蚁在边长分别为 小于 1 的地方的概率为 (
3,4,5 的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都不 )
1
1
1
A. B.
C.
D.
3
6
2
4
[ 答案 ] B
[ 解析 ] 体积型几何概型问题．
VA1－ABC 1
P＝
VABC－D
＝ A1B1C1D1
几何概型 - 简单 - 习题
几何概型一、选择题（共12小题；共60分）1. 下列关于几何概型的说法错误的是A. 几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B. 几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C. 几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D. 几何概型中每个结果的发生都具有等可能性2. 已知是长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于的概率为A. B. C. D.3. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，其中，，则质点落在以为直径的半圆内的概率是A. B. C. D.4. 张卡片上分别写有数字，，，，从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为A. B. C. D.5. 设在上随机地取值，则关于的方程有实数根的概率为A. B. C. D.6. 如图，在半径为，弧长为的扇形中，以为直径作一个半圆．若在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A. B. C. D.7. 在中，，，，在边上任取一点，则为钝角三角形的概率为A. B. C. D.8. 如图，在边长为的正方形内有区域（阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域的面积．若每次在正方形内随机产生个点，并记录落在区域内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域内点的个数的平均值为个，则区域的面积约为A. B. C. D.9. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则A. B. C. D.10. 某个路口交通指示灯，红灯时间为秒，黄灯时间为秒，绿灯时间为秒，黄灯时间可以通行，当你到达路口时，等待时间不超过秒就可以通行的概率为A. B. C. D.11. 在长为的线段上任取一点，则点与线段两端点的距离都大于的概率等于A. B. C. D.12. 在区间内随机取出一个数，使得的概率为A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）13. 某路公共汽车每发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过的概率为．14. 在区间上随机选取一个数，则的概率为．15. 已知事件“在矩形的边上随机取一点，使的最大边是”发生的概率为，则．16. 在边长为的正三角形内任取一点，则使点到三个顶点的距离至少有一个小于的概率是．17. 已知一只蚂蚁在边长分别为，，的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于的地方的概率为．三、解答题（共5小题；共65分）18. 设有一个等边三角形网格，其中各个等边三角形的边长都是，现将直径等于的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．19. 已知在等腰直角三角形中，．（1）在线段上任取一点，求使的概率；（2）在内任作射线，求使的概率．20. 在等腰的斜边上任取一点，求小于的概率．21. 如图，两盏路灯之间的距离是米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯、，问与，与之间的距离都不小于米的概率是多少?22. 在的水中有一个草履虫，现从中随机取出水放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．答案第一部分1. A 【解析】几何概型与古典概型是两种不同的概率模型，无包含关系．2. B3. B 【解析】长方形的面积，以为直径的半圆的面积，所以．4. C 【解析】采用列举法得所有的基本事件有，，，，，六种情况，其中两数字之和为奇数的有，，，四种情况，故所求概率为．5. C【解析】方程有实根，则，解得或（舍去）．由几何概型的概率计算公式可知所求的概率为．6. B 【解析】阴影部分的面积为，扇形的面积为，所以在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率．7. C 【解析】过点作，垂足为，则；过点作，交于点，则，，易知当点在线段和上时（不包括线段端点，，），为钝角三角形，故所求概率为．8. B 【解析】设区域的面积约为，根据题意有，所以，，所以区域的面积约为．9. A10. A11. D 【解析】将线段平均分成段，设中间两点分别为，，则当点在线段上时符合题意，所以概率．12. D第二部分13.【解析】本题可以看成向区间内均匀投点，求点落入内的概率．设某乘客候车时间不超过，所以．14.15.【解析】如图，设，根据对称性，由题中条件知，点的活动范围为，即．当时，，解得，所以．16.【解析】分别以点，，为圆心，以为半径作圆，与构成三个扇形，如图中阴影部分所示，当点落在其内时符合要求．所以．17.【解析】由题意可知，三角形的三条边长的和为，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于的地方爬行，则它爬行的区域长度为，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为．第三部分18. 记事件为“硬币落下后与格线没有公共点”，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边的距离都为，则小等边三角形的边长为．由几何概型的概率计算公式得．19. （1）设，，则．若，则，故的概率．（2）设，则．若，则，故的概率．20. 在上截取，于是，．21. 记：“与，与之间的距离都不小于米”，把三等分，由于中间长度为米所以．22. 记事件在取出的水中有草履虫，由几何概型的概率计算公式得．。
几何概型经典练习及解答
几何概型1．几何概率模型定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；2．几何概型的概率公式P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； 3．几何概型的特点1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．4．几何概型和古典概型的区别与联系联系：两种概率模型的思路是相同的，同属于“比例解法”，并且都是在随机事件“等可能”的前提下； 区别：古典概型中试验的基本事件的个数是有限的，而几何概型中试验的基本事件的个数是无限的，在具体问题的求解中要严格区别．5．计算几何概型的概率的步骤1）判断是否是几何概率，尤其是判断等可能性；2）计算基本事件空间与事件A 所含的基本事件对应的区域的几何度量（长度、面积或体积）；3）代入公式计算．1．下列概率模型中，几何概型的个数为（ C ）注：①不是几何概型①从区间[10,10]-内任取出一个数，求取到1的概率；②从区间[10,10]-内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[10,10]-内任取出一个数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1cm 的概率．A ．1B ． 2C ． 3D ．42．某公共汽车站每隔5min 有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过3min 的概率为（ C ）A ．51 B ． 52 C ． 53 D ．54 3．在棱长为3的正方体内任取一点，则这个点到各面的距离大于1的概率为（ C ） A ．13 B ．19 C ．127 D ．344．在面积为S 的ABC ∆的边AB 上任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S 的概率是（ C ） A ．14 B ．12 C ． 34 D ．235．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到12之间的概率为（ A ） A ．13 B ．2π C ．12 D ．23 6．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ A ）A ．π21- B ．π121- C ．π2 D ．π1 7．在区间[1-，2]上随机取一个数x ，则||x ≤1的概率是 ．328．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为 ．）（161431613+= 9．分别计算下列三个小题的概率：①设p 在[0,5]上随机地取值，求方程21042p x px +++=有实根的概率． ②在[1,1]-上任取两个实数,a b ，求二次方程2220x ax b ++=有两个非负实根的概率．③在区间[0,1]上任取三个实数,,x y z ，事件222{(,,)|1}A x y z x y z =++<．（1）构造出此随机事件A 对应的几何图形；（2）利用此图形求事件A 的概率． 答案：①35 ；②14 ；③6π．。
几何概型练习及答案
几何概型[自我认知]:1．如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的＿＿＿，＿＿＿＿成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．在几何概型中，事件Ａ的概率的计算公式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 3．古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是＿＿＿＿，但古典概型要求基本事件有＿＿＿＿＿，几何概型要求基本事件有＿＿＿＿＿＿＿． 4.某广播电台每当整点或半点时就会报时，某人睡完觉后想知道时间就打开收音机调到该广播电台，问这人等待的时间不超过５min 的概率是＿＿＿＿＿＿．5.已知地铁列车每10min 一班，在车站停１min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率为＿.6.在线段[0,3]上任取一点,其坐标小于1的概率是_____________.7.在地球上海洋占70.9%的面积,陆地占29.1%的面积,现在太空有一颗陨石正朝着地球的方向飞来,将落在地球的某一角.你认为陨石落在陆地的概率约为_____________,落在我国国土内的概率为________.(地球的面积约为5.1亿平方千米) [课后练习]8.从区间(0,1)内任取两个数,则这两个数的和小于56的概率是 ( ) A.35 B. 45 C. 1625 D.17259.A 是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,连接A 、B 两点,它是一条弦,它的长度大于等于半径长度的概率为 ( ) A.12 B. 23 C. 32 D. 1410.已知集合A={}9,7,5,3,1,0,2,4,6,8-----,在平面直角坐标系0x y 中,点(),x y 的坐标,x A y A ∈∈,点(),x y 正好在第二象限的概率是 ( )A.13 B. 14 C. 15 D. 2511．取一根长度为３m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于１m 的概率有多大？ 12．在１万平方千米的海域中有80平方千米的大陆架贮藏着石油.假设在海域中的任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？13.在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的,若取出1立方米的沙子.求取出的沙子中含有玻璃球的概率.14．甲、乙两人约定在６时到７时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．15.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可能的,如果甲船停泊时间为1h,乙船停泊时间为2h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.1．长度、面积或体积； 2.()()() AP A=构成事件的区域长度面积或体积试验的全部所构成的区域长度面积或体积；3．相等的、有限个、无限多个；4．165．1116．137．29.1%, 0.0198．D 9．B 10．C11．解:设事件A={剪得两段的长都不小于1m},把绳子三等分,当剪断位置处在中间一段时,事件A发生.由于中间一段的长度为1m,所以由几何概率公式得：P(A)=13.12．解：记“钻到油层面”为事件则P(A)=800.00810000==贮藏石油的大陆架面积所有海域大陆架面积答：钻到油层的概率是0.008．13．解：记事件A为“取1立方米沙子中含有玻璃球”, 则事件A发生对应的沙子体积与原沙子体积之比为１：１０．∵玻璃球在沙子中任何位置等可能,∴由几何概型概率计算公式得P(A)=110.14．解:以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间, 则两人能会面的充要条件是||15x y -≤.在平面上 建立直角坐标系如图所示,则(x ,y )的所有可能结 果是边长60的正方形,而可能会面的时间由图中的 阴影部分所表示,这是一个几何概型问题.15．解:设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y,A 为两艘船都不需要码头空出,()[]{},|0,24x y x Ω=∈,要满足A,则1y x -≥或2x y -≥∴A=()[]{},|12,0,24x y y x x y x -≥-≥∈或∴()22211(241)242506.5220.8793424576A A S P S Ω-⨯+-⨯====.14题图几何概型巩固练习重难点：掌握几何概型中概率的计算公式并能将实际问题转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题．考纲要求：①了解几何概型的意义，并能正确应用几何概型的概率计算公式解决问题． ②了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．经典例题：如图，60AOB ∠=，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，试求：(1)AOC ∆为钝角三角形的概率；(2)AOC ∆为锐角三角形的概率．15 6015 60当堂练习：1．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（g ）范围内的概率是（ ）A ．0.62B ．0.38C ．0.02D ．0.682．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间的概率为（ ）A ．310B ．15C ．25D ．453．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，y ）中满足xy ＝4的概率为（ ）A ．116B ．216C ．316 D．144．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（ ）A ．34B ．38C ．14D ．185．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则 求两人会面的概率为（ ） A ．13B ．49C ．59D ．7106如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（ ）A ．2πB ．1πC ．23D ．137．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．34甲 乙 1 2 34 1 23 48．现有100ml的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml的蒸馏水，则抽到细菌的概率为（）A．1100 B．120C．110D．159．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（）A．14 B．18 C．110 D．11210．在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是（）A．15 B．25 C．35 D．2711．若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线L，则L与线段BC相交的概率为（）A．12 B．13 C．16 D．11212．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定13．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率（ c ）A．ra B．2ra C．ara-D．2a ra-14．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min．则乘客到达站台立即乘上车的概率为．15．随机向边长为2的正方形ABCD中投一点P,则点P与A的距离不小于1且与CPD∠为锐角的概率是__________________．16．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于56的概率是．17．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间为早上7：00～8：00之间，你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为_______．18．飞镖随机地掷在下面的靶子上．（1）在靶子1中，飞镖投到区域A、B、C的概率是多少？（2）在靶子1中，飞镖投在区域A或B中的概率是多少？在靶子2中，飞镖没有投在区域C 中的概率是多少？A BCABC19．一只海豚在水池中游弋，水池为长30m ，宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率．20．在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率．21．利用随机模拟方法计算曲线1y x=，1x =，2x =和0y =所围成的图形的面积．§3.2 几何概型经典例题：解：如图，由平面几何知识： 当AD OB ⊥时，1OD =；当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =．（１）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，AOC ∆为钝角三角形 记＂AOC ∆为钝角三角形＂为事件M ，则11()0.45OD EB P M OB ++===即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4．（２）当且仅当点C 在线段DE 上时，AOC ∆为锐角三角， 记＂AOC ∆为锐角三角＂为事件N ，则3()0.65DE P N OB === 即AOC ∆为锐角三角形的概率为0.6．当堂练习：1.B;2.B;3.C;4.A;5.C;6.A;7.A;8.B;9.C; 10.C; 11.C; 12.B; 13.B; 14.111; 15.4arcsin52π; 16. 2572; 17. 87.5%; 18.（1）都是13；（2）23;34。
几何概型(答案).doc
假如在海域中任意一点钻探，钻到2A 5005050250 几何概型一、选择题1、取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于Im的概率是(B )A. -B.丄C. -D.不确定2 3 42、在1万乃沪的海域中有40脑2的大陆架储藏着石油,油层的概率是(C )A. —B. —C. —D.—251 249 250 2523.在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是A4.两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，灯与两端距离都大于2m 的概率。
B5.在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是BA 0.003B 0.004C 0.005D 0.0066.在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是AA 0.01B 0.02C 0.03D 0.04二、填空题7.已知地铁列车每lOmin —班，在车站停lmin,乘客到达站台立即乘上车的概率_1/11 __ 。
8.某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率(假定车到来后每人都能上)_3/5 ____ •三、解答题9.在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率解：设构成三角形的事件为A,长度为10的线段被分成三段的长度分别为x, y, 10— (x+y),0 < x < 10< 0 < y < 100<10-(x+y)<100< x< 10 即Jo<y<lO0<x+y<10由一个三角形两边之和大于第三边，有x +y〉10 - (x +y),即5 < x + y < 10 .又由三角形两边之斧小于第三边，有x <5 ,即0 <x<5,同理0<y<5.0 < .r < 5构造三角形的条件为<0<y<55 < x + y <10•••满足条件的点P (x, y)组成的图形是如图所示中的阴影区域(不包括区域的边界).1 25 1S^=~'52=~; 5AOAB=--1°2=50- •"-F(4)=...... 10分10.如图，在边长为25cm的正方形中挖去边长为23cm的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？解：因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的所以符合几何概型的条件。
高二数学专题训练(11)几何概型
间将不超过 10 分钟 , 故所求概率为 10 10
1
. 故选 B.
40 2
5
7 答案及解析： 答案： C
解析：设由
0
xn
1
构成的正方形的面积为
S
0 yn 1
xn 2
y
2 n
1 构成的图形的面积为
S'
1
则 S' 4 S1
m
, 所以
n
4m
, 故选 C
n
8 答案及解析：
答案： C
解析：过顶点 A 任作一条直线 l “总的区域角度为 360°， l 与线段 BC 相交的区域角度为
ABCD 中 , 其中 AB 2 , BC 1, 则质点落在
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
1
4、如图 , 矩形 ABCD 中, 点 E 为边 CD 的中点 . 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q , 则点 Q 取自△ ABE 内部的概率等于 ( )
A. 1 4
B. 1 3
C. 1 2
D. 2 . 3
60°, 故所求概率为
60? 1 =.
360? 6
9 答案及解析：
答案： A
解析：根据几何概型的概率公式可得
,A 图中奖的概率 P
3 ,B 图中奖的概率 P
2
1
,C
8
84
图中奖的概率 P
2
1
1
,D 图中奖的概率 P , 则概率最大的为 A, 故选 A.
63
3
10 答案及解析：
答案： C
解析：由于取水样的随机性 , 因此所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比
高中 几何概型 知识点+例题+练习
教学过程考点一与长度、角度有关的几何概型【例1】(1)(2013·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为56，则m＝________.(2)如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM<1的概率为________．规律方法解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．【训练1】(1)(2014·淄博二模)设P在[0,5]上随机地取值，则关于x的方程x2＋px＋1＝0有实数根的概率为________．(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．教学效果分析教学过程考点二与面积有关的几何概型【例2】(1)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，则P(A)________．(2)(2012·北京卷改编)设不等式组⎩⎨⎧0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．规律方法数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)＝构成事件A的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度.【训练2】已知x∈[－1,1]，y∈[0,2]，则点P(x，y)落在区域⎩⎨⎧2x－y＋2≥0，x－2y＋1≤0，x＋y－2≤0内的概率为________．教学效果分析教学过程考点三与体积有关的几何概型【例3】在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．规律方法很多几何概型，往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时，要善于根据问题的具体情况进行转化，这种转化策略是化解几何概型试题的关键．【训练3】如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于16的概率为________．1．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只教学效果分析教学过程与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．课堂巩固一、填空题1．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是________．2．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为________．4．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1 000粒黄豆，落在阴影部分的黄豆为600粒，则可以估计出阴影部分的面积为________．5．(2014·长沙联考)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|P A|≤1的概率为______．6．(2012·辽宁卷改编)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为________．7．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．8．(2014·淮安模拟)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x，cos x的值介于0至12之间的概率为________．教学效果分析教学过程9.如图所示，设M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN，则弦MN的长超过2R的概率为________．10．(2012·湖北卷改编)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．二、解答题11．在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？12．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率．方法强化练——统计与概率(对应学生用书P305)(建议用时：90分钟)一、填空题1．(2014·石家庄调研)某校高三年级有男生500人，女生400人，教学效果分析为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是________抽样法．2．(2014·广州月考)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30,0.10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为________．3．(2012·湖北卷改编)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,7数23454 2 则样本数据落在区间[10,40)的频率为________．4．(2014·沈阳模拟)第十二届全运会于2013年8月31日在沈阳举行，运动会期间从来自A大学的2名志愿者和来自B大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是________．5．(2014·南京一中月考)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为________．6．(2014·湖州二模)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是________．7．(2014·江西九校联考)在区间[－3,3]上，随机地取两个数x，y，则x－y＞2的概率是________．8．袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”“3”“4”“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．9．(2014·杭州二检)用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数)，若乙有一次不少于90分的成绩未记录，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．10．(2014·深圳二模)在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin x＋cos x≥62”发生的概率为________．11．(2014·泰州一模)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．12．(2014·金丽衢十二校联考)统计某校1 000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，规定不低于60分为及格，则及格人数是________名．13．若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于98的概率为________．14.(2014·广州二模)如图所示，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P，则点P落在区域M内的概率为________．二、解答题15．(2013·广东卷)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：分组(重量)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100) 频数(个)5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．16．(2013·安徽卷)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1，x2，估计x1－x2的值．17．(2013·陕西卷)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别 A B C D E人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表．。
几何概型随堂练习(含答案)
几何概型一、选择题1. [2013·信阳模拟]如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是( )A. 15 B. 14 C. 13 D. 12答案：D解析：由题意知，当MN ＝2R 时，∠MON ＝π2，所以所求概率为2×π22π＝12.2. [2013·镇江模拟]某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间内试飞一种新型模型飞机，为保证模型飞机安全，模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米，则模型飞机“安全飞行”的概率为( )A. 127B. 116C. 38 D. 827 答案：D解析：依题意得，模型飞机“安全飞行”的概率为(6－26)3＝827，选D.3. 如图，是一个算法程序框图，在集合A ＝{x |－10≤x ≤10，x ∈R }中随机抽取一个数值做为x 输入，则输出的y 值落在区间(－5,3)内的概率为( )A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.8答案：D解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3(x <0)，x －5(x >0)，0(x ＝0)，当－5<x ＋3<3⇒－8<x <0，－5<x －5<3⇒0<x <8，所以有解的概率为P ＝8＋810－(－10)＝0.8.4. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A. 12 B. 16 C. 14 D. 13答案：D解析：依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于⎠⎛01(x －x 2)d x＝(23x 32－13x 3)⎪⎪⎪10＝13.因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13，选D . 5. [2013·郑州模拟]分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )A . 4－π2 B. π－22 C .4－π4D. π－24答案：B解析：设AB ＝2，则S 阴影＝2π－4. ∴2π－44＝π－22，故选B 项． 6. [2012·四川资阳高三模拟]已知实数x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )A. 316B. 38C. 34 D. 12答案：B解析：如图所示，(x ，y )在矩形ABCD 内取值，不等式组所表示的区域为△AEF ，由几何概型的概率公式，得所求概率为38，故选B .二、填空题7.[2013·大理模拟]如图，曲线OB 的方程为y 2＝x (0≤y ≤1)，为估计阴影部分的面积，采用随机模拟方式产生x ∈(0,1)，y ∈(0,1)的200个点(x ，y )，经统计，落在阴影部分的点共134个，则估计阴影部分的面积是________．答案：0.67解析：由落入阴影部分的点的个数与落入正方形区域的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为134200，又正方形的面积为1，所以阴影部分的面积为0.67.8. [2013·邵阳模拟]在[－6,9]内任取一个实数m ，设f(x )＝－x 2＋mx ＋m －54，则函数f(x )的图象与x 轴有公共点的概率等于________．答案：35解析：若函数f (x )＝－x 2＋mx ＋m －54的图象与x 轴有公共点，则Δ＝m 2＋4(m －54)≥0，又m ∈[－6,9]，得m ∈[－6，－5]或m ∈[1,9]，故所求的概率为P ＝[(－5)－(－6)]＋(9－1)9－(－6)＝35. 9. [2013·商丘模拟]已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈[12，2]，在区间[12，2]上任意一点x 0，使f(x 0)≥0的概率为________．答案：23解析：由f (x 0)≥0，得log 2x 0≥0. ∴x 0≥1，即使f (x 0)≥0的区域为[1,2]， 故所求概率为P ＝2－12－12＝23.三、解答题10. [2013·伊春模拟]已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，求x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．分析：由题意画出图象可求面积之比．解：如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16.11. 已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0.(1)若a ，b 是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率．解：(1)基本事件(a ，b )共有36个，且a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于a －2>0,16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4}，其面积为S (Ω)＝16. 设“一元二次方程无实数根”为事件B ，则构成事件B 的区域为B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为S (B )＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.12. [2013·锦州模拟]已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ，∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16.(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0≤x ≤30≤y ≤4内，属于几何概型，该平面区域的图形为右图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为 {(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0x ≥0y ≥0}，其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0，32)，∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94.∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.。
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几何概型例题分析
1、甲、乙两人约定在下午4:00—5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另
一人一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。
2、设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概率。
3、将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过
2
1的概率。
4、两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机只有离基地25km范围内
才能收到，下午3：00张三在基地正东30km内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km 内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。
5、在单位圆的圆周上随机取三点A、B、C，求是锐角三角形的概率。
6、将长为L的木棒随机的折成3段，求3段构成三角形的概率．
1、解：设x 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图15||≤-y x 时可相见，即阴影部分
167604560222=-=P
2、解：R AC AB 2||||==. ∴ 2
12===⋂R R BCD
P ππ圆周 3、解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为y x --1，则基本事件组所对应的几何区域可表示为
}10,10,10|),{(<+<<<<<=Ωy x y x y x ，即图中黄色区域，此区域面积为2
1。
事件“三段的长度都不超过
2
1”所对应的几何区域可表示为 Ω∈=),(|),{(y x y x A ，}2
11,21,21<--<<y x y x 即图中最中间三角形区域，此区域面积为8
1)21(212=⨯ 此时事件“三段的长度都不超过2
1”的概率为412181
==P
4、解：设y x ,为张三、李四与基地的距离]30,0[∈x ，]40,0[∈y ，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对),(y x ，表示区域总面积为1200，可以交谈即252
2≤+y x 故192
25120025412
ππ==P 5、解法1：记的三内角分别为，
，事件A 表示“是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合。
因为是锐角三角形的条件是
且
所以事件A 构成集合
由图2可知，所求概率为。
解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。
6、解：设M =“3段构成三角形”．x y ，分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为L x y --．{}()000x y x L y L x y L Ω=<<<<<+<，，，|．
由题意，x y L x y --，，要构成三角形，须有x y L x y +>--，即12x y +>； ()x L x y y +-->，即2L y <
；()y L x y x +-->，即2
L x <． 故()|222L L L M x y x y y x ⎧⎫=+><<⎨⎬⎩
⎭，，，． 如图1所示，可知所求概率为
221122()4
2L M P M L ⎛⎫ ⎪⎝⎭===Ω·的面积的面积。