第六节柯西中值定理与洛必达法则
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解 设y(coxt)lnx,
( 0 )
lny 1 ln(cxo)t, lnx
11
limlnylimln(cxo)t
x0
x0 lnx
lim
x0
cot x
1
sin2
x
lim x 1, x0coxssinx
x
原式 e1.
例4
求
tanx x
lim
x0
x2
tanx
.
(0) 0
解
原式 lx im 0taxnx3xlxim0se3c2xx21
lim2se2cxtanx 1limsec2xlimtanx
x0
6x
3x0
x0 x
1limtanx 1
3x0 x
3
例5
求
2e2x ex 3x1
lim
x0
ex(ex 1)2
.
(0 ) 0
极限不存在
x2sin1
x2sin1
lim xlim x
lim xs in1
x0 sinx x0 x
x0
x
0
例7 求 xl im lxnnx(n0). 1
( )
解
原式
xlim nxxn1
lim
x
1 nxn
0.
例8
求 xl im exnx(nN,0). (
)
解 原式xl im nexnx1 xl im n(n2e1)xxn2
n!
xl im nex 0
例9 求 lim tan x .
x tan 3 x 2
( )
解 原 式 limsinxco3sx x c oxssin3x
2
lim cos 3 x ( 0 )
x cos x 0 2
lim3sin3x 3
x sinx 2
其它五类未定型可化为 0 ,
0
1. 0 型
3.6 柯西中值定理与洛必达法则
3.6.1 柯西中值定理
定理3.10 (柯西中值定理) 若函数 f (x)及 F (x)满足:
(1) 在闭区间[a, b]上连续; (2) 在开区间(a, b)内可导, 且 F(x)0,
则 在开(区 a,b)内 间至少 存在 , 一 点
使得
Ff((bb))Ff((aa))Ff(())
(a,b),使得 bf(bb) aaf(a)F g(()),
即 b(fb)a(fa)f()f().
ba
3.6.2 洛必达法则
定理3.11 ( 0 型的洛必达法则) 0
设 f(x),g(x)在 的某空心邻域内满足下列条件:
(1 )lim f(x )0 ,lig m (x )0
x
x
(2 )f(x )g ( ,x ) 可 ,并 导 g (x ) 且 0 ;
例1 设 f(x)在 [a,b]上连 ,在 (a,b 续 )内可 ,证导 明
在(a,b)内至少存在一,点使得
b(fb)a(fa)f()f()
ba
证 设 g (x ) x(x f )F ,(x ) x ,则 g (x )f(x ) x f(x )
因g(x),F(x)在[a,b]上满足柯西中值 条定 件 , 理的
方法:
f (x)g(x)
g( x) 1
,
或 f (x)g(x)
f
(x) 1
.
f (x)
g(x)
例10 求 lim xex. (0)
x
解
原
式xl im exx
来自百度文库
lim x
1 ex
0.
2. 型
方法:
1 1 f (x) g(x) g(x) 1 f (x)
0. 0
f (x)g(x)
例11
求
lim x0
1
ex
1
1. x
()
解
原
式lxim0 xx(eexx11)
l i mx
x0
ex x2
1
1 ex lim
1
x0 2x
2
3. 00,1,0型
00
方法:
(
f
( x )) g ( x ) , 1
取 对 g数 (x)lnf(x)0.
0
例12 求 lim xx . x0
( 00 )
lim ln x
x g( x) x g(x)
例2
求
lim
x 2
cos x
x 2
.
(0) 0
解
原 式
(co sx)
lim
x 2
(x
)
2
lim
x
2
sin x 1
sin 1.
2
例3
求
x3 3x2
lxim 1 x3
x2
. x1
(0) 0
解
原式 lxi m 13x32x22x31
6x lim x1 6x
2
3. 2
注意: 洛必达法则是求未定式的一种有效方法, 与其它求极限方法结合使用, 效果更好.
(3)limf(x)A(或) x g(x)
则
f (x)
lim
x g( x)
limf(x) A(或). x g(x)
如果 f(x)仍0属 型 ,且 f(x)g ,(x)满足 g(x) 0
定理的条件, 可继续使用洛必达法则. 即 lim f(x)lim f(x)lim f(x)
x g(x) x g(x) x g(x)
e e 解 原式 limexlnx x0
limxlnx
x0
x0 1 x
1
e lim x 0
x 1
x2
e0 1
1
例13 求 lim x 1 x . ( 1 )
x1
1
解
e 原式lime11xlnx
e ln x
lim x11 x
lim x x11
x1
e1.
1
例14 求 lim(cotx)lnx . x0 1
解
原式 lx i0m e 1 xlx i0m 2e2xex x2 3x1
4e2x ex 3
lim
x0
2x
8e2x ex 7
lim
x0
2
2
注意洛必达法则的使用条件!
x 2 sin 1
例6 求 lim
x.
x0 sin x
(0 ) 0
2xsin1co1s
解 原 式 lim x x
x0
coxs
此时不能使用洛必达法则.
定理3.12 ( 型的洛必达法则)
设 f(x),g(x)在的某空心邻域内满足下列条件：
(1 )lim f(x ) ,lig m (x )
x
x
(2 )f(x )g ( ,x ) 可 ,并 导 g (x ) 且 0 ;
(3)limf(x)A(或) x g(x)
则 lim f ( x) limf(x)A(或).
( 0 )
lny 1 ln(cxo)t, lnx
11
limlnylimln(cxo)t
x0
x0 lnx
lim
x0
cot x
1
sin2
x
lim x 1, x0coxssinx
x
原式 e1.
例4
求
tanx x
lim
x0
x2
tanx
.
(0) 0
解
原式 lx im 0taxnx3xlxim0se3c2xx21
lim2se2cxtanx 1limsec2xlimtanx
x0
6x
3x0
x0 x
1limtanx 1
3x0 x
3
例5
求
2e2x ex 3x1
lim
x0
ex(ex 1)2
.
(0 ) 0
极限不存在
x2sin1
x2sin1
lim xlim x
lim xs in1
x0 sinx x0 x
x0
x
0
例7 求 xl im lxnnx(n0). 1
( )
解
原式
xlim nxxn1
lim
x
1 nxn
0.
例8
求 xl im exnx(nN,0). (
)
解 原式xl im nexnx1 xl im n(n2e1)xxn2
n!
xl im nex 0
例9 求 lim tan x .
x tan 3 x 2
( )
解 原 式 limsinxco3sx x c oxssin3x
2
lim cos 3 x ( 0 )
x cos x 0 2
lim3sin3x 3
x sinx 2
其它五类未定型可化为 0 ,
0
1. 0 型
3.6 柯西中值定理与洛必达法则
3.6.1 柯西中值定理
定理3.10 (柯西中值定理) 若函数 f (x)及 F (x)满足:
(1) 在闭区间[a, b]上连续; (2) 在开区间(a, b)内可导, 且 F(x)0,
则 在开(区 a,b)内 间至少 存在 , 一 点
使得
Ff((bb))Ff((aa))Ff(())
(a,b),使得 bf(bb) aaf(a)F g(()),
即 b(fb)a(fa)f()f().
ba
3.6.2 洛必达法则
定理3.11 ( 0 型的洛必达法则) 0
设 f(x),g(x)在 的某空心邻域内满足下列条件:
(1 )lim f(x )0 ,lig m (x )0
x
x
(2 )f(x )g ( ,x ) 可 ,并 导 g (x ) 且 0 ;
例1 设 f(x)在 [a,b]上连 ,在 (a,b 续 )内可 ,证导 明
在(a,b)内至少存在一,点使得
b(fb)a(fa)f()f()
ba
证 设 g (x ) x(x f )F ,(x ) x ,则 g (x )f(x ) x f(x )
因g(x),F(x)在[a,b]上满足柯西中值 条定 件 , 理的
方法:
f (x)g(x)
g( x) 1
,
或 f (x)g(x)
f
(x) 1
.
f (x)
g(x)
例10 求 lim xex. (0)
x
解
原
式xl im exx
来自百度文库
lim x
1 ex
0.
2. 型
方法:
1 1 f (x) g(x) g(x) 1 f (x)
0. 0
f (x)g(x)
例11
求
lim x0
1
ex
1
1. x
()
解
原
式lxim0 xx(eexx11)
l i mx
x0
ex x2
1
1 ex lim
1
x0 2x
2
3. 00,1,0型
00
方法:
(
f
( x )) g ( x ) , 1
取 对 g数 (x)lnf(x)0.
0
例12 求 lim xx . x0
( 00 )
lim ln x
x g( x) x g(x)
例2
求
lim
x 2
cos x
x 2
.
(0) 0
解
原 式
(co sx)
lim
x 2
(x
)
2
lim
x
2
sin x 1
sin 1.
2
例3
求
x3 3x2
lxim 1 x3
x2
. x1
(0) 0
解
原式 lxi m 13x32x22x31
6x lim x1 6x
2
3. 2
注意: 洛必达法则是求未定式的一种有效方法, 与其它求极限方法结合使用, 效果更好.
(3)limf(x)A(或) x g(x)
则
f (x)
lim
x g( x)
limf(x) A(或). x g(x)
如果 f(x)仍0属 型 ,且 f(x)g ,(x)满足 g(x) 0
定理的条件, 可继续使用洛必达法则. 即 lim f(x)lim f(x)lim f(x)
x g(x) x g(x) x g(x)
e e 解 原式 limexlnx x0
limxlnx
x0
x0 1 x
1
e lim x 0
x 1
x2
e0 1
1
例13 求 lim x 1 x . ( 1 )
x1
1
解
e 原式lime11xlnx
e ln x
lim x11 x
lim x x11
x1
e1.
1
例14 求 lim(cotx)lnx . x0 1
解
原式 lx i0m e 1 xlx i0m 2e2xex x2 3x1
4e2x ex 3
lim
x0
2x
8e2x ex 7
lim
x0
2
2
注意洛必达法则的使用条件!
x 2 sin 1
例6 求 lim
x.
x0 sin x
(0 ) 0
2xsin1co1s
解 原 式 lim x x
x0
coxs
此时不能使用洛必达法则.
定理3.12 ( 型的洛必达法则)
设 f(x),g(x)在的某空心邻域内满足下列条件：
(1 )lim f(x ) ,lig m (x )
x
x
(2 )f(x )g ( ,x ) 可 ,并 导 g (x ) 且 0 ;
(3)limf(x)A(或) x g(x)
则 lim f ( x) limf(x)A(或).