概率论与数理统计21随机变量及其分布资料
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13
随机变量的分类
离散型随机变量
随 机
如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等.
变
量
连续型随机变量
如“电视机的寿命”、 实际中常遇到的“测量 误差”等.
有有限或可列无穷 多个所有取值， 可以逐个一一列举
全部可能取值不仅 无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满 一个区间.
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2. 离散型随机变量
5
有些试验结果本身与数值有关： （1）掷一颗骰子面上出现的点数； （2）每天到北京下火车的人数； （3）昆虫的产卵数； （4）七月份济南的最高温度；
6
例 盒中有3个黑球和2个白球，从中随机抽取3个， 考虑取得的白球数。 抽取的白球数有三个可能结果：0，1或2，对 于不同的抽取次数其结果可能不同。为此，引入一 个变量ξ，用ξ表示“抽取的白球数”，该变量的不 同取值表达不同的随机事件，如 （ξ=0） 表示“抽取的3个球中无白球”； （ξ=1） 表示“抽取的3个球中有1个白球”； （ξ≤2）表示“抽取的3个球中至多有2个白球”。
2
在许多带有随机因素的实际问题中，我们往往 只关心某些数据，如电子元件的寿命、车站的候车 人数等等.
此外人们还发现建立数和人或其他事物的对应 关系会带来许多便利，比如每一个学生可以用一个 学号与之对应，城市的每一间房屋可以用一个门牌 号与之对应，工厂生产的同一种型号产品（如计算 机可以用一个代码与之对应）.
12
用随机变量表示事件
若X是实验E的一个随机变量，那么 {x=1}, {X<a}, {a≤X<b} ,{X=2k,k∈N}及 {X∈[a,b]}
等都表示E中的事件； 反之，E中的事件通常都可以用X的不同取值来表示.
如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 “出现偶数点”可表示为： ｛X=2} {X=4} {X=6} “出现的点数小于４”可表示为：｛X< 4｝或｛X3｝
定义2.2 设离散型随机变量X的所有可能的不同取
的值为 xk , (k 1,2,) 而X取值 xk 的概率为pk ，即
P(X xk ) pk , k 1,2,
则称(2.1.1)为离散型随机变量X的概率分布或分 布律
15
把X可能取的值及相应的概率列成表，如表2.1.1 所示，称表为X的概率分布表，或称为分布列
同样，建立数和基本事件的对应关系将有助于 我们利用现有的一些数学方法对随机现象作进一步 的研究.
3
§2.1 离散型随机变量及其分布
1. 随机变量 2. 离散型随机变量 3. 两点分布 4. 二项分布 5. 泊松分布 6. 随机变量的分布函数
4
1.随机变量
在许多随机试验中，除试验结果之外，往往有 另一个量与每个结果相关联。如赌博时投掷硬币， 人们总是不加思素地将正面和反面转化成赢和输了 多少钱； 再如，摸球中奖活动，人们摸中红球、白 球、黑球等时，总是和中几等奖、多少奖金联系起 来。 这样，就自然建立了一个对应关系。
品”. 则
P(X
0)
C40C63 C130
1 6
P(X
1)
C41C62 C130
1 2
P(X
2)
C42C61 C130
3 10
P(X
3)
C43C60 C130
1 30
19
随机变量X的分布律可表示为
P(X
k)
Cபைடு நூலகம்k
C 3k 6
C130
其分布列为
k 0,1,2,3.
X
0
1
2
3
P
1/6 1/2 3/10 1/30
(2) pk 1 k 1
反过来，满足上式的数pk也一定可作为离散型随 机变量的概率分布。
18
例2.1.1 设有10件产品，其中正品6件，次品4件， 从中任取3件产品，用X表示从中取出的次品数， 求其分布律.
解：X表示3件产品中的次品数，则X可能取的值
是0,1,2,3，“X=k” (k=0,1,2,3) 表示事件“有k件次
10
由此可知，随机试验的结果可以用变量来表示， 但这种“变量”与微积分中的“变量”是有区别的. 它有两个特点：
⑴取值的随机性，也就是说ξ取哪一个值，在抽样 前无法确定；
⑵取值的统计规律性，也就是ξ取这些值的概率是 确定的。
11
※ 随机变量的两个主要问题：
①研究随机变量可能取哪些值； ②研究随机变量取这些值的概率各是多少。
7
在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但 我们可以引进一个变量来表示它的各种结果. 也就 是说，把试验结果数值化.
例: 抛掷一枚硬币，观察其出现正面与反面的情况 ，则其有二个可能结果：出现正面H或出现反面T ，其样本空间为Ω={H,T}. 若我们在样本空间上定义一个函数:
X
X
()
0 1
T H
这样我们就将试验结果与实数对应起来了.
X
x1
x2
…
xk
…
P
p1
p2
…
pk
…
16
随机变量的分布律是指随机变量所有可能的取值 与取这些值的概率之间的一种对应关系。 这种对应关系可用解析式（2.1.1）和分布列表示， 还可用图示法表示（图2.1.1）
17
对于离散型随机变量，概率分布中的pk必须满足 下列两个性质：
(1) pk 0, k 1,2,
20
一般，在总共N件产品中，其中有M件次品，现从
中任取n件（不放回地取），则这n件中所含的次品
数X是一个离散型随机变量，其概率分布为
P(X
k)
8
定义:设随机试验E的样本空间 {}，如果对每一 个样本点 ，都有唯一实数 X X () 与之对 应，则称 X X () 为样本空间 上的随机变量.
通常，我们用大写字母X、Y、Z等表示随机变量. 引入随机变量后，就可以用随机变量X描述事件
9
例 在一批灯泡中任意抽取一只，测试其寿命，那么 灯泡的寿命ξ (小时)是一个随机变量，显然ξ的一切可 能取的值是非负实数值， 即ξ∈[0, +∞) 而(ξ=1200)，(ξ≤5000)，(ξ>1500)等都是随机事件。
第二章 随机变量及其分布
§2.1 离散型随机变量及其分布 §2.2 连续型随机变量及其分布 §2.3 随机变量函数的分布
1
在第一章里，我们讨论了随机事件及其概率， 其中随机事件都是用定性的语言描述的，与数学最 基本的研究对象——数及变量尚未建立直接联系。
为了进一步深入研究随机现象, 在这一章里我 们将引入随机变量的概念. 由于随机变量概念的引 入，我们可利用微积分知识，更全面更深刻地揭示 随机现象的内在规律。
随机变量的分类
离散型随机变量
随 机
如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等.
变
量
连续型随机变量
如“电视机的寿命”、 实际中常遇到的“测量 误差”等.
有有限或可列无穷 多个所有取值， 可以逐个一一列举
全部可能取值不仅 无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满 一个区间.
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2. 离散型随机变量
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有些试验结果本身与数值有关： （1）掷一颗骰子面上出现的点数； （2）每天到北京下火车的人数； （3）昆虫的产卵数； （4）七月份济南的最高温度；
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例 盒中有3个黑球和2个白球，从中随机抽取3个， 考虑取得的白球数。 抽取的白球数有三个可能结果：0，1或2，对 于不同的抽取次数其结果可能不同。为此，引入一 个变量ξ，用ξ表示“抽取的白球数”，该变量的不 同取值表达不同的随机事件，如 （ξ=0） 表示“抽取的3个球中无白球”； （ξ=1） 表示“抽取的3个球中有1个白球”； （ξ≤2）表示“抽取的3个球中至多有2个白球”。
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在许多带有随机因素的实际问题中，我们往往 只关心某些数据，如电子元件的寿命、车站的候车 人数等等.
此外人们还发现建立数和人或其他事物的对应 关系会带来许多便利，比如每一个学生可以用一个 学号与之对应，城市的每一间房屋可以用一个门牌 号与之对应，工厂生产的同一种型号产品（如计算 机可以用一个代码与之对应）.
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用随机变量表示事件
若X是实验E的一个随机变量，那么 {x=1}, {X<a}, {a≤X<b} ,{X=2k,k∈N}及 {X∈[a,b]}
等都表示E中的事件； 反之，E中的事件通常都可以用X的不同取值来表示.
如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 “出现偶数点”可表示为： ｛X=2} {X=4} {X=6} “出现的点数小于４”可表示为：｛X< 4｝或｛X3｝
定义2.2 设离散型随机变量X的所有可能的不同取
的值为 xk , (k 1,2,) 而X取值 xk 的概率为pk ，即
P(X xk ) pk , k 1,2,
则称(2.1.1)为离散型随机变量X的概率分布或分 布律
15
把X可能取的值及相应的概率列成表，如表2.1.1 所示，称表为X的概率分布表，或称为分布列
同样，建立数和基本事件的对应关系将有助于 我们利用现有的一些数学方法对随机现象作进一步 的研究.
3
§2.1 离散型随机变量及其分布
1. 随机变量 2. 离散型随机变量 3. 两点分布 4. 二项分布 5. 泊松分布 6. 随机变量的分布函数
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1.随机变量
在许多随机试验中，除试验结果之外，往往有 另一个量与每个结果相关联。如赌博时投掷硬币， 人们总是不加思素地将正面和反面转化成赢和输了 多少钱； 再如，摸球中奖活动，人们摸中红球、白 球、黑球等时，总是和中几等奖、多少奖金联系起 来。 这样，就自然建立了一个对应关系。
品”. 则
P(X
0)
C40C63 C130
1 6
P(X
1)
C41C62 C130
1 2
P(X
2)
C42C61 C130
3 10
P(X
3)
C43C60 C130
1 30
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随机变量X的分布律可表示为
P(X
k)
Cபைடு நூலகம்k
C 3k 6
C130
其分布列为
k 0,1,2,3.
X
0
1
2
3
P
1/6 1/2 3/10 1/30
(2) pk 1 k 1
反过来，满足上式的数pk也一定可作为离散型随 机变量的概率分布。
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例2.1.1 设有10件产品，其中正品6件，次品4件， 从中任取3件产品，用X表示从中取出的次品数， 求其分布律.
解：X表示3件产品中的次品数，则X可能取的值
是0,1,2,3，“X=k” (k=0,1,2,3) 表示事件“有k件次
10
由此可知，随机试验的结果可以用变量来表示， 但这种“变量”与微积分中的“变量”是有区别的. 它有两个特点：
⑴取值的随机性，也就是说ξ取哪一个值，在抽样 前无法确定；
⑵取值的统计规律性，也就是ξ取这些值的概率是 确定的。
11
※ 随机变量的两个主要问题：
①研究随机变量可能取哪些值； ②研究随机变量取这些值的概率各是多少。
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在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但 我们可以引进一个变量来表示它的各种结果. 也就 是说，把试验结果数值化.
例: 抛掷一枚硬币，观察其出现正面与反面的情况 ，则其有二个可能结果：出现正面H或出现反面T ，其样本空间为Ω={H,T}. 若我们在样本空间上定义一个函数:
X
X
()
0 1
T H
这样我们就将试验结果与实数对应起来了.
X
x1
x2
…
xk
…
P
p1
p2
…
pk
…
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随机变量的分布律是指随机变量所有可能的取值 与取这些值的概率之间的一种对应关系。 这种对应关系可用解析式（2.1.1）和分布列表示， 还可用图示法表示（图2.1.1）
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对于离散型随机变量，概率分布中的pk必须满足 下列两个性质：
(1) pk 0, k 1,2,
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一般，在总共N件产品中，其中有M件次品，现从
中任取n件（不放回地取），则这n件中所含的次品
数X是一个离散型随机变量，其概率分布为
P(X
k)
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定义:设随机试验E的样本空间 {}，如果对每一 个样本点 ，都有唯一实数 X X () 与之对 应，则称 X X () 为样本空间 上的随机变量.
通常，我们用大写字母X、Y、Z等表示随机变量. 引入随机变量后，就可以用随机变量X描述事件
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例 在一批灯泡中任意抽取一只，测试其寿命，那么 灯泡的寿命ξ (小时)是一个随机变量，显然ξ的一切可 能取的值是非负实数值， 即ξ∈[0, +∞) 而(ξ=1200)，(ξ≤5000)，(ξ>1500)等都是随机事件。
第二章 随机变量及其分布
§2.1 离散型随机变量及其分布 §2.2 连续型随机变量及其分布 §2.3 随机变量函数的分布
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在第一章里，我们讨论了随机事件及其概率， 其中随机事件都是用定性的语言描述的，与数学最 基本的研究对象——数及变量尚未建立直接联系。
为了进一步深入研究随机现象, 在这一章里我 们将引入随机变量的概念. 由于随机变量概念的引 入，我们可利用微积分知识，更全面更深刻地揭示 随机现象的内在规律。