第九章非线性规划
非线性规划高考知识点归纳总结
非线性规划高考知识点归纳总结非线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要研究在非线性目标函数和非线性约束条件下的优化问题。
在高考数学中，非线性规划通常不会作为主要考点，但了解其基本概念和简单应用对于提高数学素养和解决实际问题具有重要意义。
首先，非线性规划问题可以定义为：给定一个目标函数 \( f(x_1,x_2, ..., x_n) \) 和一组约束条件 \( g_i(x_1, x_2, ..., x_n) \leq 0 \)（对于 \( i = 1, 2, ..., m \)），以及 \( h_j(x_1,x_2, ..., x_n) = 0 \)（对于 \( j = 1, 2, ..., p \)），求 \( x \) 的值，使得目标函数 \( f \) 达到最大值或最小值。
在高考中，非线性规划的知识点通常包括以下几个方面：1. 目标函数与约束条件：理解目标函数和约束条件在非线性规划中的作用，以及它们如何影响问题的解。
2. 可行域：掌握如何根据约束条件确定可行域，这是求解非线性规划问题的基础。
3. 拉格朗日乘数法：了解拉格朗日乘数法的基本原理，以及如何利用它求解带有等式约束的非线性规划问题。
4. KKT条件：掌握KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件，这是求解非线性规划问题的必要条件。
5. 数值方法：了解一些基本的数值方法，如梯度下降法、牛顿法等，这些方法在实际求解非线性规划问题时非常有用。
6. 实际应用：能够将非线性规划的概念应用到实际问题中，如资源分配、成本最小化等。
在复习非线性规划时，建议从以下几个步骤进行：- 理解概念：首先，要理解非线性规划的基本概念，包括目标函数、约束条件、可行域等。
- 掌握方法：其次，要掌握求解非线性规划问题的基本方法，如拉格朗日乘数法和KKT条件。
- 练习题目：通过大量的练习题目来巩固知识点，提高解题能力。
- 实际应用：尝试将非线性规划的概念应用到实际问题中，提高解决实际问题的能力。
非线性规划
非线性规划非线性规划是一种涉及非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划可能存在多个局部最优解，而不是全局最优解。
非线性规划在许多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学和管理学等。
非线性规划的一般形式可以表示为：最小化或最大化 f(x)，其中 f(x) 是一个非线性函数，x 是决策变量向量。
满足一组约束条件g(x) ≤ 0 和 h(x) = 0，其中 g(x) 和 h(x) 是非线性函数。
为了求解非线性规划问题，可以使用不同的优化算法，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些算法的目标是找到目标函数的最小值或最大值，并满足约束条件。
非线性规划的难点在于寻找全局最优解。
由于非线性函数的复杂性，这些问题通常很难解析地求解。
因此，常常使用迭代算法来逼近最优解。
非线性规划的一个重要应用是在经济学中的生产计划问题。
生产活动通常受到多个因素的限制，如生产能力、原材料和劳动力等。
非线性规划可以帮助确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
另一个应用是在工程学中的优化设计问题。
例如，优化某个结构的形状、尺寸和材料以满足一组要求。
非线性规划可以帮助找到最佳设计方案，以最大程度地提高性能。
在管理学中，非线性规划可以用于资源分配和风险管理问题。
例如，优化一个公司的广告预算，以最大程度地提高销售额。
非线性规划可以考虑多种因素，如广告投入和市场需求，以找到最佳的广告投放策略。
总之，非线性规划是一种重要的优化方法，用于解决涉及非线性目标函数和约束条件的问题。
它在经济学、工程学和管理学等领域有广泛的应用。
尽管非线性规划的求解难度较大，但通过合适的优化算法，可以找到最佳的解决方案。
非线性规划
(2)
将问题（）转化为无约束问题： 1 min T X,M n
X R
(3)
其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项， 这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚:当 X D 时，满足 各 gi X 0, hi X = 0 ，故罚项为0，不受惩罚．当 X D 时,必 有约束条件 gi X 0或hi X 0 ，故罚项大于0，要受惩罚．
(6) [x,fval]= fmincon(…) (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(…) (8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(…)
1．二次规划
标准型为： min Z= 1 XTHX+cTX
2
s.t. AX≤b
Aeq X = beq
VLB≤X≤VUB
用MATLAB软件求解,其输入格式如下: 1．x=quadprog(H,C,A,b); 2．x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq); 3．x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB); 4．x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0); 5．x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0,options); 6．[x,fval]=quaprog(…); 7．[x,fval,exitflag]=quaprog(…); 8．[x,fval,exitflag,output]=quaprog(…);
s.t.
1 1
x1 x2
2．输入命令：
H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
非线性规划知识点讲解总结
非线性规划知识点讲解总结1. 非线性规划的基本概念非线性规划是指目标函数和/或约束条件包含非线性项的优化问题。
一般来说，非线性规划问题可以表示为如下形式：\[\min f(x)\]\[s.t. \ g_i(x) \leq 0, \ i=1,2,...,m\]\[h_j(x)=0, \ j=1,2,...,p\]其中，\(x \in R^n\)是优化变量，\(f(x)\)是目标函数，\(g_i(x)\)和\(h_j(x)\)分别表示不等式约束和等式约束。
目标是找到使目标函数取得最小值的\(x\)。
2. 非线性规划的解决方法非线性规划问题的求解是一个复杂的过程，通常需要使用数值优化方法来解决。
目前，常用的非线性规划求解方法主要包括梯度方法、牛顿方法和拟牛顿方法。
（1）梯度方法梯度方法是一种基于目标函数梯度信息的优化方法。
该方法的基本思想是在迭代过程中不断沿着梯度下降的方向更新优化变量，以期望找到最小值点。
梯度方法的优点是简单易实现，但缺点是可能陷入局部最优解，收敛速度慢。
（2）牛顿方法牛顿方法是一种基于目标函数的二阶导数信息的优化方法。
该方法通过构造目标函数的泰勒展开式，并利用二阶导数信息来迭代更新优化变量，以期望找到最小值点。
牛顿方法的优点是收敛速度快，但缺点是计算复杂度高，需要计算目标函数的二阶导数。
（3）拟牛顿方法拟牛顿方法是一种通过近似求解目标函数的Hessian矩阵来更新优化变量的优化方法。
该方法能够克服牛顿方法的计算复杂度高的问题，同时又能保持相对快速的收敛速度。
拟牛顿方法的典型代表包括DFP方法和BFGS方法。
3. 非线性规划的应用非线性规划方法在实际生活和工程问题中都有着广泛的应用。
以下将介绍非线性规划在生产优化、资源分配和风险管理等领域的应用。
（1）生产优化在制造业中，生产线的优化调度问题通常是一个非线性规划问题。
通过对生产线的机器设备、生产工艺和生产速度等因素进行建模，并设置相应的目标函数和约束条件，可以使用非线性规划方法来求解最优的生产调度方案，以最大程度地提高生产效率和减少成本。
非线性规划ppt课件
g3(x) x1 x2 x3 0
;
20
一维搜索方法
目标函数为单变量的非线性
规划问题称为一维搜索问题
min t0 (0ttmax )
其中 t R 。
(t)
➢精确一维搜索方法 0.618法 Newton法
➢非精确一维搜索方法 Goldstein法 Armijo法
;
21
0.618法（近似黄金分割法）
定义 4.1.2 对于非线性规划(MP)，若 x* X ，并且存在 x* 的一个
领域 N ( x* ) x Rn x x* ( 0, R) ，使
f (x* ) f (x), x N (x* ) X ，
则称 x* 是(MP)的局部最优解或局部极小点，称 f ( x* ) 是(MP)的局部
函数(t) 称为在[a,b]上是单谷的，如果存在一个 t * [a, b] ，使得(t) 在[a, t * ]上严格递减，且在[t * , b] 上严格递增。区间[a,b]称为(t) 的单 谷区间。
第 1 步 确定单谷区间[a,b]，给定最后区间精度 0 ;
第 2 步 计算最初两个探索点
t1 a 0.382(b a) b 0.618(b a)
;
22
0.618法例题
• 例4.3.1 用0.618法求解
min(t) t3 2t 1 t0
(t) 的单谷区间为[0,3]， 0.5
解答
例4.3.1解答 • 迭换换代tbtb 过程0311..62..∧✓18可0036145436481由-00下101.2.∧...0✓871110650431表48611 给0-0100.2.∨...0✓1470出2064308168821 --000100...∨...00✓4178376340791868681 01..7140486 a2112a
《非线性规划》课件
1 2 3
定义
牛顿法和拟牛顿法是两种基于二阶导数的优化算 法，通过构造目标函数的Hessian矩阵（或近似 矩阵）来寻找最优解。
特点
牛顿法和拟牛顿法具有收敛速度快、不易陷入局 部最优解等优点，但也可能存在计算量大、需要 存储高维矩阵等问题。
应用场景
牛顿法和拟牛顿法适用于求解一些复杂的问题， 如神经网络、支持向量机等。
02
非线性规划的基本理论
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ERA
约束优化问题
定义
在非线性规划中，约束优化问题是最 常见的问题类型，它涉及到在满足一 系列约束条件下寻找目标函数的最大 值或最小值。
分类
求解方法
常用的求解约束优化问题的方法包括 梯度法、最速下降法、牛顿法和拟牛 顿法等。
ERA
非线性规划的定义
01
非线性规划是一种数学优化方法 ，旨在找到一组变量的最优解， 使得一个或多个非线性函数达到 极值。
02
它广泛应用于各种领域，如经济 、工程、金融和科学研究中，以 解决最优化问题。
非线性规划的分类
根据目标函数的性质，非线性规划可 以分为凸规划和凹规划。
根据约束条件的形式，非线性规划可 以分为无约束规划、有界约束规划、 等式约束规划和不等式约束规划。
梯度法与最速下降法
定义
梯度法和最速下降法是两种基于 一阶导数的优化算法，通过沿着 目标函数的负梯度方向或最速下
降方向寻找最优解。
特点
梯度法和最速下降法具有简单易行 、计算量小等优点，但也可能存在 局部最优解的问题。
应用场景
梯度法和最速下降法适用于求解一 些简单的问题，如线性回归、逻辑 回归等。
九.非线性规划(NonlinearProgramming)
九. 非线性规划(Nonlinear Programming)非线性规划是研究目标函数和约束条件中至少包含一个非线性函数的约束极值最优化问题。
由于非线性问题的复杂性，非线性规划与线性规划相比在理论和算法上呈现出明显的多样性，成果非常丰富。
非线性规划的理论成果包括约束极值问题到达极值解的充分和必要条件（即最优性条件）、非线性规划的对偶理论等。
非线性规划的算法种类繁多，但本质上都是采用数值计算迭代方法求解非线性方程组。
解非线性规划问题时所用的计算方法最常见的是迭代下降算法，即算法同时具有迭代和下降两种特征:迭代：从一点x(k)出发，按某种规则算出后继点x(k+1)；用x(k)代替x(k+1)，重复上述过程，产生点列{x(k)}；下降：对某个函数，每次迭代后，后继点的函数值要有所减少。
评价算法的几个要素通用性与可靠性对参数与数据的敏感性准备与计算的工作量收敛性一维搜索算法可以归纳为两大类：试探法和函数逼近法。
试探法：黄金分割法（0.618法）；Fibonacci法（斐波那契法）函数逼近法：牛顿法；割线法；抛物线法；插值法多维搜索中使用导数的最优化算法（无约束问题）最速下降法（梯度法）；牛顿法（二阶梯度法）；共轭梯度法；拟牛顿法；……多维搜索无约束最优化的直接方法（不用导数）模式搜索法；Rosenbrock算法；单纯形法；……有约束最优化方法可行方向法；惩罚函数法；线性逼近法及二次规划；SQP(序贯二次规划)法；……十.多目标数学规划(Multiobjective Programming)多目标规划标准形式：(VP)实际问题往往难以用一个指标来衡量，需要用一个以上相互间不很协调（甚至相互冲突）的衡量指标，形成多目标规划问题。
x f x f V T p )](,),(min[1符号V －min 表示区别于单目标求最小，指对向量形式的p 个目标求最小。
由于实际问题中p 个目标量纲不同，有必要对每个目标事先规范化。
非线性规划的基本概念及问题概述
牛顿法在凸优化问题上表现较好，但在非凸问题 上可能陷入局部最优解。
拟牛顿法
01
拟牛顿法是一种改进的牛顿法，通过构造海森矩阵 的近似来降低计算成本。
02
拟牛顿法在每一步迭代中更新搜索方向，并逐渐逼 近最优解。
03
拟牛顿法在处理大规模非线性规划问题时表现较好 ，但仍然需要计算目标函数的二阶导数。
共轭梯度法
共轭梯度法结合了梯度法和牛 顿法的思想，通过迭代更新搜 索方向来寻找最优解。
共轭梯度法的迭代方向是梯度 方向和上一次迭代方向的线性 组合，可以加快收敛速度。
共轭梯度法适用于大规模优化 问题，尤其在约束条件较多或 非凸函数情况下表现较好。
05
非线性规划的挑战与解决方 案
局部最优解问题
局部最优解问题
案例二：生产计划优化问题
总结词
生产计划优化问题旨在通过合理安排生 产计划，降低生产成本并满足市场需求 。
VS
详细描述
生产计划优化问题需要考虑生产过程中的 各种因素，如原材料需求、设备能力、劳 动力成本等。目标函数通常是非线性的， 因为生产成本和产量之间的关系是非线性 的。约束条件可能包括资源限制、交货期 限制等。
例子
最小化成本函数，其中成本是生产量 的函数，生产量受到资源、生产能力 等约束。
最大化问题
最大化目标函数
在给定的约束条件下，找到一组变量 ，使得目标函数达到最大值。
例子
最大化收益函数，其中收益是销售量 的函数，销售量受到市场需求、价格 等约束。
约束条件下的优化问题
01
在满足一系列约束条件下，寻找最优解，使得目标函数达到最 优值。
梯度法适用于目标函数和约束条件比较简单的情况，但对于非凸函数或约束条件复 杂的情况可能不收敛或收敛到局部最优解。
非线性规划的相关概念
非线性规划的相关概念引言非线性规划是数学规划领域中的一个重要研究方向，它是线性规划的推广和扩展。
在许多实际问题中，约束条件和目标函数往往是非线性的，因此需要非线性规划方法来解决这些问题。
本文将介绍非线性规划的基本概念和相关理论。
基本概念1. 可行解在非线性规划中，可行解指的是满足约束条件的解。
具体地，给定约束条件和目标函数，如果存在一组解使得所有约束条件都得到满足，那么这组解就是可行解。
非线性规划的目标是找到一个可行解，使得目标函数值最小或最大。
2. 局部极小解和全局极小解在非线性规划中，局部极小解指的是在某个局部范围内，目标函数值最小的可行解。
全局极小解指的是在整个可行域内，目标函数值最小的可行解。
在非线性规划中，寻找全局极小解往往非常困难，因为非线性规划问题一般没有全局最优解的性质。
因此，通常采用近似算法来寻找接近全局极小解的解。
3. 无约束问题和约束问题非线性规划可以分为无约束问题和约束问题。
无约束问题是指在没有约束条件的情况下，找到目标函数的最小值或最大值。
约束问题是指在满足一组约束条件的情况下，找到目标函数的最小值或最大值。
约束问题通常比无约束问题更加复杂，因为需要考虑约束条件的影响。
相关理论1. 梯度下降法梯度下降法是非线性规划中常用的优化方法之一。
基本思想是通过迭代更新解，使得目标函数值逐渐降低。
具体地，梯度下降法使用目标函数的梯度信息来指导搜索方向，并选择适当的步长来更新解。
该方法通常在局部范围内找到局部极小解，并且易于实现。
2. 牛顿法牛顿法是一种经典的非线性优化方法，广泛应用于非线性规划问题的求解。
它利用目标函数和约束条件的一阶和二阶导数信息来更新解。
具体地，牛顿法通过计算目标函数的海森矩阵来确定搜索方向，并选择适当的步长来更新解。
该方法在局部范围内通常能够快速收敛到极小解。
3. 二次规划二次规划是非线性规划中的一种特殊形式，目标函数是二次函数，约束条件是线性条件。
它可以通过求解一组二次方程组来得到最优解。
非线性规划
非线性规划什么是非线性规划？非线性规划（Nonlinear Programming，简称NLP）是一种数学优化方法，用于求解包含非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划的数学表达式一般来说，非线性规划可以表示为以下数学模型：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., px ∈ R^n其中，f(x)是目标函数，g_i(x)和h_j(x)分别是m个不等式约束和p个等式约束，x是优化变量，属于n维实数空间。
非线性规划的解法由于非线性规划问题比线性规划问题更为复杂，因此解决非线性规划问题的方法也更多样。
以下列举了几种常用的非线性规划求解方法：1. 数值方法数值方法是最常用的非线性规划求解方法之一。
它基于迭代的思想，通过不断优化目标函数的近似解来逼近问题的最优解。
常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
2. 优化软件优化软件是一类针对非线性规划问题开发的专用软件，它集成了各种求解算法和优化工具，可以方便地求解各种类型的非线性规划问题。
常见的优化软件有MATLAB、GAMS、AMPL等。
3. 线性化方法线性化方法是一种将非线性规划问题转化为等价的线性规划问题的求解方法。
它通过线性化目标函数和约束条件，将非线性规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的求解方法求解得到最优解。
4. 分类方法分类方法是一种将非线性规划问题分解为若干个子问题求解的方法。
它将原始的非线性规划问题分解为多个子问题，然后将每个子问题分别求解，并逐步逼近原始问题的最优解。
以上仅是非线性规划求解方法的一小部分，实际上还有很多其他的方法和技巧可供选择。
在实际应用中，选择合适的方法和工具是非常重要的。
非线性规划的应用非线性规划在实际生活和工程中有着广泛的应用。
《非线性规划》课件
非线性规划的约束条件
非线性规划的约束条件是指限制问题解的一组方程或不等式。这些约束条件可以包括物理限制、资源约 束和行为限制等。
非线性规划的求解方法
线性化方法
将非线性问题转化为等价的 线性问题，然后使用线性规 划方法求解。
牛顿法
使用牛顿迭代法逐步逼近最 优解。
拟牛顿法
使用近似Hessian矩阵的方法 优化牛顿法。
变尺度法、全局优化方法
1
变尺度法
通过改变尺度，将问题转化为更易求解的形式。
2
全局优化方法
使用启发式算法寻找全局最优解。
非线性规划的应用领域
生产计划问题
优化生产计划，提高效率和利润。
交通运输问题
优化交通网络和运输流程。
优化电力系统
使电力系统运行更加高效和可靠。
决策支持系统
为决策者提供优化建议和决策支持。
医资源分配和治疗方案。
非线性规划的挑战
复杂的问题结构和求解困难。
未来的研究方向
未来的研究方向包括改进算法性能、适用于大规模问题的方法和考虑不确定性的优化模型等。
《非线性规划》PPT课件
在这个《非线性规划》PPT课件中，我们将深入探讨非线性规划的各个方面， 并介绍其在不同领域的应用。让我们一起开启这个激动人心的学习之旅！
什么是非线性规划？
非线性规划是一种在优化问题中寻找最优解的数学方法。它处理的是有非线 性约束条件和目标函数的优化问题。
非线性规划的优化目标
非线性规划基本概念
序列二次规划法原理及步骤
• 原理：序列二次规划法是一种迭代求解非线性规划问题的方法。它在每次迭代中构造一个二次规划子问题，通 过求解该子问题得到原问题的一个近似解，然后利用该近似解的信息构造下一个二次规划子问题，如此循环直 至收敛到最优解。
序列二次规划法原理及步骤
2. 求解二次规划子问题，得到近 似解。
与线性规划不同，非线性规划中的目标函数或约 束条件至少有一个是非线性的。
非线性规划问题通常更加复杂，需要采用特定的 算法和工具进行求解。
非线性规划重要性
01
广泛适用性
非线性规划在各个领域都有广泛 应用，如经济、金融、工程、管 理等。
02
解决复杂问题
03
推动技术进步
非线性规划能够处理涉及复杂非 线性关系的问题，提供更精确的 解决方案。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
VS
5. 判断终止条件
若满足终止条件，则停止迭代，输出当前 迭代点作为近似最小值点；否则，返回步 骤2继续迭代。
拟牛顿法原理及步骤
原理
1. 初始化
拟牛顿法是一种改进牛顿法的方法， 其基本思想是通过构造一个近似海森 矩阵的逆矩阵来避免直接计算海森矩 阵及其逆矩阵。拟牛顿法利用目标函 数的一阶导数信息来构造一个满足拟 牛顿条件的矩阵来逼近海森矩阵的逆 矩阵，从而在保证收敛速度的同时降 低了计算复杂度。
选择初始点 x0，设置迭代终止条件。 初始化拟牛顿矩阵 B0（或其逆矩阵 H0）。
2. 计算梯度
计算函数在 x0 处的梯度 g0 和 g1。
拟牛顿法原理及步骤
3. 求解搜索方向 通过解线性方程组 Bdp = -gp 或 Hdp = -gp 得到搜索方向 dp。
非线性规划-无约束问题
一般地，解非线性规划问题要比解线性规划问题困难的多，因为它不像解线性规划问题有单纯形法这一通用的方法，非线性规划目前还没有适合于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的应用范围。
1.1 非线性规划问题及其数学模型
例：某金属制品厂要加工一批容积为1米3的长方形容器，按规格要求，上下底的材料为25元/m2，侧面的材料为40元/m2，试确定长、宽、高的尺寸，使这个容器的成本最低。
线性规划：
可能在其可行域中的任意一点达到。
非线性规划：
02
01
非线性规划的解的特点
目标函数是线性函数，可行域为凸集，求出的最优解就是整个可行域上的全局最优解。
线性规划：
01
有时求出的解是一部分可行域上的极值点，但并不一定是整个可行域上的全局最优解。
非线性划：
02
1.2 极值问题
局部极值定义
定理1：极值存在的必要条件
称该点列{X(k)}收敛于X*. 由于算法产生的点列使目标函数值逐步减小，称这一算法为下降算法。
或
超线性收敛：当 1<<2, q>0，或＝1, q＝0时，称为超线性收敛速度
二阶收敛：当 =2 ，k充分大时有
收敛速度
一般地认为，具有超线性收敛或二阶收敛速度的算法是比较快速的算法。
对于不同的问题，要根据具体情况来选择算法，因为我们事先并不知道最优解，迭代到什么时候停止呢？常用的准则是：
01
02
01
迭代中我们从一点出发沿下降可行方向找一个新的、性质有所改善的点。
02
下降方向：
可行方向：设 ∈S，d∈Rn,d≠0,若存在 ，使 ，称d 为 点 的可行方向。
2
如果继续缩小区间[a,b1](或[a1,b])，就需要在区间[a,b1](或[a1,b])内取一点b2，并计算出f(b2)的值，并与f(a1)比较。
非线性规划课件
②再固定x₂=x₂ (1): 求以x₁为单变量的目标函数的极值点，
得 X(2)=(x,(2),x₂ (1))T ,S(2)=f(X(2))
此时S(2)优于S(1), 且搜索区间缩短为x₁*∈[x,(2),b,],x₂*∈[x₂ (1),b₂] 第二步：如此交替搜索，直至满足给定精度ε为止
否则，继续缩短区间，
直至满足给定的精度为
①f(x₂)≥f(xq), 取[aq=ao,b,=x,]
X₁ =X2
x'2=b₁-λ(b₁-aq) ②f(x₂)<f(x₁), 取[a=x2,b,=b,]
x=aq+λ(b₁-aq)
10
x₂ =x₁
例 求 解 f(x)=-18x²+72x+28 的极大值点，δ≤0.1,起始搜索区间为[0,3] 解：①用间接法：令 f'(x)=-36x+72=0, 得驻点 x=2
xq*∈[aq,b,],x²*∈[a₂ ,b₂ ],.,x*∈[an,b,]
1、原理： ①从起点 X(0) 出发，沿平行于 x, 轴的方向P(1)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(1)上近似极值点 X(1);
②从点 X(1) 出发，沿平行于 x₂ 轴的方向P(2)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(2)上近似极值点 X(2); ③从点 X(2) 出发，照此交替进行下去，直至满足给定的精度ε为止
六、 寻优方法概述：
1、N.L.P.问题分类
① 无约束条件的NLP问题。 ② 有约束条件的NLP问题。 2、寻优方法
① 间接法(解析法):适应于目标函数有简单明确的数学表达式。
非线性规划(教案)
1非线性规划线性规划及其扩展问题的约束条件和目标函数都是关于决策变量的一次函数。
虽然大量的实际问题可以简化为线性规划及其扩展问题来求解，但是还有相当多的问题很难用线性函数加以描述。
如果目标函数或约束条件中包含有非线性函数，就称这样的规划问题为非线性规划问题。
由于人们对实际问题解的精度要求越来越高，非线性规划自20世纪70年代以来得到了长足的发展；目前，已成为运筹学的一个重要分支，在管理科学、最优设计、系统控制等许多领域得到了广泛的应用。
一般来讲，非线性规划问题的求解要比线性规划问题的求解困难得多；而且也不象线性规划问题那样具有一种通用的求解方法（单纯形法）。
非线性规划没有能够适应所有问题的一般求解方法，各种方法都只能在其特定的范围内发挥作用。
本章在简要介绍非线性规划基本概念和一维搜索的基础上，重点介绍无约束极值问题和约束极值问题的求解方法。
§1非线性规划的数学模型1.1 非线性规划问题[例1] 某商店经销A 、B 两种产品，售价分别为20和380元。
据统计，售出一件A 产品的平均时间为0.5小时，而售出一件B 产品的平均时间与其销售的数量成正比，表达式为n 2.01+。
若该商店总的营业时间为1000小时，试确定使其营业额最大的营业计划。
解：设1x 和2x 分别代表商店经销A 、B 两种产品的件数，于是有如下数学模型：2138020)(max x x x f +=10002.05.02221≤++x x x,021≥≥x x1.2 非线性规划问题的数学模型同线性规划问题的数学模型一样，非线性规划问题的数学模型可以具有不同的形式；但由于我们可以自由地实现不同形式之间的转换，因此我们可以用如下一般形式来加以描述：nE X X f ∈),(min ),,2,1(,0)(m i X h i == ),,2,1(,0)(l j X g j =≥其中T n x x x X ),,,(21 =是n 维欧氏空间nE 中的向量点。
第九讲 非线性规划基本概念
A 20 4 4 4 16 5 3 0
所以A正定。
20
练习 判定以下矩阵的正定性：
5 A 2 2 2 6 0 2 0 4
0 B 1 1
1 0 3
1 3 0
解：对矩阵A：
a11 5 0, a11 a21 a12 a22 5 2 2 6
2
基本概念－问题的提出
例1 某公司经营两种产品，第一种产品每件售价30元，第二种产品每 件售价450元。根据统计，售出一件第一种产品所需要的服务时间平 均是0.5小时，第二种产品是(2+0.25x2)小时，其中x2是第二种产品的 售出数量。已知该公司在这段时间内的总服务时间为800小时，试决 定使其营业额最大的营业计划。 设该公司计划经营第一种产品x1件，第二种产品x2件。根据题，其 营业额为 f ( X ) 30x1 450x2 由于服务时间的限制，该计划必须满足 此外，这个问题还应满足 x1 0,
1. 必要条件 下述定理1给出了n元实函数f(X)在X*点取得极值的必要条件。
定理1
设R是n维欧氏空间En上的某一开集，f(X)在R上有连续一阶偏导数， 且在点X*∈R取得局部极值，则必有
f ( X * ) f ( X * ) f ( X * ) ... 0 x1 x2 xn
定理2
为f(X)在点X*处的黑塞(Hesse)矩阵。
若将 2f(X*)正定改为负定，定理2就变成了X*为f(X)的严格局部 极大点的充分条件。
0.5x1 2 0.25x2 x2 800
x2 0 ，得到本问题数学模型为：
max f X 30 x1 450 x2 2 0.5 x1 2 x2 0.25 x2 800 x1 0, x2 0
《非线性规划模型》课件
一般形式的非线性规划
一般形式的非线性规划同时包含等式约束和不等式约束，目标函数和约束条 件均为非线性。
非线性规划的求解方法
1
牛顿法
通过使用二阶导数信息ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ迭代逼近最优解。
2
梯度下降法
利用目标函数梯度方向确定下降方向，逐步逼近最优解。
3
共轭梯度法
结合梯度信息，迭代快速逼近最优解。
粒子群算法及其应用
多解性
非线性规划模型可能存在多 个最优解，需要综合考虑问 题的不同方面。
计算复杂度
非线性规划求解过程通常需 要使用迭代算法，计算时间 较长。
不等式约束的非线性规划
当目标函数和约束条件都包含不等式关系时，我们称之为不等式约束的非线 性规划。
等式约束的非线性规划
当约束条件中包含等式关系，但目标函数仍为非线性函数时，我们称之为等 式约束的非线性规划。
《非线性规划模型》PPT 课件
非线性规划是一种优化问题求解方法，本课件将介绍非线性规划的定义、特 点以及不同约束形式下的求解方法，展示非线性规划在各个领域中的应用案 例。
什么是非线性规划
非线性规划是一种优化问题的求解方法，它考虑目标函数和约束条件为非线 性的情况。
非线性规划的特点
复杂性
非线性规划模型通常比线性 规划更加复杂，涉及更多变 量和限制条件。
粒子群算法模拟群体行为，通过协作和随机搜索找到最优解，广泛应用于非 线性规划问题。
遗传算法及其应用
遗传算法模拟生物进化过程，通过选择、交叉和变异等操作找到最优解，在非线性规划中有着广泛的应用。
第9章：非线性规划
x1 + 2 x 2 ≤ 10 x1 , x 2 ≥ 0
能源 产量y 产量
ห้องสมุดไป่ตู้
生产资料1 生产资料 (x1) 1
生产资料2 生产资料 (x2) 2
能源 限量 10
1
某厂生产两种产品，第一种产品每件售价30 30元 第二种产品每件售价450 例9-2 某厂生产两种产品，第一种产品每件售价30元，第二种产品每件售价450 分别为第一、二种产品的数量，据统计， 元。设x1与x2分别为第一、二种产品的数量，据统计，生产第一种产品所需工作 时间平均为0.5小时，生产第二种产品所需工作时间平均为(2+0.25x 小时。 0.5小时 时间平均为0.5小时，生产第二种产品所需工作时间平均为(2+0.25x2)小时。已 知该工厂在这段时间内允许的总工作时间为800小时， 800小时 知该工厂在这段时间内允许的总工作时间为800小时，试确定使总收入最大的生 产计划？ 产计划？ 解: Max y = 30 x 1 + 450 x 2
f(x) f(x) f(x)
o
a0
X* x2 x1 b0
x
o
a0 x2 x1 X*
b0
x
o
a0 x2
X*
x1 b0
x
x1,x2 在x*的右侧
x1,x2 在x*的左侧
x1,x2 在x*的两侧
均在x 的右侧， 去掉[x 此时x ① x1,x2 均在x*的右侧，f(x2)＜f(x1)，去掉[x1,b0]，此时x*∈[a0,x1] 均在x 的左侧， 去掉[a 此时x ② x1,x2 均在x*的左侧，f(x2)＞f(x1)，去掉[a0,x2]，此时x*∈[x2,b0] 均在x 的两侧， ③ x1,x2 均在x*的两侧，f(x2)＝f(x1)： 去掉[x 此时x a.去掉[x1,b0]，此时x*∈[a0,x1] 去掉[a 此时x b.去掉[a0,x2]，此时x*∈[x2,b0] 8
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1. 非线性规划我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。
如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。
在科学管理和其他领域中，很多实际问题可以归结为线性规划，但还有另一些问题属于非线性规划。
由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，已发展为运筹学的重要分支，并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。
非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的，40年代后期进入系统研究，1951年H.W.库恩和A.W.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。
非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论，前者实际上就是多元函数的极值问题，是后一问题的基础。
无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。
关于带约束非线性规划的情况比较复杂，因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外，还要考虑近似解的可行性。
总的原则是设法将约束问题化为无约束问题；把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。
求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。
虽然这些方法都有较好的效果，但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。
1.1 非线性规划举例[库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。
假设该商店啤酒的年销售量为A 箱,每箱啤酒的平均库存成本为H 元,每次订货成本都为F 元。
如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。
我们以Q 表示每次定货数量,那么年定货次数可以为Q A ,年订货成本为QAF ⨯。
由于平均库存量为2Q ,所以,年持有成本为2QH ⨯,年库存成本可以表示为: Q HQ A F Q C ⨯+⨯=2)( 将它表示为数学规划问题:min Q H Q A F Q C ⋅+⋅=2)( ..t s 0≥Q其中Q 为决策变量,因为目标函数是非线性的,约束条件是非负约束,所以这是带约束条件的非线性规划问题。
[数据拟合问题] 假设一年期国债利率在市场中的波动符合下述模型εααα+++=---332211n n n n R R R R其中n R 表示一年期国债利率在周期n 开始时的利率,误差ε服从),0(2σN 。
利率的历史观察数据为:表1.9:一年期国债利率历史样本数据 1 23456789101112134.28 4.14 3.85 4.07 4.18 4.66 4.51 4.54 4.59 4.48 4.47 4.47 4.72利用最小二乘法估算3,2,1,=i i α由于在周期t 回归误差的平方为 23322112)(---++-=t t t t t R R R R e ααα,N t ,...5,4=比如说,当4=t 时,232124)28.414.485.307.4(ααα++-=e总回归误差为∑==Nt t e e 422我们需要求解下述数学规划问题:min ∑=---++-=Nt t t t t R R R R e 423322112)(ααα..t s 3,2,1),,(=+∞-∞∈i i α其中i α3,2,1,=i 为决策变量,显然,这是无约束非线性规划问题。
[投资组合管理问题] 假设首都基金管理公司拥有大批量股票S ,并且希望在未来的N 天中将其全部卖出。
股票S 在未来N 天的总期望价值为:∑==Nt t t q p S V 1)(其中,N t q t ,...,2,1,=是基金公司在第t 日卖出股票S 的数量,N t p t ,...,2,1,=是在t 日股票S 的平均价格。
同时,我们假设价格t p 具有下述动态特性:N t q p p t t t ,...,2,1,1=⋅+=-α那么基金管理公司应当如何确定股票S 每日卖出数量?很显然,不同的卖出方案,基金管理公司获得的收益是不同的。
所以目标函数是最大化股票S 的总期望价值。
约束条件为N 日内卖出数量之和应当等于总持有量S ,价格动态特征,以及每日卖出数量大于等于零。
我们可以把它表示为最优化问题:max ∑==Nt t t q p S V 1)(..t s ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+==-=∑N t q N t q p p S q t t t t Nt t ,...,2,1,0,...,3,2,11α其中t q ,N t ,...,2,1=,这是目标函数为非线性函数,约束条件是线性等式约束条件的非线性规划问题。
[生产管理问题] 首都电器制造厂生产二款电视机,A 和B 。
已知电视机A 每月最大的销售量为500台,电视机B 每月的最大销售量为400台。
工厂采用随销售量增加而递减销售价格的定价方式对电视机进行定价,那么单台电视机的利润是随着销售量的增加而递减。
我们分别以A X 和B X 表示电视机A 和B 的月销售量,那么电视机A 的销售收入可以表示为:2)150(300A A X X -它说明第一部A 型电视机的利润为300元,最后一部(第500)A 型电视机的利润为150元。
电视机B 的销售收入可以表示为:2)400100(200B B X X -电视机的生产受到下下述条件限制:)1(装配工时限制:每月最多可供使用的工时是1200小时,而装配一台电视机A 需要2工时,装配一台电视机B 需要1工时。
)2( 机器加工能力限制:每日最多可供使用的机时是1350小时,加工一台电视机A 需要1机时,加工一台电视机B 需要3机时。
那么,如何决定每种电视机的月产量,使月销售收入最大。
如果我们以二款电视机的月销售收入之和作为目标函数,则电视机生产管理的最优化问题被表示为:max 2225.02003.0300B B A A X X X X S -+-=..t s ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+≤+0,4005001350312002B A B A B A B A X X X X X X X X 这是目标函数为二次可分离函数,约束条件为线性不等式的非线性规划问题。
1.2 非线性规划模型现在,我们非线性规划问题的应用进行归纳,建立非线性规划通用数学模型。
非线性规划的数学模型可表示为:)(min x f Xx ∈)1.1(其中:R R f n→:是具有n 个自变量的连续(通常存在一阶导数)函数;nR X ⊆,是nR 的子集合。
通常称X 为非线性规划问题)1.1(的可行域,如果nR X =,则非线性规划问题)1.1(就变为无约束条件的非线性规划问题;如果nR X ⊂,则非线性规划问题)1.1(为带约束非线性规划问题。
如果点X x ∈,则称x 为可行点。
称)(x f 为非线性规划问题)1.1(的目标函数,使)(x f 在可行域X 上达到最小值的点*x 为最优解(极小点),对应的目标函数值)(*x f 为最优值(极小值)。
如果)(x f 是线性函数并且X 是n 维空间中的单纯形,非线性规划)1.1(就变成了线性规划问题。
我们通常将非线性规划和线性规划区别对待,非线性规划的求解方法比线性规划复杂许多。
为了方便讨论,我们定义带约束条件的非线性规划的标准模型如下:min )(x f..t s .,...,2,1,0)(,...,2,1,0)(⎩⎨⎧=≤==sj x g mi x h j i )2.1(其中:R R h n i →:和R R g nj →:都是连续,可导函数。
第一组约束,m i x h i ,...,2,1),(=称为等式约束;第二组约束,s j x g j ,...,2,1),(=称为不等式约束。
非线性规划模型)2.1(的可行域可以表示为:},...,2,1,0)(,,...,2,1,0)(|{s j x g m i x h R x X j i n =≥==∈=∶不难看出,带约束非线性规划模型)2.1(的可行域是nR 的子集合,所以它也是非线性规划模型)1.1(的一个特例。
我们将根据非线性规划的标准模型)1.1(,给出非线性规划解的定义。
[定义1.1] 设X x ∈*,nR X ⊆,R R f n→:)1( 如果X x ∈*,并且存在*x 的邻域}0,||:||{)(**≥≤-∈=δδx x R x x N n 使得:)()(*x f x f ≤ )(*x N X x ⋂∈∀则*x 是非线性规划)1.1(的局部最优解或局部极小点,称)(*x f 是非线性规划)1.1(的局部最优值或局部极小值。
)2( 如果X x ∈*,并且存在*x 的邻域}0,||:||{)(**≥≤-∈=δδx x R x x N n 使得:)()(*x f x f < }{))((**x ＼x N X x ⋂∈∀则*x 是非线性规划)1.1(的严格局部最优解或严格局部极小点,称)(*x f 是非线性规划)1.1(的严格局部最优值或严格局部极小值。
[定义1.2] 设X x ∈*,nR X ⊆,R R f n→:)1( 如果X x ∈*,使得:)()(*x f x f ≤ X x ∈∀,则*x 是非线性规划)1.1(的全局最优解或全局极小点,称)(*x f 是非线性规划)1.1(的全局最优值或全局极小值。
)2( 如果X x ∈*,使得:)()(*x f x f ≤ X x ∈∀,则*x 是非线性规划)1.1(的严格全局最优解或严格全局极小点,称)(*x f 是非线性规划)1.1(的严格全局最优值或严格全局极小值。
图)1.1(从几何上说明了局部极小点,严格局部极小点,和严格全局极小点之间的关系。
严格局部极小点 局部极小点 严格全局极小点图)1.1(可以看出,对于非线性规划)1.1(,局部或严格局部极小点不是全局或严格全局极小点,反之全局或严格全局极小点一定是局部或严格局部极小点。
对于只有两个决策变量的非线性规划问题,我们可以通过图解法进行求解。
考虑下述带等式约束的非线性规划问题:min 21)(x x x f +=..t s 022221=-+x x)3.1(其可行域X 是以原点为中心,半径等于2的圆周长上的所有点,见图)2.1(:图)2.1(显然,由于非线性规划)3.1(的目标函数是直线,与可行域X 的最小相交点为)1,1(*--=x ,它是非线性规划)3.1(的全局最优解,全局最优值为2)(*-=x f 。
再考虑下述带等式约束的非线性规划问题:max 21)(x x x f =..t s 221=+x x)4.1(显然,非线性规划)4.1(的可行域X 是连接点)0,2(和点)2,0(直线上的所有点,参见图)3.1(:图)3.1(非线性规划)4.1(的目标函数与可行域X 的交点为)1,1(*=x ,它是非线性规划)4.1(的全局最优解,全局最优值为1)(*=x f 。