应用统计学推断统计

样本比率的抽样分布近似正态分布。设总体比率为P ，
则有
近似
p
~
P(1 P)
N ( P,
)
n
对于置信度1 ，P的置信区间为
p(1 p)
p(1 p)
( p z / 2
n , p z / 2
) n
第四章 统计推断 五、总体比率的区间估计
由样本比率的抽样分布可以知，当样本容量n 足够
（一般指不小于30，且 np, n(1 p) 都大于5），
n
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1);
样本来自正态总体，则总体方差 2 的置信区间为
(n 1)S 2 (n 1)S 2
(
2 /2
(n
1)
,
2 1
/2
(n
) 1)
第四章 统计推断 五、总体比率的区间估计
由样本比率的抽样分布可以知，当样本容量n 足够
（一般指不小于30，且 np, n(1 p) 都大于5），
简写成
X
n
z
2
X
n
z , X
2
n
z
2
第四章 源自文库计推断
1、一个总体均值 的置信区间：
（1）大样本（n ≥ 30）时，总体均值的置信区间为：
①方差
2已知时： (X
n
z / 2 , X
n
z / 2 )
②方差 2未知时： (X
S n z /2 , X
S n
z /2 )（用
S2 代替
2）
补充：当样本来自非正态总体时，应将样本容量增加到30 以上，再进行抽样和区间估计，均值的置信区间同上面推 导的大样本（n ≥ 30）的情况。
主
第一节 参数估计
要
内
第二节 假设检验
容
第四章 统计推断
第一节 参数估计
一、 概念
1、参数估计：在抽样分布及抽样分布的基础上，据样 本统计量来推断总体参数的统计方法。
2、 估计量：用来估计总体参数的统计量的名称； 估计值：计算得到的样本估计量的具体数值
第四章 统计推断
点估计： 用样本估计量直接作为总体参数估计值 3、
样本比率的抽样分布近似正态分布。设总体比率为P ，
则有
近似
p
~
P(1 P)
N ( P,
)
n
对于置信度1 ，P的置信区间为
p(1 p)
p(1 p)
( p z / 2
n , p z / 2
) n
第四章 统计推断
例4：对某种奶粉进行检查，从中随机抽取20袋，测得样本 的平均重量为250.8克，标准差为1.25克，已知其重量服从 正态分布，求总体方差在置信度为90%时的置信区间为多 少？
例3：从某公司生产的一批瓶装产品中，随机抽取10罐产品， 测得每罐的重量分别为318、320、322、321、321、323、319、 320、320、324（克），以95%的置信度求该公司这批产品平 均重量的置信区间。（产品重量服从正态分布）
第四章 统计推断
四、一个总体方差的区间估计
复习：设 X1, X 2, , X来n 自正态总体 N (, 的2 ) 样本， X , S 2 分别为样本的均值和方差。则 X ~ N (, 2 );
1),
X
S n
t
/
2
(n
1))
而，经过计算得， x 1490, s 24.77,又查表得， t0.025 (15) 2.1315
故所求的置信区间为（1476.8, 1503.2）。
第四章 统计推断
例2：某食品生产企业以生产袋装食品为主，每天的产量为 8000袋左右，按照规定每袋的重量应为100克，为对产品质量 进行监测，企业质检部门从某天生产的一批产品中随机抽取 了64袋，测得该样本的均值为105.36克，标准差为10克，试 估计该批产品平均重量的置信区间为多少？（置信度为95%）
第四章 统计推断
一个总体均值的置信区间
（2）样本来自正态总体 N (, 2 )
样本容量为小样本即（n ＜ 30）时，总体均值的置信区间为：
①
2
已知时，
(X
n
z / 2 , X
n
z / 2 )
② 2 未知时，
(X
S n
t / 2 (n
1),
X
S n
t
/2
(n
1))
第四章 统计推断
样本来自正态总体，样本容量为小样本即（N ＜ 30）
的概率，记为 P{ } 1 ，则总体参数真值
有 100(1)% 的可能性落在置信区间 ( , ) 内。
其中 为事先给定的概率值，称为显著性水平。
第四章 统计推断
二、估计量的评选标准
(一) 无偏性
样本估计量的均值等于该样本统计量所估计的总体参 数的真实值，则称该估计量为无偏估计量。
（二）一致性 也称为相合性，当样本容量n增加时，如果估计量越来 越接近总体参数的真实值，则称这个估计量为一致估 计量。
区间估计：在点估计基础上，依照一定的概率保证度 用样本估计值估计出总体参数取值的区间 范围。
4、置信区间：
由样本统计量所构造的总体参数的估计区间，用
（ , ）来表示，即（置信下限，置信上限）。
第四章 统计推断
5、置信水平也称为置信度用 (1表) 示
(1 ) 表示置信区间 ( , ) 包括总体参数真值
总体方差 2 未知时，总体均值置信区间的求解
推导：设 方差，则
X1, X2,L , Xn 来自正态总体 N(, 2) 的样本， X , S 2 分别为样本的均值和
X
S/ n
~ t(n 1)
，求总体均值 的置信度为1 的置信区间。
第四章 统计推断
例1 现从一批灯泡中随机地取16只，测的其使用寿命（以小时为单位） 如下表所示。
第四章 统计推断
（三）有效性
是指估计量与总体参数的离散程度应该很小，即估计 量的方差应该很小，这样才能保证估计量的取值集中 在被估计的总体参数的附近，对总体参数的估计和推 断更可靠。
第四章 统计推断 三、均值的区间估计
引题：大样本（n 30 ），由中心极限定理可知，不论总体服从什么分布，X ~ N(, 2 ) ，
1510 1520 1480 1500 1450 1480 1510 1520
1480 1490 1530 1510 1460 1460 1470 1470
设灯泡的使用寿命近似地服从正态分布，试求灯泡的平均使用寿命95%的 置信区间 。
解 ：总体的方差未知，故总体均值的置信区间为：
(X
S n
t
/2 (n
n
为未知，设 X1, X2, , Xn 是来自总体 X 的样本，求 的置信度为1 的置信区间。
解：
因X
~
N
(,
2 n
)
，则令
Z=
X
/
n
~
N (0,1)
P (z Z z ) 1
2
2
P z 2
X / n
z 1
2
PX
n
z＜＜ X
2
n
z
2
1
第四章 统计推断
这样，我们就得到了 的一个置信度为1 的置信区间