相似三角形专题
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【一】知识梳理
【1】比例
①定义：四个量a,b,c,d中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个量成比例
②形式：a:b=c:d，
③性质：基本性质：
d
c
b
a
= ac=bd
4，比例中项：
b
c
c
a
=ab
c=
2
【2】黄金分割
定义：如图点C是AB上一点，若BC
AB
AC•
=
2，则点C是AB的黄金分割点，一条线段的黄金分割点有两个
AC
AC
BC
AB
AB
BC
AB
AB
AC
618
.0
2
1
5
382
.0
2
5
3
618
.0
2
1
5
≈
-
=
≈
-
=
≈
-
=
注意：如图△ABC，∠A=36°，AB=AC，这是一个黄金三角
形，
【3】平行线推比例
AB
AB
BC618
.0
2
1
5
≈
-
=
d
c
b
a
=
注：比例式有顺序性的，比例线段没有负的，比例数有正有负
1、可以把比例式与等积式互化。
2、可以验证四个量是否成比例
【4】相似三角形 1、相似三角形的判定
①AA 相似：∵∠A=∠D, ∠B=∠E ∴△ABC ∽△DEF ②‘S A S ’ E B EF
BC
DE AB ∠=∠=,
∴△ABC ∽△DEF ③‘S S S ’EF
BC
DF AC DE AB =
∴△ABC ∽△DEF ④平行相似： ∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC
2、相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等，对应边成比例
②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比
③相似三角形的面积比等于相似比的平方
上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右 全比上=全比上，全比下=全比下 下比上=下比上
3、相似三角形的常见图形
‘A 型图’ ‘ X 型图’ ‘K 型图’
‘母子图’ ‘一般母子图’ AC 2
=AD?AB
母子图中的射影定理
AC 2=AD?AB BC 2
=BD?AB CD 2
=AD?BD
【二】题型 1、求线段的比
【例题1】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，?l 2，?l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，?l 2，?l 3于点D ，E ，F ．AC 与DF 相较于点H ，且AH=2，
HB=1，BC=5则EF
DE
的值为
【例题2】如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE
∥
BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB = 3∶5，
那么CF ∶
CB 等于
求a 比b 的方法：①求a,b 的长度，②设k 法，③利用三角形相似的性质，④平行推比例线段⑤比例分配
?
（1）（2）
【例题3】如图，点D是△ABC的边AB上一点，且AB=3AD，点P是△ABC的外接圆上的一点，且∠ADP=∠ACB则PB:PD=
【例题4】如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，
如果AE
EC
＝2
3
，那么AB
AC
＝（）
A．1
3
B．2
3
C．2
5
D．3
5
（3）（4）
【例题5】已知
3
2
=
=
d
c
b
a
，则
b
a
b
a
4
3
3
2
-
+
=
3
2
=
-
a
b
a
，则
b
a
=
【例题6】如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)的一角沿着过点D的直线折叠，使点A与BC边上的点E重合，折痕交AB于点F.若BE:EC=m:n，则AF:FB= ? .【例题7】如图所示,将矩形ABCD折叠,使点B落在边AD上,点B与点F重合,
折痕为AE,此时,矩形EDCF与矩形ABCD相似,则
AB
AD
= .
【例题8】如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠,A=90°，AB=4，AC=3，D 为弧AB 的
中点，则DE
CE
=
（
6）
（7） （8）
【例题9】在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 的中线，AN ⊥CD ，交BC 于N,若CD=3，AN=4，则tan ∠CAN=
2、相似三角形的性质与判定
【例题1】如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（??? ）
【例题2】如图，已知△ABC ，P 是边AB 上的一点，连结CP ，以下条件中不能确定△ACP 与△ABC 相似的是（??? ）
A ∠ACP=∠
B ， B ∠APC=∠ACB
C AC 2=
D BC
AB
CP AC
8，若四边形A /B /C /D /为26，则A /B /的长为