高次方程分式方程无理方程的解法

2
2
解得 a5 且 a7
方
1.在分式方程两边同乘以最简公分母，
法 提
可把分式方程化为整式方程
炼
2.换元可以使解方程的过程变得简便
3. 解分式方程时应注意检验
一化二解三检验
三、无理方程的解法
知
1、什么是无理方程
识 要
根号内含有未知数的方程叫无理方程. 点
2、无理方程的解法
我们可通过将方程两边平方或者换元 将无理方程转化为有理方程.
即 x25x6或 x25x4
解得：x 1 1 ,x 2 6 ,x 3 1 ,x 4 4
典
例2（2）解方程
型
(x 2 )x ( 1 )x ( 4 )x ( 7 ) 19例 题
解：原方程即
(x 2 5 x 1 4 )(x 2 5 x 4 ) 1 9
换元 令 x25x14t
原方程可化为 t(t18)19
方
1.可通过因式分解将高次方程转化为
法 提
炼
一次或二次方程
2.可通过换元将高次方程转化为 一次或二次方程
3. n次方程最多有n个实数根
二、分式方程的解法
知
1、什么是分式方程
识 要
分母中含有未知数的方程叫分式方程. 点
2、分式方程的解法
我们可通过将方程两边同乘以最简公分母 或者换元将分式方程转化为整式方程.
例1（1）解方程 x34x23x0
典 型
例
解：因式分解
题
x(x24x3)0 x(x1)x (3)0
所以 x10,x21,x33
例1（2）解方程 x3 10
典 型
例
解： 因式分解
题
x3 1 (x 1 )x (2x 1 ) 0
因为 x2x1(x1)230 24
所以 x10
所以 x 1
例1（3） 解方程 x32x24x80典 型
型
例
解：移项， 2x12x5
题
两边平方，化简得 2x21x11 20 解得 x 4 或 x 3
2
经检验，x 4 是原方程的根，
x 3 是增根.
2
典
例6（2）解方程 2x 2x15
型
例
此题也可令 2x1t (t 0)
题
转化为 t 的一元二次方程
t21t5即 t2t60求解.
解得 t 3 或 t 2 （舍去）
经检验 以上均为原方程的根.
换元可以使运算变得简便
例5 已知关于 x的方程
典 型
x1x2 2xa 的解为负数
x2 x1 (x2)(x1)
例 题
求实数 a的范围.
解： 左边通分
4x5 2xa (x2)x (1) (x2)x (1)
所以 4x52xa，2x5a
所以 x 5 a 0 且 5 a 1
解：两边同乘以最简公分母 x2 x
题
得 (5x2 )x (1 )3 (x2x)
化简为 (x1)2 0
解得 x1
为什么会产 生增根？
经检验 x1是增根，原方程无解.
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不·适·合·于·原·方·程·的·根·.
使最简公分母值为零的根
产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式 后的,根所.得所以的我根们是·解整·分式·式方·方程程的时根一,而定不要是·代分·入式·最方·简程 公分母检验
t1
1,t2
5 3
（舍去）
所以 x25x11
解得 x15,x20 经检验 x15,x20都是原方程的根.
通过换法
1. 移项，平方可把无理方程化为有理方程
提 炼
2.换元可以使解方程的过程变得简便
3.解无理方程时应注意检验
一化二解三检验
课 堂 小
1.三种方程高次、分式、无理方程的解法 结 2.一个方法——换元 3.一个思想——等价转化的数学思想
3、解分式方程的注意点
在解分式方程后都必需检验,这是因为从分式 方程到整式方程的转化有时不是等价的.
例3（1） 解方程
7 5 x2 x
典 型 例
解： 两边同乘以最简公分母 x(x2) 题
得 7x5(x2)
解得 x5 经检验， x5 是原方程的解.
例3（2） 解方程
5x2 x2 x
3 x1
典 型 例
即 2x13 解得 x 4
典
例7 解方程 3x2 x33
型
例
解： 移项得 3x23 x3
题
两边平方，整理得 3 x37x
再两边平方，化简得 x22x32 20
解得 x11,x2 22 经检验 x1 1 为原方程的根，
x2 22 是增根. 方程一边出现两个根号时要先移项.
解无理方程的思路是：
无理 方程
换元 令 t6x7
原方程可化为 t2(t2 1)72
解得 t 2 9 或 t2 8（舍去）
解得 t 3 即 6x73
解得 x 2 或 x 5
3
3
解高次方程的思路是：
高次 因式分解、换元 一次或二次方程
方程
解高次方程的一般步骤
1、整理方程，右边化为0. 2、将方程左边因式分解，或者进行换元 3、将方程转化为若干个一次或二次方程 4、写出原方程的根.
去根号
有理 方程
解无理方程的一般步骤
1、将方程的两边平方，化成有理方程.有时要先 移项，再平方
2、解这个有理方程.
3、把有理方程的解代入原方程检验
4、写出原方程的根.
一化二解三检验
典
例8 解方程 3x21x5 2x25x12 型
例
解：令 x25x1t (t 0)
题
则原方程化为 3t22t50
解得
解： 因式分解
例 题
x2(x2)4(x2)0
(x24)(x2)0
(x2)(x2)20
所以 x12,x2x32
典
例2（1）解 方 程
型
例
(x 2 5 x )2 2 (x 2 5 x ) 2 4 0 题
解： 换元 令 t x25x
则原方程可以化为 t22t24 0
即 (t6)t(4)0
故 t 6 或 t 4
高次方程、分式方程、 无理方程的解法
内容概况
高次方程 因式分解、 换元 一次或二次方程
两边同乘以最简公分母、
分式方程
换元
整式方程
两边平方、换元
无理方程
有理方程
一、高次方程的解法
知
1、什么是高次方程
识 要
整式方程中，未知数的次数大于或等于3 点
的方程称为高次方程
2、高次方程的解法
我们可通过因式分解和换元将一元高次方程 转化为一元一次方程和一元二次方程
一化二解三检验
例4 解方程 2xx22213(x22x221)2
典 型 例
解：令
x2 2x
2 2 1
t
原方程可化为
t 3 2 t
题
即 t22t30
解得 t13,t21
所以
x2 2x
2 2 1
3
或
x2 2 2x2 1
1
典
即 7x2 10或 x2 30
型 例
题
解得 x17 7,x27 7,x33,x43
3、解无理方程的注意点
在解无理方程后必需检验,这是因为从无理 方程到有理方程的转化有时不是等价的.
典
例6（1）解方程 x7x1
型
例
x 7 ( x 1) 2 *
解：
x
7
0
x
1
0
题
为什么会产 生增根？
解得 x 2 （ x3为增根 ）
此题也可先解出方程*的根， 再代回原方程检验.
典
例6（2）解方程 2x 2x15
解分式方程的思路是：
分式 方程
去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程.
2、解这个整式方程.
3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4、写出原方程的根.
解得 t 19 或 t 1
即 x25x1419 或 x25x141
典
解得：
型
例
x1
5
2
5
x2
5 2
5
题
x3
5 2
85
x4
5 2
85
例2（3） 解方程 ( 6 x7 ) 2 ( 6 x8 )6 x (6 )12
解：原方程即 (6 x 7 )2 (6 x 7 1 )6 ( x 7 1 ) 72