高三数学课时提升作业 九 直线的参数方程 渐开线与摆线

课时提升作业 九

直线的参数方程 渐开线与摆线

一、选择题(每小题6分,共18分)

1.直线{x =−3+tcosα,y =2+tsinα

(t 为参数,α=π

6)不经过( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【解答】选D.直线{x =−3+tcosα,y =2+tsinα

经过点(-3,2),倾斜角α=π

6,所以不经过第四

象限.

【补偿训练】直线{x =−3+tsinα,y =2+tcosα

(t 为参数,α=π

6)的倾斜角为 ( )

A.π

6

B.π

4

C.π

3

D.5π

6

【解析】选C.方法一:直线{x =−3+tsinα,y =2+tcosα

(t 为参数,α=π

6)的普通方程为

y-2=√3(x+3),所以由直线的斜率得倾斜角为π

3.

方法二:直线{

x =−3+tsinα,y =2+tcosα

(t 为参数,α=π

6)

即{x =−3+tcos (π

2

−α),

y =2+tsin (π

2

−α),

所以直线的倾斜角为π

3

.

2.(·衡水高二检测)若直线的参数方程为{x =1+2t,

y =2−3t

(t 为参数),则直线的斜率

为 ( )

A.23

B.-32

C.32

D.-2

3

【解析】选B.直线{x =1+2t,y =2−3t

的普通方程为y=-32x+72,所以直线的斜率为-3

2.

3.已知直线l 过点P(1,2),其参数方程为{x =1−t,

y =2+t

(t 是参数),直线l 与直线

2x+y-2=0交于点Q,则|PQ|= ( )

A.1

B.√2

C.2

D.2√2 【解析】选D.方法一:将直线l 的参数方程{x =1−t,

y =2+t

(t 是参数)化为普通方程

y=-x+3,代入2x+y-2=0, 得x=-1,y=4,即Q(-1,4), 所以|PQ|2=4+4=8,|PQ|=2√2.

方法二:将直线l 的方程化为标准形式{x =1−√2

2

t′,

y =2+√2

2

t′,

代入2x+y-2=0得t ′=2√2,

所以PQ=|t ′|=2√2.

二、填空题(每小题6分,共12分)

4.(·重庆高考)已知直线l 的参数方程为{x =−1+t,

y =1+t,

(t 为参数)以坐标原点为

极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ=4(ρ

>0,

3π4

<θ<

5π4

),则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为__________.

【解题指南】首先将直线与曲线C 的方程化为直角坐标系下的方程,然后求出交点坐标再化为极坐标即可.

【解析】因为直线l 的参数方程为{x =−1+t,

y =1+t,

所以直线l 的普通方程为y=x+2.

因为曲线C 的极坐标方程为 ρ2cos2θ=4

(ρ>0,

3π4

<θ<

5π4

),

可得曲线C 的直角坐标方程为x 2-y 2=4(x<0).

联立{x 2−y 2=4(x <0),y =x +2,

解得交点坐标为(-2,0),

所以交点的极坐标为(2,π). 答案:(2,π)

5.已知直线l :{x =2t,

y =1+4t,

(t 为参数)圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,则圆心C

到直线l 的距离为________.

【解析】直线l 的普通方程为2x-y+1=0,圆ρ=2cos θ的直角坐标方程为x 2+y 2-2x=0,即(x-1)2+y 2=1,圆心为(1,0). 故圆心到直线的距离为22

=3√5

5

. 答案:

3√55

三、解答题(每小题10分,共30分)

6.已知直线l 过点A(-2,3),倾斜角为135°,求直线l 的参数方程,并且求直线上与点A 距离为3√2的点的坐标. 【解析】直线l 1的参数方程为

{x =−2+tcos135°,y =3+tsin135°,(t 为参数) 即{x =−2−√2

2

t,

y =3+√2

2t.

①

设直线上与点A 距离为3√2的点为B,且点B 对应的参数为t,则|AB|=|t|=3√2.

所以t=±3√2.把t=±3√2代入①,得

当t=3√2时,点B 在点A 的上方,点B 的坐标为(-5,6); 当t=-3√2时,点B 在点A 的下方,点B 的坐标为(1,0). 7.(·湖南高考)已知直线l :{

x =5+

√32t,y =√3+1

2

t.

(t 为参数)以坐标原点为极点,x 轴的

正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程.

(2)设点M 的直角坐标为(5,√3),直线l 与曲线C 的交点为A,B,求|M A |·

|M B |的值.

【解题指南】(1)利用ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x 即可将已知条件中的极坐标方程转化为直角坐标方程.

(2)联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程,利用参数的几何意义结合根与系数的关系即可求解.

【解析】(1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ, ①

将ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x 代入①式即得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x=0. ②

(2)将{x =5+√3

2t,

y =√3+1

2

t

代入②,得t 2+5√3t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t 1,t 2,则由参数t 的几何意义即知|M A |·|M B |=|t 1t 2|=18. 8.(·唐山高二检测)已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角α=π

6.

(1)写出直线l 的参数方程.

(2)设l 与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点,求P 点到A,B 两点的距离之积|PA||PB|和