4-- 1 数字通信-通信中的常见噪声
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• 讨论：接收端以怎样的比例合并可以使接收 信噪比达到最大？
25
问题分析
已知：
y1 x n1
y 2 x n2
来自百度文库
y y1 y2
求为了使： SNR( ) max(SNR)
?
假设：1. 每次发送时的加性高斯噪声功率不变
En D(n1 ) D(n2 ) 2
m j 1 i j i
;
PA , B PB
m i 1 i j j
16
统计独立
事件A 的发生不依赖事件B 的发生，即
P A | B P A
1
P A, B P APB
x mx 2 y m y 2 p x, y exp 2 2 2 n 2 n
-10
-5
0
5
10
33
高斯信号的产生方法
• 应用中心极限定理 • 应用随机信号的函数的方法
34
中心极限定理
假设 Xi, i=1,2,…n 是统计独立且同分布的随机变量，
有限均值mx，有限方差x2。 定义归一化随机变量 (零均值和单位方差)
Ui X i mx i 1,2,...n
x
接收信号相加之后，噪声的方差变为 2 2 ，信号的幅度加倍，能量则变为 原来的 4 倍。
则信噪比变为： SN R
4 ES 2SNR 2 2
结论：在加性高斯白噪声通道中，若某发射信号重复发射 两次，接收端将两次接收结果相加，则接收信号信噪比有 2倍的提高。
24
问题分析
• 为了提高接收端的信噪比，通信系统中可以 采用重复发送的方法 • 同样的信号重复发送两次，两次的幅度可能 不同，经过信道叠加噪声之后分别为 y1 x n1 和 y 2 x n2 ，接收端对两个接收信号以一定 y 比例合并： y1 y2
E n(t ) E nc (t ) E ns (t ) 0 D n(t ) D nc (t ) D ns (t )
2 其中 x c2 s2
这里，σx2、σc2、σs2分别表示窄带高斯噪声 n(t)、同相分量 nc(t)和正交分量 ns(t)的方差（亦即功率）。
• 其中
nc (t ) (t ) cos (t ) ns (t ) (t )sin (t )
式中 nc(t) 及 ns(t) 分别称为 n(t) 的同相分量和正交分量。
11
2 统计特性
(1)一个均值为零，方差为σx2 的窄带高斯噪声 n(t)，假定它是 平稳随机过程，则它的同相分量 nc(t)、正交分量 ns(t)同样 是平稳高斯噪声，且均值都为零，方差也相同，即
n(t ) (t )cos ct (t ) ρ(t)为噪声 n(t)的随机包络，φ(t)为噪声 n(t)的随机相位。
10
• 窄带高斯噪声的另外一种表达式为
n(t ) (t ) cos (t ) cos ct (t )sin (t )sin ct nc (t ) cos ct ns (t )sin ct
对 求导：
(SNR' ) 2(1 )( ) (1 2 ) 2
要使
( SNR' ) 0
1
28
理论推导
结论：
y y1 y 2
SNR' max(SNR( )) (1 2 )SNR0
29
讨论如下信号的合并方法
' 2 2 2
噪声平均功率为：
En' Dn1 n2 2 2 2 (1 2 ) 2
信噪比为：
Es' (1 ) 2 Es (1 ) 2 SNR SNR0 ' 2 2 2 En (1 ) (1 )
'
27
理论推导
接收信号 信道特征 信源 噪声 （随机） （随机） （随机） （随机）
ˆ x(t ) f y(t ) • 系统评估： f1 x(t ) x(t ) ˆ
• 接收机：
14
在任何通信系统中，高斯噪声都是存在的，它作为加性噪 声叠加到接收信号上 • 高斯噪声的表达式
r 2 pr exp 2 2 n 2 n 1
• 通常，通信信道中噪声的均值 a=0。
4
• 在噪声均值为零时，噪声的平均功率等于噪声的方差。 • 因为噪声的平均功率为
1 Pn 2
Pn ( )d R (0)
• 而噪声的方差为
D n(t ) E n(t ) E n(t )
2 2 2
2 2 y n x 方差：
19
Example:
设发射信号为 s1 P(s1)=p，P(s2)=1-p
b ，s2 b
接收信号
r b yn T
yn(T)为零均值高斯噪声
20
接收信号的概率密度函数为
r 1 b pr s1 exp 2 2 n 2 n
• 白噪声的自相关函数是一个位于τ=0 处的冲激函数，即白 噪声只有在 n0 /2 时才相关，而在任意两个不同时刻上的 随机取值都是不相关的。
3
高斯噪声
• 高斯噪声的定义：概率密度函数服从高斯分布（即正态分 布）的噪声。
( x a) 2 1 p ( x) exp 2 2 2 式中，a 为噪声的数学期望值，也就是均值；σ2 为噪声的 方差。
r 1 b pr s2 exp 2 2 n 2 n
2
2
21
22
若Y 没有被归一化，即 Y X i ，其它条件同上，则有
均值： E Y n m x
2 2 y n x 方差：
i 1
n
问题: 在高斯信道中，将固定数据重复发送后，求系统信噪比 的变化 信噪比的定义为： SNR
8
两种误差函数关系的推导
Q( x) x x
2
1 2
x
e
y2 / 2
dy
1 2 1
e
( 2 )2 / 2
d ( 2 )
2
e
2 / 2
d
1 x erfc( ) 2 2
9
带通系统中的高斯噪声
1 定义与表达式 • 高斯噪声通过以ωc 为中心的窄带系统可形成窄带高斯噪声。 • 特点：频谱局限在±ωc 附件很窄的频率范围内，包络和相 位作缓慢随机变化。 • 窄带高斯噪声 n(t) 可表示为
,
n
1 令 Y n
U
i 1
i
当n 时，Y 的极限分布为高斯分布。
35
高斯信号产生方法 1 [0~1] 的均匀分布(一次记录)
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
1 n Y Xi n i 1 Y 的均值 E Y m x 均值不变
2 Y 的方差 y 2 x
n
方差减小到
1 n
1 y 标准差减小到 n n
18
x
若Y 没有被归一化，即 Y X i ，其它条件同上，则有
i 1
n
均值： E Y n m x
pr
r mr 2 exp 2 2 n 2 n 1
15
联合事件
考虑两个事件，其联合概率记做 P(A, B)，联合概率 满足以下条件
0 P A, B 1 ;
且
PA , B 1
m m i 1 j 1 i j
P A , B P A
1。如何进行信号合并达 到信噪比最大？ 2。要保证接收信号的信 噪比为某一确定值，在采 样率确定情况下，如何在 信号采样点上加噪声？
t
0 -0.2 -0.4
-10
-5
0
5
10
32
过采样与信噪比
1.2 g(t)=sin(pi*t/T)/(pi*t/T) 1 0.8 0.6 0.4 0.2
t
0 -0.2 -0.4
• 由于功率信号的功率谱密度与其自相关函数 R(τ) 互为傅氏 P (ω) R (τ) 变换对
n n
Rn ( ) Pn () • 因此，白噪声的自相关函数为
1 Rn ( ) 2
n0/2
n0/2
0
ω
0
τ
n0 j n0 e d ( ) 2 2
白噪声的功率谱密度与自相关函数
2. 原始信号功率 Es E( x 2 )
3. 原始信噪比
SNR0 Es En
26
理论推导
接收信号为：
y y1 y2 ( x n1 ) (x n2 ) (1 ) x (n1 n2 )
信号平均功率为：
Es (1 ) x (1 ) x (1 ) 2 Es
13
在通信系统中，概率论与随机过程是重要的数学工具。 • 接收机的设计：接收机的作用是设法去除信道对随机信源 的影响，恢复出原始的随机信源信号。 • 系统性能评估：性能评估实际上是对接收机恢复原始信源 能力的评估。这种评估一般用错误概率来表示。 数学描述 • 信号传输： y(t ) h(t ) x(t ) n(t )
2
E n (t ) E n(t ) R(0) a 2 R(0)
• 所以 Pn=σ2
5
• 标准正态分布
x2 1 p ( x) exp 2 2 • 误差函数
erf ( x) 2
x
0
e dz
z2
• 互补误差函数
erfc( x) 1 erf ( x) 2
当信号有加性高斯噪声， 如何得到最大信噪比的信 号？ 合并后的信噪比增大了多 少倍？ t T 2T
30
讨论如下信号的合并方法
当信号有加性高斯噪声， 如何得到最大信噪比的信 号？ 合并后的信噪比增大了多 少倍？
t T 2T
31
讨论如下信号的合并方法
1.2 g(t)=sin(pi*t/T)/(pi*t/T) 1 0.8 0.6 0.4 0.2
数字通信 (第七讲) 通信中的常见噪声
2010-10
1
白噪声
• 白噪声的定义：功率谱密度函数在整个频域(-∞<ω<+∞)内 是常数的噪声 • 不符合上述条件的噪声称为有色噪声 • 白噪声的功率谱密度函数
n0 Pn ( ) 2
( )
n0 是一个常数，单位为W/Hz
2
白噪声的自相关函数
2
23
ES
y1 x n1 y2 x n 2
解答:
1. 单发一次时，信号能量 Es | x |2
SNR Es / 2 | x |2 / 2
2. 若同样信号发送两次，接收端将两次信号相加，则有 y1 y2 2 x n1 n2
'2 2 此时信号能量为 Es ' | 2x |2 4 | x |2 4Es ，噪声方差为 2
x
e
z2
dz
6
• 误差函数和互补误差函数的主要性质
1) erf ( ) 1 2) erfc( ) 0
7
• 误差函数的其他表示方法
1 Q x 2
x
t2 exp dt, x 0 2
1 x Qx erfc 2 2
y m y 2 x mx 2 1 1 exp exp 2 2 2 n 2 n 2 n 2 n
17
p x, y p x p y
随机变量的和
假设 Xi, i=1,2,…n 是统计独立且同分布的随机变量， 有限均值 mx ，有限方差 x2。Y 定义为归一化总和， 称为样本平均
12
(2)一个均值为零，方差为σx2 的窄带高斯噪声 n(t)，假定它是 平稳随机过程，则其随机包络ρ(t) 服从瑞利分布，相位φ(t) 服从均匀分布，即
2 p( ) 2 exp 2 2 1 p( ) 2 0 2
0
p(ρ) 和 p(φ) 的波形如下图所示。
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问题分析
已知：
y1 x n1
y 2 x n2
来自百度文库
y y1 y2
求为了使： SNR( ) max(SNR)
?
假设：1. 每次发送时的加性高斯噪声功率不变
En D(n1 ) D(n2 ) 2
m j 1 i j i
;
PA , B PB
m i 1 i j j
16
统计独立
事件A 的发生不依赖事件B 的发生，即
P A | B P A
1
P A, B P APB
x mx 2 y m y 2 p x, y exp 2 2 2 n 2 n
-10
-5
0
5
10
33
高斯信号的产生方法
• 应用中心极限定理 • 应用随机信号的函数的方法
34
中心极限定理
假设 Xi, i=1,2,…n 是统计独立且同分布的随机变量，
有限均值mx，有限方差x2。 定义归一化随机变量 (零均值和单位方差)
Ui X i mx i 1,2,...n
x
接收信号相加之后，噪声的方差变为 2 2 ，信号的幅度加倍，能量则变为 原来的 4 倍。
则信噪比变为： SN R
4 ES 2SNR 2 2
结论：在加性高斯白噪声通道中，若某发射信号重复发射 两次，接收端将两次接收结果相加，则接收信号信噪比有 2倍的提高。
24
问题分析
• 为了提高接收端的信噪比，通信系统中可以 采用重复发送的方法 • 同样的信号重复发送两次，两次的幅度可能 不同，经过信道叠加噪声之后分别为 y1 x n1 和 y 2 x n2 ，接收端对两个接收信号以一定 y 比例合并： y1 y2
E n(t ) E nc (t ) E ns (t ) 0 D n(t ) D nc (t ) D ns (t )
2 其中 x c2 s2
这里，σx2、σc2、σs2分别表示窄带高斯噪声 n(t)、同相分量 nc(t)和正交分量 ns(t)的方差（亦即功率）。
• 其中
nc (t ) (t ) cos (t ) ns (t ) (t )sin (t )
式中 nc(t) 及 ns(t) 分别称为 n(t) 的同相分量和正交分量。
11
2 统计特性
(1)一个均值为零，方差为σx2 的窄带高斯噪声 n(t)，假定它是 平稳随机过程，则它的同相分量 nc(t)、正交分量 ns(t)同样 是平稳高斯噪声，且均值都为零，方差也相同，即
n(t ) (t )cos ct (t ) ρ(t)为噪声 n(t)的随机包络，φ(t)为噪声 n(t)的随机相位。
10
• 窄带高斯噪声的另外一种表达式为
n(t ) (t ) cos (t ) cos ct (t )sin (t )sin ct nc (t ) cos ct ns (t )sin ct
对 求导：
(SNR' ) 2(1 )( ) (1 2 ) 2
要使
( SNR' ) 0
1
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理论推导
结论：
y y1 y 2
SNR' max(SNR( )) (1 2 )SNR0
29
讨论如下信号的合并方法
' 2 2 2
噪声平均功率为：
En' Dn1 n2 2 2 2 (1 2 ) 2
信噪比为：
Es' (1 ) 2 Es (1 ) 2 SNR SNR0 ' 2 2 2 En (1 ) (1 )
'
27
理论推导
接收信号 信道特征 信源 噪声 （随机） （随机） （随机） （随机）
ˆ x(t ) f y(t ) • 系统评估： f1 x(t ) x(t ) ˆ
• 接收机：
14
在任何通信系统中，高斯噪声都是存在的，它作为加性噪 声叠加到接收信号上 • 高斯噪声的表达式
r 2 pr exp 2 2 n 2 n 1
• 通常，通信信道中噪声的均值 a=0。
4
• 在噪声均值为零时，噪声的平均功率等于噪声的方差。 • 因为噪声的平均功率为
1 Pn 2
Pn ( )d R (0)
• 而噪声的方差为
D n(t ) E n(t ) E n(t )
2 2 2
2 2 y n x 方差：
19
Example:
设发射信号为 s1 P(s1)=p，P(s2)=1-p
b ，s2 b
接收信号
r b yn T
yn(T)为零均值高斯噪声
20
接收信号的概率密度函数为
r 1 b pr s1 exp 2 2 n 2 n
• 白噪声的自相关函数是一个位于τ=0 处的冲激函数，即白 噪声只有在 n0 /2 时才相关，而在任意两个不同时刻上的 随机取值都是不相关的。
3
高斯噪声
• 高斯噪声的定义：概率密度函数服从高斯分布（即正态分 布）的噪声。
( x a) 2 1 p ( x) exp 2 2 2 式中，a 为噪声的数学期望值，也就是均值；σ2 为噪声的 方差。
r 1 b pr s2 exp 2 2 n 2 n
2
2
21
22
若Y 没有被归一化，即 Y X i ，其它条件同上，则有
均值： E Y n m x
2 2 y n x 方差：
i 1
n
问题: 在高斯信道中，将固定数据重复发送后，求系统信噪比 的变化 信噪比的定义为： SNR
8
两种误差函数关系的推导
Q( x) x x
2
1 2
x
e
y2 / 2
dy
1 2 1
e
( 2 )2 / 2
d ( 2 )
2
e
2 / 2
d
1 x erfc( ) 2 2
9
带通系统中的高斯噪声
1 定义与表达式 • 高斯噪声通过以ωc 为中心的窄带系统可形成窄带高斯噪声。 • 特点：频谱局限在±ωc 附件很窄的频率范围内，包络和相 位作缓慢随机变化。 • 窄带高斯噪声 n(t) 可表示为
,
n
1 令 Y n
U
i 1
i
当n 时，Y 的极限分布为高斯分布。
35
高斯信号产生方法 1 [0~1] 的均匀分布(一次记录)
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
1 n Y Xi n i 1 Y 的均值 E Y m x 均值不变
2 Y 的方差 y 2 x
n
方差减小到
1 n
1 y 标准差减小到 n n
18
x
若Y 没有被归一化，即 Y X i ，其它条件同上，则有
i 1
n
均值： E Y n m x
pr
r mr 2 exp 2 2 n 2 n 1
15
联合事件
考虑两个事件，其联合概率记做 P(A, B)，联合概率 满足以下条件
0 P A, B 1 ;
且
PA , B 1
m m i 1 j 1 i j
P A , B P A
1。如何进行信号合并达 到信噪比最大？ 2。要保证接收信号的信 噪比为某一确定值，在采 样率确定情况下，如何在 信号采样点上加噪声？
t
0 -0.2 -0.4
-10
-5
0
5
10
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过采样与信噪比
1.2 g(t)=sin(pi*t/T)/(pi*t/T) 1 0.8 0.6 0.4 0.2
t
0 -0.2 -0.4
• 由于功率信号的功率谱密度与其自相关函数 R(τ) 互为傅氏 P (ω) R (τ) 变换对
n n
Rn ( ) Pn () • 因此，白噪声的自相关函数为
1 Rn ( ) 2
n0/2
n0/2
0
ω
0
τ
n0 j n0 e d ( ) 2 2
白噪声的功率谱密度与自相关函数
2. 原始信号功率 Es E( x 2 )
3. 原始信噪比
SNR0 Es En
26
理论推导
接收信号为：
y y1 y2 ( x n1 ) (x n2 ) (1 ) x (n1 n2 )
信号平均功率为：
Es (1 ) x (1 ) x (1 ) 2 Es
13
在通信系统中，概率论与随机过程是重要的数学工具。 • 接收机的设计：接收机的作用是设法去除信道对随机信源 的影响，恢复出原始的随机信源信号。 • 系统性能评估：性能评估实际上是对接收机恢复原始信源 能力的评估。这种评估一般用错误概率来表示。 数学描述 • 信号传输： y(t ) h(t ) x(t ) n(t )
2
E n (t ) E n(t ) R(0) a 2 R(0)
• 所以 Pn=σ2
5
• 标准正态分布
x2 1 p ( x) exp 2 2 • 误差函数
erf ( x) 2
x
0
e dz
z2
• 互补误差函数
erfc( x) 1 erf ( x) 2
当信号有加性高斯噪声， 如何得到最大信噪比的信 号？ 合并后的信噪比增大了多 少倍？ t T 2T
30
讨论如下信号的合并方法
当信号有加性高斯噪声， 如何得到最大信噪比的信 号？ 合并后的信噪比增大了多 少倍？
t T 2T
31
讨论如下信号的合并方法
1.2 g(t)=sin(pi*t/T)/(pi*t/T) 1 0.8 0.6 0.4 0.2
数字通信 (第七讲) 通信中的常见噪声
2010-10
1
白噪声
• 白噪声的定义：功率谱密度函数在整个频域(-∞<ω<+∞)内 是常数的噪声 • 不符合上述条件的噪声称为有色噪声 • 白噪声的功率谱密度函数
n0 Pn ( ) 2
( )
n0 是一个常数，单位为W/Hz
2
白噪声的自相关函数
2
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ES
y1 x n1 y2 x n 2
解答:
1. 单发一次时，信号能量 Es | x |2
SNR Es / 2 | x |2 / 2
2. 若同样信号发送两次，接收端将两次信号相加，则有 y1 y2 2 x n1 n2
'2 2 此时信号能量为 Es ' | 2x |2 4 | x |2 4Es ，噪声方差为 2
x
e
z2
dz
6
• 误差函数和互补误差函数的主要性质
1) erf ( ) 1 2) erfc( ) 0
7
• 误差函数的其他表示方法
1 Q x 2
x
t2 exp dt, x 0 2
1 x Qx erfc 2 2
y m y 2 x mx 2 1 1 exp exp 2 2 2 n 2 n 2 n 2 n
17
p x, y p x p y
随机变量的和
假设 Xi, i=1,2,…n 是统计独立且同分布的随机变量， 有限均值 mx ，有限方差 x2。Y 定义为归一化总和， 称为样本平均
12
(2)一个均值为零，方差为σx2 的窄带高斯噪声 n(t)，假定它是 平稳随机过程，则其随机包络ρ(t) 服从瑞利分布，相位φ(t) 服从均匀分布，即
2 p( ) 2 exp 2 2 1 p( ) 2 0 2
0
p(ρ) 和 p(φ) 的波形如下图所示。