平面简谐波的描述剖析
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ξ t 时刻的波形曲线
o
x
λ
（空间周期）
26
4.波速 相速 波是振动状态的传播 考察某振动状态
即令 (t kx) const.
将其全微分 有关系式
dt kdx 0
由速度的定义得出重要关系
u
dx dt
k
相位传播速度 （相速）
27
五、平面 S.H.W.的复数表示法
Aeitkx Acos t kx iAsin t kx
u
P
Qx
同样
若Q点的振动形式是函数 f(t)
Q点与P点相距为l 则P 点的振动函数是f (t+l /u)
Leabharlann Baidu
周期性的体现 普遍的结论
20
四、 平面 S. H .W .的余弦表达式 已知：波沿着x轴的正方向传播
波源a的振动形式为 a A cost 0
求：波的表达式 解：任意一点P坐标为x
oa
l0
u
波速
5
波形图：
某时刻 各点振动的位移
(广义：任一物理量) 与相应的平衡位置坐标 x 的关系曲线
某时刻
u
x
思考：上述波形图表示的波一定是横波吗？ 6
2.波面 波射线：波传播的方向射线
波面：某时刻 同一波源向外 传播的波到达的各空间点连成的面
波阵面 波面
7
在各向同性介质中 点源：波面是球面 所以称为球面波 线源：波面是柱面 所以称为柱面波 面源：波面是平面 所以称为平面波
介质中 的波速
综量是 x ut 的函数 f x ut
当然包括 Acos t kx 平面简谐波
29
•细棒 中纵波
2 2
x 2
Y
间距: x
振动时间差：t T 相位差: Δ 2π
18
即 x
则 t T Δ 2π
间距为任意x 的两点的关系： 在波线下方Q点 t 时刻的振动是前方P点在
t x T t x 时的振动
u
19
一般关系： 若已知波传播P点的振动形式可用函数 f(t)表示 Q点与P点相距为l 则Q点的振动函数是f (t- l /u)
第2章 波 动 §1 平面简谐波的描述 §2 波的能量 §3 惠更斯原理 §4 波的叠加 §5 驻波 §6 群速度 §7 多普勒效应
1
§1 平面简谐波的描述 一、波的产生 二、波面 波射线 三、平面 S.H.W.的传播 四、平面 S.H.W.的表达式 五、平面 S.H.W.的复数表示法 六、波动方程
2
一、波的产生 1. 机械波产生的条件
振源 弹性介质 2. 电磁波
只需振源 可在真空中传播
3. 物质波 物质的固有性质
A
振源A振动通过 弹性力传播开去
真空
机械波的传播 3
二、 波面 波射线 1. 横波 纵波 横波：各振动方向与波传播方向垂直 纵波：各振动方向与波传播方向一致
横波
u
纵波 x
4
水表面的波 既非横波又 非纵波
t
0
u
x
l0
A cos t
0
2π
x
l0
u
Px
x
23
讨论
1.
A cost 2π x
向x轴正向传播
Acos t
2π
x
向x轴负向传播
2.角波数（简称波数)
波数：单位长度内含的波长数目（波长倒数）
角波数：2长度内含的波长数目（简称波数）
k 2π
24
平面谐波一般表达： Acos t kx
A cos t kx 取实部 Aei(tkx) Re Aeitkx
Aei tkx Aeikxei t
经典波：波函数表示实在物理量 只有取 实部才有意义 但可以使计算方便
量子：波函数本身一般就是复数
28
六、波动方程
•无色散介质 一维波动方程
2 1 2
x2 u2 t 2
•解的形式：
u
x
1 4 7 10 13
无外界干扰 各质点均处在自己的平衡位置处10
t 0 第1个质点受一干扰 准备离开自己的
平衡位置向正方向振动
1 4 7 10 13
振动 0 状态 > 0
π
2
t T 第4个质点准备……
4
1
4
1 4 7 10 13
11
t T 第7个质点准备……
2
1 4 7 10 13
负（正）号代表向 x 正（负）向传播的谐波
3.波的表达式的物理意义
•当坐标 x 确定
表达式变成ξ－t 关系 表达了 x 点的振动
如图： ξ
x点的振动曲线
o T
t
25
•当坐标 x 确定
表达式变成ξ－t 关系 表达了 x 点的振动
• 当时刻 t 确定 表达式变成ξ-x关系 表达了 t 时刻空间各点位 移分布－－波形图
Px x
21
解：任意一点P坐标为x 解法一 相位关系
oa
l0
u
Px x
P点相位落后波源a的振动相位
2π
Pa
所以就在a点振动表达式的基础上改变相位因 子就得到了P的振动表达式
A cost
0
2π
Pa
A cos
t
0
2π
x
l0
22
解法二 运动的重复关系
oa
A
cos
t
aP u
0
l0
A cos
T u
14
波长：波线上相位差为2的相邻两点间的距离 波的周期：一个完整的波通过某点所需的时间 波的频率：单位时间内通过某点完整波的数目 波速：振动状态传播的速度
1
13 某点
波长 波速与频率之间的关系：
u /T 15
3.波射线上各点振动相位(振动状态)的关系
1)同时看波线上各点
沿传播方向 各点相位依次落后
t 3T 4
第10个质点准备……
1
7
4
π
2
1 4 7 10 13
10
12
t T 第13个质点准
备……
7
4
1
13
当第1个质点振动1个周期后
它的最初的振动相位传到第
13个质点 从相位来看 第
1个质点领先第13点 2π
10
π
2
13
结论 1. 波是振动状态的传播 不是质点的流动
各点均在自己的平衡位置附近作振动 2. 波长 波的周期 频率 波速
•相距一个波长两点 相位差是2
如第13点和第1点
或说振动时间差1个 周期则相位差为2
7
4
10
1 13
x
相差是 2π
16
•相距一个波长两点相位差是2
u
1 4P 7 10Q13 x
任意两质元间距为 x
•相距x的任意两点的相位差
Δ 2π Δx
17
2)从两质元振动的重复性看 t 时刻 第13质元的振动是第1质元在 t –T 时刻的振动 第1点和第13点之间
球面波
柱面波
平面波 8
在各向同性介质中
球面波
柱面波
能量
平面波
1)波面与波射线的关系：波射线垂直波面 2)波射线是波的能量传播方向 3)平面波是最理想的波（一维问题 能量不发散）
9
三、平面 S H W 的传播 平面: 波面是平面(一维、能量不损失) S H W : 各点均作简谐振动 以绳上横波为例 说明波的传播特征
o
x
λ
（空间周期）
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4.波速 相速 波是振动状态的传播 考察某振动状态
即令 (t kx) const.
将其全微分 有关系式
dt kdx 0
由速度的定义得出重要关系
u
dx dt
k
相位传播速度 （相速）
27
五、平面 S.H.W.的复数表示法
Aeitkx Acos t kx iAsin t kx
u
P
Qx
同样
若Q点的振动形式是函数 f(t)
Q点与P点相距为l 则P 点的振动函数是f (t+l /u)
Leabharlann Baidu
周期性的体现 普遍的结论
20
四、 平面 S. H .W .的余弦表达式 已知：波沿着x轴的正方向传播
波源a的振动形式为 a A cost 0
求：波的表达式 解：任意一点P坐标为x
oa
l0
u
波速
5
波形图：
某时刻 各点振动的位移
(广义：任一物理量) 与相应的平衡位置坐标 x 的关系曲线
某时刻
u
x
思考：上述波形图表示的波一定是横波吗？ 6
2.波面 波射线：波传播的方向射线
波面：某时刻 同一波源向外 传播的波到达的各空间点连成的面
波阵面 波面
7
在各向同性介质中 点源：波面是球面 所以称为球面波 线源：波面是柱面 所以称为柱面波 面源：波面是平面 所以称为平面波
介质中 的波速
综量是 x ut 的函数 f x ut
当然包括 Acos t kx 平面简谐波
29
•细棒 中纵波
2 2
x 2
Y
间距: x
振动时间差：t T 相位差: Δ 2π
18
即 x
则 t T Δ 2π
间距为任意x 的两点的关系： 在波线下方Q点 t 时刻的振动是前方P点在
t x T t x 时的振动
u
19
一般关系： 若已知波传播P点的振动形式可用函数 f(t)表示 Q点与P点相距为l 则Q点的振动函数是f (t- l /u)
第2章 波 动 §1 平面简谐波的描述 §2 波的能量 §3 惠更斯原理 §4 波的叠加 §5 驻波 §6 群速度 §7 多普勒效应
1
§1 平面简谐波的描述 一、波的产生 二、波面 波射线 三、平面 S.H.W.的传播 四、平面 S.H.W.的表达式 五、平面 S.H.W.的复数表示法 六、波动方程
2
一、波的产生 1. 机械波产生的条件
振源 弹性介质 2. 电磁波
只需振源 可在真空中传播
3. 物质波 物质的固有性质
A
振源A振动通过 弹性力传播开去
真空
机械波的传播 3
二、 波面 波射线 1. 横波 纵波 横波：各振动方向与波传播方向垂直 纵波：各振动方向与波传播方向一致
横波
u
纵波 x
4
水表面的波 既非横波又 非纵波
t
0
u
x
l0
A cos t
0
2π
x
l0
u
Px
x
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讨论
1.
A cost 2π x
向x轴正向传播
Acos t
2π
x
向x轴负向传播
2.角波数（简称波数)
波数：单位长度内含的波长数目（波长倒数）
角波数：2长度内含的波长数目（简称波数）
k 2π
24
平面谐波一般表达： Acos t kx
A cos t kx 取实部 Aei(tkx) Re Aeitkx
Aei tkx Aeikxei t
经典波：波函数表示实在物理量 只有取 实部才有意义 但可以使计算方便
量子：波函数本身一般就是复数
28
六、波动方程
•无色散介质 一维波动方程
2 1 2
x2 u2 t 2
•解的形式：
u
x
1 4 7 10 13
无外界干扰 各质点均处在自己的平衡位置处10
t 0 第1个质点受一干扰 准备离开自己的
平衡位置向正方向振动
1 4 7 10 13
振动 0 状态 > 0
π
2
t T 第4个质点准备……
4
1
4
1 4 7 10 13
11
t T 第7个质点准备……
2
1 4 7 10 13
负（正）号代表向 x 正（负）向传播的谐波
3.波的表达式的物理意义
•当坐标 x 确定
表达式变成ξ－t 关系 表达了 x 点的振动
如图： ξ
x点的振动曲线
o T
t
25
•当坐标 x 确定
表达式变成ξ－t 关系 表达了 x 点的振动
• 当时刻 t 确定 表达式变成ξ-x关系 表达了 t 时刻空间各点位 移分布－－波形图
Px x
21
解：任意一点P坐标为x 解法一 相位关系
oa
l0
u
Px x
P点相位落后波源a的振动相位
2π
Pa
所以就在a点振动表达式的基础上改变相位因 子就得到了P的振动表达式
A cost
0
2π
Pa
A cos
t
0
2π
x
l0
22
解法二 运动的重复关系
oa
A
cos
t
aP u
0
l0
A cos
T u
14
波长：波线上相位差为2的相邻两点间的距离 波的周期：一个完整的波通过某点所需的时间 波的频率：单位时间内通过某点完整波的数目 波速：振动状态传播的速度
1
13 某点
波长 波速与频率之间的关系：
u /T 15
3.波射线上各点振动相位(振动状态)的关系
1)同时看波线上各点
沿传播方向 各点相位依次落后
t 3T 4
第10个质点准备……
1
7
4
π
2
1 4 7 10 13
10
12
t T 第13个质点准
备……
7
4
1
13
当第1个质点振动1个周期后
它的最初的振动相位传到第
13个质点 从相位来看 第
1个质点领先第13点 2π
10
π
2
13
结论 1. 波是振动状态的传播 不是质点的流动
各点均在自己的平衡位置附近作振动 2. 波长 波的周期 频率 波速
•相距一个波长两点 相位差是2
如第13点和第1点
或说振动时间差1个 周期则相位差为2
7
4
10
1 13
x
相差是 2π
16
•相距一个波长两点相位差是2
u
1 4P 7 10Q13 x
任意两质元间距为 x
•相距x的任意两点的相位差
Δ 2π Δx
17
2)从两质元振动的重复性看 t 时刻 第13质元的振动是第1质元在 t –T 时刻的振动 第1点和第13点之间
球面波
柱面波
平面波 8
在各向同性介质中
球面波
柱面波
能量
平面波
1)波面与波射线的关系：波射线垂直波面 2)波射线是波的能量传播方向 3)平面波是最理想的波（一维问题 能量不发散）
9
三、平面 S H W 的传播 平面: 波面是平面(一维、能量不损失) S H W : 各点均作简谐振动 以绳上横波为例 说明波的传播特征