统计学三大分布相互转化

分 布 是 由两 个 分 布 与 其 自由度 比值 的 比
值 确 定 的分 布 ， 记作 Ｆ ～Ｆ（ ｎ ． ， ｎ ） ， 即
ｚ 龠都
随 机现象 的 客观 统计 规 律作 出合 理 的估 计 与 推 断 提供 了可 靠 的理论 依 据 ， 也 为 学 习参 数 估 计 、 假 设
关 键词 ： 三 大抽 样分 布 ； 结构性 定 义 ； 转化 中图分 类 号 ： ０ ２ ０ １ 文献标 识码 ： Ａ
０ 引 言
统计 学 三大 抽样 分 布包括 ： 分布 、 ｔ 分布和 Ｆ 分布。 是 以标 准 正态 分布 为基 石 而构造 的 三个著 名 的统 计量 ， 在 实践 中有 着 广 泛 的应 用 ， 为 人 们研 究
一
～
Ⅳ （ ０ ， １ ） ，
（ ３ Ｘ ３ ￣ ０ ４ Ｘ ４
从 而有
１ ０ ０ ～ ＾ ｚ （ 、 １ ‘ ，
Ｙ＝
ｘ １ — ２ Ｘ ２ ） 。 ＋而 １（ ３ Ｘ ３—４ Ｘ ４ ） ～Ｘ ２ （ １ ）＋
（ １ ）一 （ ２ ）
Ｎ（ ０ ， １ ） ， Ｙ～ （ ｎ ）
那 么
佳 木 斯 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ）
是 以标 准 正态分 布 为基石 而 构造 的三 个统计 量 ， 如
图 １所示 。
２ ０ １ ７丘
２ ０
～
＾ ｚ （ 、 ／ １ ）
２ 三 大 抽 样 分 布 的转 化
对பைடு நூலகம்三 大抽样 分 布 的内部结 构进 行详 细 的解 析 ， 通 过下 面例 题来 研 究三 者之 间 的相 互 转化 。
＝
——
—■
——
图３ 正 态 分 布 分 布
∑（ Ｎ （ Ｏ ， １ ） ） ～ （ ｎ ）
Ｆ：
Ｌ ／ ／ ＇ ２ ／Ｄ ， ２
～Ｆ（ ， ， ）
ｔ 分 布 的分 子是 一个 Ｎ（ ０ ， １ ） ， 分母 是 自由度 为
ｎ的 分 布 与 自由度 ｎ的 比值 再 开方 确定 的分 布 ，
例如 ， 已知 随机 变 量 ｔ～ （ ｎ ） ， 证明 ｔ 服从 Ｆ 分 布 Ｊ 。 首 先 图解分 析 （ 如 图 ２所示 ） ： 证 明： 已知 ＝— ＝ ， 则
、 ， Ｙ ／ ｎ
～
Ｎ ］ Ｎ３ ｘ ￣ 一
ｘ２ ～Ｎ （ ０ ， １ ｏ ｏ ） ， ３ — ｘ ， －４
摘
要： 统 计 学三 大抽样 分 布作 为统计 学 中重要 的计 量 工具 ， 在 实践 中有 着广泛 的应 用。采 用
更 直观 、 更具 体 的分 布构 建三 大抽样 分 布的 结构 性表 达 式 ， 再 通过 图解 分 析 ， 将 三 者－ ｅ ． ＿ Ｎ 的关 系
相 互 融合 。
Ｖｏ １ ． ３ ５ Ｎ０ ． ４
Ｊ ｕ ｌ ｙ
２ ０ １ ７
文章 编 号 ： １ ０ ０ ８—１ ４ ０ ２（ ２ ０ １ ７ ） ０ ４— ０ ６ ４ ３—０ ２
统 计 学 三大 分 布 相 互 转 化ｕ
张 志 旭 ， 林 雪 ， 汪 宏 远
Ｉ １佳 木 斯 大 学 理 学 院 ， 黑龙江 佳木斯 Ｉ ５ ４ ０ ０ ７ ； ２ ． 佳木斯第二中学 ， 黑 龙江 佳 木 斯 １ ５ ４ ０ ０ ２）
度理论 的过程 中发 现 了 分布 ； 戈塞特 （ Ｇ ｏ ｓ ｓ ｅ ｔ ）发
ｔ分
分布
图１ 三 大 抽 样 分 布 三 者之 间 的关 系
现ｔ 分布 的过 程正是小 样本理论 创立的过程 ； Ｆ分 布 也 是在 费希尔 （ Ｆ ｉ ｓ ｈ ｅ ｒ ） 创 立方差分 析理论 的过程 中
记 作 ｔ～ ｔ （ ） ， 即
￡ ：
定 义中所 涉及 的随 机变量 均是 相互 独立 的 ， 又 由定 义可知 ， 三 大抽样 分 布 的结 构 表达式 要 么是 由 Ｎ（ ０ ， １ ）构造 而 成 的 ， 要么是 由 分 布 构 造 而 成
（ Ｑ ！
～ （ ｎ ）
检验 等提 供 了重要 的计 量 工具 。 十九世 纪 中叶至 二 寸 世纪 初 ， 皮 尔逊 （ Ｐ ｅ ａ ｒ ｓ ｏ ｎ ） 、 戈塞 特 （ Ｇ ｏ ｓ ｓ ｅ ｔ ） 、 费希 尔（ Ｆ ｉ ｓ ｈ ｅ ｒ ） 就 是统计 学 中杰 出 的代 表 ， 他 们也 是 三 大分布 的始创者 。 皮 尔逊 （ Ｐ ｅ ａ ｒ ｓ ｏ ｎ ） 在创立 拟 合优
（ ｎ ） ／ ｎ
的， 要 么二 者 皆有 ， 它 们 的 构造 都 与 一 个 重要 的分
布紧 密相关 ， 那 就是 Ｎ（ ０ ， １ ） 。 所 以说三大 抽样 分布
① 收 稿 日期 ： ２ ０ １ ７— ０ ５—２ ９ 基金项 目： 佳 本斯 市 ２ ０ １ ５年 度 重 点 科 研 课 题 （ １ ５ ４ ６ ） ；住 木 斯 大学 教学 研 究项 目（ ２ ０ １ ６ Ｊ Ｌ １ ０ ２ ０ ） 作者简介 ： 张志旭（ １ ９ ７ ３一 ） ， 男， 黑龙江呼兰人 ， 副教授 ， 理学硕士 ， 研究方向 ： 统计学。
第３ ５卷 第 ４期 ２ ０ １ ７ 年 Ｏ ７月
佳 木 斯 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ａ ｍ ｕ ｓ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
产 生 的 。
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１ 三 大 抽 样 分 布 的 结构 性 定 义
图２ ￡ 分 布 分 布
统 计学 三 大分 布 的定义 及性 质可 由 给出。 分布 是 由 ｒ １ 个相 互 独 立 的标 准 正 态分 布 的 平 方 和确定 的分布 ， 记 作 ～ （ １ ２ ） ， 即