2020年中考数学考点研究《专题 直角三角形中根号二、根号三倍的线段数量关系》

方法二 利用30°角的直角三角形构造含 3 倍关系的线段问题
方法解读
看到30°或60°角时，要考虑运用含30°或60°角的直角三角形性质进行求解. 如图，Rt△ABC，∠C＝30°.
结论：AB＝ 1 AC；BC＝ 3 AC；BC＝
2
2
3 AB
针对训练 2. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB边上一动点(与点A，B不重 合)，连接CE，将∠ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转 120°，分别交射线AD于点F，G.用等式表示线段AG与CG之间的数量关系，并证 明.
第2题图
解：线段AG与CG之间的数量关系为AG＝ 3 CG. 证明：如解图，作CH⊥AG于点H. 由题意可知，∠ECF＝∠ACG＝120°. ∴∠FCG＝∠ACE. ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°， ∴∠DAC＝∠BAC＝ 30°. ∴∠AGC＝30°. ∴CA＝CG. ∴HG＝ 1 AG.
第1题解图
∵BA＝BC， ∴AE＝EC， ∴GC＝GA， ∵GH⊥BC，HC＝HB， ∴GC＝GB， ∴GB＝AG， ∵∠ABG＝∠CBG＝22.5°， ∴∠GCB＝∠GBC＝22.5°，∠GAB＝∠GBA＝22.5°， ∴∠CGE＝45°，∠AGE＝45°， ∴△AEG是等腰直角三角形， ∴AG＝BG＝ 2 AE.
2
第2题解图
在Rt△HCG中， HG＝CG·cos
∠CGH＝ 3 CG. 2
∴AG＝ 3CG. 2
针对训练 1. 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，过C作AB边上的高CD，H为 BC边上的中点，连接DH，点F是CD上一点，且DF＝AD，连接BF并延长交AC 于E，交DH于G.用等式表示线段BG与AE之间的数量关系.
第1题图
解：如解图，连接CG，AG. ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴DC＝DB， ∵AD＝DF， ∴△ADC≌△FDB(SAS)， ∴∠ACD＝∠FBD， ∵∠CFE＝∠BFD， ∴∠CEF＝∠FDB＝90°， ∴BE⊥AC，
微专题 直角三角形中 2 、3倍的线段数量关系
方法一 利用等腰直角三角形构造含等腰直角三角形来转换 线段之间的数量关系. 如图，Rt△ABC，∠B＝45°. 结论：BC＝ 2 AC＝ 2 AB；AB＝AC＝ 2 AD＝ 2 BD ＝ 2 DC